5 第17章 函数及其图象-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（华东师大版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第17章 函数及其图象 1.函数有关概念 (1)常量与变量:在某一变化过程中,可 以取 的量叫做变量,数值保持 的量叫做常量. (2)函数概念:一般地,如果在一个变化 的过程中,有两个变量x 和y,并且对于变量 x 的每一个值,变量y 都有 的值与 它对应,那么称y是x 的函数.其中,x 是 量,y 是 量. (3)函数的表示方法: 法、 法、 法. (4)直角坐标系:平面上有 且 互相 的两条数轴构成平面直角坐标 系,简称为直角坐标系.其中水平方向的数轴 称为x 轴或横轴,竖直方向的数轴称为y 轴 或纵轴.公共原点称为坐标原点. (5)函数的图象:在直角坐标系中,如果 描述以 的值为横坐标,相应的 为纵坐标的点,那么所有这样的点组成 的图形叫做这个函数的图象. 2.一次函数概念及性质:(1)一次函数: 一般地,形如y= (k,b 是常数,k≠ 0)的函数是一次函数;当b=0时,一次函数 y= 叫做正比例函数.(2)一次函数 y= (k≠0)的图象是一条 (一 般称 ).(3)一次函数的增减性:①k 0⇔y 随x 的增大而 ,随x 的减小而 ⇔从左向右 ,从 右向左 .②k 0⇔y 随x 的 增大而 ,随x 的减小而 ⇔ 从左向右 ,从右向左 . (4)求一次函数表达式的步骤:①设出函数的 表达式y= (正比例函数可设为y = ).②根据已知条件列 求 出k,b的值.③把k,b代入到函数表达式中, 写出所求函数 .这种方法也是我们 求其他特殊函数表达式的一般方法,人们通 常称它为待定系数法. 3.反比例函数概念及性质:(1)反比例 函数的定义:形如y= (k 为常数,k ≠0)的函数称为反比例函数. (2)反比例函数的性质:反比例函数的图 象是 ,当k 0时,两支曲线 分别位于第 象限内,在每一象限 中,y 的值随x 值的增大而 ;当k 0时,两支曲线分别位于第 象限内,在每一象限中,y 的值随x 值的增大 而 . 例1 甲、乙两家体育用品商店出售同 样的乒乓球拍和乒乓球,乒乓球拍每副定价 30元,乒乓球每盒定价5元.现两家商店搞促 销活动,甲店:每买一副球拍赠一盒乒乓球; 乙店:按定价的9折优惠.某班级需购球拍 4副,乒乓球若干盒(不少于4盒). (1)设购买乒乓球盒数为x(盒),在甲店 购买的付款数为y甲(元),在乙店购买的付 款数为y乙(元),分别写出在两家商店购买 的付款数与乒乓球盒数x 之间的函数关 系式; (2)就乒乓球盒数讨论去哪家商店买 93 第 一 部 分 夯 实 基 础 合算. 解析:(1)因为甲商店规定每买1副乒乓 球拍赠1盒乒乓球,所以y甲=30×4+5× (x-4)=100+5x(x≥4);因为乙商店规定 所有商品9折优惠,所以y乙=30×4×0.9+ 5x×0.9=4.5x+108(x≥4). (2)当x=16时,在乙商店购买所需商 品和在乙商店购买所需商品一样便宜;当x >16时,在乙商店购买所需商品比较便宜; 当4≤x<16时,在甲商店购买所需商品比 较便宜. 解:(1)由题意得y甲=30×4+5×(x- 4)=100+5x(x≥4), y乙=30×4×0.9+5x×0.9=4.5x+ 108(x≥4); (2)当y甲=y乙 时,即100+5x=4.5x+ 108,解得x=16,到两店价格一样;当y甲> y乙 时,即100+5x>4.5x+108,解得x> 16,到乙店合算;当y甲<y乙 时,即100+5x <4.5x+108,解得4≤x<16,到甲店合算. 点评:阅读理解题的解题关键是读懂题 意,列对函数关系式;第(2)小题比较大小要 注意分类讨论. 例2 (山西中考题)如图,已知一次函 数y=kx-4的图象与x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,与反比例函数y= 8 x 在第一象限 内的图象交于点C,且A 为BC 的中点,则k = . 解析:先确定B 点纵坐标,过C 点作CD ⊥x轴于D,利用AAS证明△BOA≌△CDA, 从而求得C 点的纵坐标为4,再利用反比例 函数图象上点的坐标特征可确定C 点坐标, 然后把C 点坐标代入y=kx-4即可得到k 的值. 解:过C 点作CD⊥x 轴于D.