2024-2025学年高二数学下学期期末模拟监测试题（人教A版选必二～选必三）（新高考区通用）

2024-2025学年第二学期高二年级期末模拟监测试题数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知某独立性检验中，由计算出，若将列联表中的数据分别变成，计算出的，则（    ） A． B． C． D． 3．从集合中任取两个互不相等的数组成复数,其中虚数有( )个 A．36 B．30 C．25 D．20 4．已知实数，，满足，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．设随机变量，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．设点是曲线上的任意一点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对变量和的一组样本数据，，…，进行回归分析，建立回归模型，则（   ） A．残差平方和越小，模型的拟合效果越好 B．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 C．若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点 D．若和的样本相关系数，则和之间具有很强的负线性相关关系 10．已知是互不相等的正数，随机变量的分布列如下表所示， 若既成等差数列也成等比数列，的期望和方差分别为和，则（    ） A． B． C． D． 11．在数学中，双曲函数（也叫圆函数）是一类与常见的三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，从它们可以导出双曲正切函数等，则下列说法正确的是（    ） A． B．恒成立 C．， D．，且，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设随机变量，则 13．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4.则c= . 14．绝大多数比赛都采用“局胜制”的规则，但也有一些项目，比如冰壶运动，其整个比赛通常是进行偶数局.  现有甲、乙两名同学进行一项趣味项目的比赛，两人约定比赛规则为：共进行局，谁赢的局数大于局，谁就获得最终胜利.  已知每局比赛中，甲获胜的概率均为乙获胜的概率均为.  记甲赢得整个比赛的概率为.  若则 ，若则当 时，最大. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求的值： (2)求函数的极值. 16．某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 甲员工 30天 20天 40天 10天 乙员工 20天 25天 15天 40天 假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率； (2)记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望； (3)试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由． 17．如图，在正方体的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点位于点处，第秒亮灯点在底面上的概率为． (1)求和的值；(2)推测与的关系，并求出的表达式． 18．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在极小值，且极小值等于，求证：. 19．某省高考自2024年起数学考试多选题（题号9~11）的计分标准是：每道题满分6分，全部选对得6分，部分选对得部分分（若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分），错选或不选得0分．每道多选题共4个选项，正确答案是选两项或选三项．统计规律显示：多选题正确答案是“选两项”的概率是，没有同学选四项．甲、乙两个同学参加了考前模拟测试，已知两同学第9题选的全对，第10~11题还不确定对错． (1)假设甲同学第10题随机选了两个选项，第11题随机选了一个选项，求甲同学这三道多选题（满分18分）所有可能总得分的中位数； (2)假设第10题正确答案是“选两项”，若乙同学不知道是“选两项”，随机选该题的选项（既没空选也没选四项，所有选法等可能），求乙第10题得0分的概率； (3)第11题甲同学采用“随机猜一个选项”的答题策略，乙同学采用“随机猜两个选项”的答题策略，记甲同学该题的得分为X，乙同学该题的得分为Y，试比较两同学得分的平均值的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高二年级期末模拟监测试题数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用导数公式及运算法则求得，再求解． 【详解】因为， 所以， 所以． 故选：C． 2．已知某独立性检验中，由计算出，若将列联表中的数据分别变成，计算出的，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据卡方公式代入计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 3．从集合中任取两个互不相等的数组成复数,其中虚数有( )个 A．36 B．30 C．25 D．20 【答案】C 【详解】若复数为虚数,则,则的取法有5种,的取法有5种,所以复数为虚数共个.故选C. 4．已知实数，，满足，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数可证，据此可比较大小. 【详解】令，则 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 即. 所以，， 故选：D 5．设随机变量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于p的方程，解出p的值，再根据，由二项分布的方差公式求得到结果． 【详解】随机变量，∴， 解得， ∴ ，则. 故选：D． 6．设点是曲线上的任意一点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】求曲线上的点到一定直线的距离的最小值，可转化为求在曲线上某一点处的切线平行于该定直线，该切点到定直线的距离即为所求. 【详解】由题知，，， 设曲线在点处的切线与直线平行， 因为直线可化为，斜率为. 