精品解析：浙江省宁波市鄞州区曙光宋中应麟等联考2024-2025学年 七年级下学期数学期中卷

2024学年第二学期七年级数学学科期中测试卷 一、选择题（每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各方程中，是二元一次方程的是（ ） A B. C. D. 2. 如图，下列说法错误的是（ ）． A. 与是内错角 B. 与是同位角 C. 与是内错角 D. 与是同旁内角 3. 杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079kg，将0.00079用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 6. 计算：（ ） A. B. C. D. 7. 数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是（ ） A. 甲、乙、丙 B. 甲、乙、丁 C. 甲、丙、丁 D. 乙、丙、丁 8. 《九章算术》中有这样一道题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？其意思为：1斗优质酒价值50钱，1斗劣质酒价值10钱．用30钱恰好买得优质酒和劣质酒共2斗，问优质酒和劣质酒各能买得多少斗？设买优质酒x斗，劣质酒y斗，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折党，折痕分别为若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，把40张形状、大小完全相同的小长方形（长是宽的3倍）既不重叠又无空隙地放在一个底面为长方形（长与宽的比为）的盒子底部边沿，则盒子底部未被卡片覆盖的长方形的长与宽的比为（ ） A B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 把方程写成用含x的式子表示y的形式______． 12. 如图，沿所在直线向右平移得到，已知，则平移的距离为______． 13. 计算(x－a)(x+3)的结果中不含x的一次项，则a的值是________． 14. 若关于x，y的二元一次方程有两个解和，则的值为______． 15. 若，则的值是______． 16. 如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，两块外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为，当取何值时，阴影与阴影的面积差不会随着的变化而变化，则这个的值为______． 三、解答题（17－22每题6分，23、24每题8分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 解下列方程组： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，，，垂足为点． （1）若，请求出的度数； （2）若，试问与平行吗？为什么？ 21. 如图，用三种大小不同五个正方形和一个长方形（图中阴影部分）拼成长方形，已知，较小正方形的边长为． （1）填空：__________，__________（用含有的代数式分别表示）． （2）先用含有的代数式表示出长方形的周长．当时，求长方形的周长． 22. 陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法宝凝聚能量：2个「乾坤圈」和5个「风火轮」同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个「乾坤圈」和2个「风火轮」联合运转1小时，能产生26单位净化能量． （1）单个「乾坤圈」和单个「风火轮」每小时各能产生多少单位净化能量？ （2）结界需要单位能量才能完全净化．若启动8个「乾坤圈」和10个「风火轮」持续运转5小时，哪吒能否在海夜叉攻破结界前完成净化？请用计算证明． 23. 数形结合是一种重要数学思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解决数学问题． (1)例如：图1阴影部分面积可以解释数学公式： 图2：______；图3：______． 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度 解：∵，∴，即，又∵，∴． 方法二：从“形”的角度 解：∵，∴，又∵，∴，∴．即． 类比迁移： (2)若，则的值为多少？ (3)如图，是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，分别表示图中两个正方形的面积，设，图中阴影部分面积，则两个正方形的面积之和的值为多少？ 24. 如图，，点在直线上，和都在直线上，且在点左侧，，点在直线上，交直线于点，平分交直线于点，设 （1）如图，当点在点右侧时，若， ①求的度数； ②求证； （2）当点在直线上运动时，设，直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期七年级数学学科期中测试卷 一、选择题（每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程是解题的关键． 【详解】解：A、是代数式，不是二元一次方程； B、是二元一次方程； C、不是二元一次方程，因为未知数的最高项的次数为； D、不是二元一次方程，因为未知数的最高项的次数为； 故选B． 2. 如图，下列说法错误的是（ ）． A. 与内错角 B. 与是同位角 C. 与是内错角 D. 与是同旁内角 【答案】B 【解析】 【分析】根据同位角、内错角及同旁内角的定义：两直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，被截线的同一方向的两个角是同位角；在截线的两侧，被截线的内部的两个角是内错角；在截线的同一侧，被截线的内部的两个角是同旁内角，结合图形即可得出答案． 【详解】解：由图形可得： ∠1与∠2是内错角，故A选项正确； ∠1与∠4既不是同位角，也不是内错角，也不是同旁内角，故B选项错误； ∠2与∠4是内错角，故C选项正确； ∠2与∠3是同旁内角，故D选项正确， 故选：B． 【点睛】此题考查了同位角、内错角及同旁内角的知识，属于基础题，掌握定义是关键． 3. 杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079kg，将0.00079用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算正确，符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平角定义可得，然后利用平行线的性质即可解答． