第七讲：二次函数（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）　2025-2026学年人教版九年级数学上册

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第七讲：二次函数 （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：二次函数的相关概念 1.二次函数的定义： 一般地，形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数. 2.判断一个函数是否为二次函数的步骤： (1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式； (2) a，b，c 为常数，且 a≠0； (3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (4) 等式的右边自变量的最高次数为 2. 知识点02：二次函数的一般形式 二次函数的一般形式：y = ax² + bx + c (a≠0) 知识点03：思维导图 考点1：二次函数的识别 【典型例题】 下列函数表达式中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：是一次函数，故A选项错误； ，当时，不是二次函数，故B选项错误； 是二次函数，故C选项正确； ，分母中含有自变量，不是二次函数，故D选项错误． 故选：C． 【变式训练1】 下列各式中，二次函数的个数是（　　） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：①，故不是二次函数； ②是二次函数； ③当时，，故不是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤是二次函数， 则二次函数的个数有2个， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式训练2】 下列实际问题中的与之间的函数解析式是二次函数的是（　　） A．正方体集装箱的体积为，棱长为 B．高为的圆柱形储油罐的体积为，底面圆半径为 C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的质量为千克，单价为元/千克 D．南京与上海之间的距离为，小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶，距上海 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．正方体集装箱的体积，棱长，则，故不是二次函数； B．高为的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径，则，故是二次函数； C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则，故不是二次函数； D．南京与上海之间的距离为，小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶，距上海，则，故不是二次函数． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的定义，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的定义去判断． 考点2：根据二次函数的定义求参数 【典型例题】 若是二次函数，则a的值是（　　） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得且，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 且， 解得：， 故选：B． 【变式训练1】 若是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解． 【详解】解：由题意得， 解得； 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的定义，由二次函数定义建立不等式是解题的关键． 【变式训练2】 若函数是关于的二次函数，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握解二次函数的定义是解题关键．由二次函数的定义列出关于的一元二次方程和不等式，解方程与不等式即可． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解得：， 故选：A． 考点3：列二次函数关系式 【典型例题】 长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先根据周长，将长方形的另一边表示出来，再根据长方形的面积=长×宽，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得： ∵长方形的周长为，其中一边为， ∴长方形的另一边长为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握长方形的面积计算方法. 【变式训练1】 一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（    ） A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2 【答案】D 【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式． 【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定． 【变式训练2】 某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，与之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，列出函数关系式即可求解． 【详解】解：每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，则， 故选：C． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：是二次函数，故A选项正确，符合题意； 是一次函数，故B选项错误，不符合题意； 是反比例函数，故C选项错误，不符合题意； ，分母中含有自变量，不是二次函数，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 2．函数是二次函数的条件是（ ） A．a≠0 B．a≠一3 C．a≠3且a≠0 D．a≠3 【答案】D 【分析】根据二次函数解析式中二次项系数不为0，可得≠0，解此方程即可. 【详解】由二次函数的定义可知要使是二次函数，则 ≠0，即≠3. 故选D. 【点睛】考查二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数称为二次函数； 3．已知y=（m+2）+2是关于x的二次函数，那么m的值为（　　　） A．-2 B．2 C．±2 D．0 【答案】B 【分析】根据形如y=a+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案． 【详解】解：∵y=（m+2）+2是y关于x的二次函数， ∴|m|=2且m+2≠0， 解得m=2， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是二次项的系数不能为0． 4．若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0 【答案】A 【分析】根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即得答案． 【详解】解：由题意得： ，则． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键． 5．下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【详解】解：①，不是二次函数； ②，是二次函数； ③，不是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤，是二次函数； 共有2个二次函数， 故选：B． 6．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏． 根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程组，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 故选：C． 7．矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围均正确的是（　　） A．y=﹣x2+6x（3＜x＜6） B．y=﹣x2+12x（0＜x＜12） C．y=﹣x2+12x（6＜x＜12） D．y=﹣x2+6x（0＜x＜6） 【答案】D 【分析】已知一边长为xcm，则另一边长为（6-x）cm，根据矩形的面积公式即可解答． 【详解】解：已知一边长为xcm，则另一边长为（6-x）cm． 则y=x（6-x）化简可得y=-x2+6x，（0＜x＜6）， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是用x表示出矩形的另一边，此题难度一般． 8．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元/件（）时，获取利润元，则与的函数关系为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】当销售价为元件时，每件利润为元，销售量为，根据利润每件利润销售量列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， 故选：D． 【点睛】题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的关键． 二、填空题 9．抛物线 是二次函数，则m= ． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的定义，形如“(a、b、c是常数，且)”的函数就是二次函数，据此可得到关于m的方程，解方程求出m的值． 【详解】解：∵抛物线 是二次函数， ∴ ， ∴ ， 故答案为：3． 