专题1.3 交集、并集（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

专题1.3 交集、并集（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 交集运算】 2 【题型2 根据交集运算结果求集合或参数】 3 【题型3 并集运算】 5 【题型4 根据并集运算结果求集合或参数】 6 【题型5 交、并、补集的混合运算】 7 【题型6 根据集合的混合运算求集合或参数】 8 【题型7 Venn图的应用】 10 【题型8 区间的定义与表示】 13 【题型9 集合运算中的新定义问题】 14 知识点1 交集、并集 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 2．交集的性质 性质 说明 A∩B＝B∩A 满足交换律 A∩A＝A 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 A∩∅＝∅ 任何集合与空集的交集等于空集 (A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 两个集合的交集是其中任一集合的子集 3．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 4．并集的性质 性质 说明 A∪B＝B∪A 满足交换律 A∪A＝A 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 A∪∅＝A 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B) 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 5．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 6．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【题型1 交集运算】 【例1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【解答过程】因为集合，， 因此，. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一上·陕西汉中·期末）已知集合则，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】用列举法求出集合，根据交集运算即可求解. 【解答过程】, 所以， 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一上·山东·阶段练习）已知集合，则的元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据集合的交集的定义得，即可求得元素个数. 【解答过程】依题意可得，则的元素的个数为2. 故选：B. 【变式1-3】（24-25高一上·河南郑州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合交集定义进行求解即可. 【解答过程】因为， 所以 ， 故选：D. 【题型2 根据交集运算结果求集合或参数】 【例2】（24-25高一上·四川成都·期中）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据交集的计算结果可得集合间的关系，即可得解. 【解答过程】由知， 又，，所以， 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则实数（    ） A． B．1 C．2 D．或2 【解题思路】先由交集结果得，进而得，从而得到关于a的等量关系式计算求解a，再结合集合中元素的互异性检验即可得解. 【解答过程】因为，所以， 所以且，所以或， 解得或或， 当时，，，与集合中元素互异性矛盾，不符合； 当时，，，满足，符合； 当时，，，与集合中元素互异性矛盾，不符合. 综上，. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，，对实数的取值范围进行分类讨论，求出集合，根据集合的包含关系验证可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为，则，且集合或，. 当时，则，合乎题意； 当时，则， 因为，则，解得； 当时，， 因为，则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式2-3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由交集的运算和一元二次不等式的求解即可得到答案； 【解答过程】若中恰含有3个整数且可得， 若，由集合可得，不符合题意； 若，由集合可得， 此时，因为，所以， 所以实数a的取值范围是， 故选：B. 【题型3 并集运算】 【例3】（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】应用集合的并运算求集合即可. 【解答过程】由. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得，然后可求并集． 【解答过程】由得， ∴， 又∵， 故． 故选：A. 【变式3-2】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先得，再由集合的并集运算可得. 【解答过程】， 故， 故选：D. 【变式3-3】（24-25高一上·河南周口·期末）若集合，则中元素的个数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【解题思路】由集合的并集的定义求得后可得． 【解答过程】因为， 所以中有4个元素． 故选：C． 【题型4 根据并集运算结果求集合或参数】 【例4】（24-25高一上·福建莆田·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可得，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为集合，，且，则， 所以，. 故选：D. 【变式4-1】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）设集合，则满足的集合的个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【解题思路】根据条件可得，列举出集合即可确定选项. 【解答过程】由题意得，. 由得，， ∴，，或，共4个. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，可得即可得解. 【解答过程】依题意，，可得． 故选：A. 【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由可得，进而结合包含关系求解即可. 【解答过程】由，， 因为，所以，则， 即实数的取值集合是. 故选：B. 【题型5 交、并、补集的混合运算】 【例5】（24-25高一上·广西来宾·期中）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合的运算先求，再求即可. 【解答过程】因为，，故，故. 故选:A. 【变式5-1】（24-25高一上·天津红桥·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合的运算法则计算． 【解答过程】由题意，所以． 故选：B． 【变式5-2】（2025·四川眉山·三模）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合的交并补运算逐项判断即可. 【解答过程】对A,由，选项A错误； 对B,，选项B错误； 对C,，选项C错误； 对D,因为，所以，所以选项D正确. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合间的基本关系及集合的基本运算，借助Venn图即可求解. 【解答过程】由得当时，，故选项A不正确； ，当时，，故选项B不正确； 当时，，故选项C不正确； 因为，所以，故选项D正确. 故选：D. 【题型6 根据集合的混合运算求集合或参数】 【例6】（24-25高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【解题思路】由，得到，分与讨论即可. 【解答过程】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需， 解得：，综上得：，则实数的取值范围为. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求得或，结合，即可求解. 【解答过程】由集合，，可得或， 因为，则满足. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可； （2）由可得，分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）当时，， 所以， （2）由题意，得或， 因为，所以 ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 【变式6-3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知集合，． (1)当时，求； (2)若________，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据题意，求得或，，结合集合的运算，即可求解； （2）由或和， 若选择①：得到，结合集合的运算，列出不等式，即可求解； 若选择②③，转化为，列出不等式，即可求得的取值范围. 【解答过程】（1）由不等式，解得或，可得或， 当时，可得，则， 所以． （2）由集合或和， 若选择①：由或，可得， 要使得，则，解得，所以实数的取值范围为； 若选择②：由，即，可得，解得，所以实数的取值范围为； 若选择③：由，可得，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 【题型7 Venn图的应用】 【例7】（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知全集，则图中的阴影部分所表示的集合等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据韦恩图可知，图中的阴影部分为，利用交并补的运算即可求得. 【解答过程】由图可知，图中的阴影部分所表示的集合为, 因，，故. 故选：A. 【变式7-1】（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）如图，已知矩形表示全集，、是的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系，即可得出合适的选项. 【解答过程】在阴影部分区域内任取一个元素， 则且，即且， 所以，阴影部分可表示为. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高一上·广东广州·期中）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（   ）人. A．3 B．9 C．19 D．14 【解题思路】画出韦恩图求解即可. 【解答过程】解：设只参加射击的人数为x，同时参加射击和径赛比赛的人数为y，只参加径赛的人数为z，作出韦恩图，如图所示： 则由韦恩图得： ，解得， 所以只参加一项比赛的有人. 