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式：，根据公式计算即可． 【详解】解：． 故选B． 7. 数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是（ ） A. 甲、乙、丙 B. 甲、乙、丁 C. 甲、丙、丁 D. 乙、丙、丁 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．观察四位同学的解题过程，找出出错的即可． 【详解】解： ， 由①得：x= ③， 把③代入②得：， 去分母得：， 解得：y=， 由③得：x=． 则合作中出现错误的同学为丙． 由解得：， ∴合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是：甲、乙、丁， 故选：B． 8. 《九章算术》中有这样一道题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？其意思为：1斗优质酒价值50钱，1斗劣质酒价值10钱．用30钱恰好买得优质酒和劣质酒共2斗，问优质酒和劣质酒各能买得多少斗？设买优质酒x斗，劣质酒y斗，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设优质酒为x斗，劣质酒为y斗，根据两种酒共用30钱，共2斗的等量关系列出方程组即可． 【详解】设优质酒为x斗，劣质酒为y斗，由题意，则有 ， 故选A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系列出相应的方程是解题的关键． 9. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折党，折痕分别为若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，再根据平行线的性质得到，则，即可得到的度数． 【详解】解：∵翻折前后角度不变， ∴， ∵， ∴， ∴，, ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了折叠的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行形的性质是解题的关键． 10. 如图，把40张形状、大小完全相同的小长方形（长是宽的3倍）既不重叠又无空隙地放在一个底面为长方形（长与宽的比为）的盒子底部边沿，则盒子底部未被卡片覆盖的长方形的长与宽的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设在底面为长方形的长上放了x张小长方形卡片，在宽上放了y张小长方形卡片，根据四边共放了40张小长方形卡片且长与宽的比为，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入 【详解】解：设在底面为长方形的长上放了x张小长方形卡片，在宽上放了y张小长方形卡片，设小长方形的宽为，则长为，则，即， 依题意，得：， 解得：， ∴盒子底部未被卡片覆盖的长方形的长与宽的比为， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 把方程写成用含x的式子表示y的形式______． 【答案】## 【解析】 【分析】对二元一次方程通过移项变形可得y＝3x﹣1． 【详解】解：∵2x﹣y＝5， ∴﹣y＝1﹣3x， ∴y＝3x﹣1， 故答案为：y＝3x﹣1． 【点睛】本题考查了二元一次方程，正确的利用等式的性质进行变形是解题的关键． 12. 如图，沿所在直线向右平移得到，已知，则平移的距离为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 利用平移的性质解决问题即可． 【详解】解：由平移的性质可知，， ， ， ， ∴平移的距离为4， 故答案为：4． 13. 计算(x－a)(x+3)的结果中不含x的一次项，则a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，令x的一次项系数为0，列出关于a的方程，求出即可． 【详解】解：, ∵不含x的一次项， ∴3－a=0, ∴a=3, 故答案为：3. 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则，理解多项式中不含x的一次项即x的一次项的系数为0是解题的关键．不要忘记合并同类项. 14. 若关于x，y的二元一次方程有两个解和，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程解定义，根据题意可得方程组，据此利用加减消元法即可得到答案． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程有两个解和， ∴ ∴得， 故答案为：． 15. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，分式的化简求值，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，两块外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为，当取何值时，阴影与阴影的面积差不会随着的变化而变化，则这个的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用，正确表示出，的面积是解题的关键．根据已知并结合图形先求出阴影的面积和阴影的面积，然后再求出阴影的面积阴影的面积，从而根据题意可得，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 阴影的面积， 阴影的面积， 阴影的面积阴影的面积， 阴影与阴影的面积差不会随着的变化而变化， ， ， 故答案为：． 三、解答题（17－22每题6分，23、24每题8分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算，绝对值，零次幂与负整数指数幂的运算，同底数幂的除法运算，单项式除以单项式，掌握以上运算是解题的关键． （1）分别计算绝对值，零次幂与负整数指数幂，再合并即可得到答案； （2）根据立方以及同底数幂的除法运算，按照单项式除法单项式的运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减法的运算方法是解题的关键． （1）运用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）整理为系数相同后，再运用加减消元法即可求解． 【小问1详解】 解： ①②得，， 把的值代入②得，， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 得，， 解得，， 把值代入①得，， ∴原方程组的解为． