(八下)第18章 平行四边形-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（人教版）

AC-BC=DB-BC,即AB=CD②. 23.解:(1)设第一批套尺购进时单价是x 元/套.由题意得: 1500 5 4x - 1000 x =100 ,即1200 x - 1000 x =100 ,解得:x=2.经检验:x=2是所列 方程的解.答:第一批套尺购进时单价是2元/ 套. (2)(10002 + 1500 5 4×2 )×4-(1000+1500)= 1900(元) 答:商店可以盈利1900元. 八年级下册分章复习 第十六章 二次根式 要点回顾 1.二次根号 非负 a≥0 2.(1)算 术平方根的平方 3.(1)分母 (2)能开得尽 4.≥ ≥ 5.≥ > 6.最简二次根式 相同 基础过关 一、1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 二、6.-2a 2b 7. 194 9 3 8.2n 9.> 10.(52+23) 三、11.(1)3m 2n (2)6 (3)-24 3 12.45 综合提升 1.C 2.C 3.A 4.D 5.B 6.D 7.-142 8.(1)3ab 3a (2)12 3a2 9.3 10.0≤x<3 11.-7-52 12.22 13.2+1 14.1 15.解:原式= 2 a2-1 ,当a=3时,原式=1. 16.解:(1)当t=16时,d=7× 16-12 =14; (2)当d=35时,35=7× t-12,t=37. 中考热身 1.C 2.A 3.解:( x +1+ 4x-3) ÷ x-1 x2-3x = (x+1)(x-3)+4 x-3 ·x (x-3) x-1 = (x-1)2 x-3 · x(x-3) x-1 =x (x-1). 把x= 3+1代入x(x-1)中得:(3+ 1)(3+1-1)=3+ 3. 第十七章 勾股定理 要点回顾 1.c2 2.a2+b2=c2 基础过关 一、1.8 2.32 3.合格 4.1 二、5.D 6.B 7.A 8.B 三、9.解:不正确.因为 6 5<2 ,8 5<2 ,且 (65 ) 2 + (85 ) 2 =22,即a2+c2=b2,所以此三角形 为直角三角形. 综合提升 1.25 2.5或 7 3.C 4.C 中考热身 1.C 2.A 3.D 第十八章 平行四边形 要点回顾 2.(1)相等 (2)相等 (3)互相平分 3.(1)分别平行 (2)分别相等 (3)平行且相 等 (4)互相平分 (5)分别相等 4.(1)两边 ·6· 中点 (2)平行于 第三边 基础过关 一、1.6 2.答案不唯一,如:BF=CF 3. 25 4 4.12 5.4 3 6.20 7.相等 8.90° 二、9.A 10.A 11.C 12.B 13.C 14.C 三、15.证明:(1)∵BE=CF, BF=BE+EF,CE=CF+EF, ∴BF=CE. ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB=DC. 在△ABF 和△DCE 中, ∵AB=DC,BF=CE,AF=DE, ∴△ABF≌△DCE. (2)∵△ABF≌△DCE, ∴∠B=∠C. ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD. ∴∠B+∠C=180°. ∴∠B=∠C=90°. ∴四边形ABCD 是矩形. 16.(1)证明:在矩形ABCD中,有AB∥ CD,∴∠BEO=∠DFO,∠EBO=∠FDO. 又∵BO=DO,∴△BOE≌△DOF. (2)当EF 与AC 垂直时,四边形AECF 是菱形. 证明:∵△BOE≌△DOF,∴EO=FO. ∵OA=OC,∴四边形 AECF 是平行四 边形. 又∵EF⊥AC,∴四边形AECF 是菱形. 17.(1)利用SAS证明△ADF≌△CBE 可得AD=CB,∠DAF=∠BCE,再根据AD ∥CB 可证. (2)24 综合提升 1.C 2.B 3.D 4.