(八上)第15章 分式-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（人教版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第十五章 分 式 1.分式 一般地,如果A,B 表示两个整式,并且 B 中含有 ,那么式子 A B 叫做分式. 2.分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以) 整式,分式的值不变. 3.分式的运算 (1)乘法:分式乘分式,用分子的积作为 积的分子,分母的积作为积的分母. (2)除法:分式除以分式,把除式的分子、 分母颠倒位置后,与被除式相乘. (3)乘方:分式乘方要把分子、分母分 别 . (4)加减法:①同分母分式相加减,分 母 ,把分子 ; ②异分母分式相加减,先通分,变为 ,再 . 4.整数指数幂 am·an= ,(am)n= (ab)n= ,am÷an= (a≠0) a0= (a≠0),a-n= (a≠0,n 为正整数) 5.分式方程 (1)定义:分母中含 的方程叫做 分式方程. (2)解分式方程的步骤:①方程两边同乘 ,把分式方程化为 ;②解这 个整式方程,求出未知数的值;③验根,将整 式方程的解代入 ,如果最简公分母 的值不为0,则整式方程的解是原分式方程 的解,否则,这个解不是原分式方程的解. (3)应用:按列方程解应用题的一般思路 求解即可,只是要注意检验时,既要检验结果 使实际问题有意义,又要验证是否为原方程 的根. 例1 若分式 2x-4 x+1 的值为0,则x 的值 为 . 解析:由题意可知,当2x-4=0且x+1 ≠0时,分式 2x-4 x+1 的值为0,解得x=2. 答案:2 评注:分式的值等于0的条件是分式的 分子为零而分母不为零. 例2 下列各式从左到右的变形正确的是 ( ) A. x- 1 2y 1 2x+y = 2x-y x+2y B. 0.2a+b a+0.2b= 2a+b a+2b C.- x+1 x-y = x-1 x-y D. a+b a-b= a-b a+b 解析:由分式的基本性质:分式的分子与 分母都乘(或除以)同一个不为0的整式,分 式的值不变.因为B,C,D都违背了分式的基 本性质,只有 A 符合要求(分子、分母都乘 2). 答案:A 评注:解答本题的关键是要熟练掌握分 式基本性质的常见应用形式. 例3 计算 x2-1 x ÷ x2+x x2 +1. 32 第 一 部 分 夯 实 基 础 解析:由分式的运算法则可知:本题按照 “先乘除后加减”的运算顺序解答. 答案:x 2-1 x ÷ x2+x x2 +1= x2-1 x · x2 x2+x+1 = (x-1)(x+1) x · x 2 x(x+1)+1 =x-1+1=x 评注:分式运算的关键是掌握分式约分、 通分的方法. 例4 先化简:( a2-4 a2-4a+4- 2 a-2) ÷ a2+2a a-2 ,再 对 a 取 一 个 你 喜 欢 的 数 代 入 求值. 解析:先将分式进行化简,选择a 的值 时要保证分式有意义,如a 可以取1代入 求值. 答案:原式= a a-2 · a-2 a(a+2)= 1 a+2. 取a=1,则原式= 1 1+2= 1 3. 评注:本题是开放性试题,解答时,要先 按常规化简,然后选择一个适当的数值代入, 同时 要 注 意 考 虑 使 分 式 有 意 义 和 运 算 的 方便. 例5 解方程: 2x+1 x + 1 3x=1. 解析:按照解分式方程的解题步骤来解, 在去分母时,要注意右边不含分母的项1不 能漏乘. 答案:解:方程两边同乘3x,得3(2x+ 1)+1=3x, 解得x=- 4 3. 经检验,x=- 4 3 是原方程的根, ∴原方程的根为x=- 4 3. 评注:检验是解分式方程必不可少的重 要一步,千万不要忘记. 例6 我国“八纵八横”铁路骨干网的 第八纵 通 道———温(州)福(州)铁 路 全 长 298千米.预计从福州直达温州的火车行 驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间 缩短2小时.