由导数的几何意义知，， 即，.所以点. 因为点到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：D. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用赋值法可得出，代值计算即可得解. 【详解】令，则， 所以， . 故选：A. 8．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，再利用导数与极值的关系求出有两个不同零点的a的取值范围作答. 【详解】函数定义域为R，求导得， 依题意，函数在R上有两个不同的零点， 令，求导得，显然函数在R上单调递增， 当时，恒成立，函数在R上单调递增，函数最多一个零点，不符合题意， 当时，由得，当时，，当时，， 函数，即在上单调递减，在上单调递增，， 当时，，而的取值集合为， 因此在上取值集合为， 当时，令，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，，因此， 令，，令，当时，恒有， 即函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 当时，，因此当时，， 取，当时，，， 而函数在上的取值集合为，因此在上取值集合为， 于是得函数在R上有两个不同的零点，当且仅当，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对变量和的一组样本数据，，…，进行回归分析，建立回归模型，则（   ） A．残差平方和越小，模型的拟合效果越好 B．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 C．若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点 D．若和的样本相关系数，则和之间具有很强的负线性相关关系 【答案】ACD 【分析】根据相关系数、决定系数的概念一一判断即可. 【详解】对于A：残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故A正确； 对于B：用决定系数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故B错误； 对于C：若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点，故C正确； 对于D：若和的样本相关系数，所以和成负相关， 又且接近，所以和之间具有很强的线性相关关系， 所以和之间具有很强的负线性相关关系，故D正确. 故选：ACD 10．已知是互不相等的正数，随机变量的分布列如下表所示， 若既成等差数列也成等比数列，的期望和方差分别为和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意先推理得到，再分别运用随机变量的数学期望、方差公式计算化简，比较即得，. 【详解】因既成等差数列也成等比数列，则有， 将①代入②中，化简整理得，，则有， 回代入①，可得，由分布列可知，故得，. 依题意，，, 故，故A正确，B错误； ， 而 可得，，则得,故D正确，C错误. 故选：AD. 11．在数学中，双曲函数（也叫圆函数）是一类与常见的三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，从它们可以导出双曲正切函数等，则下列说法正确的是（    ） A． B．恒成立 C．， D．，且，则 【答案】ACD 【分析】通过计算和即可判断A；求出和的值域，即可判断B；首先判断函数的单调性，再设，，判断出在的单调递增，且，得出，即可判断C；不妨设，由在上单调递增，得出，即可判断D． 【详解】对于A：，， ， ， 所以，故A正确； 对于B：设，则， 则， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，故B错误； 对于C：因为， 所以在上单调递增， 设，， 则， 因为， 所以， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以，，故C正确； 对于D：不妨设，则， 由C得，，在上单调递增，且， 又因为，即为上奇函数， 所以在上单调递增，且， 所以在上单调递增， 所以， 即， 所以，故D正确， 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设随机变量，则 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率作答. 【详解】随机变量，所以. 故答案为： 13．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4.则c= . 【答案】 【分析】模型两边取对数，再化简，利用对应系数相等，即可求得值. 【详解】，即， 所以，. 故答案为： 14．绝大多数比赛都采用“局胜制”的规则，但也有一些项目，比如冰壶运动，其整个比赛通常是进行偶数局.  现有甲、乙两名同学进行一项趣味项目的比赛，两人约定比赛规则为：共进行局，谁赢的局数大于局，谁就获得最终胜利.  已知每局比赛中，甲获胜的概率均为乙获胜的概率均为.  记甲赢得整个比赛的概率为.  若则 ，若则当 时，最大. 【答案】 【分析】根据独立重复试验的概率公式分别计算，再根据已知条件比较进行求解. 【详解】当时，甲乙比赛四局，则甲要赢3局或4局才能获胜，计算， 时，甲乙比赛二局，则甲要赢2局，计算， 所以； 在局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为局 故 所以 1).前局，甲胜局，后2场甲2胜，概率为； 2).前局，甲胜局，后2场甲1胜1负或者2胜，概率为； 3).前局，甲至少胜局，后2场甲1胜1负或者2胜，概率为； 所以， 所以， 即得， 所以， 计算得，即，所以当时，最大. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求的值： (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为. 【分析】（1）利用切点既在曲线上又在切线上及导数的几何意义即可求解； （2）根据（1）的结论，求出函数，利用导数法求函数的极值的步骤即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， ， 切线过点， , 由导数的几何意义可知，斜率, . （2）由（1）知，，可得， ， 令，则，解得或， 当或时，， 当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 从而可知是函数的极大值点，极大值为， 是函数的极小值点，极小值为. 