(八上)第13章 轴对称-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（人教版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第十三章 轴对称 1.轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠,直线两 旁的部分能够互相 ,这个图形就叫 做轴对称图形.这条直线就是它的 , 也称这个图形关于这条直线(成轴)对称. 2.轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果 它能够与另一个图形重合,那么就说这两个 图形关于这条直线 ,这条直线叫做 ,折叠后重合的点是 点,叫 做 . 3.线段的垂直平分线(中垂线) (1)经过线段中点并且垂直于这条线段 的直线,叫做这条线段的 ,简称为中 垂线. (2)线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点的距离 .与一条线段两个 端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分 线上. 4.轴对称的性质 (1)如果两个图形关于某直线对称,那么 对称轴是任何 一 对 对 应 点 连 线 的 垂 直 平 分线. (2)轴对称图形的对称轴是任何一对对 应点所连线段的垂直平分线. (3)由一个平面图形可以得到它关于一 条直线l对称的图形,这个图形与原图形的 形状、大小完全一样. (4)新图形上的每一点都是原图形上的 某一点关于直线l的对称点. 5.轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫 做轴对称变换. 6.用坐标表示轴对称 点P(x,y)关于x 轴的对称点为P' ,点P(x,y)关于y 轴的对称点为 P″ . 7.等腰三角形 (1)定义:有 相等的三角形叫等 腰三角形. (2)性质:①等腰三角形的两个底角 (简写成“等边对等角”); ②等腰三角形的顶角 、底边上 的 、底边上的 相互重合. (3)判定:如果一个三角形有两个角相 等,那么这两个角所对的边也相等(简写成 “等角对等边”). 8.等边三角形 (1)定义:三条边都相等的三角形,它是 特殊的等腰三角形. (2)性质:等边三角形的三个 都 相等,并且每一个角都等于 . (3)判定:①三个角都 的三角形 是等边三角形; ②有一个角是60°的 是等边三 角形. 9. 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的 . 41 第 一 部 分 夯 实 基 础 例1 下列四个图形中,不是 轴对称图 形的是 ( ) 解析:根据轴对称的定义,A,B,C折叠 后都可以互相重合,它们是轴对称图形,而D 却不能互相重合,不是轴对称图形. 答案:D 评注:数学与生活总是紧密相连的,图 案、商标等多种标志都具有轴对称的性质,给 人一种对称的数学美感. 例2 如图,△ABC 与△A'B'C'关于直 线l对称,且∠A=78°,∠C'=48°,则∠B 的 度数为 ( ) A.48° B.54° C.74° D.78° 解析:根据“关于某直线对称的两个图形 的对 应 角 相 等”得 ∠C = ∠C'=48°,在 △ABC 中,∠C=48°,∠A=78°,所 以∠B =54°. 答案:B 评注:轴对称性质在角度的计算中有广 泛的应用,同学们要引起注意. 例3 将一正方形纸片按下列顺序折 叠,然后将最后折叠的纸片沿虚线(直角三角 形的中位线)剪去上面的小直角三角形,将留 下的纸片展开,得到的图形是 ( ) 解析:根据折叠的过程和对称的性质,显 然是四个角各少了一个正方形,即是A中的 图形. 答案:A 评注:对于本题最简单的方法就是——— 动手操作来解决,只要取一张正方形纸片,按 照题中的要求操作即可得到正确的答案,同 学们不妨试一试,相信你一定能够成功. 例4 如图,等腰△ABC 的周长为21, 底边BC=5,AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D,交AC 于点E,则△BEC 的周长为 ( ) A.13 B.14 C.15 D.16 解析:因为等腰△ABC 的周长为21,底 边BC=5,所以腰长AB=8,因为AB 的垂 直平分线为DE,所以AE=BE,因为△BEC 的周 长 =BE+EC+BC=AE+EC+ BC=13. 答案:A 评注:本题将等腰三角形的性质与垂直 平分线的性质有机地结合起来,它能培养学 生们很好地灵活运用知识解决实际问题的能 力,它对数学教学有很好的导向作用. 51 第 一 部 分 夯 实 基 础 例5 已知图形B 是一个正方形,图形 A 由三个图形B 构成,如下图所示,请用图 形A 与B 合拼成一个轴对称图形. 解析:根据轴对称的性质将图形结合图 形A 和图形B 的特征即可补充完整. 答案:如下图所示. 