3 第14章 勾股定理-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（华东师大版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第14章 勾股定理 1.勾股定理:直角三角形两直角边的平 方和等于 的平方.就是说,对于任意 的直角三角形,如果它的两条直角边分别为 a,b,斜边为c,那么一定有 . 2.直角三角形的判定条件:如果三角形 的三边长a,b,c 满足 ,那么这个三 角形是直角三角形. 3.最短路径问题:平面上的最短路径是 两点之间所连的 ;几何体表面的最 短路径一般是将侧面展开,利用 来 解决问题. 例1 Rt△ABC 的两边为3和4,求第 三边. 解析:本题应该考虑两种情况,即3和4有 可能是直角边,也有可能是一直角边与一斜边. 解:若直角三角形的两直角边为3,4,则 它的第三边的c应满足c2=32+42=25,即c =5.若直角三角形的一斜边与一直角边为4, 3,则它的第三边的c应满足c2=42-32=7, 即c= 7.所以第三边的长度为5或 7. 点评:勾股定理揭示了直角三角形的三 边关系,解题时一是注意分清直角边和斜边, 二是当三角形不是直角三角形时,通过添加 辅助线转化为直角三角形. 例2 在一棵树的10米高处有两只猴 子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘 的A 处,另一只爬到树顶 D 后直接跃到A 处.距离以直线计算,如果两只猴子所经过的 距离相等,则这棵树高多少米? 解析:由题意知 AD+DB=BC+CA, 设BD=x 米,则 AD=(30-x)米,且在直 角△ACD 中,CD2+CA2=AD2,代入勾股 定理 公 式 中 即 可 求x 的 值,树 高 CD=10 +x. 解:由题意知 AD+DB=BC+CA,且 CA=20米,BC=10米,设 BD=x 米,则 AD=(30-x)米, ∵在Rt△ACD 中,CD2+CA2=AD2, 即(30-x)2=(10+x)2+202,解得x=5,故 树高为CD=10+x=15(米). 答:树高为15米. 点评:本题中找到AD+DB=BC+CA 的等量关系,并根据勾股定理CD2+CA2= AD2求解是解题的关键.使用勾股定理求未 知量,可直接列式求未知量,也可通过列方 程、解方程来求未知量. 例3 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°, D 在BA 上,且DA=DB,M,N 分别在AC 和BC 上,且∠MDN=90°.试证明 MN2= AM2+BN2. 解析:欲 证 MN2 =AM2 +BN2,可 MN,AM,BN 不在同一三角形之中,若能进 行等量替换,使之在同一三角形之中,只需证 得此三角形是直角三角形,MN 的等线段是 02 第 一 部 分 夯 实 基 础 这个直角三角形的斜边即可,由于 D 为AB 的中点,∠MDN=90°,所以我们可以通过创 造全等三角形法把有关线段进行等量替换. 证明:延长 ND 到N'使DN'=DN, 连结AN',MN',由于AD=DB,∠1= ∠2,所以△AN'D≌△BND, 即AN'=BN,∠B=∠3. 又 MD⊥NN',故 MN=MN'. 因为∠4+∠B=90°,所 以∠3+∠4 =90°. 那么 MN'2=AM2+AN'2,即 MN2= AM2+BN2. 1.如果一梯子底端离建筑物9m远,那 么15m 长的梯子可达到建筑物的高度是 m. 2.有一组勾股数,知道其中的两个数分 别是17和8,则第三个数是 . 3.一个三角形三边长分别为9、12、15, 则两个这样的三角形拼成的四边形的面积为 . 4.已知两条线段的长分别为5,12,当第 三条线段长为 时,这三条线段可以 组成一个直角三角形. 5.下列四组数:①5,12,13;②7,24,25; ③3a,4a,5a(a>0);④32,42,5.其中可以构 成直角三角形的有 (把所有你认为 正确的序号都写上). 6.如图,所有的四边形都是正方形,所有 的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形 的边长为7cm,则正方形A,B,C,D 的面积之 和为 cm2. 7.如图,学校有一块长方形花圃,有极 少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走 出了一条“路”,他们仅仅少走了 步 路(假设2步为1m),却踩伤了花草. 8.已知一个直角三角形的两边长分别 为3和4,则第三边长的平方是 ( ) A.25 B.14 C.7 D.7或25 9.下列说法正确的是 ( ) A.已知a,b,c 是三角形的三边长,则 a2+b2=c2 B.在直角三角形中,两边和的平方等于 第三边的平方 C.在Rt△ABC 中,若∠C=90°,则a2 +b2=c2 D.在Rt△ABC 中,若∠B=90°,则a2 +b2=c2 10.如 图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC=5cm,BC=12cm,则其斜边上的 高为 ( ) 12 第 一 部 分 夯 实 基 础 A.6cm B.8.5cm C. 60 13cm D. 30 13cm 11.在△ABC 中,AB=13,AC=15,高 AD=12,则BC 的长是 ( ) A.14 B.4 C.14或4 D.