5 第16章 分式-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（华东师大版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 五、八年级下册分章复习 第16章 分式 1.分式的概念及性质 (1)一般地,如果 A,B 表示两个整式, 并且B 中含有字母且B≠0,那么式子 A B 就叫 做 . (2)分式有意义的条件是 ,分式 值为零的条件是 . (3)分式的基本性质:分式的分子、分母 同时乘或除以一个 的整式,分式的 值不变,用式子可以表示为A B= ,A B = (其中 M 是不等于0的整式). (4)根据分式的基本性质,把一个分式的 分子和分母分别除以它们的 叫做分 式的约分.分式约分时,一般先将分子、分母 ,找出它们的公因式,然后约分. (5)一个分式的分子与分母没有 时叫做最简分式.约分的目的就是要将分式 化成最简分式. (6)根据分式的基本性质,把几个不同分 母的分式化为 分式叫做分式的通 分.通常取各分母系数的最小公倍数和所有 因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公 分母叫做 .注意:进行分式运算时, 结果必须为最简分式. (7)分式的加减法:①同分母的分式相加 减, 不变,把 相加减;②异分 母的分式相加减,先通分,变为 的分 式,然后再加减. (8)分式的乘除法:①分式乘分式,把分子 的 作积的分子,分母的 作 积的分母.如果得到的不是最简分式,应该通 过 进行化简;②两个分式相除,把除 式的分子、分母 后,与被除式相乘. (9)分 式 的 四 则 混 合 运 算 顺 序:先 后 ,如有括号,要先算 里的. 2.分式方程及其应用 分母中含有 的方程叫做分式方 程.求分式方程的解,只要在方程的两边同乘 各分式的 就可以把分式方程转化为 整式方程来解.但要对解进行检验,看最简公 分母是否为 ,若为 ,则是原 分 式 方 程 的 增 根;若 最 简 公 分 母 不 为 ,则是原方程的解.列分式方程解决 问题的步骤:①审清题意;②设 ; ③根据题意找等量关系,列出 ;④解 方程,并验根;⑤写出答案.注意:检验时,既 要检验结果使实际问题有意义,又要验证是 否为原方程的根. 3.零指数幂与负整指数幂: (1)任何不等于 的数的零次幂 都等于 ,即a0= (a≠ ). 43 第 一 部 分 夯 实 基 础 (2)任何不等于 的数的-n(n 为正整数)次幂,等于这个数的n 次幂的 , 即a-n= (a≠ ,n 为正整 数). (3)我们可以利用10的负整指数幂,用 科学记数法表示一些绝对值较小的数,即将 它们表示成 的形式,其中n 是正整 数,1≤|a|<10. 例1 先化简,再求值: 4 a2-4- 1 a-2 , 其中a=1. 解析:本题考查了分式的化简求值,解题 的关键是分式的通分.先将两个分式通分化 为同分母,再加减,然后约分化简,最后将a 的值代入计算. 解: 4 a2-4- 1 a-2= 4 (a+2)(a-2)- a+2 (a+2)(a-2) = 4-(a+2) (a+2)(a-2) = 2-a (a+2)(a-2)=- 1 a+2 , 当a=1时,原式=- 1 1+2=- 1 3. 点评:此类问题容易出错的地方是通分 时分子漏乘,以及约分时负号的遗漏.分式的 化简求值题的一般解法是:先将分式化简,再 把未知数的值代入计算. 分式的化简求值,首先要对分式进行化 简,注意除法要统一为乘法运算,对多项式要 进行因式分解,便于约分等;然后再把字母的 值代入到化简后的代数式求值.选取喜欢的 值代入时注意要使所有分式都有意义,不要 落入“陷阱”中. 例2 某漆器厂接到制作480件漆器的 订单,为了尽快完成任务,该厂实际每天制作 的件数比原来每天多50%,结果提前10天 完成任务.原来每天制作多少件? 解析:本题考查了分式方程的应用,解题 的关键是根据题意列出符合等量关系的分式 方程并正确求解检验.本题中的等量关系是 “原计划的天数-实际的天数=10天”,然后 用代数式分别表示出原计划的天数和实际的 天数. 解:设原来每天制作x 件,由题意,得: 480 x - 480 (1+50%)x=10 , 解得x=16,经检验x=16是原分式方 程的解. 