评注:设计轴对称图形时,关键是找出本 题的图案特征和选择好对称轴. 一、填空题 1.线段AB 和线段A'B'关于直线l对 称,那么AB A'B'.(填“>”“=”或 “<”) 2.角是轴对称图形,它的对称轴是 . 3.如图是小亮制作的风筝,为了平衡做 成轴对称图形,已知 OC 是对称轴,∠A= 35°,∠ACO=30°,那么∠BOC= . 4.如图,观察下列轴对称图形,按照它 们对称轴条数的多少从少到多依次排列为: . 5.墙上钉了一根木条,小明想检验这根 木条是不是水平的,他拿来一个如图所示的 测平仪,在这个测平仪中,AB=AC,BC 边 的中点D 处挂了一个重锤.小明将BC 边与 木条重合,观察此时重锤是否通过 A 点.如 果通过A 点,那么这根木条是水平的,这是 因为 . 6.点P 到直线l的距离是5cm,点P 与点Q 关于直线l对称,则PQ= . 7.(绵阳中考题)如图,AC,BD 相交于 O,AB∥DC,AB=BC,∠D=40°,∠ACB= 35°,则∠AOD= . 二、选择题 8.京剧是我国的国粹,剪纸是流传已久 的民间艺术,这两者的结合无疑是最能代表 中国特色的艺术形式之一.图中京剧脸谱剪 纸中是轴对称图形的个数是 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.等腰三角形一个内角为40°,则它的 底角为 ( ) A.40° B.70° C.40°或70° D.140° 61 第 一 部 分 夯 实 基 础 10.如图,已知AB=AC,∠A=36°,AB 的中垂线MN 交AC 于点P,交AB 于点Q, 则图中的等腰三角形有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 11.如图,将一正方形纸片沿图1中的对 角线对折一次得图2,再沿图2中的斜边上 的中线对折一次得图3,然后用剪刀沿图3 中的虚线剪去一个角得图4,将图4展开铺 平后的平面图形是 ( ) 三、解答题 12.如图,AC,BD 相交于O,∠A=∠D =90°,AB=DC. 求证:△OBC 是等腰三角形. 13.老师挂出小黑板:如图,∠A=36°, ∠DBC=36°,∠C=72°. 阿芳说:图中有等腰三角形! 老师说:请你写出图中的一个等腰三角 形,并说明理由. 14.如图是由16个小正方形组成的正方 形网格图,现已将其中的两个涂黑.请你用三 种不同的方法 ,分别在下图中用铅笔再涂黑 三个 空白的小正方形,使整个正方形及图案 成为轴对称图形. 1.已知等腰三角形的底边长为10cm, 一边上的中线把三角形的周长分为两部分, 其中一部分比另一部分长4cm,那么三角形 的腰长为 cm. 71 第 一 部 分 夯 实 基 础 2.在△ABC 中,BC=AC,与∠C 相邻的 外角为70°,则∠A= ;若等腰三角形 的一个外角等于140°,则它的顶角为 . 3.(威海中考题)将一副直角三角板按 如图摆放,点C 在EF 上,AC 经过点D,已 知∠A=∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30°, ∠BCE=40°,则∠CDF= . 4.(绍兴中考题)如图的钢架中,焊上等 长的13根钢条来加固钢架.若AP1=P1P2= P2P3=…=P13P14=P14A,则∠A 的度数 是 . 5.(1)如图1,△ABC 中,∠C=90°,请用 直尺和圆规作一条直线,把△ABC 分割成两个 等腰三角形(不写作法,但须保留作图痕迹); (2)已知内角度数的两个三角形如图2、 图3所示.请你判断,能否分别画一条直线把 它们分割成两个等腰三角形? 若能,请写出 分割成的两个等腰三角形顶角的度数. 1.(兰州中考题)在下列绿色食品、循环 回收、节能、节水的四个标志中,属于轴对称 图形的是 ( ) 2.(玉林中考题)在等腰△ABC 中,AB =AC,其周长为20cm,则AB 边的取值范 围是 ( ) A.1cm<AB<4cm B.5cm<AB<10cm C.4cm<AB<8cm D.4cm<AB<10cm 3.(黔 西 南 中 考 题)已 知 等 腰 三 角 形 ABC 中,腰AB=8,底BC=5,则这个三角 形的周长为 ( ) A.21 B.20 C.19 D.18 4.(襄阳中考题)如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边AC,AB 上,BD 与CE 交于 点 O,给 出 下 列 三 个 条 件:① ∠EBO = ∠DCO;②BE=CD;③OB=OC. (1)上述三个条件中,由哪两个条件可以 判定△ABC 是等腰三角形? (用序号写出所 有成立的情形) (2)请选择(1)中的一种情形,写出证明 过程. 81 ×5=7.5. 八年级上册分章复习 第十一章 三角形 要点回顾 1.(1)首尾顺次相接 △ (2)这个交点 (3)中点 (4)垂足 2.(1)大于 小于 (2)不相邻 大于 互余 3.等边 不等边 锐角 直角 钝角 4.