以上都不对 12.在△ABC 中,三边a,b,c满足b2- a2=c2,则互余的一对角是 ( ) A.∠A 与∠B B.∠C 与∠A C.∠B 与∠C D.以上都不是 13.如图,有一个小朋友拿着一根竹竿 要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放,则 比门高出1米,如果斜放,则恰好等于门的对 角线的长.已知门宽4米,请你求出竹竿的长 与门的高. 14.如图,某地方政府决定在相距50km 的A,B 两站之间的公路旁E 点修建一个土 特产加工基地,且使C,D 两村到E 点的距离 相等,已知 DA⊥AB 于 A,CB⊥AB 于B, DA=30km,CB=20km,那么基地E 应建 在离A 站多少千米的地方? 1. 已知|x-12|+(z-13)2 和(y-5)2 互为相反数,则以x,y,z为三边的三角形是 三角形. 2. 在△ABC 中,BC=6,AC=8,AB= 10,则AB 边上的高为 . 3. 在△ABC 中,若 AB=41,AC=9, BC=40,则三个内角中较小的两个角的和 是 . 4.在△ABC 中,AB=2 2,BC=1, ∠ABC=45°,以AB 为一边作等腰直角三角 形ABD,使∠ABD=90°,连结CD,则线段 CD 的长为 . 5.如图,直线l上有三个正方形a,b,c, 22 第 一 部 分 夯 实 基 础 若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.7 6. 在直角三角形中,斜边与较短直角边 的和、差分别为8,2,则较长直角边长为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 7. 若直角三角形有一直角边长为12,另 两条边长均为整数,则其周长不可能为 ( ) A.28 B.30 C.36 D.48 8. 如图,正方形网格中的△ABC,若小 方格边长为1,则△ABC 是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对 9. 我们知道,像“3,4,5”,“5,12,13”, “7,24,25”这样的每组三个数都是勾股数.已 知m,n 是正整数且m<n,设三个勾股数中 的最后一个数为n2+m2. (1)用含m,n 的代数式表示前两个勾股 数: ; (2)若a,b,c 是一组勾股数,并且这三 个数没有大于1的公因数,则这样一组勾股 数称为基本勾股数 ,例如“3,4,5”,“5,12, 13”,“7,24,25”,请你再写出不同于题中的一 组基本勾股数 : . 10. 如图,AB=25,DA⊥AB 于A,CB ⊥AB 于B,DA=10,CB=15. (1)若在线段 AB 上找一点E,使点E 到D,C 两点的距离相等,求此时E 点距A 点多远? (2)若在线段AB 上找一点F,使DF+ CF 值最小,求出该最小值. 1.(宿迁中考题)如图,在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,AD 平分∠BAC 与BC 相交于 点D,若BD=4,CD=2,则AB 的长是 . 32 第 一 部 分 夯 实 基 础 2.(甘孜中考题)如图,我国古代数学家 得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角 形和一个小正方形密铺成的大正方形.若小 正方形与大正方形的面积之比为1∶13,则 直角三角形较短的直角边a 与较长的直角 边b的比值为 . 3.(青海中考题)如图所示,在Rt△ABC 中,∠A=90°,BD 平分∠ABC 交AC 于点 D,且AB=4,BD=5,则点D 到BC 的距离 为 . 4.(莆田中考题)如图是一株美丽的勾 股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的 三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C, D 的面积分别为5,2,1,2.则最大的正方形 E 的面积是 . 5.(贺 州 中 考 题)如图,在△ABC 中, ∠ABC=45°,AC=8cm,F 是高AD 和BE 的交点,则BF 的长是 ( ) A.4cm B.6cm C.8cm D.9cm 6.(安 徽 中 考 题)如图,Rt△ABC 中, AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC 折叠, 使A 点与BC 的中点D 重合,折痕为 MN, 则线段BN 的长为 ( ) A. 5 3 B. 5 2 C.4 D.5 7.(兰州中考题)给出定义:若一个四边 形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线 的平方,则称该四边形为勾股四边形.如图, 将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60° 得到△DBE,连结AD,DC,CE.已知∠DCB =30°. (1)求证:△BCE 是等边三角形; (2)求证:DC2+BC2=AC2,即四边形 ABCD 是勾股四边形. 42 AE,CE⊥AE, ∴∠BDA = ∠AEC=90°,∠ABD + ∠BAD=90°,∠BAD+∠CAE=90°, ∴∠ABD=∠CAE. 