已知福州至温州的高速公路 长331千米,火车的设计时速是现行高速 公路上汽车行驶时速的2倍.求通车后火 车从福州直达温州所用的时间(结果精确 到0.01小时). 解析:本题中有两个等量关系:①火车的 设计时速=现行高速公路上汽车行驶时速的 2倍;②火车行驶时间=高速公路上汽车的 行驶时间-2,结合本题设问,我们可以选择 等量关系①来列方程,然后解方程即可. 答案:解:设通车后火车从福州直达温州 所用的时间为x 小时. 依题意,得298 x =2× 331 x+2. 解这个方程,得x= 149 91. 经检验x= 149 91 是原方程的解. x= 149 91≈1.64. 答:通车后火车从福州直达温州所用的 时间约为1.64小时. 评注:列分式方程解应用题应注意两点: 一是列分式方程解实际问题的关键就是找出 并用分式表示实际问题中的基本等量关系; 二是列分式方程解实际问题一定要验根,检 验时,既要看求得的解是否是原方程的解,又 要看它是否符合题意. 42 第 一 部 分 夯 实 基 础 一、填空题 1.写出一个分式,使它满足:①含有字 母a,b;②分子是一个单项式;③分母是一个 多项式,你写的这个分式是 (只要求 写一个). 2.若等式 A x2-1= x+1 x-1 (x≠-1)成立, 则A= ,若 a-b ab2 = B a2b3 ,则 B= . 3.观察下列一组分式: b a ,- 2b a2 ,3b a3 , - 4b a4 ,5b a5 ,…,则第10个分式为 ,第 n 个分式为 . 4.已知分式方程 1 x-2+3= k-2 2-x 有增 根,则k= . 5.一只蚂蚁的质量约为0.00053905千克, 横线上的数用科学记数法表示为 . 6.已 知 a+ 1 a =4 ,那 么 a2+ 1 a2 的 值为 . 7.已 知ab=1,则 ( 1 a+1+ 1 b+1) 2014 = . 8.如果方程 2 x-3= 1-x 3-x-5 有增根,那 么增根为 . 9.(随州中考题)已知ab=-1,a+b= 2,则式子 b a+ a b= . 10.若某工厂原计划a 天生产b件产品, 若现在需要提前x 天完成,则现在比原来每 天要多生产产品 件. 二、选择题 11.在 下 列 式 子:① x 3 ;② 2y2 y ;③ 5 π ; ④ x2 x-2 中,是分式的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.分式方程 1 x= 2 x+1 的解为 ( ) A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.x=-1 13.下列各式与 a+b a-b 相等的是 ( ) A. 3a+b 3a-b B. a2+b2 a2-b2 C. (a+b)2 a2-b2 (a≠—b) D. a+b-2 a-b-2 14.已知x=-2时,分式 x-b 2x+a 无意 义,x=4时,分式的值为零,则a+b的值是 ( ) A.0 B.2 C.4 D.8 15.已知:1- 4 x+ 4 x2=0 ,则1 x 等于 ( ) A.2 B.1 C. 1 2 D.± 1 2 16.(深圳中考题)某单位向一所希望小 学赠送1080件文具,现用A,B 两种不同的 包装箱进行包装,已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具,单独使用B 型包 装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个.设 B 型包装箱每个可以装x 件文具,根据题意 列方程为 ( ) A. 1080 x = 1080 x-15+12 B. 1080 x = 1080 x-15-12 52 第 一 部 分 夯 实 基 础 C. 1080 x = 1080 x+15-12 D. 1080 x = 1080 x+15+12 17.在正数范围内定义一种运算“※”, 其规则为a※b= 1 a+ 1 b ,根据这个规则,方 程x※(x+1)=0的解为 ( ) A.1 B.0 C.无解 D.