(八下)第19章 一次函数-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（人教版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第十九章 一次函数 1.常量与变量 在一个变化过程中,数值 是常量.常量的值在变化过程中是固定不变的 常数.在一个变化过程中,数值发生变化的量 是变量. 2. 函数 一般地,在一个变化过程中,如果有两个 变量x 与y,并且对于x 的每一个确定的值, y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就 说x 是 变量,y 是 变量,y 是x 的函数. 3. 函数的图像 一般地,对于一个函数,如果把自变量与 函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标, 那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是 这个函数的图像. 4. 正比例函数 一般地,形如 (k 是常数, )的函数,叫做正比例函数,其中k 叫做 比例系数. 正比例函数的图像是一条经过原点与 (1,k)的直线,通常把函数y=kx(k≠0)称 为直线y=kx(k≠0). 5. 一次函数 (1)一般地,形如 (k,b是常数, k≠0)的函数是一次函数. (2)一次函数的图像是一条直线(一般称 直线y=kx+b). (3)一次函数的增减性. ①k>0⇔y 随x 的增大而 ,随 x 的减小而 ⇔从左向右上升,从右 向左下降. ②k<0⇔y 随x 的增大而 ,随 x 的减小而 ⇔从左向右下降,从右 向左上升. 6. 求一次函数表达式的步骤 (1)设出函数的表达式y=kx+b(正比 例函数可设为y=kx). (2)根据已知条件求出k,b的值. (3)把k,b 还原到函数表达式中,写出 所求函数表达式. 这种方法也是我们求其他特殊函数表达 式的一般方法,人们通常称它为 . 7. 用函数观点看方程(组)与不等式 (1)直线y=kx+b 与x 轴的 是一元一次方程kx+b=0的解. (2)使一次函数y=kx+b 的函数值y >0(或y<0)的自变量相应的取值范围,就 是一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0) 的解集. (3)从“数”的角度看,解方程组相当于考 虑自变量为何值时两个函数的值相等,以及 这个函数值是何值;从“形”的角度看,解方程 组相当于确定两条直线的交点的坐标. 例1 函数y= 1 x+1 的自变量x 的取值 范围是 ( ) A.x>-1 B.x<-1 C.x≠-1 D.x≠1 解析:由 分 母 不 为 零,得x+1≠0,即 x≠-1. 64 第 一 部 分 夯 实 基 础 答案:C 评注:此题考查函数自变量的取值范围. 涉及分式,需注意分母不为0. 例2 某天,小华走路去学校,开始他以 较慢的速度匀速前进,然后他越走越快走了 一段时间,最后他以较快的速度匀速前进到 达学校.小华走路的速度v(米/分钟)是时间 t(分钟)的函数,能正确反映这一函数关系的 大致图像是 ( ) 解析:开始以较慢的速度匀速前进,说明 速度保持不变,即图像是一条平行于x 轴的 线段;然后越走越快走了一段时间,说明这段 时间,速度随时间的增加而增大,说明此段图 像是一条由左斜向右上的线段;最后以较快 的速度匀速到达学校,说明图像也是一条平 行于x 轴的线段,位置高于第一段,且三段 是依次连接的. 答案:A 评注:这是一道中考高频题,关键是要理 解在不同的条件下两个变量的对应关系. 例3 已知直线经过点(1,2)和点(3, 0),求这条直线的解析式. 解析:设直线的解析式是y=kx+b(k ≠0),采用待定系数法将两点(1,2)和(3,0) 代入构建方程组求解直线的解析式. 答案:解:设这条直线的解析式是y=kx +b(k≠0),因为直线经过点(1,2)和点(3, 0),根据题意,得 k+b=2, 3k+b=0,{ 解得 k=-1, b=3,{ ∴这条直线的解析式为y=-x+3. 评注:确定一次函数的表达式需要两个 已知条件.解答本题时,只需利用待定系数 法,构造出相应的二元一次方程组求解. 例4 一次函数y=-3x-2的图像不 经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:一次函数y=ax+b 的图像分布 有下列四种情况:①当a>0,b>0时,函数 图像经过第一、二、三象限;②当a>0,b<0 时,函数图像经过第一、三、四象限;③当a< 0,b>0时,函数图像经过第一、二、四象限; ④当a<0,b<0时,函数图像经过第二、三、 四象限.