所以函数的极大值为，极小值为. 16．某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 甲员工 30天 20天 40天 10天 乙员工 20天 25天 15天 40天 假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率； (2)记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望； (3)试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由． 【答案】(1)， (2)分布列见解析，1.9 (3)在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐，理由见解析 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的所有可能取值为1，2，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求出所对应的概率，列出分布列求出数学期望即可． （3）根据古典概型的概率公式求出所对应的条件概率，即可判断； 【详解】（1）解：设事件“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，事件“一天中乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”． 由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐、晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40， 所以，； （2）解：甲员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，甲员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为； 乙员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，乙员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为． 依题意的所有可能取值为1，2． 所以，． 所以的分布列为 1 2 0.1 0.9 所以． （3）解：设“甲员工晚餐选择B餐厅就餐”，“乙员工晚餐选择B餐厅就餐”，“甲员工在午餐时选择A餐厅就餐”，“乙员工在午餐时选择A餐厅就餐”，则，． 因为， 所以在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐． 17．如图，在正方体的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点位于点处，第秒亮灯点在底面上的概率为． (1)求和的值； (2)推测与的关系，并求出的表达式． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据古典概型的概率求出，根据相互事件及互斥事件的概率公式求出； （2）依题意可得，即可得到，从而得到是以，公比为的等比数列，即可求出. 【详解】（1）依题意第一秒灯点等可能的在顶点、、处，其中在底面上的顶点为、， 所以， 第一秒灯点在顶点为、处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为； 第一秒灯点在顶点为处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为； 所以第二秒灯点在底面上的概率； （2）第秒亮灯点在底面上的概率为， 在底面上的概率为， 所以， 所以，所以是以，公比为的等比数列， 所以，则. 18．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在极小值，且极小值等于，求证：. 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）求导，分类讨论判断原函数的单调性； （2）根据题意结合（1）中分析可得，换元整理得，再利用极值点偏离证明结论. 【详解】（1） 当时，则， 令，则 ∴在上单调递减，在上单调递增 当时，令，则或 ①当，即时，则在上单调递减，在，上单调递增 ②当，即时，则在上单调递增 ③当，即时，则在上单调递减，在，上单调递增 综上所述： 当时，在上单调递减，在上单调递增 当时，在上单调递减，在，上单调递增 当时，则在上单调递增 当时，则在上单调递减，在，上单调递增 （2）由（1）可得： 当时，的极小值为， ∵，不成立 当时，无极值，不成立 当时，则的极小值为，即 令，则， ∴，即 令，则 当时，，当时， 则在上单调递增，在上单调递减 ∵，则 令， ∵在上单调递增，则 ∴在上单调递增，则 故在上恒成立，即 ∴ ∵，则，即 又∵，且在上单调递减 ∴，即 【点睛】本题利用极值点偏离处理问题，构建新函数利用导数先证，进而可得，结合题意可得，再结合的单调性说明. 19．某省高考自2024年起数学考试多选题（题号9~11）的计分标准是：每道题满分6分，全部选对得6分，部分选对得部分分（若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分），错选或不选得0分．每道多选题共4个选项，正确答案是选两项或选三项．统计规律显示：多选题正确答案是“选两项”的概率是，没有同学选四项．甲、乙两个同学参加了考前模拟测试，已知两同学第9题选的全对，第10~11题还不确定对错． (1)假设甲同学第10题随机选了两个选项，第11题随机选了一个选项，求甲同学这三道多选题（满分18分）所有可能总得分的中位数； (2)假设第10题正确答案是“选两项”，若乙同学不知道是“选两项”，随机选该题的选项（既没空选也没选四项，所有选法等可能），求乙第10题得0分的概率； (3)第11题甲同学采用“随机猜一个选项”的答题策略，乙同学采用“随机猜两个选项”的答题策略，记甲同学该题的得分为X，乙同学该题的得分为Y，试比较两同学得分的平均值的大小． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用列举法来解决问题； （2）利用分类思想来得到不得分的可能性，即可求解概率； （3）利用概率及期望思想来解决实际问题. 