- 1 2 三、解答题 18.先化简,再求值: (1) x2+2x+1 x2-1 - x x-1 ,其中x=5; (2) a2-4a+4 a2-2a ÷ a2-4 2a ,其中a=-1; (3) x2+4x+4 x-1 ·x-1 x+2- (x-1)0,其中 x=2020; (4) m2-9 m2+6m+9÷ (1- 2 m+3) ,其 中 m=2. 19.解方程: (1) 6 x+1= x+5 x(x+1) (2) 2 1+x- 3 1-x= 6 x2-1 20.已知x 为整数,且 2 x+3+ 2 3-x+ 2x+18 x2-9 为整数,求所有符合条件的x 的值. 62 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.已知a2-6a+9与|b-1|互为相反 数,则 ( a b- b a )÷ (a+b)= . 2.有一大捆粗细均匀的电线,现要确定 其长度的值,从中先取出1米长的电线,称它 的质量为x,再称其余电线的总质量为y,则 这捆电线的总长度是 . 3.若a+ 1 a=5 ,则a 4+a2+1 a2 = . 4.若关于x 的方程 x-2 x-3= m x-3+2 无 解,则m 的值是 . 5.若m 等于它的倒数,则分式 m2-4 m-2÷ m-3 m2-3m 的值为 ( ) A.-1 B.3 C.-1或3 D.- 1 4 6.-0.000314用科学记数法表示为 ( ) A.3.14×104 B.3.14×10-4 C.-3.14×104 D.-3.14×10-4 7.已知a,b,c 是△ABC 的三边,试比 较 c a+b 和 c 2 (a+b)2 的大小. 1.(百 色 中 考 题)下 列 三 个 分 式 1 2x2 , 5x-1 4(m-n) ,3 x 的最简公分母是 ( ) A.4(m-n)x B.2(m-n)x2 C. 1 4x2(m-n) D.4 (m-n)x2 2.(来宾中考题)将分式方程 1 x= 2 x-2 去分母后得到的整式方程,正确的是 ( ) A.x-2=2x B.x2-2x=2x C.x-2=x D.x=2x-4 3.(泰 安 中 考 题)化 简 (1+ 2 x-1) ÷ x+1 x2-2x+1 的结果为 . 4.(贵 阳 中 考 题)化 简: x2+2x+1 x+2 × x-1 x2-1 ,然后选择一个使分式有意义的数代 入求值. 72 +b2 4.(1)系数 同底数幂 5.积的形式 6.(2)(a+b)(a-b) (a+b)2 (a-b)2 基础过关 一、1.(x2-1)(x2+1) (x4-1) 2.2xy3 -15x2 3.答案不唯一,如2x2-8y2= 2(x2-4y2)=2(x+2y)(x-2y) 4.9 5.-2 6.5 7.-31 8.2m2-4 二、9.C 10.A 11.D 12.D 13.D 14.C 三、15.(1)- 5 8 (2)-x2+5y2-3xy+x- y 16.(1)-9mn(3m-n+2) (2)-(a+ b)2(a-b)2 17.解:原式=2(m2-m+m2+m)(m2- m-m2-m)=-2×2m×2m2=-8m3.观察 -8m3,则原式表示一个能被8整除的数,或 原式=(-2m)3,则表示一个偶数的立方. 综合提升 1.B 2.A 3.B 4.C 5.解:由题意,得b=a+2,c=b+2= a+4,d=c+2=a+6,∵AB=DC,∴d+c= b+2a.∴a+6+a+4=a+2+2a.∴a=8. ∴ 两正方形的面积差为d2-4=(a+6)2- 4=(8+6)2-4=192. 6.解:原式=a2+7 当a= 2时,原式 =2+7=9. 中考热身 1.B 2.A 3.解:(1)92-4×42=17;故所填的数为 4,17. (2)(2n+1)2-4n2=(2n+1)+2n 验证略. 第十五章 分 式 要点回顾 1.字母 2.同一个不等于0的 3.(3)乘 方 (4)①不变 相加减 ②同分母的分式 加减 4.am+n amn anbn am-n 1 1 an 5.(1)未知数 (2)①各分母的最简公分母 整式方程 ③最简公分母 基础过关 一、1.