5 第19章 矩形、菱形与正方形-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（华东师大版）

∴∠BAE=50°, ∴∠DAE=180°-50°-80°=50°. 【中考热身】 1.AB=CD(答案不唯一) 2.20 3.B 4.A 5.证 明:∵四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边形, ∴AB∥CD,AB=CD. ∴∠ABD=∠CDB. 又∵∠ABE+∠ABD=180°,∠CDB +∠CDF=180°, ∴∠ABE=∠CDF. 在 △ABE 与 △CDF 中,AB =CD, ∠ABE=∠CDF,BE=DF, ∴△ABE≌△CDF(SAS). ∴AE=CF. 6.证明:在▱ABCD 中, AD∥BC,AB=CD,∠ABC=∠ADC, ∴∠ABD=∠CDB, 又∵AM⊥BC,CN⊥AD, ∴∠BAM=∠DCN, ∴△ABE≌△CDF. ∴AE=CF,∠AEB=∠CFD. ∴∠AEF=∠CFE. ∴AE∥CF, ∴四边形AECF 为平行四边形. 第19章 矩形、菱形与正方形 【要点回顾】 1.(1)直角 平行四边形 (2)①直角 ②相等 (3)①三 ②相等 平行四边形 2.(1)相等 平行四边形 (2)①相等 ②垂直平分 (3)①四 ②垂直 平行四边 形 3.(1)①相等 ②直角 ③相等 垂直 平分 (2)①菱形 ②矩形 【基础过关】 1.8 2.20 24 3.AB=AD(答案不 唯一) 4.4 5.①或③ 6.5 7.A 8.C 9.B 10.B 11.解:(1)QM+PM=AB. 理由是:∵QM∥AC,PM∥AB,∴四边 形AQMP 是平行四边形,∴AP=QM,AQ= PM,∠QMB=∠C,∵AB=AC,∴∠B= ∠C,∴∠QMB=∠B,∴BQ=QM,∴AB= AQ+BQ=QM+PM; (2)当M 为BC 中点时,四边形AQMP 是菱形. 理由是:连结 AM,∵AB=AC,M 为 BC 中点,∴∠BAM=∠CAM, ∵QM∥AC,∴∠QMA=∠CAM, ∴∠QAM=∠QMA,∴AQ=QM, ∵QM∥AC,PM∥AB, ∴四边形AQMP 是平行四边形, ∴四边形AQMP 是菱形. 【综合提升】 1.5 2.12 3.2.4 4.B 5.B 6.C 7.证明:∵AE 平分∠BAC, ∴∠CAE=∠HAE. ∵EH⊥AB 于H, ∴∠AHE=∠ACB=90°. 又∵AE=AE,∴△ACE≌△AHE. ∴EC=EH,AC=AH. 又∵∠CAE=∠HAE,AF=AF, ∴△AFC≌△AFH.∴FC=FH. ∵CD⊥AB 于D,∴∠DAF+∠AFD =∠CAE+∠AEC=90°. 又∵∠DAF=∠CAE,∠AFD=∠CFE. ∴∠CFE=∠CEF.∴CF=CE. ∴EC=EH=HF=FC. ∴四边形CFHE 是菱形. 【中考热身】 1.6 2.AB=AD(或AB=BC 或AC ⊥BD 等) 3.C 4.C 5.证明:如图,由折叠可知 AE=ED, AF=DF, ·9· ∴∠1=∠2,∠3=∠4. 又∵AD 平分∠BAC, ∴∠1=∠3. ∴∠1=∠2=∠3=∠4. ∴AE∥DF,AF∥ED. ∴四边形AEDF 为平行四边形, ∴四边形AEDF 为菱形. 第20章 数据的整理与初步处理 【要点回顾】 1.(1) x1+x2+…+xn-1+xn n (2)次 数 比例 2.中间 中间 平均数 3.最 多 不止 没有 4.平均数 差 平方 平均数 【基础过关】 1.2 2.中位数 3. 7 6 4.2 5.13 6.a2s2 7.D 8.C 9.A 10.B 11.解:(1)中位数是11.2,众数是11.4. (2)方法一:从样本数据的中位数是11.2 得到,可以估计在这次坐位前屈的成绩测试 中,全市大约有一半学生的成绩大于11.2厘 米,有一半学生的成绩小于11.2厘米,这位学 生的成绩是11.3厘米,大于中位数11.2厘米, 可以推测他的成绩比一半以上学生的成绩好. 方法二:从样本数据的平均数是10.9得 到,可以估计在这次坐位前屈的成绩测试中, 全市学生的平均成绩是10.9厘米,这位学生 的成绩是11.3厘米,大于平均成绩,可以推 测他的成绩比全市学生的平均成绩好. (3)如果全市有一半左右的学生评定为 “优秀”等级,标准成绩应定为“11.2厘米” (中位数).