5 第18章 平行四边形-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（华东师大版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第18章 平行四边形 1.定义:两组对边分别 的四边 形是平行四边形. 2.性质:(1)平 行 四 边 形 的 对 边 . (2)平行四边形的对角 . (3)平行四边形的对角线 . 3.判定:(1)两组对边分别 的 四边形是平行四边形. (2)一组对边 且 的四 边形是平行四边形. (3)对角线 的四边形是平行四 边形. (4)两组对角分别 的四边形是 平行四边形. 4.两条平行线间的距离:(1)定义:两条直 线平行,其中一条直线上任一点到另一条直线 的 ,叫做两条平行线之间的距离.(2) 平行线之间的 处处相等. 例1 (济南中考题)如图,在▱ABCD 中,延长AB 到点E,使BE=AB,连结DE 交BC 于点F,则下列结论不一定成立的是 ( ) A.∠E=∠CDF B.EF=DF C.AD=2BF D.BE=2CF 解析:选项A直接应用平行四边形的性 质即 可;选 项 B 和 选 项 C 都 需 要 先 证 明 △DCF≌△EBF,选项D中BE 和CF 没有 确定的数量关系. 解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴CD∥BE,CD=AB,AD=BC, ∴∠C=∠FBE,∠CDF=∠E, ∵BE=AB, ∴CD=BE, ∴△DCF≌△EBF, ∴CF=BF,DF=EF, ∴BC=2BF, ∴AD=2BF, ∴选项A、B、C正确,故选D. 点评:在平行四边形中与角或线段相等 的有关问题一般利用平行线的性质、直接应 用平行四边形的性质或者是三角形全等来 解决. 例2 (徐 州 中 考 题)已 知:如 图,在 ▱ABCD 中,点E,F 在AC 上,且AE=CF. 求证:四边形BEDF 是平行四边形. 解析:根据平行四边形的性质,可得对角 线互相平分,根据对角线互相平分的四边形 是平行四边形,可得证明结论. 证明:如 图,连 结 BD,设 对 角 线 交 于 点O. 54 第 一 部 分 夯 实 基 础 ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. ∵AE=CF, ∴OA-AE=OC-CF, ∴OE=OF. ∴四边形BEDF 是平行四边形. 点评:平行四边形的性质可以分别从以 下三个方面去考虑:①从边着眼:平行四边形 的对边平行,平行四边形对边相等;②从角着 眼:平行四边形的对角相等,邻角互补;③从 对角线着眼:平行四边形的对角线互相平分. 判定一个四边形是否是平行四边形我们有三 种途径五种方法:即途径一:从边着眼:①两 组对边分别平行的四边形是平行四边形;② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形;途径二:从角着眼:④两组对角分别相等 的四边形是平行四边形;途径三:从对角线着 眼:⑤两条对角线互相平分的四边形是平行 四边形. 例3 如图,在▱ABCD 中,AC 交BD 于点O,点E,点F 分别是OA,OC 的中点, 请判断线段 BE,DF 的关系,并证明你的 结论. 解析:根据平行四边形的对角线互相平 分得出OA=OC,OB=OD,利用中点的意 义得出OE=OF,从而利用平行四边形的判 定定理“对角线互相平分的四边形是平行四 边形”判定BFDE 是平行四边形,从而得出 BE=DF,BE∥DF. 解:BE=DF,BE∥DF. 理由如下:连结DE,BF. ∵ABCD 是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. ∵E,F 分别是OA,OC 的中点, ∴OE=OF, ∴四边形BFDE 是平行四边形, ∴BE=DF,BE∥DF. 点评:证明两线段平行且相等的方法: ①通过三角形全等来证明;②通过证明这两 条线段的四个端点围成的四边形是平行四边 形来证明. 1.在▱ABCD 中,∠A=120°,则∠1= 度. 2.平行四边形的周长等于56cm,两邻 边长的比为3∶1,那么这个平行四边形较长 的边长为 cm. 3.如图,平行四边形ABCD 的对角线交 于点O,AC⊥BC,若 AB=10,AD=6,则 OA= . 4.平行四边形ABCD 的周长为20cm, 对角线AC,BD 相交于点O,若△BOC 的周 长比△AOB 的周长大2cm,则CD= cm. 5.在四边形ABCD 中,AC,BD 相交于 点O,若 AC=12cm,BD=10cm,那么,当 AO= cm,OD= cm时,四边 形ABCD 为平行四边形. 64 第 一 部 分 夯 实 基 础 6.如图,点E,F 在▱ABCD 的对角线 BD 上,要使四边形AECF 是平行四边形,还 需添加一个条件 (只需写出一个结 论,不必考虑所有情况). 