第21章 一元二次方程-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（人教版）

第 三 部 分 探 究 先 飞 第三部分 探究先飞 九年级上册前两章预习 第二十一章 一元二次方程 1.一元二次方程的定义及一般形式 (1)定义:等式两边都是整式,只含 (一元),并且未知数的最高次数是 次的方程,叫做一元二次方程. (2)一般形式: ,其中 是二次项, 是二次项系数; 是一次项, 是一次项系数; 是常数项. 2.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法:即利用平方根的定义 解方程.如果方程能化成x2=p 或(mx+n)2 =p(p≥0)的形式,那么可得x=± p 或 mx+n=± p. (2)配方法:通过配成完全平方式的方式 将一元二次方程化为 (n≥0)的形 式,从而求解,这种方法称为配方法. (3)公式法:一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),当 时,它的 根是 .这个式子叫做一元 二次方程的求根公式,利用它解一元二次方 程的方法叫做公式法. (4)分解因式法:把一元二次方程化成两 个一次因式的乘积等于0的形式,再使这两 个一次因式分别等于0,从而实现降次.这种 解法叫做因式分解法. 3.列一元二次方程解实际问题的一般 步骤 (1)审题是指读懂题目,审清题意,了解 已知量和未知量之间的数量关系. (2)设未知数,可分为直接设元和间接 设元. (3)列方程.根据题目中的相等关系列出 方程,这是解决实际问题的关键. (4)解方程.解方程的过程可省略不写. (5)检查并写出答案.检查时既要对求出 的解进行检验,又要检查是否适合题意. 一、填空题 1.已知一元二次方程x2=1- 2x,则 a= ,b= ,c= , b2-4ac= . 2.写出一个有实数根的一元二次方程: . 3.一元二次方程x2-2x-2=0的解是 . 4.如果2x2+1与4x2-2x-5互为相 反数,则x 的值为 . 67 第 三 部 分 探 究 先 飞 5.已知y=x2-3x+2,当x= 时,y的值等于0;当x= 时,y 的值 等于2. 6.(郴州中考题)已知关于x 的一元二 次方程x2+bx+b-1=0有两个相等的实 数根,则b的值是 . 7.(镇江中考题)写一个你喜欢的实数 m 的值 ,使关于x 的一元二次方程 x2-x+m=0有两个不相等 的实数根. 8.方程x2+3x-4=0的两个实数根为 x1,x2,则x1·x2= . 9.我们赋予“※”一个实际含义,规定 a※b=ab+4,且x※(x-2)=12,则x= . 10.在等腰△ABC 中,三边分别为a,b, c,其中a=5,若关于x 的方程x2+(b+2)x +6-b=0有两个相等的实数根,则△ABC 的周长是 . 二、选择题 11.方程2x2=3(x-2)化为一般形式 后二次项系数、一次项系数和常数项分别是 ( ) A.2,3,-6 B.2,-3,-6 C.2,-3,6 D.2,3,6 12.关于x 的方程(a2-3)x2+(a-3) x+2a-1=0是一元二次方程的条件是 ( ) A.a≠0 B.a≠3 C.a≠ 3 D.a≠± 3 13.已知一元二次方程x2-2x-m=0, 用配方法解该方程,配方后的方程为 ( ) A.(x-1)2=m2+1 B.(x-1)2=m-1 C.(x-1)2=1-m D.(x-1)2=m+1 14.(枣庄中考题)若一元二次方程x2+ 2x+m=0有实数根,则m 的取值范围是 ( ) A.m≤-1 B.m≤1 C.m≤4 D.m≤ 1 2 15.若关于x 的一元二次方程(k-1)x2 -2x+1=0有两个不相等的实数根,则k 的 取值范围是 ( ) A.k<-2 B.k<2 C.k>2 D.k<2且k≠1 16.下列方程没有实数根的是 ( ) A.x2-x-1=0 B.x2-6x+5=0 C.x2-23x+3=0 D.2x2+x+1=0 17.一元二次方程x2-5x+6=0的一 个实数根x1=2,则另一个实数根x2 为 ( ) A.3 B.