2024-2025学年高一数学下学期期末模拟监测试题（三角函数+人教A版必修二）（新高考区通用）

2024-2025学年第二学期高一年级期末模拟监测试题数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知向量，且，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 2．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 3．将函数的图象向左平移个单位后，便得到函数的图象，则正数的最小值为 A． B． C． D． 4．设是两个不同平面，是两条不同直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为1或2”，记事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（   ） A． B．事件A与事件B互斥 C．事件A与事件B相互独立 D． 6．已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为（    ） A．2 B． C．4 D． 7．已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某机床生产一种零件，在8天中每天生产的次品数分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（    ） A．中位数为3 B．众数为3，6，8 C．第40百分位数为3.5 D．方差为4.75 10．设，，为复数，且，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，正方体的棱长为1，下列结论正确的是（    ） A．若P在棱AB上运动，则直线与直线所成的夹角一定为 B．若P在棱AB上运动，则三棱锥的体积为 C．若P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足，则动点P的轨迹的长度为 D．若P在内（包含边界）运动，则直线与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是关于x的方程的一个根，则 ． 13．已知非零向量，满足，则在上的投影向量为 ． 14．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．某学校为举办庆祝建党100周年演讲比赛活动，需要2名同学担任主持人．经过初选有甲、乙、丙、丁、戊5名同学进入了最后的主持人选拔． (1)若这5名同学通过选拔的可能性相同，求甲和乙都通过选拔的概率； (2)已知甲、乙、丙是男生，丁、戊是女生，要求主持人为一男一女，男生和女生分成两组分别选拔．若每个男生通过选拔的可能性相同，每个女生通过选拔的可能性也相同，求男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率． 16．在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，． ①求的值； ②求的面积． 17．某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (1)求出m的值； (2)求样本质量指标值的平均数和第75百分位数； (3)若样本质量指标值在区间内的平均数和方差为67和51，在区间[70，80]内的平均数和方差为77和21，据此估计在[60，80]内的平均数和方差. 18．如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 19．在中，，，若是的中点，则；若是的一个三等分点，则；若是的一个四等分点，则 (1)如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明． (2)如图②，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点，． ①利用（1）的结论，用，表示； ②设，，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高一年级期末模拟监测试题数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知向量，且，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 2．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 3．将函数的图象向左平移个单位后，便得到函数的图象，则正数的最小值为 A． B． C． D． 4．设是两个不同平面，是两条不同直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为1或2”，记事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（   ） A． B．事件A与事件B互斥 C．事件A与事件B相互独立 D． 6．已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为（    ） A．2 B． C．4 D． 7．已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某机床生产一种零件，在8天中每天生产的次品数分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（    ） A．中位数为3 B．众数为3，6，8 C．第40百分位数为3.5 D．方差为4.75 10．设，，为复数，且，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，正方体的棱长为1，下列结论正确的是（    ） A．若P在棱AB上运动，则直线与直线所成的夹角一定为 B．若P在棱AB上运动，则三棱锥的体积为 C．