7.下列性质中,平行四边形一定具备的有 ( ) ①对边平行且相等;②对角互补;③对角 线互相平分;④对角相等 A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 8.如图,在平行四边形ABCD 中,AC, BD 交于点O,AC=8,BD=6,则AB 的取 值范围是 ( ) A.1<AB<7 B.2<AB<4 C.6<AB<8 D.3<AB<4 9.下列条件能判定四边形ABCD 是平 行四边形的是 ( ) A.∠A=∠B,∠C=∠D B.AB=AD,BC=CD C.AB∥CD,AD=BC D.AB=CD,AD=BC 10.如图,在▱ABCD 中,EF∥AB,GH ∥AD,EF 与GH 交于点O,则该图中的平行 四边形的个数共有 ( ) A.7个 B.8个 C.9个 D.11个 11.如图,已知平行四边形 ABCD 中, F,G 是 AB 边 上 的 两 个 点,且 FC 平 分 ∠BCD,GD 平分∠ADC,FC 与GD 相交于 点E,求证:AF=GB. 74 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.如图,在▱ABCD 中,AC,BD 相交于 点O,OE⊥BD 交AD 于点E,若△ABE 的 周长为5cm,则▱ABCD 的周长为 cm. 2.如图所示,六边形ABCDEF 中,AB 平行且等于ED,AF 平行且等于CD,BC 平 行且等于FE,对角线FD⊥BD.已知FD= 24cm,BD=18cm.则六边形 ABCDEF 的 面积是 平方厘米. 3. 如图,过▱ABCD 的对角线BD 上一 点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH,那么图中的▱AEMG 的面积S1与 ▱HCFM 的面积S2的大小关系是 ( ) A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1=S2 D.2S1=S2 4. 如图,四边形ABCD 是平行四边形, 点E 在边BC 上,如果点F 是边AD 上的 点,那么不一定使△CDF 与△ABE 全等的 条件是 ( ) A.DF=BE B.AF=CE C.CF=AE D.CF∥AE 5. 如 图,AE∥BD,BE∥DF,AB∥ CD,下面给出四个结论:①AB=CD;②BE =DF;③SABDC=SBDFE;④S△ABE=S△DCF. 其中正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6. 如图,已知平行四边形 ABCD,DE 是∠ADC 的角平分线,交BC 于点E. (1)求证:CD=CE; (2)若 BE=CE,∠B=80°,求∠DAE 的度数. 84 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.(淮安中考题)如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,要使得四边形ABCD 是平行 四边形,应添加的条件是 (只填写一 个条件,不使用图形以外的字母和线段). 2.(福州中考题)如图,在▱ABCD 中, DE 平 分 ∠ADC,AD =6,BE =2,则 ▱ABCD 的周长是 . 3.(十 堰 中 考 题)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=4,BC=6,AC 的垂直平分 线交AD 于点E,则△CDE 的周长是( ) A.7 B.10 C.11 D.12 4.(铁 岭 中 考 题)如 图,▱ABCD 中, ∠ABC 和∠BCD 的平分线交于AD 边上一 点E,且BE=4,CE=3,则AB 的长是 ( ) A. 5 2 B.3 C.4 D.5 5.(郴 州 中 考 题)如 图,已 知 四 边 形 ABCD 是平行四边形,点E,B,D,F 在同一 直线上,且BE=DF.求证:AE=CF. 6.(青海中考题)如图,已知▱ABCD,过 A 作AM⊥BC 于 M,交BD 于E,过C 作 CN⊥AD 于N,交BD 于F,连结AF,CE. 求证:四边形AECF 为平行四边形. 94 (2)把A -4, 1 2 æ è ç ö ø ÷,B(-1,2)代入y= kx+b,解得k= 1 2 ,b= 5 2 , 所以一次函数解析式为y= 1 2x+ 5 2. 把B(-1,2)代入y= m x ,得m=-2. (3)设点P 的坐标为(m,n), 由△PCA 和△PDB 面积相等,可列方 程1 2×AC×|xP-xA|= 1 2×BD×|yB- yP|,即 1 4 (m+4)= 1 2 (2-n),化简得m= -2n, 再把P(m,n)代入y= 1 2x+ 5 2 ,得n= 1 2m+ 5 2 ,因此解得m=- 5 2 ,n= 5 4 , ∴点P 的坐标为 - 5 2 ,5 4 æ è ç ö ø ÷. 