专项训练5 判断与说理题-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（人教版）

第 二 部 分 整 合 提 升 专项训练五 判断与说理题 1.如图,点G,E,F 分别在平行四边形 ABCD 的边AD,DC 和BC 上,DG=DC, CE=CF,点 P 是 射 线GC 上 一 点,连 接 FP,EP. 求证:FP=EP. 2.如图,ABCD 是平行四边形,P 是CD 上一 点,且 AP 和 BP 分 别 平 分 ∠DAB 和∠CBA. (1)求∠APB 的度数; (2)如 果 AD=5cm,AP=8cm,求 △APB 的周长. 3.如果一个正整数能表示为两个连续 偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘 数”.如:4=22-02,12=42-22,20=62-42. 因此4,12,20这三个数都是神秘数. (1)28和2012这两个数是神秘数吗? 为什么? (2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其 中k取非负整数).由这两个连续偶数构造的 神秘数是4的倍数吗? 为什么? (3)两个连续奇数的平方差(取正数)是 神秘数吗? 为什么? 4.已知:如图,四边形ABCD 的对角线 AC,BD 交于点O,BE⊥AC 于E,DF⊥AC 于F,点 O 既 是 AC 的 中 点,又 是 EF 的 中点. (1)求证:△BOE≌△DOF; (2)若OA= 1 2BD ,则四边形ABCD 是 什么特殊四边形? 说明理由. 96 第 二 部 分 整 合 提 升 5.某超市销售一种新鲜酸奶,此酸奶以 每瓶3元购进,5元售出.这种酸奶的保质期 不超过一天,对当天未售出的酸奶必须全部 做销毁处理. (1)该超市某一天购进20瓶酸奶进行销 售.若设售出酸奶的瓶数为x(瓶),销售酸奶 的利润为y(元),写出这一天销售酸奶的利 润y(元)与售出的瓶数x(瓶)之间的函数关 系式.为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏 本,当天至少应售出多少瓶? (2)小明在社会调查活动中,了解到近 10天当中,该超市每天购进酸奶20瓶的销 售情况统计如下: 每天售出瓶数 17 18 19 20 频数 1 2 2 5 根据上表,求该超市这10天每天销售酸 奶的利润的平均数; (3)小明根据(2)中10天酸奶的销售情 况统计,计算得出在近10天当中,其实每天 购进19瓶总获利要比每天购进20瓶总获利 还多.你认为小明的说法有道理吗? 试通过 计算说明. 6.如图(1),在正方形ABCD 中,点E, F 分别为边BC,CD 的中点,AF,DE 相交 于点G,则可得结论:①AF=DE;②AF⊥ DE.(不需要证明) (1)如图(2),若点 E,F 不 是 正 方 形 ABCD的边BC,CD 的中点,但满足CE= DF.则上面的结论①,②是否仍然成立? (请 直接回答“成立”或“不成立”) (2)如图(3),若点E,F 分别在正方形 ABCD 的边CB 的延长线和DC 的延长线 上,且CE=DF,此时上面的结论①,②是否 仍然成立? 若成立,请写出证明过程;若不成 立,请说明理由; (3)如图(4),在(2)的基础上,连接AE 和EF,若点 M,N,P,Q 分别为AE,EF, FD,AD 的中点,请判断四边形 MNPQ 是 “矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种? 并写出证明过程. 07 (2)平均数:11.6吨 中位数:11吨 众数:11吨 (3) 20+40+10 100 ×500=350 (户) 答:用水量不超过12吨的用户约有350 户. 专项训练五 判断与说理题 1.证明:∵DG=DC, ∴∠DGC=∠DCG. ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠DGC=∠GCB, ∴∠DCG=∠GCB, ∴∠FCP=∠ECP. ∵CF=CE,CP=CP, ∴△FCP≌△ECP, ∴FP=EP. 2.解:(1)∵ABCD 是平行四边形, ∴AD∥CB,AB∥CD, ∴∠DAB+∠CBA=180°. 又∵AP 和 BP 分 别 平 分 ∠DAB 和 ∠CBA, ∴ ∠PAB + ∠PBA = 1 2 (∠DAB + ∠CBA)=90°, 在△APB 中, ∠APB=180°-(∠PAB+∠PBA)= 90°. (2)∵AP 平分∠DAB 且AB∥CD, ∴∠DAP=∠PAB=∠DPA, ∴△ADP 是等腰三角形, ∴AD=DP=5cm, 同理PC=CB=5cm, 即AB=DP+PC=10cm, 在 Rt△APB 中,AB =10cm,AP = 8cm, ∴BP= 102-82=6(cm), ∴△APB 的周长是6+8+10=24(cm). 