(八下)第17章 勾股定理-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（人教版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第十七章 勾股定理 1.勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为c,那么a2+b2= . 2.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c 满足 ,那么这个三角形是直角三角形. 3.勾股数 满足a2+b2=c2 的三个正整数,称为勾 股数. 4.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反,我 们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果把 其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的 逆命题.原命题正确,但它的逆命题不一定 正确. 例1 如图是用硬纸板做成的四个全等 的直角三角形(两直角边长分别是a,b,斜边 长为c)和一个边长为c的正方形,请你将它 们拼成一个能证明勾股定理的图形. (1)画出拼成的这个图形的示意图. (2)证明勾股定理. 解析:动手操作拼图,然后通过计算图形 的面积来证明勾股定理. 答案:方法一:(1)如图所示: (2)证 明:∵大 正 方 形 的 面 积 表 示 为 (a+b)2,大正方形的面积也可表示为c2+ 4× 1 2ab , ∴(a+b)2=c2+4× 1 2ab ,a2+b2+2ab =c2+2ab,∴a2+b2=c2.即直角三角形两 直角边的平方和等于斜边的平方. 方法二:(1)如图所示: (2)证明:大正方形的面积表示为c2,又 可以表示为1 2ab×4+ (b-a)2, ∴c2= 1 2ab×4+ (b-a)2,c2=2ab+ b2-2ab+a2, ∴c2=a2+b2.即直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方. 评注:以上例题给学生设置了一定的活 动情境,给学生提供了操作探究和自主学习 的空间,要求在动手操作的基础上进行探究、 归纳、总结,从而得出结论. 例2 图1是我国古代著名的“赵爽弦 图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形 53 第 一 部 分 夯 实 基 础 围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角 形中边长为6的直角边分别向外延长一倍, 得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的 外围周长是 . 解析:因为△BCD 是直角三角形,BC= 5,AC=AD=6,利用勾股定理求出BD,因 此这个风车的外围周长即可求解. 解:根据题意,得 BD= BC2+CD2= 52+122=13,又AD=6,这个风车的外围 周长由4个叶片组成,所以这个风车的外围 周长是76. 答案:76 评注:解本题的关键是正确理解各边与 正方形之间的关系. 例3 已知△ABC 的三边长分别为5, 13,12,则△ABC 的面积为 ( ) A.30 B.60 C.78 D.不能确定 解析:因为52+122=132,根据勾股定理 逆定 理 可 知△ABC 是 直 角 三 角 形,所 以 △ABC 的面积为30,只有A符合题意. 答案:A 评注:解答本题的关键是根据勾股定理 逆定理判断△ABC 的形状. 例4 如图,长方体的长为15,宽为10, 高为20,点B 离点C 的距离为5,一只蚂蚁 如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B, 需要爬行的最短距离是 ( ) A.5 21 B.25 C.105+5 D.35 解析:从点A 到点B 的路线是折线,先 将长方体侧面展开,使点A 与点B 在同一平 面,然 后 根 据“两 点 之 间 线 段 最 短”求 最 短 路径. 解:将长方体侧面展开如图所示,线段 AB 的长就是最短距离,△ABD 为直角三角 形,所 以 AB= AD2+BD2 = 202+152 =25. 答案:B 评注:最短距离问题是勾股定理在实际 生活中的具体应用,一般地,求最短距离要把 “立体问题”转化为“平面问题”,再利用“两点 之间线段最短”,或“点到直线垂线段最短”以 及“勾股定理”等知识来解决问题,这类问题 涉及的几何体主要有长方体、正方体、圆柱 等.在将几何体的表面展开时,要注意确定展 开图中两点的相应位置. 例5 有一块直角三角形的绿地,量得 两直角边长分别为6m,8m.现在要将绿地 扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为 直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形 绿地的周长. 解析:由于本题中等腰三角形没有画出 63 第 一 部 分 夯 实 基 础 来,因此,本题解答时应注意等腰三角形的不 同情况,即分三种情况来解答. 答案:在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°, AC=8,BC=6.由勾股定理有:AB=10,扩 充部分为Rt△ACD,扩充成等腰△ABD 应 分以下三种情况:①如图1,当AB=AD=10 时,可求得CD=CB=6,得△ABD 的周长 为32m.②如图2,当AB=BD=10时,可求 得CD=4,由勾股定理得:AD=4 5,得 △ABD 的周长为(20+45)m.