本题中k=-3<0,b=-2<0,因此 它属于第④种情况,故不经过第一象限. 答案:A 评注:本题主要考查学生对一次函数性 质的掌握程度,解一次函数图像性质有关的 问题时,应注意以下两点:一次函数图像分布 特征与k,b的符号之间的关系;一次函数图 像的增减性与k的符号之间的关系. 例5 平安加气站某日8:00的储气量 为10000立方米.从8:00开始,3把加气枪同 时以每车20立方米的加气量,依次给在加气 站排队等候的若干辆车加气.8:30时,为缓 解排队压力,又增开了2把加气枪.假如加气 过程中每把加气枪加气的速度是匀速的,在 不关闭加气枪的情况下,加气站的储气量 y(立方米)与时间x(小时)的函数关系用下 图中的折线ABC 所示. 74 第 一 部 分 夯 实 基 础 (1)分别求出8:00~8:30及8:30之后 加气站的储气量y(立方米)与时间x(小时) 的函数关系式; (2)前30辆车能否在当天8:42之前加 完气? (3)若前n 辆车按上述方式加气,它们 加完气的时间要比不增开加气枪加完气的时 间提前1个小时,求n 的值. 解析:(1)用待定系数法求出8:00~8:30 及8:30之后的函数关系式;(2)由题意可求出 加气站的储气量y 的值,把y 的值代入到 (1)中8:30之后的函数关系式y=-1000x +10200中,进而求出x 的值,再和42分钟 进行比较;(3)此问为一次函数和方程(方程 组)结合的应用题,解题的关键是找出等量关 系,n 辆车加气量是不变的,加完气后的储气 量也是不变的. 答案:解:(1)y=-600x+10000(0≤x ≤0.5),y=-1000x+10200(0.5<x≤10.2) (2)30×20=600(立方米) 10000-600=9400(立方米) 将y=9400代入y=-1000x+10200 得9400=-1000x+10200 ∴x=0.8 0.8×60分=48分>42分 ∴前30辆车不能在8:42之前加完气. (3)设n 辆车按上述方式加气用了x 小 时.则不增开加气枪所需时间为(x+1)小时. -1000x +10200= -600(x +1) +10000 解得x=2 当 x = 2 时,y = 8200, ∴ n = 10000-8200 20 =90. 评注:读懂图像上每一条线段的含义是 解答此题的关键,而待定系数法是求函数解 析式最常用的方法,建立方程或方程组模型 是解决此类题目常用的方法. 一、填空题 1.已知函数y=kx 的图像过点(1,6), 那么k= . 2.一盒装冰激凌售价为18元,内装6支 小冰激凌,请写出冰激凌售价y(元)与x (支)之间的函数关系式 . 3.(上海中考题)李老师开车从甲地到 相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y (升)与行驶里程x(千米)之间是一次函数关 系,其图像如图所示,那么到达乙地时油箱剩 余油量是 升. 4.已知一次函数y=kx+b的图像如图 所示,当x<1时,y 的取值范围是 . 84 第 一 部 分 夯 实 基 础 5.小明解题时因为马虎把一次函数y= kx+b(b>0)抄成了y=kx-b,结果画出的 图像与y 轴的交点的位置和原函数的图像 与y 轴的交点的位置相差6个单位长度,则 b= . 6.如图描述了一汽车在某一笔直公路 上的行驶过程中,汽车离出发地的距离s(千 米)和行驶时间t(小时)之间的函数关系,根 据题中提供的信息,给出下列说法: ①汽车共行驶了120千米; ②汽车在行驶途中停留了0.5小时; ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 160 3 千米/时; ④汽车自出发后3小时至4.5小时之间 行驶的速度在逐渐减小. 其中,正确的说法有 (只填正确 判断的序号). 二、选择题 7.圆的周长公式C=2πr中 ( ) A.C 是常量,2是常数,π与r是变量 B.C 是变量,2是常量,π与r是常量 C.C,π,r是变量,2是常量 D.C 与r是变量,2与π是常量 8.(德州中考题)甲、乙两人在一次百米 赛跑中,路程s(米)与赛跑时间t(秒)的关系 如图所示,则下列说法正确的是 ( ) A.甲、乙两人的速度相同 B.甲先到达终点 C.乙用的时间短 D.乙比甲跑的路程多 9.甲、乙两人准备在一段长为1200米的 笔直公路上进行跑步,甲、乙跑步的速度分别 为4m/s和6m/s,起跑前乙在起点,甲在乙 前面100米处,若同时起跑,则两人从起跑至 其中一人先到达终点的过程中,甲、乙两人之 间的距离y(m)与时间t(s)的函数图像是 ( ) 10.