-3 C.6 D.-6 18.一个小组若干人,新年互送贺卡,若 全组共送贺卡72张,则这个小组共 ( ) A.12人 B.18人 C.9人 D.10人 19.若关于x 的一元二次方程2x2-2x +3m-1=0的两个实数根为x1,x2,且x1· x2>x1+x2-4,则实数m 的取值范围是 ( ) A.m>- 5 3 B.m≤ 1 2 C.m<- 5 3 D.- 5 3<m≤ 1 2 20.已知一个三角形的两边长是方程 x2-8x+15=0的两根,则第三边长y 的取 77 第 三 部 分 探 究 先 飞 值范围是 ( ) A.y<8 B.3<y<5 C.2<y<8 D.无法确定 三、解答题 21.解下列方程: (1) 1 3 (2x+1)2= 1 6 (2)x- 3=3x(3-x) (3)3x2-9x+5=0 (4)x2-2(3+ 5)x+415=0 22.已知关于x 的一元二次方程x2+ mx-6=0. (1)求证:不论m 为何实数,方程总有两 个不相等的实数根; (2)若m=1,用配方法解这个一元二次 方程. 23.阅读后解答问题. 解方程:2x2-3x-2=0 解:2x2-3x-2=0, 拆项,分组得2x2-4x+x-2=0, 提公因式,得2x(x-2)+(x-2)=0, 再提公因式,得(x-2)(2x+1)=0, 所以x-2=0或2x+1=0. 即x1=2,x2=- 1 2. 运用以上分解法解方程6x2+7x-3 =0. 87 第 三 部 分 探 究 先 飞 24.为庆祝百货商场开业十周年,商场 将某种商品的售价从原来的每件40元经两 次调价后调至每件32.4元. (1)若该商场两次降价率相同,求这个降 价率; (2)经调查,该商品原来降价0.2元,即 可多销售10件.若该商品原来每月可销售 500件,那么两次调价后,每月可销售该商品 多少件? 25.平地秋千未起,踏板一尺离地.送行 二步(一步等于五尺)与人齐,五尺人高曾记. 仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好 奇,算出索长有几? 26.根据如图所示的程序计算. (1)选取一个你喜欢的x 的值,输入计 算,试求输出的y 值是多少? (2)是否存在这样的x 的值,输入计算 后始终在内循环计算而输不出y 的值? 如 果存在,请求出x 的值;如果不存在,请说明 理由. 27.已知下列n(n 为正整数)个关于x 的一元二次方程: x2-1=0 ① x2+x-2=0 ② x2+2x-3=0 ③ …… x2+(n-1)x-n=0 ○n (1)请解上述一元二次方程①,②,③,○n; (2)请你指出这n 个方程的根具有什么 共同特点,写出一条即可. 97 入10个小球时有水溢出. 6.解:(1)从条形统计图上看,甲组的成 绩分别为3,6,6,6,6,6,7,8,9,10,因此甲组 中位数为6,乙组的成绩分别为5,5,6,7,7,8, 8,8,8,9,平均分为 1 10 (5×2+6+7×2+8× 4+9)=7.1(分),故填表如下: 组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 6.7 6 3.41 90% 20% 乙组 7.1 7.5 1.69 80% 10% (2)观察上表可知,甲组的中位数是6,乙 组的中位数是7.5,小明得7分,超过甲组的中 位数,低于乙组的中位数,所以应该是甲组的 学生; (3)从统计图和表格中可以看出:乙组的 平均分、中位数都高于甲组,方差小于甲组,且 集中在中上游,所以乙组成绩好于甲组. 二、八年级综合检测 一、1.a2b(a-3)2 2.0 3. 1 x 0 (答案不 唯一) 4.-8 5.6500000 6.1400 7.24℃ 8.2.3 9. 7 8cm 10.②③ 二、11.C 12.A 13.C 14.A 15.A 16.D 17.B 三、18.(1)提示:由 AE=BC,∠A=∠B, AF=BD,证明△AEF≌△BCD. (2)由(1)得∠AFE=∠BDC,∴EF∥ CD. 19.