若P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足，则动点P的轨迹的长度为 D．若P在内（包含边界）运动，则直线与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是关于x的方程的一个根，则 ． 13．已知非零向量，满足，则在上的投影向量为 ． 14．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．某学校为举办庆祝建党100周年演讲比赛活动，需要2名同学担任主持人．经过初选有甲、乙、丙、丁、戊5名同学进入了最后的主持人选拔． (1)若这5名同学通过选拔的可能性相同，求甲和乙都通过选拔的概率； (2)已知甲、乙、丙是男生，丁、戊是女生，要求主持人为一男一女，男生和女生分成两组分别选拔．若每个男生通过选拔的可能性相同，每个女生通过选拔的可能性也相同，求男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率． 16．在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，． ①求的值； ②求的面积． 17．某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (1)求出m的值； (2)求样本质量指标值的平均数和第75百分位数； (3)若样本质量指标值在区间内的平均数和方差为67和51，在区间[70，80]内的平均数和方差为77和21，据此估计在[60，80]内的平均数和方差. 18．如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 19．在中，，，若是的中点，则；若是的一个三等分点，则；若是的一个四等分点，则 (1)如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明． (2)如图②，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点，． ①利用（1）的结论，用，表示； ②设，，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高一年级期末模拟监测试题数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知向量，且，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】D 【解析】根据，即可求出的值． 【详解】 ，解得． 故选：D． 2．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜二测画法，即直观图中平行于轴的长度不变，平行于轴的长度变为原来的一半，根据题中所给的数据以及图形，可知角形为直角三角形，，，，由此即可求出结果. 【详解】因为为等腰直角三角形且，所以，， 由斜二测画法可知，，且三角形为直角三角形，， 所以三角形ABC的面积为． 故选：B. 3．将函数的图象向左平移个单位后，便得到函数的图象，则正数的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：直接利用函数的图象的平移变换和正弦型函数的性质求出结果． 详解：函数的图象向左平移个单位后， 得到：y=sin（ωx+）的图象，便得到函数y=cosωx=sin（ωx+）的图象． 所以：（k∈Z）， 解得：（k∈Z）． 当k=0时，． 故答案为：C 点睛：本题主要考查了函数的图象的平移变换和正弦型函数的性质的应用，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平. 4．设是两个不同平面，是两条不同直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断（可通过正方体中的直线、平面进行说明）． 【详解】以正方体为例， A．，平面，平面与平面都可以是平面，与可能平行也可能相交，A错； B．平面，平面，，，此时与相交，B错； C．，由线面平行的性质定理，内有直线，，则，，则，则，C正确； D．平面，平面，，，但与相交，不平行，D错． 故选：C． 5．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为1或2”，记事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（   ） A． B．事件A与事件B互斥 C．事件A与事件B相互独立 D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式，分别写出样本空间和事件表示的集合，求出相关事件的概率，利用互斥事件，独立事件的定义与和事件的概率公式计算即可逐一判断. 【详解】由题意，用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数， 则该试验的样本空间为：， 则，事件，， 事件，. 对于A，，故A错误； 对于B，因，故事件A与事件B相容，故B错误； 对于C，因，，则， 而，因，故事件A与事件B相互独立，即C正确； 对于D，因，，故D错误. 故选：C. 6．已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用方差计算公式即可得解. 【详解】令样本数据的平均数为，则，而， 因此，又样本数据均为正数，所以. 故选：C 7．已知的内角的对边分别为，且满足的三角形有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，，由有两解，得， 即，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 8．