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，11 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据完全平方公式进行化简，去括号，然后合并同类项，最后将和的值代入即可求解． 【详解】解： ， 当，时，原式． 20. 如图，，，垂足为点． （1）若，请求出的度数； （2）若，试问与平行吗？为什么？ 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、同角或等角的余角相等、直角三角形的性质． （1）因为，根据同位角相等，两直线平行可证，根据两直线平行，同位角相等可知； （2）根据垂直的定义可知，根据直角三角形两锐角互余可得，因为，根据同角的余角相等可证，等量代换可得，根据内错角相等，两直线平行可证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，用三种大小不同的五个正方形和一个长方形（图中阴影部分）拼成长方形，已知，较小正方形的边长为． （1）填空：__________，__________（用含有的代数式分别表示）． （2）先用含有的代数式表示出长方形的周长．当时，求长方形的周长． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值等知识点，读懂题意，根据图中各正方形边长之间的关系正确列出代数式是解题的关键． （1）根据图中各正方形边长之间的关系即可直接列出代数式； （2）先根据图中各正方形边长之间的关系列出长方形的长和宽，进而表示出长方形的周长，然后把代入求值即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意可得： 长方形的长为， 宽为， 长方形的周长， 当时， 长方形的周长． 22. 陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法宝凝聚能量：2个「乾坤圈」和5个「风火轮」同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个「乾坤圈」和2个「风火轮」联合运转1小时，能产生26单位净化能量． （1）单个「乾坤圈」和单个「风火轮」每小时各能产生多少单位净化能量？ （2）结界需要单位能量才能完全净化．若启动8个「乾坤圈」和10个「风火轮」持续运转5小时，哪吒能否在海夜叉攻破结界前完成净化？请用计算证明． 【答案】（1）单个「乾坤圈」每小时各能产生6单位净化能量，单个「风火轮」每小时各能产生4单位净化能量 （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的计算，有理数的混合运算的应用，根据题意列出方程组是解题的关键； （1）设1个「乾坤圈」每小时产生x单位净化能量，1个「风火轮」每小时产生y单位净化能量，根据题意列出方程组，解方程，即可求解； （2）根据题意以及（1）的结论列出算式，其结果与比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：设1个「乾坤圈」每小时产生x单位净化能量，1个「风火轮」每小时产生y单位净化能量， 根据题意得：， 解得： 答：单个「乾坤圈」每小时各能产生6单位净化能量，单个「风火轮」每小时各能产生4单位净化能量： 【小问2详解】 解：根据题意，． 因为，所以不能在海夜叉攻破结界前完成净化 23. 数形结合是一种重要数学思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解决数学问题． (1)例如：图1阴影部分的面积可以解释数学公式： 图2：______；图3：______． 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度 解：∵，∴，即，又∵，∴． 方法二：从“形”的角度 解：∵，∴，又∵，∴，∴．即． 类比迁移： (2)若，则的值为多少？ (3)如图，是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，分别表示图中两个正方形的面积，设，图中阴影部分面积，则两个正方形的面积之和的值为多少？ 【答案】（1）；；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形之间的联系，掌握数形结合的思想，熟悉基本的乘法公式是解题关键． （1）图2根据阴影部分是正方形，其面积等于两个较小正方形的面积和两个相同长方形的面积之和，即可得出结论；图3可根据左边长方形的面积等于右边大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得出结论； （2）仿照“方法一”设，，则，，进而根据完全平方公式变形，进行计算求解即可； （3）根据（2）介绍方法，，则，，然后利用直角三角形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：（1） （2）设，，则，， 所以 ， 故答案为：10． （3）设，，则， ∵， ∴ 24. 如图，，点在直线上，和都在直线上，且在点左侧，，点在直线上，交直线于点，平分交直线于点，设 （1）如图，当点在点右侧时，若， ①求的度数； ②求证； （2）当点在直线上运动时，设，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）①；②见解析 （2）①当点在点右侧时，；②当点在点右锯，点左侧时，；③当点在点左侧时， 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点，分类讨论是解题的关键； （1）①首先根据平行线的性质求出，进而求出的度数，然后再由平行线内错角相等得出，即可求解； ②由角平分线的性质得出，然后由内错角相等证得，再由已知条件即可证明结论． （2）根据点的位置进行分类讨论：①点在点右侧；②点在点和点之间；③点在点左侧．然后分别结合平行线的性质、角平分线的性质，三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：①， ， ， ， ， ； ②证明：平分， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①当点在点右侧时，如图： ， ，， ，． 平分， ， ； ②当点点和点之间时，如图，点在点左侧． ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， ； ③当点在点左侧时，如图，，点在点左侧． ， ，即， 在中，由②知，， ， ． 综上，与的数量关系为：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$