答:原来每天制作16件. 点评:此类问题容易出错的地方是未对 分式方程的根进行检验.应用分式方程解决 实际问题,一般是找准等量关系式,再正确用 未知数表示出相关的量,另外,必须对分式方 程的根进行检验,这是最容易遗忘的. 1.列分式方程解决实际问题要做到认 真审题,理解题意,会找等量关系,能够根据 列方程的需要直接或间接设未知数,能够根 据基本数量关系列代数式表示出各个未知 量,从而快捷列出分式方程; 2.把实际问题转化为数学问题是一种 很重要的数学能力,要求学生熟练掌握把实 际问题转化为数学模型,从而使问题解决. 给出一定的条件,在此条件下求分式的 值称为条件求值,解决此类问题的关键是运 用转化思想把要求的代数式转化成已知代数 式的形式. 例3 已知关于x 的方程 x x-3=2- m 3-x 的解为正数,求m 的取值范围. 53 第 一 部 分 夯 实 基 础 解析:先把原方程去分母,用含 m 的代 数式表示分式方程的解,依题意建立含m 的 不等式求出m 的范围,注意隐含条件x≠3. 解:原方程去分母,得x=2(x-3)+m, 所以x=6-m,又x>0,所以6-m>0,m< 6,而x≠3,所以6-m≠3,m≠3,所以m 的 取值范围是m<6且m≠3. 点评:本题容易遗漏x≠3这一隐含条 件的挖掘,导致m 的取值范围求错. 1.(镇江中考题)分式 2 x-1 在实数范围 内有意义,则x 的取值范围是 . 2.计 算:(1) a b - b a - a2+b2 ab = ; (2) a+1 a-1+ a-2 1-a= . 3.化简 m2-16 3m-12 得 ;当m=-1 时,原式的值为 . 4.分式方程 x+m x+2=5 的解是x=3,则 m= . 5.用科学记数法表示0.000695为 . 6.(三明中考题)有两块面积相同的蔬 菜试验田,第一块使用原品种,第二块使用新 品种,分别收获蔬菜1500千克和2100千克. 已知第二块试验田每亩的产量比第一块多 200千克.若设第一块试验田每亩的产量为x 千克,则根据题意列出的方程是 . 7.下列各式: 2 x ,x+2 2 ,5x 2 x ,3x+ y 3 , 3x π+2 ,3x 2-4 0.5 ,其中分式有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.下列判断中,错误的是 ( ) A.代数式 a2-2a a 是分式 B.当x=-3时, x+3 2x+6 的值为零 C.当a=- 1 2 时,分式2a+1 a 有意义 D.当x= 1 2 时,x+2 2x-1 没有意义 9.(河北中考题)化简 x2 x-1- x x-1 得 ( ) A.0 B.1 C.x D. x x-1 10.下列计算正确的是 ( ) A.(-1)0=-1 B.(-1)-1=1 C.2a-3= 1 2a3 D.(-a3)÷(-a)7= 1 a4 11.分式方程 x x-1-1= m (x-1)(x+2) 有增根,则m 的值为 ( ) A.0或3 B.1 C.1或-2 D.3 12.甲车行驶30千米与乙车行驶40千 米所用时间相同,已知乙车每小时比甲车多 行驶15千米.设甲车的速度为x 千米/时,依 题意列方程正确的是 ( ) A. 30 x= 40 x-15 B. 30 x-15= 40 x C. 30 x= 40 x+15 D. 30 x+15= 40 x 63 第 一 部 分 夯 实 基 础 13.解分式方程 2 a-1= a+4 1-a2. 14.先化简代数式 a+1a-1+ 1 a2-2a+1 æ è ç ö ø ÷÷ a a-1 ,然后从-1,0,1中选取一个你认为合 适的a 值代入求值. 1.(丹东中考题)若式子 2-x x 有意义, 则实数x 的取值范围是 . 2.(成都中考题)已知关于x 的分式方 程x+k x+1- k x-1=1 的解为负数,则k 的取值 范围是 . 3.(内江中考题)已知 1 a+ 1 2b=3 ,则代 数式2a-5ab+4b 4ab-3a-6b 的值为 . 4.(杭州中考题)若 4a2-4+ 1 2-a æ è ç ö ø ÷·w =1,则w= ( ) A.a+2(a≠-2) B.-a+2(a≠2) C.a-2(a≠2) D.-a-2(a≠-2) 5.