第八讲： 二次函数y=ax²的图象和性质（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）（教师版+学生版）-202

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第八讲：二次函数y=ax²的图象和性质 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 知识点02：二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 知识点03： 思维导图 考点1：二次函数y=ax²的增减性问题 【典型例题】 下列函数中，y随x增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．无论取何值，都有 考点2：二次函数y=ax²的图形问题 【典型例题】 若二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，则a的值可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练1】 二次函数的图象是（　　） A．B．C． D． 【变式训练2】 一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（    ） A．B．C．D． 考点3：二次函数y=ax²的开口大小问题 【典型例题】 夕夕用软件绘制抛物线时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是（  ） A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 【变式训练1】 已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点4：二次函数y=ax²的最大最小值问题 【典型例题】 当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 考点5：二次函数y=ax²图像上点的坐标问题 【典型例题】 已知点在二次函数的图象上，则a的值是（    ） A． B．3 C．或3 D．或 【变式训练1】 若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（　　） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 2．抛物线与抛物线具有的相同的性质是（　　） A．开口向上 B．开口向下 C．有最高点 D．对称轴是y轴 3．已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．抛物线不具有的性质是（   ） A．开口向上 B．与轴不相交 C．对称轴是轴 D．最低点是坐标原点 5．若点，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 6．关于二次函数，下列说法中不正确的是（    ） A．当时，的对称轴是轴 B．当时，总取正值 C．当时，函数图象有最高点 D．当时，随着的增大而增大 7．在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 8．二次函数的图象经过点，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 10．抛物线的顶点坐标为 ． 11．拋物线的对称轴是 轴． 12．若二次函数的图象开口向上，则a的取值范围是 ． 13．在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，小明在该直角坐标系中又画了二次函数，，的图像，则a，b，c，d的大小关系 ． 14．若与成正比例，当时，，则时， ． 15．抛物线与的形状相同，开口方向相反，则 ． 16．若是关于x的二次函数，且该函数图象开口向下，则 ． 三、解答题 17．请按要求画出函数的图象： x …… 0 1 2 3 y …… (1)列表并画出图象； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性与最值； 18．若二次函数的图象经过点，求该函数的解析式并写出对称轴． 19．已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 20．已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在此抛物线上． 21．如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第八讲：二次函数y=ax²的图象和性质 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 知识点02：二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 知识点03： 思维导图 考点1：二次函数y=ax²的增减性问题 【典型例题】 下列函数中，y随x增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数以及二次函数的性质，熟知相关函数的性质是解答的关键． 根据一次函数以及二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； B、∵，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； C、，y随x的增大而减小，故该选项符合题意； D、∵， ∴y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．利用抛物线的对称性及增减性即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称， 关于轴的对称点为， ，且时，函数值随自变量的增大而减小， ； 故选：D． 【变式训练2】 二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．无论取何值，都有 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，先作出函数的图象，再根据函数的性质求解． 【详解】解：二次函数图象如下图所示： A、，则，故A是错误的； B、当时，，故B是正确的； C、若，如图所示：则，故C是正确的； D、∵，， ∵， ∴， 故D是正确的； 故选：A． 考点2：二次函数y=ax²的图形问题 【典型例题】 若二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，则a的值可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的性质．由抛物线开口方向可求得a的取值范围，可求得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象是一条开口向下的抛物线， ∴， ∴， 观察发现只有选项A符合题意， 故选：A． 【变式训练1】 二次函数的图象是（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．