若一次函数y=kx+b 的函数值y 随x 的增大而减小,且图像与y 轴的负半轴 相交,那么对k和b的符号判断正确的是 ( ) A.k>0,b>0 B.k>0,b<0 C.k<0,b>0 D.k<0,b<0 11.如图,直线y1=k1x+a 与y2=k2x +b的交点坐标为(1,2),则使y1<y2的x 的取值范围为 ( ) A.x>1 B.x>2 C.x<1 D.x<2 94 第 一 部 分 夯 实 基 础 三、解答题 12.已知y 与x-2成正比例,并且当 x=1时,y=2. (1)求y 与x 之间的函数关系式; (2)如果这个函数的图像经过点(3,n), 求n 的值. 13.汽车油箱中的余油量Q(升)与它行 驶的时间t(小时)之间的关系如下表: 余油量Q/L 60 50 40 30 20 … 行驶时间t/h 0 2 4 6 8 … (1)求油箱中的余油量Q 与行驶时间t 的函数关系式; (2)从开始行驶算起,如果汽车每小时行 驶40千米,当油箱中的油耗尽时,该汽车行 驶了多少千米? 14.快、慢两车分别从相距360千米的 甲、乙两地同时出发,匀速行驶,先相向而行, 快车到达乙地后,停留1小时,然后按原路原 速返回,快车比慢车晚1小时到达甲地.快、 慢两车距各自出发地的路程y(千米)与出发 后所用的时间x(小时)的关系如图所示. 请结合图像信息解答下列问题: (1)快、慢两车的速度各是多少? (2)出发后多少小时,快、慢两车距各自 出发地的路程相等? (3)直接写出在慢车到达甲地前,快、慢 两车相距的路程为150千米的次数. 1.(上海中考题)将直线y=2x-4向上 平移5个单位后,所得直线的表达式是 . 2.如果正比例函数y=3x 和一次函数 y=2x+k 的图像交点在第三象限,那么k 的取值范围是 ( ) A.k<0 B.k>0 C.-3<k<0 D.不能确定 05 第 一 部 分 夯 实 基 础 3.(天津中考题)如图是一对变量满足 的函数关系的图像.有下列3个不同的问题 情境: ①小明骑车以400米/分的速度匀速骑 了5分,在原地休息了4分,然后以500米/分 的速度匀速骑回出发地,设时间为x 分,离 出发地的距离为y 千米; ②有一个容积为6升的开口空桶,小亮 以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水,注 5分后停止,等4分后,再以2升/分的速度 匀速倒空桶中的水,设时间为x 分,桶内的 水量为y 升; ③矩形ABCD 中,AB=4,BC=3,动点 P 从点A 出发,依次沿对角线AC、边CD、 边DA 运动至点A 停止,设点P 的运动路程 为x,当点P 与点A 不重合时,y=S△ABP;当 点P 与点A 重合时,y=0. 其中,符合图中所示函数关系的问题情 境的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 1.(汕尾中考题)汽车以60千米/时的速 度在公路上匀速行驶,1小时后进入高速路, 继续以100千米/时的速度匀速行驶,则汽车 行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(小时) 的函数关系的大致图像是 ( ) 2.(徐州中考题)将函数y=-3x 的图 像沿y 轴向上平移2个单位后,所得图像对 应的函数关系式为 ( ) A.y=-3x+2 B.y=-3x-2 C.y=-3(x+2) D.y=-3(x-2) 3.(烟台中考题)如图,已知函数y=2x +b与函数y=kx-3的图像交于点P,则不 等式kx-3>2x+b的解集是 . 4.(武汉中考题)一次越野跑中,当小明 跑了1600米时,小刚跑了1400米.小明、小刚 在此后所跑的路程y(米)与时间t(秒)之间 的函数如图所示,则这次越野跑的全程为 . 15 中点 (2)平行于 第三边 基础过关 一、1.6 2.答案不唯一,如:BF=CF 3. 25 4 4.12 5.4 3 6.20 7.相等 8.90° 二、9.A 10.A 11.C 12.B 13.C 14.C 三、15.证明:(1)∵BE=CF, BF=BE+EF,CE=CF+EF, ∴BF=CE. ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB=DC. 在△ABF 和△DCE 中, ∵AB=DC,BF=CE,AF=DE, ∴△ABF≌△DCE. (2)∵△ABF≌△DCE, ∴∠B=∠C. ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD. ∴∠B+∠C=180°. ∴∠B=∠C=90°. ∴四边形ABCD 是矩形. 16.