故选：C. 【变式7-3】（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【解题思路】根据题意，结合venn图，列式运算得解. 【解答过程】 由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目， 所以这个班同学人数是 . 故选：B. 知识点2 区间 1．区间 (1)设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. (2)区间的几何表示 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] (3)特殊区间的几何表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 【题型8 区间的定义与表示】 【例8】（25-26高一上·全国·课后作业）将数集用区间表示为 ． 【解题思路】由区间的定义可得. 【解答过程】由区间的定义可得，数集可表示为. 故答案为：. 【变式8-1】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，，则 （答案用区间表示）. 【解题思路】根据题设及定义有或，利用集合交运算求结果. 【解答过程】由或 所以或，又， 所以. 故答案为：. 【变式8-2】（24-25高一·上海·课堂例题）用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【解题思路】由区间的书写形式即可求解． 【解答过程】（1）写成区间即为． （2）不等式解得，写成区间即为． 【变式8-3】（24-25高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解题思路】根据区间与集合的对应关系即可写出对应的区间表示. 【解答过程】（1）； （2）； （3）； （4）. 【题型9 集合运算中的新定义问题】 【例9】（24-25高一上·河南平顶山·阶段练习）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案. 【解答过程】因为，所以或 所以或，或 所以或，， 代入验证得点在该直线上， 故. 故选：D. 【变式9-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）设全集，集合、是的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】对的元素个数进行分类讨论，列举出集合、，即可得出结果. 【解答过程】由题意可知，，，分以下几种情况讨论： （1），则，只有种情况； （2）当有个元素，有种情况，如时， 因为为“好集”，有种情况：，；、. 此时，共有种情况； （3）当有个元素时，则或或 ， 如，因为为“好集”，有以下种情况： ，；，； ，；，. 此时，共有种情况； （4）当有个元素时，则， 因为为“好集”，有以下种情况： ，；，； ，；，； ，；，； ，；，. 综上所述，所有“好集”的个数为. 故选：B. 【变式9-2】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【解题思路】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【解答过程】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 【变式9-3】（24-25高一上·海南海口·阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 【解题思路】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）利用（1）（2）的结论，结合给定的集合运算结果，按是否为空集分类求解. 【解答过程】（1）对任意的，有，， 全集且， 则 由，得，或，或， 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2），由且，，得，， 因此，所以. （3）由（1）（2）知，，，则， 假设集合，能满足，则，或且， 又，当时，；当时，解得，经验证，或都符合要求， 所以实数的值为0或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 交集、并集（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 交集运算】 2 【题型2 根据交集运算结果求集合或参数】 3 【题型3 并集运算】 3 【题型4 根据并集运算结果求集合或参数】 3 【题型5 交、并、补集的混合运算】 4 【题型6 根据集合的混合运算求集合或参数】 4 【题型7 Venn图的应用】 5 【题型8 区间的定义与表示】 7 【题型9 集合运算中的新定义问题】 8 知识点1 交集、并集 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 2．交集的性质 性质 说明 A∩B＝B∩A 满足交换律 A∩A＝A 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 A∩∅＝∅ 任何集合与空集的交集等于空集 (A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 两个集合的交集是其中任一集合的子集 3．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 4．并集的性质 性质 说明 A∪B＝B∪A 满足交换律 A∪A＝A 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 A∪∅＝A 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B) 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 5．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 6．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【题型1 交集运算】 【例1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·陕西汉中·期末）已知集合则，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·山东·阶段练习）已知集合，则的元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（24-25高一上·河南郑州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据交集运算结果求集合或参数】 【例2】（24-25高一上·四川成都·期中）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则实数（    ） A． B．1 C．2 D．或2 【变式2-2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 并集运算】 【例3】（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·河南周口·期末）若集合，则中元素的个数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【题型4 根据并集运算结果求集合或参数】 【例4】（24-25高一上·福建莆田·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）设集合，则满足的集合的个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【变式4-2】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【题型5 交、并、补集的混合运算】 【例5】（24-25高一上·广西来宾·期中）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·天津红桥·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·四川眉山·三模）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 根据集合的混合运算求集合或参数】 【例6】（24-25高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【变式6-1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【变式6-3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知集合，． (1)当时，求； (2)若________，求实数的取值范围． 【题型7 Venn图的应用】 【例7】（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知全集，则图中的阴影部分所表示的集合等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）如图，已知矩形表示全集，、是的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·广东广州·期中）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（   ）人. A．3 B．9 C．19 D．14 【变式7-3】（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 知识点2 区间 1．区间 (1)设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. (2)区间的几何表示 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] (3)特殊区间的几何表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 【题型8 区间的定义与表示】 【例8】（25-26高一上·全国·课后作业）将数集用区间表示为 ． 【变式8-1】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知，记符号表示不大于的最大整数，集合，，则 （答案用区间表示）. 【变式8-2】（24-25高一·上海·课堂例题）用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【变式8-3】（24-25高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型9 集合运算中的新定义问题】 【例9】（24-25高一上·河南平顶山·阶段练习）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）设全集，集合、是的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【变式9-3】（24-25高一上·海南海口·阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$