因为从样本情况看,成绩在11.2 厘米以上(含11.2厘米)的学生占总人数的 一半左右,可以估计,如果标准成绩定为11.2 厘米,全市将有一半左右的学生能够评定为 “优秀”等级. 【综合提升】 1.甲 2.2.5或3.5 3.2 4.9 5.A 6.B 7.解:(1)甲; (2)甲的平均成绩为:(85×6+92×4)÷ 10=87.8(分) 乙的平均成绩为:(91×6+85×4)÷10 =88.6(分) 丙的平均成绩为:(80×6+90×4)÷10 =84(分) 乙的平均分数最高,所以乙将被录取. 【中考热身】 1.0 2.6 6 3.2.16 4.D 5.解:(1)依题意得: 3×1+6a+7×1+8×1+9×1+10b=6.7×10, 1+a+1+1+1+b=10.{ 解得 a=5, b=1.{ (2)七年级成绩为3,6,6,6,6,6,7,8,9, 10,中位数为6,即m=6;优秀率为 1+1 10 = 1 5 =20%,即n=20%.∴m=6,n=20%. (3)①八年级队平均分高于七年级队; ②八年级队的成绩比七年级队稳定;③八年 级队的成绩集中在中上游,所以八年级队成 绩好.(注:任说两条即可) 六、八年级下册过关检测 一、1.-2 2.3.5×10-8 3.40° 4.5 5.7 6.98 102 7. x=-4, y=-2{ 8.80° 9.y=- 6 x 10.81 二、11.C 12.B 13.B 14.D 15.A 16.C 17.B 18.D 19.D 20.D 三、21.解:原式= [ x-1(x+1)(x-1)+ 1 x+1] ·x (x+1) 4 = 2 x+1 ·x (x+1) 4 = x 2 ,当x= ·01· 第 一 部 分 夯 实 基 础 第19章 矩形、菱形与正方形 1.矩形:(1)定义:有一个角为 的 是矩形.(2)性质:①矩形的四个角 都是 .②矩形的对角线 . (3)判定:①有 个角是直角的四边形是 矩形.②对角线 的 是矩形. 2.菱形:(1)定义:有一组邻边 的 是菱形.(2)性质:①菱形的四条 边都 .②菱形的对角线互相 . (3)判定:① 条边都相等的四边形是 菱形.②对角线互相 的 是 菱形. 3.正方形:(1)性质:①四条边都 . ②四个角都是 .③对角线 且互相 .(2)判定:①有一个角是直 角的 是正方形.②有一组邻边相等 的 是正方形. 例1 (哈 尔 滨 中 考 题)如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,若点P 在AD 边 上,连结BP,PC,△BPC 是以PB 为腰的等 腰三角形,则PB 的长为 . 解析:本题应分类讨论,按BC 为底或腰 进行分类:若BC 为底,则画出图形后利用全 等三角形和勾股定理进行求解;若BC 为腰, 则BC=BP=6. 解:如图1,当BC 为底边时,则点P 是 线段AD 的 中 点,由“SAS”可 证△ABP≌ △DCP,故PB=PC.在Rt△ABP 中,由勾 股定理,得PB= AB2+AP2= 42+32= 5.如图2,当CP 为底边时,则BP=BC=6. 综上所述,符合条件的PB 的长为5或6.故 填5或6. 点评:本题综合考查了矩形、全等三角 形、等腰三角形、勾股定理等知识及分类思 想,属于一道易错题.当点P 是边AD 的中点 时,则由轴对称性质易知PB=PC,由勾股 定理易求PB 的长;当PB=BC 时,则可直 接得到PB 的长,故分类思想的渗透非常之 重要. 例2 (安 顺 中 考 题)如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN 是 △ABC 的 外 角 ∠CAM 的 平 分 线,CE ⊥ AN,垂足为点E. (1)求证:四边形ADCE 为矩形; (2)当△ABC 满足什么条件时,四边形 ADCE 是一个正方形? 并给出证明. 解析:(1)四边形 ADCE 中已知有两个 直角,要判定其是矩形,只需再证明有一个角 05 第 一 部 分 夯 实 基 础 是直角即可,通过观察可知,判断∠DAE 是 直角比较方便.(2)此题是条件结论都开放型 问题,答案不唯一,一般地,使矩形变为正方 形添加邻边相等或是对角线垂直都可以,可 以通过添加△ABC 的条件间接获得证明. 