【详解】（1）因为第9题得6分，第10题得分可能是0，4，6分，第11题得分可能是0，2，3分， 因此总得分可能有以下情形：6+0+0=6，6+0+2=8，6+0+3=9，6+4+0=10，6+4+2=12， 6+6+0=12，6+4+3=13，6+6+2=14，6+6+3=15， 故总得分只有：6，8，9，10，12，13，14，15共8个得分， 所以总得分的中位数是; （2）因为乙同学既没空选也没选四项，则选一项且不得分有种选法， 选两项且不得分有种选法，选三项且不得分有种选法， 这道题的总选法有：种， 所以； （3）若第11题正确答案是“选两项”，则的取值为0，3，的取值为0，6， 且，，，； 若第11题正确答案是“选三项”，则的取值为0，2，的取值为0，4， 且，，，； 记“选两项”和“选三项”时，与的平均值分别为和， 则 因为第11题正确答案是“选两项”的概率是，所以正确答案是“选三项”的概率也是， 所以， 故. 【点睛】方法点睛：关键是利用分类讨论，分类列举思想，把复杂问题化为简单问题来进行求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高二年级期末模拟监测试题数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知某独立性检验中，由计算出，若将列联表中的数据分别变成，计算出的，则（    ） A． B． C． D． 3．从集合中任取两个互不相等的数组成复数,其中虚数有( )个 A．36 B．30 C．25 D．20 4．已知实数，，满足，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．设随机变量，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．设点是曲线上的任意一点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对变量和的一组样本数据，，…，进行回归分析，建立回归模型，则（   ） A．残差平方和越小，模型的拟合效果越好 B．用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 C．若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点 D．若和的样本相关系数，则和之间具有很强的负线性相关关系 10．已知是互不相等的正数，随机变量的分布列如下表所示， 若既成等差数列也成等比数列，的期望和方差分别为和，则（    ） A． B． C． D． 11．在数学中，双曲函数（也叫圆函数）是一类与常见的三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，从它们可以导出双曲正切函数等，则下列说法正确的是（    ） A． B．恒成立 C．， D．，且，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设随机变量，则 13．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4.则c= . 14．绝大多数比赛都采用“局胜制”的规则，但也有一些项目，比如冰壶运动，其整个比赛通常是进行偶数局.  现有甲、乙两名同学进行一项趣味项目的比赛，两人约定比赛规则为：共进行局，谁赢的局数大于局，谁就获得最终胜利.  已知每局比赛中，甲获胜的概率均为乙获胜的概率均为.  记甲赢得整个比赛的概率为.  若则 ，若则当 时，最大. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求的值： (2)求函数的极值. 16．某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 甲员工 30天 20天 40天 10天 乙员工 20天 25天 15天 40天 假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率； (2)记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望； (3)试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由． 17．如图，在正方体的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点位于点处，第秒亮灯点在底面上的概率为． (1)求和的值； (2)推测与的关系，并求出的表达式． 18．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在极小值，且极小值等于，求证：. 19．某省高考自2024年起数学考试多选题（题号9~11）的计分标准是：每道题满分6分，全部选对得6分，部分选对得部分分（若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分），错选或不选得0分．每道多选题共4个选项，正确答案是选两项或选三项．统计规律显示：多选题正确答案是“选两项”的概率是，没有同学选四项．甲、乙两个同学参加了考前模拟测试，已知两同学第9题选的全对，第10~11题还不确定对错． (1)假设甲同学第10题随机选了两个选项，第11题随机选了一个选项，求甲同学这三道多选题（满分18分）所有可能总得分的中位数； (2)假设第10题正确答案是“选两项”，若乙同学不知道是“选两项”，随机选该题的选项（既没空选也没选四项，所有选法等可能），求乙第10题得0分的概率； (3)第11题甲同学采用“随机猜一个选项”的答题策略，乙同学采用“随机猜两个选项”的答题策略，记甲同学该题的得分为X，乙同学该题的得分为Y，试比较两同学得分的平均值的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$缺考标 20242025学年第二学期高二年级期末检测模撤试题数学答题卡 105 姓名: 斑ō 考号 考: 口口口 11 □□口 口 号: 1 ) 口口 ) 1口 口 1,来么字笔域习.。 [1口[ 口口 出西 不得使文线,正。 D 3. 不得在打分海花写,技 r □ □ 4. 保持卡清,本要折叠。不要弄破 口 阳1 用用图 1口[口 一.单选40分 1C□] A□[□口D 5AD[]7][CD] 1A[] 4A□[C1[ 6ADD:ADCD 二、多法题18 1CACC o CnACCO 三.填空题05分 17151 1 四.答题77分 15.013) 2 请在各题到的答题区域内作答,副出达的答突无第1到(共4 A, 请在各题的答题[内作答,题出的答来无效第(共到 请使用9铅笔填涂选择题答求选项及考号 1807分 107 2 在各题的答题[内答,面出的答来无效第3题共到 请在各题的答题[内作答,题出的答来无效第4页(共到