①7 ②E 5.(1)证明:在正方形 ABCD 中,AO= BO,∠AOB=90°,∠OAB=∠OBC=45°, ∵∠AOE+∠EOB=90°,∠BOF+∠EOB =90°,∴∠AOE=∠BOF. 在△AOE 和△BOF 中, ∠OAE=∠OBF OA=OB ∠AOE=∠BOF ì î í ï ï ï ï ,∴△AOE≌△BOF. (2)解:两个正方形重叠部分面积等于 1 4a 2, ∵△AOE ≌ △BOF,∴S四边形OEBF =S△EOB + S△OBF=S△EOB+S△AOE=S△AOB= 1 4S正方形ABCD= 1 4a 2. 中考热身 1.B 2.C 3.C 4.AB=AD 或AB=BC 或AC⊥BD 等 第十九章 一次函数 要点回顾 1.始终不变的量 2.自 因 4.y=kx k≠0 5.(1)y=kx+b (3)①增大 减小 ②减小 增大 6.待定系数法 7.(1)交 点的横坐标 基础过关 一、1.6 2.y=3x 3.20 4.y<-2 5.3 6.②③ 二、7.D 8.B 9.C 10.D 11.C 三、12.解:(1)设y=k(x-2),由题意得 2=k(1-2),解得k=-2, ∴y 与x 之间的函数关系式是y=-2(x -2)(或y=-2x+4). (2)∵函数图像经过点(3,n), ∴n=-2×3+4,解得n=-2. ·7· 第 一 部 分 夯 实 基 础 第十八章 平行四边形 1.平行四边形 有两组对边分别平行的四边形叫做平行 四边形. 2.平行四边形的性质 (1)平行四边形的对边 . (2)平行四边形的对角 . (3)平行四边形的对角线 . 3.平行四边形的判定 (1)两组对边 的四边形是平行 四边形. (2)两组对边 的四边形是平行 四边形. (3)一组对边 的四边形是平行 四边形. (4)对角线 的四边形是平行四 边形. (5)两组对角 的四边形是平行 四边形. 4.三角形的中位线 (1)定义:连接三角形 的线段叫 做三角形的中位线. (2)性质:三角形的中位线 三角 形的第三边,且等于 的一半. 5.特殊的平行四边形 矩形 菱形 正方形 定 义 有一个内角是直角的平行 四边形叫矩形. 一组邻边相等的平行四边 形叫菱形. 一组邻边相等的矩形叫正 方形. 图 形 矩形ABCD 菱形ABCD 正方形ABCD 性 质 具有平行四边形的一切性质. ①四个角都是直角. ②对角线相等. ①四条边都相等. ②两条对角线互相垂直,并 且每一条对角线平分一组 对角. 具有平行四边形、矩形、菱 形的一切性质. 判 定 方 法 ① 有 三 个 角 是 直 角 的 四 边形. ② 对 角 线 相 等 的 平 行 四 边形. ①四条边都相等的四边形. ②对角线互相垂直的平行 四边形. ①有一个角为直角的菱形. ②对角线垂直且相等的平 行四边形. 根据定义判定是矩形、菱形或正方形. 6.直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 93 第 一 部 分 夯 实 基 础 例1 如图,在▱ABCD 中,E,F 是对 角线BD 上的两点,且BE=DF,连接AE, CF.请你猜想:AE 与CF 有怎样的数量关 系? 并对你的猜想加以证明. 解析:首先利用平行四边形的性质找出 判定△ABE 和△CDF 全等缺少的条件,利 用全等三角形的性质证明AE 和CF 相等. 答案:猜想:AE=CF 证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∴∠ABE=∠CDF. 又∵BE=DF, ∴△ABE≌△CDF. ∴AE=CF. 评注:解答本题的关键是将 AE 与CF 的数量关系问题转化为全等三角形问题来 解答. 例2 如图,△ABC 是等边三角形,点 D,F 分别在线段BC,AB 上,∠EFB=60°, DC=EF. 求证:四边形EFCD 是平行四边形. 解析:要判定四边形EFCD 是平行四边 形,由题目中给出一组对边相等 DC=EF, 可供选择的方法是找另一组对边相等或找已 知相等的对边平行,即DE=FC 或DC∥EF. 