(八上)第14章 整式的乘法与因式分解-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（人教版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第十四章 整式的乘法与因式分解 1.幂的有关运算性质 (1)同底数幂的乘法:am·an= (m,n 都是正整数). (2)幂的乘方:(am)n= (m,n 都是正整数). (3)积的乘方:(ab)n= (n 为正 整数). (4)同底数幂的除法:am÷an= (a≠0,m,n 都是正整数,并且m>n).特 别地,当m=n 时得 (a≠0). 2.整式的乘法 (1)单 项 式 与 单 项 式 相 乘:把 它 们 的 、 分别相乘,对于只在一 个单项式里含有的字母,则连同它的指数作 为积的一个因式. (2)单项式与多项式相乘:就是用单项式 去 乘 多 项 式 的 每 一 项,再 把 所 得 的积 . (3)多项式与多项式相乘:先用一个多项 式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把 所得的积 . 3.乘法公式 平方差公式:(a+b)(a-b)= . 完全平方公式:(a+b)2= , (a-b)2= . 4.整式的除法 (1)单项式相除:把 与 分别相除作为商的因式,对于只在被除式里 含有的字母,则连同它的指数作为商的一个 因式. (2)多项式除以单项式:先把这个多项式 的每一项除以这个单项式,再把所得的商 相加. 5.因式分解 把一个多项式化成几个整式的 , 这种式子的变 形 叫 做 把 这 个 多 项 式 因 式 分解. 6. 因式分解的基本方法 (1)提公因式法. (2)运用公式法. 常用公式有:a2-b2= ,a2+ 2ab+b2= ,a2-2ab+b2= . 例1 下列运算正确的是 ( ) A.a2∙a3=a4 B.(-a)4=a4 C.a2+a3=a5 D.(a2)3=a5 解析:根据同底数幂的乘法,底数不变, 指数相加,选项A是错误的;根据乘方法则, 一个负 数 的 偶 次 幂 是 正 数,选 项B是 正 确 的;选项C中的两个整式不是同类项,不能 合并,因此C是错误的;根据幂的乘方法则, 底数不变,指数相乘,选项D是错误的. 答案:B 评注:解答本题的关键是熟记整式运算 的有关法则. 例2 先化简,再求值:(a-2)(a+2)- a(a-2),其中a=-1. 解析:先做整式乘法运算,然后做整式的 加减运算. 答案:原式=a2-4-a2+2a 91 第 一 部 分 夯 实 基 础 =2a-4. 当a=-1时, 原式=2×(-1)-4=-6 评注:本题是一道化简求值题,解答时一 定要先化简,要避免直接代入运算的错误. 例3 在边长为a 的正方形中挖去一个 边长为b的小正方形(a>b)(如图甲),把余 下的部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个 图形中阴影部分的面积相等,可以验证 ( ) A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 解析:由图甲可知阴影部分的面积等于 大正方形的面积与小正方形的面积之差,即 a2-b2,由图乙可知,矩形的长为a+b,宽为 a-b,所以矩形的面积为(a+b)(a-b),根 据阴影部分的面积不变,所以a2-b2=(a+ b)(a-b),从而验证了平方差公式. 答案:C 评注:将整式乘法公式的验证融合在几 何图形中,既加强了知识的直观性,又很好地 展示了数形结合思想的优越性. 例4 计算:(a2b)2÷a= . 解析:先根据积的乘方计算,然后根据整 式除法法则运算. (a2b)2÷a=a4b2÷a=a3b2. 答案:a3b2 评注:本题是幂的运算与整式除法混合 运算,解答本题的关键是正确理解运算顺序. 例5 给出三个整式a2,b2和2ab. (1)当a=3,b=4时,求a2+b2+2ab 的值; (2)在上面的三个整式中任意选择两个 整式进行加法或减法运算,使所得的多项式 能够因式分解.请写出你所选的式子及因式 分解的过程. 解析:解答本题包括两个步骤:一是加法 运算,二是因式分解.根据这个解题步骤,选 择其中两个单项式进行组合即可. 答案:(1)当a=3,b=4时,a2+b2+ 2ab=(a+b)=49; (2)答案不唯一.例如,若选a2,b2,则 a2-b2=(a+b)(a-b);若选a2,2ab,则 a2±2ab=a(a±2b). 评注:本题是一道开放型问题,学生根据 题目的要求可以尽情地展示自己的解题风 采,激发了学生的解题兴趣. 一、填空题 1.利用公式计算(x+1)(x-1)(x2+1) = = . 2.M 和N 表示单项式,且3x(M-5x) =6x2y3+N,则 M= ,N= . 