(1)首尾顺次相接 (2)内 (3)外 (5)正 5.(1)(n-2)· 180° (2)360° 基础过关 一、1.C 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.B 8.A 二、9.稳定 10.60 11.60° 12.1800° 13.40° 14.180° 15.五 540° 三、16.小颖有9种选法.第三根木棒的长度 可以是4cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm, 10cm,11cm,12cm. 17.可延长BD 交AC 于E,有∠BDC= ∠A+∠B+∠C=140°. 综合提升 1.B 2.B 3.B 4.D 5.C 6.B 7.C 8.A 9.1<x<6 10.2 11.360° 12.七 13.8 14.48° 15.36° 16.∠A2= 1 4∠A ,∠An= (12 ) n ∠A,∠A4=2°. 中考热身 1.B 2.C 3.C 4.B 5.A 第十二章 全等三角形 要点回顾 1.(1)重合 (2)重合 2.(1)相等 (2)夹角 (3)夹边 (4)对边 (5)一条直角 边 3.(1)相等 相等 (2)相等 相等 平 行 4.(1)相等 (2)角的平分线 基础过关 一、1.50° 2.①③ 3.4 4.答案不唯一,如 AC=AD 等 5.AB=AC 或AD =AE 或 BD =CE 或BE=CD (写出一个即可) 二、6.B 7.D 8.B 9.C 三、10.解:答案不唯一,如添加AF⊥CE,证 明过程如下:∵CP 平分∠ACD,∴∠ACE= ∠ECD.∵AB ∥CD,∴ ∠AEC= ∠ECD. ∴∠ACE=∠AEC.∴AC=AE.∵AF⊥CE, ∴ ∠AFC = ∠AFE =90°.在 △ACF 和 △AEF 中, ∠AFC=∠AFE, ∠ACF=∠AEF, AC=AE, ì î í ï ï ï ï ∴△ACF≌ △AEF(AAS). 综合提升 1.3 2.SSS HL 3.C 中考热身 1.C 2.C 3.证明:∵AE=CF,∴AF=CE. ∵AD∥BC,∴∠A=∠C. 在△AFD 和△CEB 中, ∠A=∠C ∠B=∠D AF=CE ì î í ï ï ï ï , ∴△AFD≌△CEB(AAS), ∴AD=CB. 第十三章 轴对称 要点回顾 1.重合 对称轴 2.对称 对称轴 对 应 对称点 3.(1)垂直平分线 (2)相等 6.(x,-y) (-x,y) 7.(1)两边 (2)① ·2· 相等 ②平分线 中线 高 8.(2)内角 60° (3)①相等 ②等腰三角形 9.一半 基础过关 一、1.= 2.角平分线所在的直线 3.115° 4.④①②③ 5.等腰三角形的底边上的高、 中线与顶角平分线相互重合 6.10cm 7.75° 二、8.C 9.C 10.B 11.C 三、12.证明:∵∠A=∠D=90°, ∴在Rt△ABC 和Rt△DCB 中, AB=DC BC=CB{ , ∴Rt△ABC≌Rt△DCB, ∴∠ACB=∠DBC, ∴OB=OC, ∴△OBC 是等腰三角形. (证明△ABO≌△DCO 也正确) 13.我所找的等腰三角形是:△ABC(或 △BDC 或△DAB) 证明:在△ABC 中,∵∠A=36°,∠C= 72°, ∴∠ABC=180°-(72°+36°)=72°. ∵∠C=∠ABC,∴AB=AC, ∴△ABC 是等腰三角形. 14.如图所示: 注意:本题画法较多,只要满足题意均可. 综合提升 1.6或14 2.35° 40°或100° 3.25° 4.12° 5.(1)如图,直线CM 即为所求;(2)图2 能画一条直线分割成两个等腰三角形,顶角度 数分别为84°和132°,图3不能分割成两个等腰 三角形. 中考热身 1.A 2.B 3.A 4.解:(1)①②;①③. (2)选①②证明如下: 在△BOE 和△COD 中, ∵∠EBO=∠DCO,∠EOB=∠DOC,BE =CD, ∴△BOE≌△COD, ∴BO=CO,∴∠OBC=∠OCB, ∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB, 即∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC, 即:△ABC 是等腰三角形. 选①③证明如下: 在△BOC 中, ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB. ∵∠EBO=∠DCO, ∴∠EBO+∠OBC=∠OCB+∠DCO, 即∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC, 即:△ABC 是等腰三角形. 第十四章 整式的乘法与因式分解 要点回顾 1.(1)am+n (2)amn (3)anbn (4)am-n a0=1 2.(1)系数 同底数幂 (2)相加 (3)相加 3.a2-b2 a2+2ab+b2 a2-2ab ·3·