山东省菏泽市牡丹区大同中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷

菏泽市大同中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷 一、选择题 1．已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度是( ) A. B. C. D.. 2．甲，乙，丙3名学生约定：利用假期观看A，B，C，D，E这5部新上映的电影，待返校后互相分享精彩内容.返校后，已知5部电影都有人观看，且每部电影只有一个人观看，则所有观看电影的情况种数为( ) A.150 B.243 C.183 D.393 3．将一根长为3的铁丝截成9段,使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和）,则该正三棱柱的体积最大为( ) A. B. C. D. 4．如图,函数的图象在点P处的切线方程是,则( ) A. B.2 C. D. 5．已知函数，则函数在处的切线方程为( ) A. B. C. D. 6．已知函数,则下列说法正确的是( ) A.的极小值为 B.的极大值为 C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减 7．已知,设函数,若存在,使得,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 8．函数在R上单调,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．数学竞赛小组有高一学生2人,高二学生4人,高三学生6人,则( ) A.若每个年级各选1名学生外出培训,则共有12种不同的选法 B.若选派2名学生外出培训,这2人来自不同年级,则共有44种不同的选法 C.若选派3名学生外出培训,恰好有1人来自高二年级,则有116种不同的选法 D.若选派3名学生外出培训,高三年级的甲乙两位同学不能同时参加,则共有210种不同的选法 10．已知函数，，则下列判断正确的是( ) A.方程有两个根 B.函数有2个零点 C.当时，函数的图像总在函数图像的上方 D.函数的最大值为1 11．已知函数，则( ) A.当时，的单调递减区间为 B.存在，使得有三个零点 C.当时，的极小值点为 D.当时，曲线的对称中心为 三、填空题 12．如图，用4种不同颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有___________种. A D B C 13．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.则_________旋转函数（填：“是”或者“不是”）；若是旋转函数，则a的取值范围是________. 14．已知函数若对于任意的都有成立，则实数a的取值范围为___________. 四、解答题 15．有4名男生，3名女生，共7个人从左至右站成一排，在下列情况下，各有多少种不同的站法. (1)男生､女生各站在一起； (2)男生必须站在一起； (3)男生互不相邻，且女生也互不相邻. (4)最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，则有多少种不同的站法？ 16．为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召,小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业,生产某小型电子产品.经过市场调研,生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元,每生产万件,需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时,,在年产量不小于4万件时,.每件产品售价6元.通过市场分析,小王生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.） （2）年产量为多少万件时,小王在这一产品的生产中所获年利润最大?最大年利润是多少? 17．已知. (1)求函数的极值； (2)过点做曲线的切线l,求切线l的方程. 18．若存在实数a,使得对任意恒成立,则称在D上被a控制. （1）已知函数在上被a控制,求a的取值范围. （2）（i）证明:函数在上被1控制. （ii）设,证明:. 19．函数和有相同的定义域,导函数分别为,,若在定义域内均有,则称是的“－函数”. (1)判断是否为的“－函数”,并证明; (2)设和为定义在R上的函数,已知,,是的“－函数”,证明：（c为常数）; (3)若,,,,证明：是的“－函数”. 参考答案 1．答案：D 解析：由题意可得， 所以， 即该质点的瞬时速度是. 故选：D 2．答案：B 解析：分三类，第一类：1个人观看5部电影有3种情况； 第二类：2个人观看5部电影有种情况； 第三类：3个人观看5部电影有种情况； 所以共有：种情况. 故选：B. 3．答案：C 解析：设正三棱柱的底面边长为x,侧棱长为y,则,即. 正三棱柱的体积,. 当时,,当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减, 所以当时,V取得最大值,最大值为. 故选:C. 4．答案：D 解析：依题意可知切点, 函数的图象在点P处的切线方程是, ,即 又 即 故选：D. 5．答案：D 解析：易知， 可得，又， 所以切线方程为， 即. 故选：D 6．答案：B 解析：因为,所以, 令,得或;令,得; 所以在区间,上单调递增,在区间上单调递减, 所以在处有极大值,极大值为; 在处有极小值,极小值为. 故选：B. 7．答案：D 解析：当时,易知的最小值为, 当时,,令,解得, 若,则在上单调递增,且时,, 所以只需,解得或, 又,所以, 若,则在上单调递减,在上单调递增, 成立,所以符合题意, 综上,a的取值范围是. 故选:D. 8．答案：C 解析：由题意,函数在R上单调递增,当时,,依题需使恒成立,则; 当时,由在上递增,需使在上恒成立,则,即; 又由在R上递增,可得,解得. 综上可得,a的取值范围是. 故选:C. 9．