③如图3,当 AB 为底时,设AD=BD=x,则CD=x- 6,由勾股定理得:x= 25 3 ,得△ABD 的周长 为80 3m. 评注:解答勾股定理无图多解题时,一定 要考虑分类讨论. 一、填空题 1.在△ABC 中,∠C=90°,a=6,c= 10,则b= . 2.在Rt△ABC 中,若它的斜边长为4, 则AB2+AC2+BC2= . 3.木工周师傅做一个长方形桌面,测量 得到桌面的长为80cm,宽为60cm,对角线 为100cm,则这个桌面 (填“合格” 或“不合格”). 4.如图所示,一个长5m的梯子AB,斜 靠在一竖直的墙AO 上,这时AO 的长度为 4m,如果梯子的顶端A 沿墙下滑1m,那么 梯子底端B 外移 m. 二、选择题 5.一个直角三角形的三条边分别是a, b,c,则下列说法正确的是 ( ) A.a2+b2=c2 B.a2+c2=b2 C.b2+c2=a2 D.不能确定 6.在下列各组线段中,能构成直角三角 形的是 ( ) A.1,2,3 B.3,4,5 C.4,5,6 D.6,7,8 7.如果梯子的底端离建筑物5米,13米 长的梯子可以到达该建筑物的高度是( ) A.12米 B.13米 C.14米 D.15米 8.在下图中,边长k 等于5的直角三角 形有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 73 第 一 部 分 夯 实 基 础 三、解答题 9.在解答“判断由长为 6 5 ,2, 8 5 的线段组 成的三角形是不是直角三角形”一题中,小明 是这样做的: 解:设a= 6 5 ,b=2,c= 8 5. 因为a2+b2= ( 6 5 ) 2 +22= 136 25≠ 64 25 =c2. 所以由a,b,c组成的三角形不是直角三角 形,你认为小明的解答正确吗? 请说明理由. 1.两人同时从A 地出发,甲向正东方向 步行,每小时行3.5km,乙向正南方向骑自 行车,每小时行12km,两小时后两人相距 km. 2.已知一个直角三角形的两边长分别 为3和4,则第三边的长为 . 3.在Rt△ABC 中,∠C=90°,则三边长 (从小到大)可能的比是 ( ) A.2∶3∶4 B.3∶5∶7 C.8∶15∶17 D.4∶6∶9 4.以下列所给数据为三角形的各边长, 组成的三角形是直角三角形的有 ( ) ①7,24,25 ②n2-1,2n,n2+1(n>1) ③2n2+2n,2n2+2n-1,2n+1 ④1, 2,3 A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 1.(山西中考题)下面右图是我国古代 数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的 “弦图”,它解决的数学问题是 ( ) A.黄金分割 B.垂径定理 C.勾股定理 D.正弦定理 2.(淮安中考题)如图,在边长为1个单 位长度的小正方形组成的网格中,点 A,B 都是格点,则线段AB 的长度为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.25 3.(玉林中考题)蜂巢的构造非常美丽、 科学.如图是由7个形状、大小完全相同的正 六边形组成的网格,正六边形的顶点称为格 点,△ABC 的顶点都在格点上,设定AB 边 如图所示,则△ABC 是直角三角形的个数有 ( ) A.4个 B.6个 C.8个 D.10个 83 AC-BC=DB-BC,即AB=CD②. 23.解:(1)设第一批套尺购进时单价是x 元/套.由题意得: 1500 5 4x - 1000 x =100 ,即1200 x - 1000 x =100 ,解得:x=2.经检验:x=2是所列 方程的解.答:第一批套尺购进时单价是2元/ 套. (2)(10002 + 1500 5 4×2 )×4-(1000+1500)= 1900(元) 答:商店可以盈利1900元. 八年级下册分章复习 第十六章 二次根式 要点回顾 1.二次根号 非负 a≥0 2.(1)算 术平方根的平方 3.(1)分母 (2)能开得尽 4.≥ ≥ 5.≥ > 6.最简二次根式 相同 基础过关 一、1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 二、6.-2a 2b 7. 194 9 3 8.2n 9.> 10.(52+23) 三、11.(1)3m 2n (2)6 (3)-24 3 12.45 综合提升 1.C 2.C 3.A 4.D 5.B 6.D 7.-142 8.(1)3ab 3a (2)12 3a2 9.3 10.0≤x<3 11.-7-52 12.22 13.2+1 14.1 15.解:原式= 2 a2-1 ,当a=3时,原式=1. 16.解:(1)当t=16时,d=7× 16-12 =14; (2)当d=35时,35=7× t-12,t=37. 中考热身 1.C 2.A 3.解:( x +1+ 4x-3) ÷ x-1 x2-3x = (x+1)(x-3)+4 x-3 ·x (x-3) x-1 = (x-1)2 x-3 · x(x-3) x-1 =x (x-1). 把x= 3+1代入x(x-1)中得:(3+ 1)(3+1-1)=3+ 3. 第十七章 勾股定理 要点回顾 1.c2 2.a2+b2=c2 基础过关 一、1.8 2.32 3.合格 4.1 二、5.D 6.B 7.A 8.B 三、9.解:不正确.因为 6 5<2 ,8 5<2 ,且 (65 ) 2 + (85 ) 2 =22,即a2+c2=b2,所以此三角形 为直角三角形. 综合提升 1.25 2.5或 7 3.C 4.C 中考热身 1.C 2.A 3.D 第十八章 平行四边形 要点回顾 2.(1)相等 (2)相等 (3)互相平分 3.(1)分别平行 (2)分别相等 (3)平行且相 等 (4)互相平分 (5)分别相等 4.(1)两边 ·6·