3.请你写一个二项式,再把它分解因 式: .(要求: 二项式含有字母x 和y,系数、次数不限,并 能先用提公因式法,再用公式法分解) 4.已知a-b=3,则a(a-2b)+b2的值 为 . 02 第 一 部 分 夯 实 基 础 5.若x2+2kxy+4y2=(x-2y)2,则 k= . 6.若代数式x2-6x+b可化为(x-a)2 -1,则b-a 的值是 . 7.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x -13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中 a,b均为整数,则a+3b= . 8.已知x+x-1=m,则2x2+2x-2的值 为 . 二、选择题 9.下列运算正确的是 ( ) A.x4·x3=x12 B.(x3)4=x81 C.x4÷x3=x(x≠0) D.x3+x4=x7 10.若 M·(x+3)(x2+9)=x4-81, 则整式 M 应该是 ( ) A.x-3 B.3-x C.3+x D.x-9 11.下列各式能用完全平方公式进行分 解因式的是 ( ) A.x2+1 B.x2+2x-1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4 12.下列运算正确的是 ( ) A.3a+2a=5a2 B.(2a)3=6a3 C.(x+1)2=x2+1 D.x2-4=(x+2)(x-2) 13.下列计算正确的是 ( ) A.(-p2q)3=-p5q3 B.(12a2b3c)÷(6ab2)=2ab C.(a+3b)2=a2+9b2 D.(x2-4x)÷x=x-4 14.已知(m-n)2=8,(m+n)2=2,则 m2+n2= ( ) A.10 B.6 C.5 D.3 三、解答题 15.计算: (1)-2-3-8-1×(-1)-2× (- 1 2) -2 ×70 (2)(2x-y)2-4(x-y)(x+y)-(x -y)(x-1) 16.分解因式: (1)-27m2n+9mn2-18mn (2)4a2b2-(a2+b2)2 17.化简:2[(m-1)m+m(m+1)][(m -1)m-m(m+1)].若m 是任意整数,请观 察化简后的结果,你发现原式表示一个什 么数? 12 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.下列多项式:①x2+y2;②-x2- 4y2;③-1+a2;④0.81a2-b2,其中能用平 方差公式分解因式的多项式有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.计算(x2-3x+n)(x2+mx+8)的结 果中不含x2 和x3 的项,则m,n 的值为 ( ) A.m=3,n=1 B.m=0,n=0 C.m=-3,n=-9 D.m=-3,n=8 3.若a2-b2= 1 4 ,a-b= 1 2 ,则a+b的 值为 ( ) A.- 1 2 B. 1 2 C.1 D.2 4.(1+x)(2x2+ax+1)的结果中x2 项的系数为-2,则a 等于 ( ) A.-2 B.1 C.-4 D.以上都不对 5.如图所示,长方形ABCD 被分成六个 大小不一的正方形,已知中间一个小正方形 面积为4,求长方形ABCD 中最大正方形与 最小正方形的面积之差. 6.先化简,再求值:(a-3)2+2(3a- 1),其中a= 2. 1.(汕尾中考题)下列各式计算正确的是 ( ) A.(a+b)2=a2+b2 B.a·a2=a3 C.a8÷a2=a4 D.a2+a3=a5 2.(毕节中考题)下列因式分解正确的是 ( ) A.2x2-2=2(x+1)(x-1) B.x2+2x-1=(x-1)2 C.x2+1=(x+1)2 D.x2-x+2=x(x-1)+2 3.(安徽中考题)观察下列关于自然数 的等式: 32-4×12=5 ① 52-4×22=9 ② 72-4×32=13 ③ …… 根据上述规律解决下列问题: (1)完成第四个等式: 92-4×( )2=( ); (2)写出你猜想的第n 个等式(用含n 的式子表示),并验证其正确性. 22 相等 ②平分线 中线 高 8.(2)内角 60° (3)①相等 ②等腰三角形 9.一半 基础过关 一、1.= 2.角平分线所在的直线 3.115° 4.④①②③ 5.等腰三角形的底边上的高、 中线与顶角平分线相互重合 6.10cm 7.75° 二、8.C 9.C 10.B 11.C 三、12.证明:∵∠A=∠D=90°, ∴在Rt△ABC 和Rt△DCB 中, AB=DC BC=CB{ , ∴Rt△ABC≌Rt△DCB, ∴∠ACB=∠DBC, ∴OB=OC, ∴△OBC 是等腰三角形. (证明△ABO≌△DCO 也正确) 13.