答案:证明:∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ABC=60°. 又∵∠EFB=60°, ∴∠ABC=∠EFB, ∴EF∥BC. 又 ∵DC=EF, ∴四边形EFCD 是平行四边形. 评注:运用平行四边形判定证明时,要分 别从边、角、对角线等方面分析,选择恰当的 证明方法来解题. 例3 如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为边 BC 上 一 点,以 AB,BD 为 邻 边 作 ▱ABDE,连接AD,EC. (1)求证:△ADC≌△ECD; (2)若 BD=CD,求证:四边形 ADCE 是矩形. 解析:(1)根据平行四边形的性质、等腰 三角形的性质,利用全等三角形的判定定理 SAS可以证得△ADC≌△ECD;(2)利用等 腰三角形的“三线合一”性质推知AD⊥BC, 即∠ADC=90°;由平行四边形的判定定理 (对边平行且相等的四边形是平行四边形)证 得四边形ADCE 是平行四边形,所以有一个 角是直角的平行四边形是矩形. 答案:证明:(1)∵四边形ABDE 是平行 四边 形,∴AB ∥DE,AB =DE,∴ ∠B =∠EDC. 又∵AB =AC,∴AC=DE,∠B = ∠ACB,∴∠EDC=∠ACD; 在△ADC 和△ECD 中, AC=ED,∠ACD=∠EDC,DC=CD, ∴△ADC≌△ECD(SAS). 04 第 一 部 分 夯 实 基 础 (2)∵四边形ABDE 是平行四边形, ∴BD∥AE,BD=AE, ∴AE ∥CD;又 ∵BD =CD,∴AE =CD, ∴四边形ADCE 是平行四边形; 在△ABC 中,AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°, ∴▱ADCE 是矩形. 评注:证明一个四边形是矩形时,要善于 根据题目所给的条件及图形的特点,选择恰 当的证明方法来解题. 例4 如图,在矩形ABCD 中,M,N 分 别是AD,BC 的中点,P,Q 分别是BM,DN 的中点. (1)求证:△MBA≌△NDC; (2)四边形 MPNQ 是什么样的特殊四 边形? 请说明理由. 解析:(1)借助矩形的性质及中点的性 质,运用边角边定理可判定全等.(2)借助全 等三角形的性质及条件可得一组对边平行且 相等,从而得到平行四边形,再借助直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半,得到邻边 相等,从而证明四边形 MPNQ 是菱形. 答案:(1)证 明:∵ 四 边 形 ABCD 是 矩形, ∴ ∠A = ∠C =90°,AB =CD,AD =BC, ∵M,N 分别是AD,BC 的中点, ∴AM=CN, ∴△MBA≌△NDC. (2)四边形 MPNQ 是菱形. 理由:∵△MBA≌△NDC, ∴MB=ND,∠ABM=∠CDN. ∵P,Q 分别是BM,DN 的中点. ∴PM=NQ. ∵∠ABM +∠CBM=90°,∠CDN + ∠CND =90°, ∴∠CBM=∠CND, ∴PM∥NQ, ∴四边形 MPNQ 是平行四边形. 连接 MN,由题意可得四边形 AMNB 是矩形,PN 为直角三角形斜边上的中线,故 PN=MP, ∴四边形 MPNQ 是菱形. 评注:证明菱形的方法有三种,我们可以 根据题中图形和已知条件选择最适合自己的 方法来解答. 例5 如图①所示,已知A,B 为直线l 上两点,点 C 为直线l 上方一动点,连接 AC,BC,分别以 AC,BC 为边向△ABC 外 作正方形CADF 和正方形CBEG,过点D 作 DD1⊥l于点D1,过点E 作EE1⊥l于点E1. (1)如图②,当点E 恰好在直线l上时 (此时E1与E 重合),试说明DD1=AB; (2)在图①中,当 D,E 两点都在直线l 的上方时,试探求三条线段 DD1,EE1,AB 之间的数量关系,并说明理由; (3)如图③,当点E 在直线l的下方时, 请直接写出三条线段DD1,EE1,AB 之间的 数量关系(不需证明). 