10．正方形边长为3，若边长增加，那么面积增加，则与之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】增加的面积新正方形的面积原正方形的面积，把相关数值代入化简即可． 【详解】解：新正方形的边长为，原正方形的边长为3， 新正方形的面积为，原正方形的面积为9， ， 故答案为：． 【点睛】考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键． 11．二次函数，则 ． 【答案】5 【分析】根据二次函数的定义即可求出m的值． 【详解】解：∵是二次函数． ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出方程是解题关键． 12．已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ． 【答案】 3 -5 1 【分析】形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可． 【详解】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1， 故答案为：3，﹣5，1． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键． 13．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ． 【答案】②④/④② 【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断． 【详解】解：①为一次函数； ②为二次函数； ③自变量次数为3，不是二次函数； ④为二次函数； ⑤函数式为分式，不是二次函数． 故答案为②④． 【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键． 14．如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 【答案】敏敏 【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得，，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键． 【详解】解：是二次函数， ， 解得，， 又， 即， ， 故敏敏正确． 15．矩形的长为，宽为，如果将其长与宽都增加，则面积增加，写出与的关系式 ，是的 函数． 【答案】 二次 【分析】根据增加的面积=新面积-原面积即可求解，根据结果的形式可以判断函数类型． 【详解】y=(2+x)(1+x)−2×1=x2+3x，是二次函数. 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键. 三、解答题 16．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理． 【详解】解： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） 2 （2） 0 （3） 1 0 （4） 1 0 0 【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 17．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 【答案】(1)、m=0；(2)、m≠0且m≠1. 【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解． 【详解】解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m=0 解得m=0或m=1 又∵m﹣1≠0即m≠1； ∴当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0 解得m1≠0，m2≠1 ∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数． 【点睛】考点：二次函数的定义；一次函数的定义 18．若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可； （2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为3； （2）把代入函数解析式中得：， 当时，， ∴y的值为． 【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键． 19．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）长方体有6个面，然后根据长方形的面积公式即可得到，再去括号整理即可； （2）把（1）中的除以5即可得到． 【详解】解：（1） ； （2）． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据实际问题确定二次函数关系式，建立二次函数的数学模型来解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第七讲：二次函数 （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：二次函数的相关概念 1.二次函数的定义： 一般地，形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数. 2.判断一个函数是否为二次函数的步骤： (1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式； (2) a，b，c 为常数，且 a≠0； (3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (4) 等式的右边自变量的最高次数为 2. 知识点02：二次函数的一般形式 二次函数的一般形式：y = ax² + bx + c (a≠0) 知识点03：思维导图 考点1：二次函数的识别 【典型例题】 下列函数表达式中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列各式中，二次函数的个数是（　　） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2】 下列实际问题中的与之间的函数解析式是二次函数的是（　　） A．正方体集装箱的体积为，棱长为 B．高为的圆柱形储油罐的体积为，底面圆半径为 C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的质量为千克，单价为元/千克 D．南京与上海之间的距离为，小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶，距上海 考点2：根据二次函数的定义求参数 【典型例题】 若是二次函数，则a的值是（　　） A． B． C．2 D．不能确定 【变式训练1】 若是关于的二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 若函数是关于的二次函数，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 考点3：列二次函数关系式 【典型例题】 长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（    ） A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2 【变式训练2】 某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，与之间的关系为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．函数是二次函数的条件是（ ） A．a≠0 B．a≠一3 C．a≠3且a≠0 D．a≠3 3．已知y=（m+2）+2是关于x的二次函数，那么m的值为（　　　） A．-2 B．2 C．±2 D．0 4．若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0 5．下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 7．矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围均正确的是（　　） A．y=﹣x2+6x（3＜x＜6） B．y=﹣x2+12x（0＜x＜12） C．y=﹣x2+12x（6＜x＜12） D．y=﹣x2+6x（0＜x＜6） 8．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为元/件（）时，获取利润元，则与的函数关系为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 二、填空题 9．抛物线 是二次函数，则m= ． 10．正方形边长为3，若边长增加，那么面积增加，则与之间的函数关系式是 ． 11．二次函数，则 ． 12．已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝ ，一次项系数b＝ ，常数项c＝ ． 13．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ． 14．如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ． 15．矩形的长为，宽为，如果将其长与宽都增加，则面积增加，写出与的关系式 ，是的 函数． 三、解答题 16．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 17．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 18．若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． 19．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多． （1）长方体的长和宽用表示，长方体的表面积的表达式是什么？ （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y（元）表示，那么y的表达式是什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$