(八上)第12章 全等三角形-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（人教版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第十二章 全等三角形 1. 全等形和全等三角形 (1)能够完全 的两个图形叫做 全等形. (2)能够完全 的两个三角形叫 做全等三角形. 2. 三角形全等的条件 (1)三边对应 的两个三角形全 等(SSS). (2)两边和它们的 对应相等的 两个三角形全等(SAS). (3)两角和它们的 对应相等的 两个三角形全等(ASA). (4)两个角和其中一个角的 对 应相等的两个三角形全等(AAS). (5)斜边和 对应相等的两个直 角三角形全等(HL). 3. 全等三角形的性质及应用 (1)全等三角形的对应边 ,对应 角 . (2)通过全等三角形证明有关的线段 ,角 ,线 . (3)可以根据全等三角形作三角形和解 决实际问题. 4. 角的平分线 (1)角的平分线上的点到角的两边的距 离 . (2)到 角 的 两 边 的 距 离 相 等 的 点 在 上. 例1 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,BC=2cm,CD⊥AB,在AC 上取一点 E,使EC=BC,过点E 作EF⊥AC 交CD 的延长线于点F,若 EF=5cm,则 AE= cm. 解析:因 为 CD⊥AB,EF⊥AC,所 以 ∠ACD+∠A=∠ACD+∠F=90°,所 以 ∠A=∠F,又∠ACB=90°,∠CEF=90°, EC=BC,所以Rt△ABC≌Rt△FCE,所以 EF=CA,因为EF=5cm,BC=2cm,所以 AE=AC-EC=5-2=3(cm). 答案:3 评注:解答本题的关键是把求线段长度 的问题转化为全等三角形性质问题来求解. 例2 如图所示,AB=DB,∠ABD= ∠CBE,请你添加一个适当的条件 , 使△ABC≌△DBE.(只需添加一个即可) 解析:由题中已知条件可知一组对应边 相等和 一 组 对 应 角 相 等,所 以 可 以 考 虑 用 “ASA”或“SAS”或“AAS”来添加条件证明. 如①用“ASA”,需添加∠D=∠A,②用 “SAS”,需添加BE=BC,③用“AAS”,需添 01 第 一 部 分 夯 实 基 础 加∠C=∠E. 答案:∠D=∠A 或BE=BC 等 评注:解“条件补充型”证明题的基本思 路是:执果索因,逆向思维,逐步解析,探索结 论成立的条件,即可得出正确答案. 例3 如图,在方格纸中,△PQR 的三 个顶点及A,B,C,D,E 五个点都在小方格 的顶点上.现以A,B,C,D,E 中的三个点为 顶点画三角形. (1)在图1中画出一个三角形与△PQR 全等; (2)在图2中画出一个三角形与△PQR 面积相等但不全等 . 解析:(1)先判断△PQR 的形状和各边 长,然后利用格点的性质和全等三角形的判 定方法 构 建 所 求 三 角 形,如 图1-①,图1- ②;(2)根据等底等高的三角形面积相等,先 找到一条相等的边,再根据网格线的平行关 系构建相等的高,如图2-①,图2-②. 评注:本题是一道以网格为背景的试题, 解答本题的关键是借助线段在网格线的特 征,可以通过数网格得到线段的长度. 例4 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°, AD 是∠BAC 的平分线,DC=2,则 D 到 AB 边的距离是 . 解析:根据角的平分线的性质可知,D 到AB 边的距离等于D 到AC 边的距离CD 的长度. 答案:2 评注:解决此类问题的关键是利用角平 分线的性质“角平分线上的点到这个角的两 边的距离相等”,把求 D 到AB 边的距离转 化为求D 到AC 边的距离. 例5 如图,小强利用全等三角形的知 识测量池塘两端 M,N 的距离,如果△PQO ≌△NMO,则只需要测出其长度的线段是 ( ) A.PO B.PQ C.MO D.MQ 解 析:由 已 知 条 件 可 知 △PQO ≌ △NMO ,根据全等三角形的对应边相等,得 PQ=MN,所以PQ 的长就是池塘两端M, N 的距离,所以要测出其长度的线段是PQ. 答案:B 评注:解答本题的关键是巧妙地借助两 个三角形全等的性质,寻找所求线段与已知 线段之间的等量关系. 一、填空题 1.已知下图中的两个三角形全等,则 ∠α的度数是 . 11 第 一 部 分 夯 实 基 础 2.如图所示,有①,②,③三个直角三角 形,其中全等的两个直角三角形是 . 3.如图,OP 平分∠MON,PA⊥ON 于 点A,点Q 是射线OM 上的一个动点,若PA =4,则PQ 的最小值为 . 第3题 第4题 4.如 图,已 知 AB =AE,∠BAD = ∠CAE,要使△ABC≌△AED,还需添加一 个 条件,这个条件可以是 . 5.(义乌中考题)如图, 已知∠B=∠C,添加一个 条 件 使 △ABD ≌ △ACE (不标注新的字母,不添加 新的线段),你添加的条件 是 . 二、选择题 6.如图,△ABC≌△FDE,∠C=40°, ∠F=110°,则∠B 等于 ( ) A.20° B.30° C.40° D.150° 7.