根据解析式确定出的值为负数，得到抛物线开口向下，再由解析式可知抛物线的对称轴是轴，顶点为，即可确定出其图象． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴是轴，顶点为， 由可知，抛物线开口向下， 故选：D． 【变式训练2】 一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的系数与图象的关系是解题的关键．先利用一次函数的图象得出，的取值范围，再判断的图象． 【详解】解：由一次函数的图象可得，， ∴对于二次函数的图象，开口向上，与轴的交点在轴负半轴上， 又∵的图象的对称轴为轴， 只有选项B的图象符合， 故选：B． 考点3：二次函数y=ax²的开口大小问题 【典型例题】 夕夕用软件绘制抛物线时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是（  ） A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；越大，抛物线的开口越小，即可解答，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线：和的对称轴都是轴，顶点坐标都是，开口方向都向上，而抛物线的开口比抛物线的开口大， ∴和原图象相比，发生改变的是开口大小， 故选：B． 【变式训练1】 已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴ ∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴ 又 ∴ ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 考点4：二次函数y=ax²的最大最小值问题 【典型例题】 当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向下，对称轴为直线，即轴，函数有最大值，距离对称轴越远，函数值越小，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴是解题的关键． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，即轴，， ∴当时，二次函数有最大值， 由，根据距离对称轴越远，函数值越小， ∴当时，有最小值， ∴当时，函数的取值范围为， ∴最大值与最小值的和为， 故选：． 【变式训练1】 已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先根据判断出抛物线的开口向下，故有最大值，对称轴，然后根据当时，在对称轴的两侧，代入求得最小值求得答案即可． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向下，有最大值为，抛物线的对称轴为轴， 当时，在对称轴的两侧， 当时，， 当时， 当，的取值范围是， 故答案为． 考点5：二次函数y=ax²图像上点的坐标问题 【典型例题】 已知点在二次函数的图象上，则a的值是（    ） A． B．3 C．或3 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、求一个数的立方根，利用待定系数法求解a值即可． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴，即， ∴， 故选：B． 【变式训练1】 若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．先求出二次函数的对称轴是直线，再利用二次函数的对称性求解即可得． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线，即其图像关于轴对称，且其图像经过点， ∴该图像必经过点， 故选：B． 一、单选题 1．已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 【答案】D 【分析】本题考查了基本二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，顶点坐标，结合图象进行判断． 【详解】解：由抛物线可知， A.，抛物线开口向上，故选项A正确，不符合题意； B.顶点坐标为，故选项B正确，不符合题意； C.对称轴为直线，故选项C正确，不符合题意； D.当时，y有最小值0，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 2．抛物线与抛物线具有的相同的性质是（　　） A．开口向上 B．开口向下 C．有最高点 D．对称轴是y轴 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上；时，开口向下． 根据二次函数的性质分析即可． 【详解】抛物线的开口向上，对称轴为轴，有最低点； 抛物线开口向下，对称轴为轴，有最高点； 故抛物线与相同的性质是对称轴都是轴， 故选：D． 3．已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数的对称轴为直线轴，求得关于轴的对称点为，根据抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，进而即可判断的大小关系． 【详解】解：∵，对称轴为轴，图象开口向上， 当时，随的增大而增大，关于轴的对称点为， ∵点都在二次函数的图象上，， ∴． 故选：A． 4．抛物线不具有的性质是（   ） A．开口向上 B．与轴不相交 C．对称轴是轴 D．最低点是坐标原点 【答案】B 【分析】本题考査二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意．根据题目中的抛物线的解析式可以判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：∵， ∴开口向上， ∴顶点坐标为，对称轴是y轴，有最低点为原点，与x轴交于点， 故选B． 5．若点，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求出对称轴并利用函数的增减性解答是解题的关键．根据二次函数的对称轴为y轴，二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：∵中， ∴二次函数的图象开口向上， ∵二次函数的对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：A． 6．关于二次函数，下列说法中不正确的是（    ） A．当时，的对称轴是轴 B．当时，总取正值 C．当时，函数图象有最高点 D．当时，随着的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质分别判断即可． 【详解】解：A、二次函数的对称轴为轴，故原说法错误，符合题意； B、由于，则，而，故，故原说法正确，不符合题意； C、当时，开口向下，函数图象有最高点，说法正确，不符合题意； D、当时，随着的增大而增大，说法正确，不符合题意； 故选：A． 7．在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【分析】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴时，y随x的增大而增大， ∵点都在抛物线上，且， ∴ 故选：A． 