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【详解】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是准确求出函数解析式，D选项容易理解为函数值相同，实际只需函数值的绝对值相同即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某机床生产一种零件，在8天中每天生产的次品数分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（    ） A．中位数为3 B．众数为3，6，8 C．第40百分位数为3.5 D．方差为4.75 【答案】BD 【分析】先将次品数由小到大排列，然后根据中位数，众数的概念可判断AB；根据百分位数和方差公式计算可判断CD. 【详解】将次品数由小到大排列：2,3,3,4,6,6,8,8. 则中位数为，故A错误；众数为3,6,8，故B正确； 因为，所以第40百分位数为4，故C错误； 因为， 所以，故D正确. 故选：BD 10．设，，为复数，且，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】由得，即可判断A；由得，举例说明即可判断B；由得，举例说明即可判断C；由得，即可判断D. 【详解】A：由，得， ∵，∴，∴，故A正确； B：由，得，∴，例如， 而，，即，故B错误； C：由，得， 当时，，此时，故C错误； D：因为，令(), ∴，则，故D正确. 故选：AD. 11．如图，正方体的棱长为1，下列结论正确的是（    ） A．若P在棱AB上运动，则直线与直线所成的夹角一定为 B．若P在棱AB上运动，则三棱锥的体积为 C．若P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足，则动点P的轨迹的长度为 D．若P在内（包含边界）运动，则直线与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为 【答案】ABD 【分析】证明平面，再根据线面垂直的性质即可判断A；根据即可判断B；易得动点的轨迹的长度为以D为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一，即可判断C；平面，可得即为直线与平面ABC所成角，再进行分析即可判断D. 【详解】对于A，连接，则平面， 又平面，， 又，平面，平面， 平面， 又平面，， 所以直线与直线所成的夹角一定为，故A正确； 对于B，连接PC，，， 则三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 平面，∴点P到平面的距离，为定值1， 即三棱锥的高为1，底面三角形的面积为，，故B正确； 对于C，因为P满足， 则动点的轨迹的长度为以D为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一， 所以P点的轨迹的长度为，故C错误； 对于D，在正方体中，平面， 对于平面，为垂线，为斜线，为射影， 所以即为直线与平面ABC所成角， 设，则， 因为P是内（包括边界）的动点， 所以当P与O重合时，最小，此时， 当P与B重合时，最大，此时， 所以，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是关于x的方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】 由一元二次方程的根为共轭复数，再由韦达定理求解. 【详解】因为是关于x的方程的一个根， 所以为方程的另一个根， 所以由韦达定理可得，，解得， 所以， 故答案为: . 13．已知非零向量，满足，则在上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】 首先将条件变形求得，再代入投影向量的公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，且， 整理为，即， 即 在上的投影向量为. 故答案为： 14．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 ． 【答案】 【分析】根据题意，补全长方体，长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，利用等体积法可求解该阳马内切球的半径，再利用球的表面积公式即可求解. 【详解】解：设该阳马的外接球与内切球的半径分别与， 因为底面为长方形，且底面，所以两两垂直， 故如图，补全四棱锥所在的长方体， 则，即. 又， ， 所以. 所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．某学校为举办庆祝建党100周年演讲比赛活动，需要2名同学担任主持人．经过初选有甲、乙、丙、丁、戊5名同学进入了最后的主持人选拔． (1)若这5名同学通过选拔的可能性相同，求甲和乙都通过选拔的概率； (2)已知甲、乙、丙是男生，丁、戊是女生，要求主持人为一男一女，男生和女生分成两组分别选拔．若每个男生通过选拔的可能性相同，每个女生通过选拔的可能性也相同，求男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型，计算出基本事件和所求事件的种类即可； （2）理解“男生甲女生丁至少有一人通过选拔”所表达的含义， 即是或者是甲通过丁不通过，或是丁通过甲不通过，或者是二者都通过， 分别计算每种情形的概率相加即可. 【详解】（1）可知从5人中选出2人的样本空间为 甲乙、甲丙、甲丁、甲戊、乙丙、 乙丁、乙戊、丙丁、丙戊、丁戊， 共10个基本事件，       记事件“甲和乙都通过选拔”，则甲乙，         由古典概型公式知． （2）记“男生甲通过选拔”，“女生丁通过选拔”， “男生甲和女生丁至少有一人通过选拔”． 易知B、C是相互独立事件，         又可知，         由古典概型知，      所以      即男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率是； 综上，甲乙都通过的概率为 ，男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率是. 16．