若x+y=3,xy=2,则 x y + y x= ( ) A. 5 2 B. 5 4 C. 2 5 D.5 6.(黔南中考题)若ab=1,m= 1 1+a+ 1 1+b ,则m2020= ( ) A.2020 B.0 C.1 D.2 7.(曲 靖 中 考 题)先 化 简,再 求 值: x2 x2+2xy - 1 x-1÷ x+2y x2-2x+1 ,其中2x+4y -1=0. 73 第 一 部 分 夯 实 基 础 8.(娄底中考题)娄底到长沙的距离约 为180千米,小刘开着小轿车,小张开着大货 车,都从娄底去长沙,小刘比小张晚出发1小 时,最后两车同时到达长沙,已知小轿车的速 度是大货车的速度的1.5倍. (1)求小轿车和大货车的速度各是多少? (列方程解答) (2)当 小 刘 出 发 时,小 张 离 长 沙 还 有 多远? 1.(广州中考题)代数式 1 |x|-1 有意义 时,x 应满足的条件为 . 2.(河北中考题)若实数m,n 满足|m- 2|+(n-2020)0=1且n≠0,则m-1+n0= . 3.(南通中考题)化简 x2 x-1+ x 1-x 的结 果是 ( ) A.x+1 B.x-1 C.-x D.x 4.(毕节中考题)若分式 x2-1 x-1 的值为0, 则x 的值为 ( ) A.0 B.1 C.-1 D.±1 5.(龙东中考题)已知关于x 的分式方 程 m x-1+ 3 1-x=1 的解是非负数,则m 的取 值范围是 ( ) A.m>2 B.m≥2 C.m≥2且m≠3 D.m>2且m≠3 6.(泰安中考题)某超市用3000元购进 某种干果销售,由于销售状况良好,超市又调 拨9000元资金购进该种干果,但这次的进价 比第一次的进价提高20%,购进干果数量是 第一次的2倍还多300千克.如果超市按每 千克9元的价格出售,当大部分干果售出后, 余下的600千克按售价的8折售完. (1)该种干果的第一次进价是每千克多 少元? (2)超市销售这种干果共盈利多少元? 83 (3)1500×25%=375(人) 答:全校最喜欢科普书籍的学生约有 375人. 23.解:(1)证 明:∵BD ⊥DE,CE ⊥DE, ∴∠BDA=∠CEA=90°, ∵∠BAC=90°, ∴ ∠BAD + ∠CAE = ∠BAD + ∠ABD=90°, ∴∠ABD=∠CAE, 在 △ABD 和 △CAE 中,∠BDA = ∠CEA,∠ABD=∠CAE,AB=AC. ∴△ABD≌△CAE(AAS), ∴BD=AE,CE=DA, ∴DE=AE+DA=BD+CE; (2)成立,证明如下: ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α, ∴∠BAD + ∠CAE =180°-α,且 ∠DBA+∠BAD=180°-α, ∴∠DBA=∠CAE, 在 △ABD 和 △CAE 中,∠BDA = ∠CEA,∠ABD=∠CAE,AB=AC. ∴△ABD≌△CAE(AAS), ∴BD=AE,CE=DA, ∴DE=AE+DA=BD+CE; (3)△DEF 为等边三角形.理由如下: ∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形, ∴BF=AF=AB=AC=CF,∠BAF =∠CAF=∠ABF=60°, ∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°, ∴ ∠DBA + ∠DAB = ∠CAE + ∠DAB=60°, ∴∠DBA=∠CAE. 在 △BAD 和 △ACE 中,∠BDA = ∠AEC,∠DBA=∠CAE,BA=AC, ∴△ADB≌△CEA(AAS), ∴BD=AE. ∵∠ABF=∠CAF=60°, ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF, ∴∠DBF=∠FAE. 在 △BDF 和 △AEF 中,FB =FA, ∠DBF=∠FAE,BD=AE, ∴△DBF≌△EAF(SAS), ∴DF=EF,∠BFD=∠AFE, ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA +∠BFD=60°. ∴△DEF 为等边三角形. 五、八年级下册分章复习 第16章 分式 【要点回顾】 1.