(1)证明:在矩形ABCD中,有AB∥ CD,∴∠BEO=∠DFO,∠EBO=∠FDO. 又∵BO=DO,∴△BOE≌△DOF. (2)当EF 与AC 垂直时,四边形AECF 是菱形. 证明:∵△BOE≌△DOF,∴EO=FO. ∵OA=OC,∴四边形 AECF 是平行四 边形. 又∵EF⊥AC,∴四边形AECF 是菱形. 17.(1)利用SAS证明△ADF≌△CBE 可得AD=CB,∠DAF=∠BCE,再根据AD ∥CB 可证. (2)24 综合提升 1.C 2.B 3.D 4.①7 ②E 5.(1)证明:在正方形 ABCD 中,AO= BO,∠AOB=90°,∠OAB=∠OBC=45°, ∵∠AOE+∠EOB=90°,∠BOF+∠EOB =90°,∴∠AOE=∠BOF. 在△AOE 和△BOF 中, ∠OAE=∠OBF OA=OB ∠AOE=∠BOF ì î í ï ï ï ï ,∴△AOE≌△BOF. (2)解:两个正方形重叠部分面积等于 1 4a 2, ∵△AOE ≌ △BOF,∴S四边形OEBF =S△EOB + S△OBF=S△EOB+S△AOE=S△AOB= 1 4S正方形ABCD= 1 4a 2. 中考热身 1.B 2.C 3.C 4.AB=AD 或AB=BC 或AC⊥BD 等 第十九章 一次函数 要点回顾 1.始终不变的量 2.自 因 4.y=kx k≠0 5.(1)y=kx+b (3)①增大 减小 ②减小 增大 6.待定系数法 7.(1)交 点的横坐标 基础过关 一、1.6 2.y=3x 3.20 4.y<-2 5.3 6.②③ 二、7.D 8.B 9.C 10.D 11.C 三、12.解:(1)设y=k(x-2),由题意得 2=k(1-2),解得k=-2, ∴y 与x 之间的函数关系式是y=-2(x -2)(或y=-2x+4). (2)∵函数图像经过点(3,n), ∴n=-2×3+4,解得n=-2. ·7· 13.解:(1)根据题意,得余油量Q 与行驶 时间t的函数关系为一次函数, 所以Q=kt+b,因为点(0,60),(2,50)在 函数图像上, 所以 b=60 2k+b=50{ ,解得 k=-5 b=60{ , 所以Q=-5t+60. (2)当Q=0时,-5t+60=0,解得t= 12, 当t=12时,汽车行驶的路程为12×40 =480(千米). 14.解:(1)快车的速度是:360÷ 7-1 2 = 120(km/h);慢车的速度是:360÷(7-1)= 60(km/h).答:快、慢 两 车 的 速 度 分 别 是 120km/h、60km/h. (2)由题意得:OE 的解析式为:y=60x, BD 的解析式为:y=-120x+840.联立成方 程组可解得 x= 14 3 y=280 ì î í ïï ïï ,∴出发后 14 3 小时,快、慢 两车距各自出发地的路程相等. (3)3次. 综合提升 1.y=2x+1 2.A 3.C 中考热身 1.C 2.A 3.x<4 4.2200米 第二十章 数据的分析 要点回顾 1. x1w1+x2w2+…+xnwn w1+w2+…+wn 2. 出现次 数最多的数据 3.由小到大(或由大到小) 中间位置 中间两个数据的平均数 基础过关 一、1.3 2.5 3.甲 4.张瑛 5.应多进M 号的运动服(合理即可) 6.160cm 160cm 3.5cm2 3cm2 乙 7.张军 二、8.C 9.A 10.C 11.C 12.A 13.D 14.A 15.C 16.B 三、17.解:(1)应聘者A 总分为86分;应聘 者B 总分为82分;应聘者C 总分为81分;应 聘者D 总分为82分. (2)4位应聘者的专业知识测试的平均分 数x1=85, 方差为:s21= 1 4 [(85-85)2+(85-85)2 +(80-85)2+(90-85)2]=12.5. 4位应聘者的英语水平测试的平均分数 x2=87.5, 方差为:s22= 1 4×2.5 2×4=6.25. 4位应聘者参加社会实践与社团活动等 的平均分数为x3=70, 方差为:s23= 1 4 [(90-70)2+(70-70)2 +(70-70)2+(50-70)2]=200. (3)应聘者的专业知识、英语水平的差距 不大,但参加社会实践与社团活动等方面的差 距较大,影响学生的最后成绩,将影响学生就 业.学生不仅要注重自己的文化知识的学习, 更应注重社会实践与社团活动的开展,从而促 进学生综合素质的提升.(合理即可) 综合提升 1.82.2分 80分 80分 2.乙 3.A 4.A 5.解:(1)甲运动员在这次测验中平均每 次射中的环数是:(5×4+6×1+8×2+9× 2+10×1)÷10=7(环). (2)①若乙运动员击中9环的子弹数为1 ·8·