手工制作课上,老师在一张纸板上挖 去了如图所示一个三角形,那么在甲、乙、丙 三个同学制作的三角形中,和老师的三角形 全等的是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.乙和丙 8.如图,已知∠1=∠2,则不一定 能使 △ABD≌△ACD 的条件是 ( ) A.AB=AC B.BD=CD C.∠B=∠C D.∠BDA=∠CDA 第8题 第9题 9.如图所示,若AD=BC,∠A=∠B, 添加后就能直接利用“SAS”证得△ADF≌ △BCE 的条件是 ( ) A.AE=EF B.DF=CE C.AF=BE D.∠CEB=∠DFA 三、解答题 10.如图,AB∥CD,∠ACD 的平分线 CP 交AB 于点E,在线段CE 上取一点F, 21 第 一 部 分 夯 实 基 础 连接AF.要使△ACF≌△AEF,还需要添加 一个什么条件? 请你写出这个条件,并证明 △ACF≌△AEF.(只要给出一种情况即可, 图中不再增加字母和线段) 1.如图,6×6的网格中,有格点△ABC. 除点 C 外有一个格点 D,使得△ABD 与 △ABC 全等,这样的点D 最多有 个. 2.木工师傅常用角尺平分一个角,如图 ①所示.学生小明可用三角尺平分一个角,如 图②所示.他们在∠AOB 两边上分别取出 OM=ON,前者使角尺两边相同刻度分别与 M,N 重合,角尺顶点为P;后者分别过 M, N 作OA,OB 的垂线,交点为P,则射线OP 平分∠AOB,均可由△OMP≌△ONP 得 知,其依据分别是 、 . 3.根 据 下 列 已 知 条 件,能 唯 一 画 出 △ABC 的是 ( ) A.AB=3,BC=4,AC=8 B.AB=4,BC=3,∠A=30° C.∠A=60°,∠B=45°,AB=4 D.∠C=90°,AB=6 1.(厦 门 中 考 题)如 图,在△ABC 和 △BDE 中,点 C 在边BD 上,边 AC 交边 BE 于点F,若 AC=BD,AB=ED,BC= BE,则∠ACB 等于 ( ) A.∠EDB B.∠BED C. 1 2∠AFB D.2∠ABF 第1题 第2题 2.(南昌中考题)如图,AB∥DE,AC∥ DF,AC=DF,不能判断△ABC≌△DEF 的是 ( ) A.AB=DE B.∠B=∠E C.EF=BC D.EF∥BC 3.(宜宾中考题)如图,已知:在△AFD 和△CEB 中,点A,E,F,C 在同一直线上, AE=CF,∠B = ∠D,AD ∥BC.求 证: AD=CB. 31 ×5=7.5. 八年级上册分章复习 第十一章 三角形 要点回顾 1.(1)首尾顺次相接 △ (2)这个交点 (3)中点 (4)垂足 2.(1)大于 小于 (2)不相邻 大于 互余 3.等边 不等边 锐角 直角 钝角 4.(1)首尾顺次相接 (2)内 (3)外 (5)正 5.(1)(n-2)· 180° (2)360° 基础过关 一、1.C 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.B 8.A 二、9.稳定 10.60 11.60° 12.1800° 13.40° 14.180° 15.五 540° 三、16.小颖有9种选法.第三根木棒的长度 可以是4cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm, 10cm,11cm,12cm. 17.可延长BD 交AC 于E,有∠BDC= ∠A+∠B+∠C=140°. 综合提升 1.B 2.B 3.B 4.D 5.C 6.B 7.C 8.A 9.1<x<6 10.2 11.360° 12.七 13.8 14.48° 15.36° 16.∠A2= 1 4∠A ,∠An= (12 ) n ∠A,∠A4=2°. 中考热身 1.B 2.C 3.C 4.B 5.A 第十二章 全等三角形 要点回顾 1.(1)重合 (2)重合 2.(1)相等 (2)夹角 (3)夹边 (4)对边 (5)一条直角 边 3.(1)相等 相等 (2)相等 相等 平 行 4.(1)相等 (2)角的平分线 基础过关 一、1.50° 2.①③ 3.4 4.答案不唯一,如 AC=AD 等 5.AB=AC 或AD =AE 或 BD =CE 或BE=CD (写出一个即可) 二、6.B 7.D 8.B 9.C 三、10.解:答案不唯一,如添加AF⊥CE,证 明过程如下:∵CP 平分∠ACD,∴∠ACE= ∠ECD.∵AB ∥CD,∴ ∠AEC= ∠ECD. ∴∠ACE=∠AEC.∴AC=AE.∵AF⊥CE, ∴ ∠AFC = ∠AFE =90°.在 △ACF 和 △AEF 中, ∠AFC=∠AFE, ∠ACF=∠AEF, AC=AE, ì î í ï ï ï ï ∴△ACF≌ △AEF(AAS). 综合提升 1.3 2.SSS HL 3.C 中考热身 1.C 2.C 3.证明:∵AE=CF,∴AF=CE. ∵AD∥BC,∴∠A=∠C. 在△AFD 和△CEB 中, ∠A=∠C ∠B=∠D AF=CE ì î í ï ï ï ï , ∴△AFD≌△CEB(AAS), ∴AD=CB. 第十三章 轴对称 要点回顾 1.重合 对称轴 2.对称 对称轴 对 应 对称点 3.(1)垂直平分线 (2)相等 6.(x,-y) (-x,y) 7.(1)两边 (2)① ·2·