把x=0 代入y=kx-4得y=-4,则 B 点坐标为 (0,-4),∴OB=4. ∵A 为 BC 的 中 点,∴AB =AC.又 ∠AOB=∠ADC=90°,∠BAO=∠CAD, ∴△AOB≌△ADC,∴CD=BO=4,∴C 点 的纵坐标为4,把y=4代入y= 8 x ,得x=2, ∴C 点坐标为(2,4),把C(2,4)代入y=kx -4,得2k-4=4,解得k=4.故答案为4. 点评:已知点在函数图象上,那么这点一 定满足其函数解析式,反之也成立;理解反比 例函数与一次函数的交点 意义:交点坐标同 时满足两个函数解析式.另外,利用数形结合 方法求点的坐标,通常通过作高,利用三角形 全等或相似的方法求出高的长度,从而求得 点的坐标. 例3 (玉林中考题)工匠制作某种金属 工具要进行材料煅烧和锻造两个工序,即需 要将材料煅烧到800℃,然后停止煅烧进行 锻造操作.第8min时,材料温度降为600℃, 煅烧时,温度y(℃)与时间x(min)成一次函 数关系;锻造时,温度y(℃)与时间x(min) 04 第 一 部 分 夯 实 基 础 成反比例关系(如图),已知该材料初始温度 是32℃. (1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的 函数关系式,并且写出自变量x的取值范围; (2)根据工艺要求,当材料温度低于480℃ 时应停止操作,那么锻造的操作时间有多长? 解析:根据点 A,B 的坐标可求得线段 AB 所在直线的函数解析式,根据点C 坐标 可求得锻造阶段的函数解析式,先求得锻造 阶段的解析式才能确定点B 的坐标. 解:(1)设锻造时的函数关系式为y= k x ,则600= k 8 ,∴k=4800,当y=800时, 800= 4800 x ,x=6,∴点 B 坐标为(6,800). ∴锻造时解析式为y= 4800 x (x≥6). 设煅烧时的函数关系式为y=kx+b, 则 b=32, 6k+b=800,{ 解得 k=128, b=32,{ ∴煅烧时解析式为y=128x+32(0≤x ≤6). (2)x=480时,y= 4800 480=10 ,10-6 =4, ∴锻造的操作时间有4分钟. 点评:解答此类问题的关键是读懂函数 图象所对应的实际含义,确定两个变量之间 的函数关系,然后利用待定系数法求出它们 的关系式. 1.函数y=(m+1)x|m|是正比例函数, 则m 的值为 . 2.函数y=(m-2)x+5-m 是一次函 数,则m 满足的条件是 ,若此函数 是正比例函数,则m 的值为 . 3.直线y=kx+1向右平移1个单位, 再向上平移2个单位后恰好经过(-2,1),则 k= . 4.直线y=kx 经过向上平移2个单位 后,恰好经过点(-1,0),则不等式x-4< kx+2的解集为 . 5.(娄底中考题)如图,M 为反比例函数 y= k x 的图象上的一点,MA⊥y 轴,垂足为 A,△AMO 的面积为2,则k的值为 . 6.关于函数y=-2x+1,下列结论正 确的是 ( ) A.图象必经过点(-2,1) B.图象经过第一、二、三象限 C.当x> 1 2 时,y<0 D.y 随x 的增大而增大 7.函数y=-6x+3的图象可看作由直 线y=-6x-2向 得到. ( ) A.上平移5个单位 14 第 一 部 分 夯 实 基 础 B.下平移5个单位 C.左平移5个单位 D.右平移5个单位 8.一次函数y=kx+b 的图象经过第 一、二、三象限,则 ( ) A.k>0,b>0 B.k<0,b<0 C.k>0,b<0 D.k<0,b>0 9.如图,反比例函数y1= k1 x 和正比例函 数y2=k2x 的图象交于A(-1,-3),B(1, 3)两点,若y1>y2,则x 的取值范围是 ( ) A.-1<x<0 B.-1<x<1 C.x<-1或0<x<1 D.-1<x<0或x>1 10. 当a≠0时,函数y=ax+1与函数 y= a x 在同一直角坐标系中的图象可能是 ( ) 11.(吉林中考题)甲、乙两辆汽车分别 从A,B 两地同时出发,沿同一条公路相向 而行,乙车出发2h后休息,与甲车相遇后,继 续行驶.设甲、乙两车与B 地的路程分别为 y甲(km),y乙(km),甲车行驶的时间为x(h), y甲,y乙 与x 之间的函数图象如图所示,结合 图象解答下列问题: (1)乙车休息了 h; (2)求乙车与甲车相遇后y乙 与x 的函 数解析式,并写出自变量x 的取值范围; (3)当两车相距40km 时,直接写出x 的值. 24 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.