8．二次函数的图象经过点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象上点的特征是解题的关键． 利用二次函数的图象经过点，将代入求解即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 解得：； 故选：A 二、填空题 9．若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，掌握二次函数中形状相同，开口方向的性质是解决本题的关键．由形状和开口方向即可得出的值 【详解】抛物线与形状相同，开口方向相反 则， ∴的解析式为 故答案为： 10．抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质求解． 【详解】解：抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 11．拋物线的对称轴是 轴． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质，即可求得． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴该抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为： 12．若二次函数的图象开口向上，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系．根据开口向上的二次函数的解析式中二次项系数为正数进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 故答案为：． 13．在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，小明在该直角坐标系中又画了二次函数，，的图像，则a，b，c，d的大小关系 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，在中，的值越大，函数图像越靠近轴，开口越小，时，开口向上，时，开口向下，据此判断即可得答案． 【详解】解：∵，，的图像开口向上，的图像开口向下， ∴，，，， ∵，，的图像开口依次增大， ∴， ∴． 故答案为： 14．若与成正比例，当时，，则时， ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，设出相应的函数待定式是解题的关键． 根据与成正比例，可设，用待定系数法求解即可． 【详解】解：设 ， ， ， 解得， ， ，即， 当时，， 故答案为: ． 15．抛物线与的形状相同，开口方向相反，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次图象的形状相同，开口方向相反，则a互为相反数是解题的关键． 二次图象的形状相同，开口方向相反，则a互为相反数求解即可． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同，开口方向相反 ∴ 故答案为：． 16．若是关于x的二次函数，且该函数图象开口向下，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义和图象，熟练掌握二次函数的定义和图象特征是解题关键．根据二次函数的定义和二次函数的图象特征可得，且，由此即可得． 【详解】解：∵是关于的二次函数，且该函数图象开口向下， ∴，且， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17．请按要求画出函数的图象： x …… 0 1 2 3 y …… (1)列表并画出图象； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性与最值； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】该题主要考查了描点法画函数图象，二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性，解题的关键是画出函数图象． （1）利用描点法可画出函数图象； （2）再结合图象可求得开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性． 【详解】（1）解：列表如下： x …… 0 1 2 3 y …… 9 4 1 0 1 4 9 描点、连线，画出图象如下： （2）解：根据图象可得： 抛物线的开口方向向上；顶点坐标为；对称轴为y轴；函数有最小值0，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 18．若二次函数的图象经过点，求该函数的解析式并写出对称轴． 【答案】函数解析式为，对称轴是y轴 【分析】本题考查了的图象与性质，解题关键是牢记它的对称轴是y轴，图象上的点的坐标代入解析式能让左右两边相等． 【详解】解：根据题意，得，解得， ∴所求的函数解析式为， ∴对称轴是y轴． 19．已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 【答案】(1)函数图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 (2)8 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的图象性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出m； （1）先把代入，求出函数解析式，再根据函数的解析式，，可得出抛物线开口向上，并找出抛物线的对称轴及顶点坐标． （2）把代入（1）中所求的解析式计算即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得 解得： ∴ ∵ ∴函数图象的开口向上、对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：把代入，得 ． 20．已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题考查二次函数的性质： （1）把代入线求出a的值即可； （2）在中，令，求出对应的y值，即可判断． 【详解】（1）解：把代入线得：， 解得， ； （2）解：在中，令，得， 点不在此抛物线上． 21．如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的对称性等等： （1）先把点A坐标代入解析式中求出a的值，即求出抛物线解析式，再根据对称性即可求出点B的坐标； （2）先求出，再根据题意可得，据此求出点P的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵轴，且点B在抛物线上， ∴点A和点B关于抛物线对称轴对称，即关于y轴对称， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵的面积为2，轴， ∴， ∴， ∴或， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$