答案：BD 解析：选项A:每个年级各选1名学生外出培训,则共有种不同的选法,A选项错误; 选项B:若选派2名学生外出培训,这2人来自不同年级,则共有种不同的选法,故B正确; 选项C:若选派3名学生外出培训,恰好有1人来自高二年级,则有种不同的选法,故C错误; 选项D:若选派3名学生外出培训,高三年级的甲乙两位同学不能同时参加,则共有种情况,故D正确, 故选:BD 10．答案：ACD 解析：A选项，， 定义域为， 令，则， 令得， 令得或， 故在上单调递增，在，上单调递减， 其中，当时，恒成立， 画出及的图像如下： 可以看出两函数有两个不同的交点，故有两个根，A正确； B选项，，定义域为R， 令得，只有1个零点，B错误； C选项，令， 则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 故当时，，函数的图像总在函数图像上方，C正确； D选项，定义域为R， ， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，最大值为，D正确 故选：ACD 11．答案：AD 解析：由，得， 对于A，当时，，令， 即，解得或，当时，恒成立， 所以在区间上单调递减，故A正确； 对于B，令，解得或， 又，所以当时，恒成立， 所以在区间上单调递增， 当时，恒成立，所以在区间上单调递减， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以当时，函数取得极大值，， 当时，函数取得极小值， ， 所以不存在，使得有三个零点，故B错误； 对于C，令，解得或， 又，所以当时，恒成立， 所以在区间上单调递增， 当时，恒成立，所以在区间上单调递减， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，是函数的极小值点，故C错误； 对于D，当时，函数，曲线， 因为的对称中心为，曲线的图像可由的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到， 根据函数图像的平移性质，曲线的对称中心为，故D正确. 故选：AD. 12．答案：48 解析：按照分步计数原理， 第一步：涂区域1，有4种方法； 第二步：涂区域2，有3种方法； 第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法； 所以不同的涂色种数有种． 故答案为：48 13．答案：是 解析：在旋转后所曲线上任取一点，旋转前点P对应的点为， 不妨设，设点，即，， 将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后， 可得，即点， 即，， 因为，可得变形可得，曲线为函数， 所以，是旋转函数；若函数是旋转函数， 将函数的图象绕着原点逆时针旋转后， 不存在与x轴垂直的直线，使得直线与旋转后的函数图象1个以上的交点. 故不存在直线与函数的图象有两个交点， 即对任意的，方程至多一解，即至多一解， 令为单调函数，则， 因为，故对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，则对任意的恒成立，合乎题意； 当时，则， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，且函数无最大值，所以此时不合乎题意； 当时，则，此时，，解得. 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 14．答案： 解析：对于任意的都有恒成立， 等价于在上恒成立. 令，则，， 当时，， 即在上递增， 故，所以， 所以在上单调递增， 所以，所以， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 15．答案：(1)288 (2)576 (3)144 (4)1320 解析：(1)男生必须站在一起，即把4名男生全排列，有种排法， 女生必须站在一起，即把3名女生全排列，有种排法， 全体男生、女生各看作一个元素全排列有种排法， 由分步乘法计数原理知共有（种）排法. (2)把所有男生看作一个元素， 与3名女生组成4个元素全排列， 故有（种）不同的排法. (3)先排男生有种排法， 然后让女生插空，有种排法， 所以共有（种）不同的排法. (4)若最左端站某生甲，余下6名同学全排列共有种排法； 若最左端站某生乙， 则应先排某生甲，有种排法， 剩余5名同学全排列共有种排法， 由分步计数原理知共有种排法. 根据分类加法计数原理可得，共有种. 16．答案：（1）; （2）当年产量为8万件时,所获年利润最大,为9万元. 解析：（1）由题意,当时,;当时,. 所以. （2）当时,,令,解得. 易得在上单调递增,在上单调递减,所以当时, . 当时,, 当且仅当,即时取等号. 综上,当年产量为8万件时,所获年利润最大,为9万元. 17．答案：(1)答案见解析 (2) 解析：(1)函数定义域为R,, 当时,,则在R上单调递增,此时无极值； 当时,令,则,则在上单调递增； 令,则,则在上单调递减； 此时的极小值为,无极大值. 综合上述,当时,无极值； 当时,的极小值为,无极大值. (2)设直线与曲线的切点坐标为, 由(1)知,则在点A处的切线斜率为, 故切线方程为,① 将点代入得 解得. 代回①得切线方程为. 18．答案：（1） （2）见解析 解析：（1）令,则. ①当时,,所以在上单调递增. 因为,所以恒成立. ②当时,令,得,所以在上单调递减,在,上单调递增. 所以, 解得. 综上所述,a的取值范围是. （2）证明:（i）要证在上被1控制, 只需证明,, 即证. 令,, 可得 . 当时,,即在区间上为增函数, 所以.原命题得证. （ii）由（i）可知,当）时,, 则, 即, 则有, 即, 故. 19．答案：(1)是的“－函数”,证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 解析：(1)由函数,可得, 又由,可得, 因为,所以是的“－函数”. (2)由为定义在R上的函数,可得函数的定义域为R, 因为,所以为偶函数, 又因为是的“－函数”,所以, 因为,,所以是的“－函数”, 即,用代替x,可得,所以, 令,则,所以（c为常数）, 所以（c为常数） (3)由函数,, 可得,, 设,可得, 设,则, 则,所以递增,即递增,且,, 存在使得,, 当时,,单调递减; 当时,,单调递增, 所以, 设,可得, 当时,,单调递增; 当时,,单调递减, 所以,所以,即, 所以, 因为,所以,所以,即, 所以当时,是的“－函数” 学科网（北京）股份有限公司 $$