(宿迁中考题)如图,一次函数y=kx -1的图象与x 轴交于点A,与反比例函数 y= 3 x (x>0)的图象交于点B,BC 垂直x 轴 于点C.若△ABC 的 面 积 为1,则k 的 值 是 . 2.(陕 西 中 考 题)已 知 P1(x1,y1), P2(x2,y2)是同一个反比例函数图象上的两 点,若x2=x1+2,且 1 y2 = 1 y1 + 1 2 ,则这个反 比例函数的表达式为 . 3.(鄂州中考题)在平面直角坐标系中, 已知点A(2,3),B(4,7),直线y=kx-k(k ≠0)与线段AB 有交点,则k 的取值范围为 . 4.(雅安中考题)在平面直角坐标系中, P 点关于原点的对称点为P1(-3,- 8 3 ),P 点关于x 轴的对称点为P2(a,b),则 3ab= ( ) A.-2 B.2 C.-4 D.4 5.(湘潭中考题)如图,A,B 两点在双曲 线y= 4 x 上,分别经过A,B 两点向轴作垂线 段,已知S阴影=1,则S1+S2= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 6.(广东中考题)如图,已知A -4, 1 2 æ è ç ö ø ÷, B(-1,2)是一次函数y=kx+b(k≠0)与反 比例函数y= m x (m≠0,x<0)图象的两个交 点,AC⊥x 轴于C,BD⊥y 轴于D. (1)根据图象直接回答:在第二象限内, 当x 取何值时,一次函数的值大于反比例函 数的值? (2)求一次函数解析式及m 的值; (3)P 是线段AB 上的一点,连结PC, PD,若△PCA 和△PDB 面积相等,求点P 坐标. 34 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.(武汉中考题)一次越野跑中,当小明 跑了1600米时,小刚跑了1400米.小明、小刚 在此后所跑的路程y(米)与时间t(秒)之间 的函数如图所示,则这次越野跑的全程为 . 2.(南京中考题)已知反比例函数y= k x 的图象经过点A(-2,3).则当x=-3时,y = . 3.(河南中考题)如图,在Rt△ABC 中, ∠C=90°,AC=1cm,BC=2cm,点P 从点 A 出发,以1cm/s的速度沿折线AC →CB →BA 运动,最终回到点A.设点P 的运动 时间为x(s),线段AP 的长度为y(cm),则 能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是 ( ) 4.(江西中考题)直线y=x+1与y= -2x+a 的交点在第一象限,则a 的取值可 以是 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 5.(泰安中考题)如图①,△OAB 中,A (0,2),B(4,0),将△AOB 向右平移m 个单 位,得△O'A'B'. (1)当m=4时,如图②.若反比例函数 y= k x 的图象经过点A',一次函数y=ax+b 的图象经过A'、B'两点.求反比例函数及一 次函数的表达式; (2)若反比例函数y= k x 的图象经过点 A'及A'B'的中点M,求m 的值. 44 意义,当a=-1时,原式= -1 -1-1= 1 2. 【综合提升】 1.x≤2且x≠0 2.k> 1 2 且k≠1 3.- 1 2 4.D 5.A 6.C 7.解:原 式 = x2 x(x+2y) - 1 x-1× (x-1)2 x+2y = x x+2y - x-1 x+2y = 1 x+2y , ∵2x+4y-1=0,∴x+2y= 1 2. ∴原式=2. 8.解:(1)设大货车的速度为x 千米/ 时,小轿车的速度为1.5x 千米/时,则: 180 x - 180 1.5x=1 ,解得:x=60, 此时1.5x=90, ∴大货车的速度为60千米/时,小轿车 的速度为90千米/时. (2)∵小刘出发时,小张开的大货车已行 驶了1小时,∴此时小张离长沙还有180- 60×1=120(千米). 【中考热身】 1.x≠±1 2. 3 2 3.D 4.C 5.C 6.解:(1)设该种干果第一次进价是每 千克x 元,则第二次进价为(1+20%)x 元. 根据题意,得 9000 (1+20%)x=2× 3000 x + 300.解得x=5. 经检验x=5是所列方程的解且符合 题意. 