14 第 一 部 分 夯 实 基 础 解析:(1)图②是特殊位置,直接证明三 角形全等解决;(2)先猜想三条线段 DD1, EE1,AB 之间的数量关系,然后根据图②启 示,构造两对全等三角形证明;(3)类比归纳、 猜想出结论. 答案:解:(1)∵四边形CADF 和四边形 CBEG 都是正方形,且DD1⊥l, ∴∠DAC=∠ABC=∠DD1A=90°, 又∵∠ADD1+∠DAD1=90°,而∠DAD1 +∠BAC=90°,∴∠ADD1=∠CAB, 在Rt△DD1A 和Rt△ABC 中, ∵ ∠ABC = ∠DD1 A,∠ADD1 = ∠CAB,AD=CA, ∴△DD1A≌△ABC,∴DD1=AB. (2)AB=DD1+EE1. 理由如下:过C 作CM⊥AB 于 M,易 得:△DD1A≌△AMC, ∴ DD1 = AM, 同 理: △BCM ≌△EBE1, ∴EE1=BM,∴AB=AM+BM=DD1 +EE1. (3)AB=DD1-EE1. 评注:证明两条线段相等或两角相等,常 用的方法就是先证得三角形全等,利用全等 形的性质,推出结论,考查了同学们从特殊到 一般的推理过程. 一、填空题 1.如图,在平行四边形ABCD 中,AB= 6cm,∠BCD 的平分线交AD 于点E,则线 段DE 的长度是 cm. 2.如图,已知平行四边形ABCD,E 是 AB 延长线上一点,连接DE 交BC 于点F, 在不添加任何辅助线的情况下,请补充一个 条件,使△CDF≌△BEF,这个条件是 .(只要填一个) 3.如图所示,矩形纸片ABCD 中,AB= 6cm,BC=8cm,现将其沿EF 折叠,使得点 C 与点A 重合,则AF 长为 cm. 4.如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H 分别为 边AD,AB,BC,CD 的中点.若AC=8,BD =6,则四边形EFGH 的面积为 . 5.正方形是轴对称图形,它有 条 对称轴,若它的对角线长为6cm,则它的面积 为 cm2. 6.(北京中考题)如图,O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点,M 是AD 的中点,若 AB=5,AD=12,则四边形 ABOM 的周长 为 . (第6题) (第7题) 7.如图,点P 是▱ABCD 对角线AC 上 24 第 一 部 分 夯 实 基 础 的一点,EF,GH 过点P,EF∥AD,GH∥ DC,则S▱EBHP与S▱PFDG相等吗? 答: (选填“相等”或“不等”). 8.如图,四边形ABCD 中,AD∥BC,且 AD=BC,M 是BC 的中点,AB∶BC=1∶ 2,则∠AMD= . 二、选择题 9.下列给出的条件中,不能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是 ( ) A.AB∥CD,AD=BC B.AD∥BC,AD=BC C.AB=CD,AD=BC D.∠B+∠C=180°,∠C+∠D=180° 10.在学习“四边形”一章时,小勇的书上 有一张图因不小心被滴上墨水(如图),看不清 所印的字,请问被墨迹遮盖了的文字应是 ( ) A.菱形 B.等腰梯形 C.四边形 D.等边三角形 11.下列说法:①平行四边形的任意一 条对角线把平行四边形分成两个全等三角 形;②平行四边形的面积等于三角形的面积 的2倍;③平行四边形的两条对角线把平行 四边形分成四个面积相等的小三角形;④平 行四边形对角线的交点到一组对边的距离相 等.其中正确的个数有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.如图,在▱ABCD 中,∠A=70°,将 ▱ABCD 折叠,使点D,C 分别落在点F,E 处(点F,E 都在AB 所在的直线上),折痕为 MN,则∠AMF 等于 ( ) A.70° B.40° C.30° D.20° 第12题 第13题 13.