在 △BDA 和 △AEC 中,∠BDA = ∠AEC=90°,∠ABD=∠CAE,AB=CA, ∴△BDA≌△AEC, ∴BD=AE. (2)∵Rt△BDA≌Rt△AEC, ∴AD=CE,BD=AE, ∴BD=AE=AD+DE=CE+DE. (3)DE=BD+CE. 【中考热身】 1.6 2.AE=CB(答案不唯一) 3.45 4.C 5.解:(1)证 明:∵ △ABC 是 等 边 三 角形, ∴AB=BC,∠A=∠EBC, ∵BE=AF, ∴△BCE≌△ABF, ∴CE=BF; (2)由(1)得△BCE≌△ABF, ∴∠PCB=∠ABF, ∴∠PCB+∠PBC=∠ABF+∠PBC =∠EBC=60°, ∵∠CPB+∠PCB+∠PBC=180°, ∴∠CPB=180°-(∠PCB+∠PBC) =180°-60°=120°. 第14章 勾股定理 【要点回顾】 1.斜边 a2+b2=c2 2.a2+b2=c2或 a2+c2=b2 或b2+c2=a2 3.线段 两点 之间线段最短 【基础过关】 1.12 2.15 3.108 4.119或13 5.①②③ 6.49 7.4 8.D 9.C 10.C 11.C 12.B 13.解:设门高为x 米,则竹竿长为(x+ 1)米.由题意可得x2+42=(x+1)2,解得x =7.5,x+1=8.5. 答:竹竿的长为8.5米,门的高为7.5米. 14.解:设基地E 应建在离A 站x 千米 的地方.则BE=(50-x)千米. 在Rt△ADE 中,根据勾股定理得:AD2 +AE2=DE2. ∴302+x2=DE2. 在Rt△CBE 中,根据勾股定理得:CB2 +BE2=CE2. ∴202+(50-x)2=CE2. 又∵C,D 两村到E 点的距离相等, ∴DE=CE,∴DE2=CE2. ∴302+x2=202+(50-x)2,解得x =20, ∴基 地 E 应 建 在 离 A 站20千 米 的 地方. 【综合提升】 1.直角 2.4.8 3.90° 4.5或 13 5.D 6.B 7.A 8.A 9.(1)n2-m2,2mn (2)答案不唯一, 如9,40,41 10.解:(1)设AE=x,则BE=25-x. 因为DE=CE,所以DE2=CE2, 所以102+x2=(25-x)2+152, 解得x=15,即EA=15. (2)作D 点关于AB 的对称点D',连结 CD'交AB 于点F,过点C 作CG∥AB 交 D'D延长线于点G,则DF+CF 最短. DF+CF=D'C,D'G=10+15=25, CG=AB=25, D'C2=252+252=1250,D'C=252, 即DF+CF 的最小值为252. 【中考热身】 1.43 2. 2 3 3.3 4.10 5.C 6.C 7.解:(1)证明:∵△ABC≌△DBE, ∴BC=BE. ∵∠CBE=60°, ∴△BCE 是等边三角形; (2)证明:∵△ABC≌△DBE, ∴AC=DE. ∵△BCE 是等边三角形, ·4· ∴BC=CE,∠BCE=60°. ∵∠DCB=30°, ∴∠DCE=90°, ∴在Rt△DCE 中,DC2+CE2=DE2, ∴DC2+BC2=AC2, 即四边形ABCD 是勾股四边形. 第15章 数据的收集与表示 【要点回顾】 1.次数 次数 总次数 频繁 2.(1)条 形 折线 扇形 (2)②数量 ③总体 各个 部分 大小 ④数量变化规律 . 【基础过关】 1. 1 3 2.24% 144 3.20 0.4 4.12 5.③ 6.x·360° 7.A 8.B 9.A 10.D 11.解:(1)200; (2)200-50-20-10=120.补全条形统 计图如图. (3)2000×25%=500(户). 工作建议 言之有理即可. 【综合提升】 1.360 2.108 3.12 4.D 5.C 6.D 7.解:(1)由统计图知,赞成方案3的有 15人,占被调查人数的25%,∴这次共调查 了15÷25%=60(人);赞成方案1的人数占 总人数的24 60×100%=40% ,∴扇形统计图 中方案1所对应的圆心角的度数为360°× 40%=144°. (2)赞成方案2的人数为60―24―15 ―9=12(人),补充条形图如下: (3)估计该校赞成方案1的学生有1000 ×40%=400(人). 【中考热身】 1.520 2.120 3.B 4.解:(1)30÷60%=50(人). 答:该班的学生人数是50人. (2)从条形统计图中可以得出选立定跳 远的人数为50-30-15=5(人),所占百分 比为5 50=0.1=10%. 因为1000×10%=100 (人),所以该年级选考立定跳远的人数大约 是100人. 四、八年级上册过关检测 一、1.②③ 2.0.05 3.∠B=∠C 或AE =AD 等 4.69 5.-2 3 6.y(x+4)(x -4) 7.84 8.假设有两个角是直角 9.13 10.7 二、11.C 12.A 13.C 14.B 15.B 16.A 17.D 18.C 三、19.(1)5xy(x+2y)(x-2y) (2)(a- 4)2 20.2xy-1 -3 21.解:(1)∵x2y+xy2=30,∴xy(x+ y)=30,∵xy=6,∴x+y=5,∴(x+y)2= x2+y2+2xy=x2+y2+12=25,∴x2+y2 =13; (2)由(1)可知x2+y2=13,∴(x-y)2 =x2+y2-2xy=13-12=1,∴x-y=±1. 22.解:(1)80÷40%=200(人) 答:一共抽查了200名学生. (2)200×(1-40%-15%-20%)= 50(人).图略. ·5·