所以该种干果第一次的进价为每千克 5元. (2)盈利:[30005 + 9000 5×(1+20%)-600] ×9+600×9×80%-(3000+9000)=(600 +1500-600)×9+4320-12000=1500×9 +4320-12000=13500+4320-12000= 5820(元). 所以超市销售该干果共盈利5820元. 第17章 函数及其图象 【要点回顾】 1.(1)不同数值 不变 (2)唯一 自 变 因变 (3)列表 图象 解析式 (4)公 共原 点 垂 直 (5)自 变 量 函 数 值 2.(1)kx+b kx (2)kx+b 直线 直线 (3)①> 增大 减小 上升 下降 ②< 减小 增大 下降 上升 (4)①kx +b kx ②方程组 ③表达式 3.(1) k x (2)双曲线 > 一、三 减小 < 二、 四 增大 【基础过关】 1.1 2.m≠2 5 3. 2 3 4.x>-6 5.4 6.C 7.A 8.A 9.C 10.C 11.解:(1)设乙车休息了t时,根据题意 得200+ 400 5 ·(t+2)=400,解得t=0.5.即 乙车休息了0.5h. (2)设y乙 与x 的函数解析式为y乙=kx +b,把(2.5,200)、(5,400)代入,得 5k+b=400, 2.5k+b=200,{ 解得 k=80, b=0,{ ∴y乙=80x(2.5≤x≤5). (3)相遇前:100x+80x+40=400,解得 x=2; 相遇后:80x+200+80(x-2.5)=440, 解得x= 11 4. 综上可知,x=2或x= 11 4. 【综合提升】 1.2 2.y= 4 x 3. 7 3≤k≤3 4.A 5.D 6.解:(1)因为A -4, 1 2 æ è ç ö ø ÷,B(-1,2), 由图可知,当-4<x<-1时,一次函数的值 大于反比例函数的值. ·7· (2)把A -4, 1 2 æ è ç ö ø ÷,B(-1,2)代入y= kx+b,解得k= 1 2 ,b= 5 2 , 所以一次函数解析式为y= 1 2x+ 5 2. 把B(-1,2)代入y= m x ,得m=-2. (3)设点P 的坐标为(m,n), 由△PCA 和△PDB 面积相等,可列方 程1 2×AC×|xP-xA|= 1 2×BD×|yB- yP|,即 1 4 (m+4)= 1 2 (2-n),化简得m= -2n, 再把P(m,n)代入y= 1 2x+ 5 2 ,得n= 1 2m+ 5 2 ,因此解得m=- 5 2 ,n= 5 4 , ∴点P 的坐标为 - 5 2 ,5 4 æ è ç ö ø ÷. 【中考热身】 1.2200米 2.2 3.A 4.D 5.解:(1)由图②知:A'点的坐标为(4, 2),B'点的坐标为(8,0). 把(4,2)代入y= k x ,得2= k 4 ,解得k =8, ∴反比例函数表达式为y= 8 x ; 把(4,2),(8,0)代 入 y=ax+b,得 4a+b=2, 8a+b=0.{ 解得 a=- 1 2 , b=4. ì î í ïï ï ∴一次函数表达式为y=- 1 2x+4. (2)当△AOB 向右平移m 个单位时,A' 点的坐标为(m,2),B'点的坐标为(m+4, 0),则A'B'的中点M 的坐标为(m+2,1). 把(m,2)代入y= k x ,得k=2m;把(m +2,1)代入y= k x ,得k=m+2, ∴2m=m+2,解得m=2. ∴当m=2时,反比例函数y= k x 的图 象经过点A'及A'B'的中点M. 第18章 平行四边形 【要点回顾】 1.平行 2.(1)相等 (2)相等 (3)互 相平分 3.(1)相等 (2)平行 相等 (3)互相 平 分 (4)相等 4.(1)距 离 (2)距离 【基础过关】 1.60 2.21 3.4 4.4 5.6 5 6.DF=BE(答案不唯一) 7.B 8.A 9.D 10.C 11.证明:在平行四边形ABCD 中,AB ∥CD, ∴∠CDG=∠AGD,∠DCF=∠BFC, ∵DG、CF 分别平分∠ADC、∠BCD, ∴∠ADG=∠CDG,∠DCF=∠BCF, ∴∠ADG=∠AGD,∠BCF=∠BFC, ∴AG=AD,BF=BC, 又∵AD=BC, ∴AG=BF, ∴AF=GB. 【综合提升】 1.10 2.432 3.C 4.C 5.D 6.解:(1)证明:如 图,在 平 行 四 边 形 ABCD 中,AD∥BC, ∴∠1=∠3. 又∵∠1=∠2, ∴∠2=∠3, ∴CD=CE. (2)由平行四边形ABCD 得,AB=CD, 又∵CD=CE,BE=CE, ∴AB=BE,∴∠BAE=∠BEA. ∵∠B=80°, ·8·