在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，． ①求的值； ②求的面积． 【答案】（1）；（2）①；②． 【分析】（1）由余弦定理求得，再求得； （2）①由正弦定理求得，由得为锐角，从而求得角，然后计算函数值； ②由余弦定理求得后可得三角形面积． 【详解】得， 由余弦定理知，． 又，所以． （2）（ⅰ）由正弦定理知，． 又，所以，所以 （ⅱ）由，即，解得（舍去负根）， 所以的面积． 【点睛】易错点睛：本题考查余弦定理、正弦定理、三角形面积公式，在解三角形中由正弦求余弦值时，需要确定角的范围，余弦值是正还是负，否则易出现错误．判断方法如大边对大角，或者三角函数的性质． 17．某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (1)求出m的值； (2)求样本质量指标值的平均数和第75百分位数； (3)若样本质量指标值在区间内的平均数和方差为67和51，在区间[70，80]内的平均数和方差为77和21，据此估计在[60，80]内的平均数和方差. 【答案】(1) (2)，85 (3)74，51 【分析】（1）由各直方图面积之和为可得； （2）用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替平均数；比较频率大小确定第75百分位数所在区间，再利用面积关系求解即可； （3）根据两组样本数的比例，先利用各组样本平均数求两组的总样本平均数，再用各组样本方差与平均数、两组总样本平均数求总样本方差. 【详解】（1）由题意知，解得， （2）样本质量指标值的平均数为， 前3组的频率之和为，前4组的频率之和为， 故第75百分位数位于第4组，设其为， 则，解得， 即第75百分位数为85. （3）已知在区间内的平均数和方差为67和51， 在区间[70，80]内的平均数和方差为77和21， 则在[60，80]在内的平均数， 在[60，80]在内的方差. 估计在[60，80]内的平均数为，方差为. 18．如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）利用面面垂直的性质推理即得. （2）延长交于一点，根据可求得，利用等体积法构造方程求解. （3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出，由二面角大小可构造方程求得，进而得到结果. 【详解】（1）在三棱台中，平面平面，， 而平面平面，平面， 所以平面. （2）由棱台性质知：延长交于一点，    由，得，点到平面的距离为到平面距离的2倍，则， 于是，由平面，得为点到平面的距离， 又，则是的中点，，即为正三角形，为正三角形， 设，则， ，解得， ，由平面，得，， ，设点到平面的距离为， 由，得，解得：. 即点到平面的距离为. （3）由平面，平面，得平面平面，取中点，连接， 在正中，，而平面平面，则平面，而平面， 则，又平面，则平面平面，作于， 平面平面，则平面，，而平面，则， 作于，连接，，平面，则平面， 而平面，于是，即二面角的平面角， 设，由（2）知：，， 由，得，， 由，得， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得， ， 所以存在满足题意的点，. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系的证明、点面距离的求解、二面角问题的求解；求解二面角问题的关键是能够利用三垂线法，作出二面角的平面角，进而根据几何关系构造关于长度的方程，从而求得结果. 19．在中，，，若是的中点，则；若是的一个三等分点，则；若是的一个四等分点，则 (1)如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明． (2)如图②，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点，． ①利用（1）的结论，用，表示； ②设，，求的最小值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）①依题意可得，，由、、三点共线，设，结合（1）的结论用，表示出，由、、三点共线，设，同理表示出，根据平面向量基本定理得到方程，求出、，再代入即可； ②依题意可得，，结合①的结论及共线定理即得出，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）猜想：， 证明：因为，所以 ，因为，，所以 （2）①若，，则，， 因为、、三点共线，设， 则， 因为、、三点共线，设， 则， 因为与不共线，所以，解得， 所以. ②因为，， 所以，， 所以， 因为、、三点共线，所以， 所以， 因为，所以，， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：有两个变量一个代数式是整式，另一个代数式是分式，已知一个代数式的值，求另一个代数式的最小值，利用已知条件，将上述两个代数式变形，凑出形式的式子，即可使用基本不等式求最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$候考其锦标记 20242025学年第二季期高一年级期末校测模数试题数学斧题卡 160分别 雅考证号 性名 年暖： 考特 背场 虚位梦 ■ 回 主现庭必属使甲双5意米男色基学笔填写 口 补在打分程有音好：静林。 4,保持卡面情曹，不要折叠。不授开破。 回 8888888 口 单选题40分) 1■A可Dg可5▣▣M可5可可■gD7T■可网可 】DJ四4▣可J而6▣可网DD四 多选想0分 ，▣可g▣a▣▣g四韩▣▣回四 三，填空圆05分 1745分1 12 14 四，解答题厅分 1503分) 情在各框里的管通区城内件答超出边的整案无益第美（共4到 请在务想理的若想区城内州答出团模的养案无效中有果 请使具们笔晴隆法开速答者选项及考号 1807分 1917分1 暗在务幅鞋的养想区城内州答超出口模的养家无效染有+美 4A 菌在备题目的若想匹城内样答相出西模的游家见效第4有+果」