解:(1)证 明:在△ABC 中,AB=AC, AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC. ∵AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分 线,∴∠MAE=∠CAE. ∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= 1 2× 180°=90°. 又∵AD⊥BC,CE⊥AN, ∴∠ADC=∠CEA=90°. ∴四边形ADCE 为矩形. (2)例 如,当∠BAC=90°时,四 边 形 ADCE 是正方形. 证明:∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥ BC 于D,∴∠ACD=∠DAC=45°,∴DC =AD. 由(1)四边形ADCE 为矩形, ∴矩形ADCE 是正方形. 点评:矩形的判定方法有:(1)有三个角 是直角的四边形是矩形;(2)对角线互相平分 且相等的四边形是矩形;(3)有一个角为直角 的平行四边形是矩形;(4)对角线相等的平行 四边形是矩形. 正方形的判定方法有:(1)有一个角是直 角的菱形是正方形;(2)一组邻边相等的矩形 是正方形;(3)对角线相等的菱形是正方形; (4)对角线相互垂直的矩形是正方形. 例3 (厦 门 中 考 题)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AM⊥BC,垂足为 M, AN⊥DC,垂足为 N.若∠BAD=∠BCD, AM=AN,求证:四边形ABCD 是菱形. 解析:由AD∥BC 和∠BAD=∠BCD, 可判定四边形ABCD 是平行四边形,再证明 △AMB≌△AND 得AB=AD,进而得出四 边形ABCD 是菱形. 证明:∵AD ∥BC,∴ ∠BAD + ∠B =180°, ∵∠BAD=∠BCD, ∴∠BCD +∠B=180°,∴AB∥CD, ∴四边形ABCD 为平行四边形,∴∠B =∠D. ∵AM ⊥BC,AN ⊥DC,∴∠AMB= ∠AND=90°,∵AM =AN,∠B=∠D, ∴△AMB≌△AND,∴AB=AD.∴四边形 ABCD 为菱形. 点评:菱形的证明是四边形证明中的难 点,它的证明思路有三,一是先证明四边形是 平行四边形,再证明一组邻边相等;二是先证 明四边形是平行四边形,再证明对角线互相 垂直;三是证明四条边都相等. 1.矩形ABCD 中,对角线AC,BD 相交 于点O,∠AOB=60°,AB=4,则AC= . 2.菱形ABCD 中,AC=8,BD=6,则菱 形ABCD 的周长= ,面积= . 3.如图,已知平行四边形ABCD 的对角 线AC,BD 交于点O,DE∥AC,CE∥BD, 要使四边形 OCED 是矩形,则平行四边形 15 第 一 部 分 夯 实 基 础 ABCD 还必须添加的条件是 (填一 个即可). (第3题) (第4题) 4.(桂 林 中 考 题)如图,在矩形 ABCD 中,AB<BC,AC,BD 相交于点O,则图中 等腰三角形的个数是 . 5.已知四边形ABCD 中,∠A=∠B= ∠C=90°,现 有 四 个 条 件:①AC⊥BD; ②AC=BD;③BC=CD;④AD=BC.如果 添加这四个条件中的一个条件,即可推出该 四边形是正方形,那么这个条件可以是 . 6.(宿迁中考题)如图,正方形ABCD 的 边长为2,点E 为边BC 的中点,点P 在对角线 BD 上移动,则PE+PC 的最小值是 . 7.已知四边形ABCD 是平行四边形,下 列结论中不正确的有 ( ) ①当AB=BC 时,它是菱形;②当 AC ⊥BD 时,它是菱形;③当∠ABC=90°时,它 是矩形;④当AC=BD 时,它是正方形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.已知下列命题中:①矩形是轴对称图 形,且有两条对称轴;②两条对角线相等的四 边形是矩形;③有两个角相等的平行四边形 是矩形;④两条对角线相等且互相平分的四 边形是矩形.其中正确的有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 9.(曲 靖 中 考 题)如图,在矩形 ABCD 中,E,F 分别是AD,BC 的中点,连结AF, BE,CE,DF 分 别 交 于 点 M,N,四 边 形 EMFN是 ( ) A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.