(1)分式 (2)分母不等于0 分子等 于0且分母不等于0 (3)不等于0 A×M B×M A÷M B÷M (4)公因式 分解因式 (5)公因 式 (6)同分母 最简公分母 (7)①分母 分子 ②同分母 (8)①积 积 约分 ②颠 倒位置 (9)乘除 加减 括号 2.未知数 最简公分母 0 0 0 未知数 分式方程 3.(1)零 1 1 0 (2)零 倒数 1 an 0 (3)a×10-n 【基础过关】 1.x≠1 2.(1)- 2b a (2) 3 a-1 3. m+4 3 1 4.22 5.6.95×10 -4 6. 1500 x = 2100 x+200 7.B 8.B 9.C 10.D 11.D 12.C 13.解:去分母,得2[-(1+a)]=a+4 去括号,得-2-2a=a+4 移项,得-2a-a=4+2 合并同类项,得-3a=6 系数化为1,得a=-2 经检验:a=-2是原方程的根. 14.解:a+1a-1+ 1 a2-2a+1 æ è ç ö ø ÷÷ a a-1= (a+1)(a-1) (a-1)2 + 1 (a-1)2 é ë êê ù û úú ÷ a a-1 = a2 (a-1)2× a-1 a = a a-1 ,因为a=0或1时无 ·6· 意义,当a=-1时,原式= -1 -1-1= 1 2. 【综合提升】 1.x≤2且x≠0 2.k> 1 2 且k≠1 3.- 1 2 4.D 5.A 6.C 7.解:原 式 = x2 x(x+2y) - 1 x-1× (x-1)2 x+2y = x x+2y - x-1 x+2y = 1 x+2y , ∵2x+4y-1=0,∴x+2y= 1 2. ∴原式=2. 8.解:(1)设大货车的速度为x 千米/ 时,小轿车的速度为1.5x 千米/时,则: 180 x - 180 1.5x=1 ,解得:x=60, 此时1.5x=90, ∴大货车的速度为60千米/时,小轿车 的速度为90千米/时. (2)∵小刘出发时,小张开的大货车已行 驶了1小时,∴此时小张离长沙还有180- 60×1=120(千米). 【中考热身】 1.x≠±1 2. 3 2 3.D 4.C 5.C 6.解:(1)设该种干果第一次进价是每 千克x 元,则第二次进价为(1+20%)x 元. 根据题意,得 9000 (1+20%)x=2× 3000 x + 300.解得x=5. 经检验x=5是所列方程的解且符合 题意. 所以该种干果第一次的进价为每千克 5元. (2)盈利:[30005 + 9000 5×(1+20%)-600] ×9+600×9×80%-(3000+9000)=(600 +1500-600)×9+4320-12000=1500×9 +4320-12000=13500+4320-12000= 5820(元). 所以超市销售该干果共盈利5820元. 第17章 函数及其图象 【要点回顾】 1.(1)不同数值 不变 (2)唯一 自 变 因变 (3)列表 图象 解析式 (4)公 共原 点 垂 直 (5)自 变 量 函 数 值 2.(1)kx+b kx (2)kx+b 直线 直线 (3)①> 增大 减小 上升 下降 ②< 减小 增大 下降 上升 (4)①kx +b kx ②方程组 ③表达式 3.(1) k x (2)双曲线 > 一、三 减小 < 二、 四 增大 【基础过关】 1.1 2.m≠2 5 3. 2 3 4.x>-6 5.4 6.C 7.A 8.A 9.C 10.C 11.解:(1)设乙车休息了t时,根据题意 得200+ 400 5 ·(t+2)=400,解得t=0.5.即 乙车休息了0.5h. (2)设y乙 与x 的函数解析式为y乙=kx +b,把(2.5,200)、(5,400)代入,得 5k+b=400, 2.5k+b=200,{ 解得 k=80, b=0,{ ∴y乙=80x(2.5≤x≤5). (3)相遇前:100x+80x+40=400,解得 x=2; 相遇后:80x+200+80(x-2.5)=440, 解得x= 11 4. 综上可知,x=2或x= 11 4. 【综合提升】 1.2 2.y= 4 x 3. 7 3≤k≤3 4.A 5.D 6.解:(1)因为A -4, 1 2 æ è ç ö ø ÷,B(-1,2), 由图可知,当-4<x<-1时,一次函数的值 大于反比例函数的值. ·7·