我所找的等腰三角形是:△ABC(或 △BDC 或△DAB) 证明:在△ABC 中,∵∠A=36°,∠C= 72°, ∴∠ABC=180°-(72°+36°)=72°. ∵∠C=∠ABC,∴AB=AC, ∴△ABC 是等腰三角形. 14.如图所示: 注意:本题画法较多,只要满足题意均可. 综合提升 1.6或14 2.35° 40°或100° 3.25° 4.12° 5.(1)如图,直线CM 即为所求;(2)图2 能画一条直线分割成两个等腰三角形,顶角度 数分别为84°和132°,图3不能分割成两个等腰 三角形. 中考热身 1.A 2.B 3.A 4.解:(1)①②;①③. (2)选①②证明如下: 在△BOE 和△COD 中, ∵∠EBO=∠DCO,∠EOB=∠DOC,BE =CD, ∴△BOE≌△COD, ∴BO=CO,∴∠OBC=∠OCB, ∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB, 即∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC, 即:△ABC 是等腰三角形. 选①③证明如下: 在△BOC 中, ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB. ∵∠EBO=∠DCO, ∴∠EBO+∠OBC=∠OCB+∠DCO, 即∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC, 即:△ABC 是等腰三角形. 第十四章 整式的乘法与因式分解 要点回顾 1.(1)am+n (2)amn (3)anbn (4)am-n a0=1 2.(1)系数 同底数幂 (2)相加 (3)相加 3.a2-b2 a2+2ab+b2 a2-2ab ·3· +b2 4.(1)系数 同底数幂 5.积的形式 6.(2)(a+b)(a-b) (a+b)2 (a-b)2 基础过关 一、1.(x2-1)(x2+1) (x4-1) 2.2xy3 -15x2 3.答案不唯一,如2x2-8y2= 2(x2-4y2)=2(x+2y)(x-2y) 4.9 5.-2 6.5 7.-31 8.2m2-4 二、9.C 10.A 11.D 12.D 13.D 14.C 三、15.(1)- 5 8 (2)-x2+5y2-3xy+x- y 16.(1)-9mn(3m-n+2) (2)-(a+ b)2(a-b)2 17.解:原式=2(m2-m+m2+m)(m2- m-m2-m)=-2×2m×2m2=-8m3.观察 -8m3,则原式表示一个能被8整除的数,或 原式=(-2m)3,则表示一个偶数的立方. 综合提升 1.B 2.A 3.B 4.C 5.解:由题意,得b=a+2,c=b+2= a+4,d=c+2=a+6,∵AB=DC,∴d+c= b+2a.∴a+6+a+4=a+2+2a.∴a=8. ∴ 两正方形的面积差为d2-4=(a+6)2- 4=(8+6)2-4=192. 6.解:原式=a2+7 当a= 2时,原式 =2+7=9. 中考热身 1.B 2.A 3.解:(1)92-4×42=17;故所填的数为 4,17. (2)(2n+1)2-4n2=(2n+1)+2n 验证略. 第十五章 分 式 要点回顾 1.字母 2.同一个不等于0的 3.(3)乘 方 (4)①不变 相加减 ②同分母的分式 加减 4.am+n amn anbn am-n 1 1 an 5.(1)未知数 (2)①各分母的最简公分母 整式方程 ③最简公分母 基础过关 一、1.答案不唯一,如: a b+3 2.x 2+2x+1 a2b-ab2 3.- 10b a10 (-1)n+1· nb an 4.1 5.5.3905×10-4 6.14 7.1 8.x=3 9.-6 10. bx a(a-x) 二、11.B 12.C 13.C 14.D 15.C 16.B 17.D 三、18.解:(1)原式= 1 x-1 ,当x=5时,原式 = 1 4. (2)原式= 2 a+2 ,当a=-1时,原式=2. (3)原式=x+1.当x=2020时,原式= 2021. (4)原式= m-3 m+1 ,当m=2时,原式=- 1 3. 19.(1)x=1 (2)无解 20.解:原式= 2(x-3)-2(x+3)+2x+18 x2-9 = 2x+6 x2-9= 2(x+3) (x+3)(x-3)= 2 x-3 ,因为 2 x+3 + 2 3-x+ 2x+18 x2-9 是整数,所以 2 x-3 是整数, 所以x-3的值只可能是±1,±2,分别解得x =4,x=2,x=5,x=1,所以所有符合条件的 x 的值是4,2,5,1. 综合提升 1. 2 3 2. y x+1 或 y+x x 3.24 4.1 ·4·