答案不唯一,如: a b+3 2.x 2+2x+1 a2b-ab2 3.- 10b a10 (-1)n+1· nb an 4.1 5.5.3905×10-4 6.14 7.1 8.x=3 9.-6 10. bx a(a-x) 二、11.B 12.C 13.C 14.D 15.C 16.B 17.D 三、18.解:(1)原式= 1 x-1 ,当x=5时,原式 = 1 4. (2)原式= 2 a+2 ,当a=-1时,原式=2. (3)原式=x+1.当x=2020时,原式= 2021. (4)原式= m-3 m+1 ,当m=2时,原式=- 1 3. 19.(1)x=1 (2)无解 20.解:原式= 2(x-3)-2(x+3)+2x+18 x2-9 = 2x+6 x2-9= 2(x+3) (x+3)(x-3)= 2 x-3 ,因为 2 x+3 + 2 3-x+ 2x+18 x2-9 是整数,所以 2 x-3 是整数, 所以x-3的值只可能是±1,±2,分别解得x =4,x=2,x=5,x=1,所以所有符合条件的 x 的值是4,2,5,1. 综合提升 1. 2 3 2. y x+1 或 y+x x 3.24 4.1 ·4· 5.C 6.D 7.解:因为a,b,c 是△ABC 的 三条边,所以有a>0,b>0,c>0,且a+b>c. 因此 a+b-c>0,故 c a+b- c2 (a+b)2 = c(a+b)-c2 (a+b)2 = c(a+b-c) (a+b)2 >0. 所以 c a+b> c2 (a+b)2. 中考热身 1.D 2.A 3.x-1 4.解: x2+2x+1 x+2 × x-1 x2-1= (x+1)2 x+2 × x-1 (x+1)(x-1)= x+1 x+2 , 由于要代入的数必须使得原分式有意义,原分 式中x+2≠0,x2-1≠0,所以x 不能取-2, 1,-1,取x=2,原式= 2+1 2+2= 3 4. 八年级上册过关检测 一、1.80 2.AE=CB(或 EB=BD 或 ∠EBD=90°或∠E=∠DBC 等) 3.4x2- 16y2=4(x2-4y2)=4(x+2y)(x-2y) 4.3 5.4 6.90° 7.6×108 8.15° 9.3 10. 1 2 二、11.A 12.B 13.C 14.D 15.A 16.B 17.B 18.A 三、19.解:(a2b-2ab2-b3)÷b-(a+b)(a- b)=a2-2ab-b2-(a2-b2)=a2-2ab-b2- a2+b2=-2ab.如选择一个喜欢的数为a=1, b=-1,原式=2. 20.解:∵∠FDE=∠BAD+∠ABD, ∠BAD=∠CBE, ∴∠FDE=∠ABD+∠CBE=∠ABC, ∴∠ABC=48°. 同理∠DEF=∠FCB+∠CBE =∠FCB+∠ACF=∠ACB, ∴∠ACB=64°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB= 180°-48°-64°=68°. ∴△ABC 各内角的度数分别为68°,48°, 64°. 21.证明:(1)∵AF=CD, ∴AF+CF=CD+CF, 即AC=DF. ∵AB∥DE, ∴∠D=∠A. 在△ABC 和△DEF 中,AB=DE,∠A =∠D,AC=DF, ∴△ABC≌△DEF. (2)由(1)可得∠ABC=∠DEF. ∵AB=DE,∠A=∠D,AF=CD, ∴△ABF≌△DEC. ∴∠ABF=∠DEC, ∴∠ABC-∠ABF=∠DEF-∠DEC, ∴∠CBF=∠CEF. 22.解:(1)命题1:如果①,②,那么③; 命题2:如果①,③,那么②. (2)命题1的证明: ∵①AE∥DF,∴∠A=∠D, ∵②AB=CD,∴AB+BC=CD+BC, 即AC=DB. 在△AEC 和△DFB 中, ∵∠E=∠F,∠A=∠D,AC=DB, ∴△AEC≌△DFB(AAS). ∴CE=BF③(全等三角形对应边相等). 命题2的证明: ∵①AE∥DF,∴∠A=∠D, 在△AEC 和△DFB 中, ∵∠E=∠F,∠A=∠D,③CE=BF, ∴△AEC≌△DFB(AAS). ∴AC=DB(全等三角形对应边相等),则 ·5·