如图,▱ABCD 的对角线交于点O, 且AB=5,△OCD 的周长为23,则▱ABCD 的两条对角线的和是 ( ) A.18 B.28 C.36 D.46 14.如图所示,菱形 ABCD 中,∠B= 60°,AB =4,则 以 AC 为 边 长 的 正 方 形 ACEF 的周长为 ( ) A.14 B.15 C.16 D.17 三、解答题 15.如图,在平行四边形ABCD 中,E,F 为BC 上两点,且BE=CF,AF=DE.求证: (1)△ABF≌△DCE; (2)四边形ABCD 是矩形. 34 第 一 部 分 夯 实 基 础 16.如图所示,在矩形 ABCD 中,O 是 AC 与BD 的交点,过 O 点的直线EF 与 AB,CD 的延长线分别交于E,F. (1)求证:△BOE≌△DOF; (2)当EF 与AC 满足什么条件时,四边 形AECF 是菱形? 并证明你的结论. 17.如图,在四边形 ABCD 中,点E 和 点F 是对角线AC 上的两点,AE=CF,DF =BE,且DF∥BE,过点C 作CG⊥AB 交 AB 的延长线于点G. (1)求证:四边形ABCD 是平行四边形; (2)若 CG AG= 2 5 ,∠CBG=45°,BC=42, 则▱ABCD 的面积是 . 1.如图,顺次连接四边形ABCD 各边中 点得四边形EFGH,要使四边形EFGH 为 矩形,应添加的条件是 ( ) A.AB∥DC B.AB=DC C.AC⊥BD D.AC=BD 2.(重庆中考题)有两个完全重合的矩 形,将其中一个始终保持不动,另一个矩形绕 其对称中心O 按逆时针方向进行旋转,每次 均旋转45°,第1次旋转后得到图①,第2次 旋转后得到图②,……则第10次旋转后得到 的图形与图①~④中相同的是 ( ) A.图① B.图② C.图③ D.图④ 3.如图,矩形纸片ABCD 中,M 为AD 边的中点,将纸片沿BM,CM 折叠,使A 点 落在A1处,D 点落在D1处,若∠1=40°,则 ∠BMC= ( ) A.135° B.120° C.100° D.110° 44 第 一 部 分 夯 实 基 础 (第3题) (第4题) 4.如图所示,连接在一起的两个正方形 的边长都为1cm,一个微型机器人由点A 开 始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边 循环移动.①第一次到达G 点时移动了 cm;②当微型机器人移动了2012cm 时,它停在 点. 5.(青海中考题)如图,正方形ABCD 的 对角线AC 和BD 相交于点O,O 又是正方 形A1B1C1O 的一个顶点,OA1 交AB 于点 E,OC1 交BC 于点F. (1)求证:△AOE≌△BOF; (2)如果两个正方形的边长都为a,那么 正方形A1B1C1O 绕O 点转动,两个正方形 重叠部分的面积等于多少? 为什么? 1.(十 堰 中 考 题)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=4,BC=6,AC 的垂直平分 线交AD 于点E,则△CDE 的周长是( ) A.7 B.10 C.11 D.12 2.(河南中考题)如图,▱ABCD 的对角 线AC 与BD 相交于点O,AB⊥AC.若AB =4,AC=6,则BD 的长是 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11 3.(烟 台 中 考 题)如图,在菱形 ABCD 中,M,N 分别在AB,CD 上,且AM=CN, MN 与AC 交于点O,连接BO.若∠DAC= 28°,则∠OBC 的度数为 ( ) A.28° B.52° C.62° D.72° 4.(三明中考题)如图,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,OA=OC,OB =OD,添加一个条件使四边形ABCD 是菱 形,那么所添加的条件可以是 .(写 出一个即可) 54