解:(1)燃气公司 给 储 气 罐 注 入 了 10000-2000=8000(米3)天然气,填8000; (2)令y=kx+b(x≥8.5), 依 题 意,得 8.5k+b=10000 10.5k+b=8000{ ,解 得 k=-1000 b=18500{ , ∴所 求 函 数 解 析 式 为 y=-1000x+ 18500(x≥8.5); (3)①∵20辆车的加气总量为:20×20= 400(米3), ∴储 气 罐 的 剩 气 量 为 10000-400= 9600(米3).填9600; ②9:00之前能加完气. 理由:当 y =9600 时,则 有 9600= -1000x+18500,解得x=8.9, 即8.9时(8时54分)20辆车加完气, ∵8.9<9,∴在当天9:00之前能给20辆车加 完气. 第三部分 探究先飞 九年级上册前两章预习 第二十一章 一元二次方程 要点回顾 1.(1)一个未知数 二 (2)ax2+bx+c =0(a≠0) ax2 a bx b c 2.(2)(x +m)2 =n (3)b2 -4ac≥0 x = -b± b2-4ac 2a 预习检测 一、1.1 2 -1 6 2.略(答案不唯一) 3.x=1± 3 4.- 2 3 或1 5.1或2 0或 3 6.2 7.0(答案不唯一) 8.-4 9.4或 -2 10.12 二、11.C 12.D 13.D 14.B 15.D 16.D 17.A 18.C 19.D 20.C 三、21.(1)x1= -2+ 2 4 ,x2= -2- 2 4 (2)x1=3,x2=- 1 3 ·41· (3)x1= 9+ 21 6 ,x2= 9- 21 6 (4)x1=23,x2=25 22.(1)证明:Δ=b2-4ac=m2-4×1× (-6)=m2+24. 因为m2≥0,所以m2+24>0. 即Δ>0, 所以不论m 为何实数,方程总有两个不 相等的实数根. (2)解:若m=1,用配方法解方程x2+x -6=0如下: 移项得x2+x=6, 配方得x2+x+ 1 4=6+ 1 4 , (x+12 ) 2 = 25 4 , x+ 1 2=± 5 2 , x+ 1 2= 5 2 或x+ 1 2=- 5 2 , ∴x1=-3,x2=2. 23.解:6x2+7x-3=0,拆项,分组得 6x2+9x-2x-3=0,提公因式得3x(2x+3) -(2x+3)=0,再提公因式得(2x+3)(3x- 1)=0,即2x+3=0或3x-1=0,∴x1= - 3 2 ,x2= 1 3. 24.解:(1)设这种商品的降价率为x,根 据题意得 40(1-x)2=32.4 (1-x)2=0.81 1-x=±0.9 解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意, 舍去) 所以这个降价率为10%. (2)(40-32.4)÷0.2=7.6÷0.2=38. 500+38×10=880(件) 所以两次调价后,每月可销售该商品880 件. 25.解:如图,设OA=OB=x 为索长,则 在直角△OBE 中,OB=x,BE=CD=10,OE =OA+AC-CE=OA+AC-BD=x+1- 5=x-4,由勾股定理得x2=102+(x-4)2, 解得x=14.5,即索长一丈四尺五寸. 26.解:(1)答案不唯一,如x=3时,y= 2x2-4=14. (2)存在,当y=x,且y<0时,输入x 计 算后始终输不出y 的值. 此时x=2x2-4, 即2x2-x-4=0, 解得x1= 1+ 33 4 ,x2= 1- 33 4 . ∵ 1+ 33 4 >0 ,1- 33 4 <0. ∴x= 1- 33 4 为所求的x 的值, 此时输入计算后始终输不出y 的值. 27.解:(1)①(x+1)(x-1)=0,所以x1= -1,x2=1.②(x+2)(x-1)=0,所以x1= -2,x2=1.③(x+3)(x-1)=0,所以x1= -3,x2=1.……○ n (x+n)(x-1)=0,所以 x1=-n,x2=1. (2)比如:共同特点是:都 有一个根为1;都有一个根为负整数;两个根 都是整数根等. ·51·