3.解:(1)28和2012都是神秘数.28= 82-62,2012=5042-5022. (2)是.(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1),因 此由两个连续偶数2k+2和2k 构造的神秘 数是4的倍数. (3)不是.由(2)知,神秘数可以表示成 4(2k+1),因为2k+1是奇数,因此神秘数是 4的倍数,但一定不是8的倍数.另一方面,设 两个连续奇数为2n+1和2n-1,则(2n+1)2 -(2n-1)2=8n,即两个连续奇数的平方差 是8的倍数.因此,两个连续奇数的平方差不 是神秘数. 4.(1)证明:∵BE⊥AC,DF⊥AC, ∴∠BEO=∠DFO=90°. 又∵∠EOB=∠FOD,OE=OF, ∴△BOE≌△DOF(ASA). (2)解:四边形ABCD 是矩形,理由如下: ∵△BOE≌△DOF, ∴OB=OD. 又∵OA=OC, ∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵OA= 1 2BD ,OA= 1 2AC , ∴BD=AC, ·21· ∴▱ABCD 是矩形. 5.解:(1)由题意知,这一天销售酸奶的 利润y(元)与售出的瓶数x(瓶)之间的函数 关系式为:y=5x-60. 当5x-60≥0时,x≥12. ∴当天至少应售出12瓶酸奶超市才不亏 本. (2)在这10天当中,利润为25元的有1 天,30元的有2天,35元的有2天,40元的有 5天. ∴这10天中,每天销售酸奶的利润的平 均数为(25+30×2+35×2+40×5)÷10= 35.5(元) (3)小明的说法有道理. ∵在这10天当中,每天购进20瓶获利共 计355元. 而每天购进19瓶酸奶销售的利润y(元) 与售出的瓶数x(瓶)之间的函数关系式为: y=5x-57, 在10天当中,利润为28元的有1天,33 元的有2天,38元的有7天. 总获利为28+33×2+38×7=360>355. ∴小明的说法有道理. 6.(1)成立 (2)解:成立 ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ ∠ADF=∠DCE=90°,AD=CD.又∵ EC=DF,∴ △ADF≌ △DCE.∴ ∠E= ∠F,AF=DE.又∵ ∠E+∠CDE=90°, ∴ ∠F + ∠CDE =90°.∴∠FGD =90°. ∴AF⊥DE. (3)正方形 证明:∵ AM=ME,AQ= DQ,∴ MQ∥ED,MQ= 1 2ED. 同理 NP∥ ED,NP= 1 2ED.∴MQ􀱀NP.∴ 四边形MN- PQ 是平行四边形.又∵ME=MA,NE=NF, ∴MN ∥AF,MN = 1 2AF. 又∵AF=ED, ∴MQ=MN.∴平行四边形 MNPQ 是菱形. ∵AF⊥ED,MQ∥ED,∴AF⊥MQ.又∵ MN∥AF,∴MN ⊥MQ.∴ ∠QMN =90°. ∴ 菱形MNPQ 是正方形. 专项训练六 新题型 1.(1)1 1 (2)代数式为:(n2+n)÷n- n 化简结果为1 2.解:(1)132-52=8×18,112-32=8× 14.(答案不唯一) (2)规律:任意两个奇数的 平方差等于8的倍数. (3)设m,n 为整数,两 个奇数可表示为2m+1和2n+1,则(2m+1)2 -(2n+1)2=4(m-n)(m+n+1),当m,n 同 是奇数或偶数时,m-n一定为偶数,所以4(m -n)一定是8的倍数.当m,n 一奇一偶时,则 m+n+1一定为偶数,所以4(m+n+1)一定 是8的倍数.所以,任意两奇数的平方差是8的 倍数. 3.(1)y 与x 之间的函数关系式为y= 1.5x+4.5. (2)桌面上12个整齐叠放的饭碗 的高度是22.5cm. 4.解:(1)W=12x+10(10-x)=100+ 2x,y=240x+200(10-x)=2000+40x. (2) 100+2x≤106 2000+40x≥2040{ ,解得1≤x≤3, 所以有三种方案:①A 型1台,B 型9台;②A 型2台,B 型8台;③A 型3台,B 型7台.最 少需要102万元. 5.解:(1)2 (2)设y=kx+b,把(0,30),(3,36)代入 得 b=30 3k+b=36{ ,解得 k=2 b=30{ ,即y=2x+30. (3)由2x+30>49,得x>9.5,即至少放 ·31·