无法确定 (第9题) (第10题) 10.(重庆中考题)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O,∠ACB= 30°,则∠AOB 的大小为 ( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 11.如图所示,已知△ABC 中,AB=AC =a,M 为底边BC 上任意一点,过点 M 分 别作AB,AC 的平行线交AC 于P,交 AB 于Q. (1)问线段 QM,PM,AB 之间有什么 关系? (2)M 位于BC 的什么位置时,四边形 AQMP 为菱形? 25 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.(安顺中考题)如图,矩形ABCD 沿着 对角线BD 折叠,使点C 落在C'处,BC'交 AD 于点E,AD=8,AB=4,则DE 的长为 . (第1题) (第2题) 2.(白银中考题)如图,四边形ABCD 是 菱形,点O 是两条对角线的交点,过O 点的三 条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱 形的两条对角线的长分别为6和8时,阴影部 分的面积为 . 3.如图,在△ABC 中,AB=3,AC=4, BC=5,P 为边BC 上一动点,PE⊥AB 于 E,PF⊥AC 于F,则 EF 的最小值为 . (第3题) (第4题) 4.如图,四边形ABCD 是菱形,对角线 AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB 于点H, 且DH 与AC 交于G,则GH= ( ) A. 28 25cm B. 21 20cm C. 28 15cm D. 25 21cm 5.(东营中考题)如图,E,F 分别是正方 形ABCD的边CD,AD 上的点,且CE=DF, AE,BF 相交于点O,下 列 结 论:①AE= BF;②AE⊥BF;③AO=OE;④S△AOB = S四边形DEOF中,正确的有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 6.(雅安中考题)如图,正方形 ABCD 中,点E,F 分别在BC,CD 上,△AEF 是等 边三角形,连结AC 交EF 于G,下列结论: ①BE=DF;②∠DAF=15°;③AC 垂直平分 EF;④BE+DF=EF;⑤S△CEF=2S△ABE.其 中正确的结论有 个. ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 7.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,AE 平分∠BAC,分别与 BC, CD 交于E,F,EH⊥AB 于H,连结FH.求 证:四边形CFHE 是菱形. 35 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.(郴 州 中 考 题)如图,在矩形 ABCD 中,AB=8,BC=10,E 是AB 上一点,将矩 形ABCD 沿CE 折叠后,点B 落在AD 边的 点F 上,则DF 的长为 . 2.(三明中考题)如图,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,OA=OC,OB =OD,添加一个条件使四边形ABCD 是菱 形,那么所添加的条件可以是 (写出 一个即可). 3.(烟 台 中 考 题)如图,在菱形 ABCD 中,M,N 分别在AB,CD 上,且AM=CN, MN 与AC 交于点O,连结BO.若∠DAC= 28°,则∠OBC 的度数为 ( ) A.28° B.52° C.62° D.72° 4.(鄂州中考题)在矩形ABCD 中,AD =3AB,点 G,H 分别在AD,BC 上,连结 BG,DH,且 BG∥DH,当 AG AD= 时,四边形BHDG 为菱形. ( ) A. 4 5 B. 3 5 C. 4 9 D. 3 8 5.(淮 安 中 考 题)如图,在三角形纸片 ABC 中,AD 平分∠BAC,将△ABC 折叠, 使点 A 与点 D 重合,展开后折痕分别交 AB,AC 于点E,F,连结DE,DF.求证:四边 形AEDF 是菱形. 45