【中考热身】 1.2200米 2.2 3.A 4.D 5.解:(1)由图②知:A'点的坐标为(4, 2),B'点的坐标为(8,0). 把(4,2)代入y= k x ,得2= k 4 ,解得k =8, ∴反比例函数表达式为y= 8 x ; 把(4,2),(8,0)代 入 y=ax+b,得 4a+b=2, 8a+b=0.{ 解得 a=- 1 2 , b=4. ì î í ïï ï ∴一次函数表达式为y=- 1 2x+4. (2)当△AOB 向右平移m 个单位时,A' 点的坐标为(m,2),B'点的坐标为(m+4, 0),则A'B'的中点M 的坐标为(m+2,1). 把(m,2)代入y= k x ,得k=2m;把(m +2,1)代入y= k x ,得k=m+2, ∴2m=m+2,解得m=2. ∴当m=2时,反比例函数y= k x 的图 象经过点A'及A'B'的中点M. 第18章 平行四边形 【要点回顾】 1.平行 2.(1)相等 (2)相等 (3)互 相平分 3.(1)相等 (2)平行 相等 (3)互相 平 分 (4)相等 4.(1)距 离 (2)距离 【基础过关】 1.60 2.21 3.4 4.4 5.6 5 6.DF=BE(答案不唯一) 7.B 8.A 9.D 10.C 11.证明:在平行四边形ABCD 中,AB ∥CD, ∴∠CDG=∠AGD,∠DCF=∠BFC, ∵DG、CF 分别平分∠ADC、∠BCD, ∴∠ADG=∠CDG,∠DCF=∠BCF, ∴∠ADG=∠AGD,∠BCF=∠BFC, ∴AG=AD,BF=BC, 又∵AD=BC, ∴AG=BF, ∴AF=GB. 【综合提升】 1.10 2.432 3.C 4.C 5.D 6.解:(1)证明:如 图,在 平 行 四 边 形 ABCD 中,AD∥BC, ∴∠1=∠3. 又∵∠1=∠2, ∴∠2=∠3, ∴CD=CE. (2)由平行四边形ABCD 得,AB=CD, 又∵CD=CE,BE=CE, ∴AB=BE,∴∠BAE=∠BEA. ∵∠B=80°, ·8· ∴∠BAE=50°, ∴∠DAE=180°-50°-80°=50°. 【中考热身】 1.AB=CD(答案不唯一) 2.20 3.B 4.A 5.证 明:∵四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边形, ∴AB∥CD,AB=CD. ∴∠ABD=∠CDB. 又∵∠ABE+∠ABD=180°,∠CDB +∠CDF=180°, ∴∠ABE=∠CDF. 在 △ABE 与 △CDF 中,AB =CD, ∠ABE=∠CDF,BE=DF, ∴△ABE≌△CDF(SAS). ∴AE=CF. 6.证明:在▱ABCD 中, AD∥BC,AB=CD,∠ABC=∠ADC, ∴∠ABD=∠CDB, 又∵AM⊥BC,CN⊥AD, ∴∠BAM=∠DCN, ∴△ABE≌△CDF. ∴AE=CF,∠AEB=∠CFD. ∴∠AEF=∠CFE. ∴AE∥CF, ∴四边形AECF 为平行四边形. 第19章 矩形、菱形与正方形 【要点回顾】 1.(1)直角 平行四边形 (2)①直角 ②相等 (3)①三 ②相等 平行四边形 2.(1)相等 平行四边形 (2)①相等 ②垂直平分 (3)①四 ②垂直 平行四边 形 3.(1)①相等 ②直角 ③相等 垂直 平分 (2)①菱形 ②矩形 【基础过关】 1.8 2.20 24 3.AB=AD(答案不 唯一) 4.4 5.①或③ 6.5 7.A 8.C 9.B 10.B 11.解:(1)QM+PM=AB. 理由是:∵QM∥AC,PM∥AB,∴四边 形AQMP 是平行四边形,∴AP=QM,AQ= PM,∠QMB=∠C,∵AB=AC,∴∠B= ∠C,∴∠QMB=∠B,∴BQ=QM,∴AB= AQ+BQ=QM+PM; (2)当M 为BC 中点时,四边形AQMP 是菱形. 理由是:连结 AM,∵AB=AC,M 为 BC 中点,∴∠BAM=∠CAM, ∵QM∥AC,∴∠QMA=∠CAM, ∴∠QAM=∠QMA,∴AQ=QM, ∵QM∥AC,PM∥AB, ∴四边形AQMP 是平行四边形, ∴四边形AQMP 是菱形. 【综合提升】 1.5 2.12 3.2.4 4.B 5.B 6.C 7.证明:∵AE 平分∠BAC, ∴∠CAE=∠HAE. ∵EH⊥AB 于H, ∴∠AHE=∠ACB=90°. 又∵AE=AE,∴△ACE≌△AHE. ∴EC=EH,AC=AH. 又∵∠CAE=∠HAE,AF=AF, ∴△AFC≌△AFH.∴FC=FH. ∵CD⊥AB 于D,∴∠DAF+∠AFD =∠CAE+∠AEC=90°. 又∵∠DAF=∠CAE,∠AFD=∠CFE. ∴∠CFE=∠CEF.∴CF=CE. ∴EC=EH=HF=FC. ∴四边形CFHE 是菱形. 【中考热身】 1.6 2.AB=AD(或AB=BC 或AC ⊥BD 等) 3.C 4.C 5.证明:如图,由折叠可知 AE=ED, AF=DF, ·9·