3 第13章 全等三角形-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（华东师大版）

∴x-2=4,∴x=6. ∵2x+y+7的立方根是3, ∴2x+y+7=27. 把x 的值代入解得:y=8, ∴x2+y2的算术平方根为10. 【中考热身】 1.P 2.1 3.A 4.B 5.A 第12章 整式的乘除 【要点回顾】 1.(1)积 数 字母 (2)和 (3)单项 式 多项式 2.相同 相同 相同 常数 3.括号 同类项 4.(1)am+n (2)amn (3)anbn (4)am-n 1 5.(1)系数 相同 字母 指数 (2)每一项 积 (3)每一项 每一项 加 6.(1)a2-b2 (2)a2+2ab+ b2 a2-2ab+b2 7.(1)系数 同底数幂 指数 (2)每一项 商 加 8.整式 积 9.(1)公因式 (2)公式 (a+b)(a-b) (a+b)2 (a-b)2 【基础过关】 1.2a3 a2 2.x2-x-6 10a2-3ab +2 3.±6 4.11 5.2(a-1)2 6. 4 3b- 4 7.-2 8.B 9.A 10.B 11.D 12.B 13.C 14.(1)(a-b)(3x-2y) (2)(3+a+ b)(3-a-b) 15.(1)32 (2)5 16.解:原式=(4a2-1)+(a2-4a+4) -4(a2-a-2)=4a2-1+a2-4a+4-4a2 +4a+8=a2+11, 当a=-5时,原式=36, 当a=5时,原式=36, 所以a=5或-5时结果都正确. 【综合提升】 1.3 2.a c b 3.±8 4.(x-3)(x +2) 5.A 6.B 7.B 8.C 9.(1)9mn(n-3m-2) (2)-(a+b)2(a -b)2 10.解:因为a2+1=3a,所以a+ 1 a= 3,两边平方得a2+ 1 a2+2=9 ,所以a2+ 1 a2 =7. 【中考热身】 1.2x2-5x-3 2.0 3.B 4.解:原式=a2-3ab+a2+2ab+b2- a2+ab=a2+b2. 当a=1,b= - 1 2 时,原 式 =12 + - 1 2 æ è ç ö ø ÷ 2 = 5 4. 第13章 全等三角形 【要点回顾】 1.(1)判断 条件 结论 真命 假命 (2)基本事实 逻辑推理 依据 (3)正确 2.(1)完全重合 完全重合 (2)相等 相等 (3)①两边 夹角 ②两角 夹边 ③三边 ④两个角 对边 ⑤斜边 直角 3.(1)相等 相等 (2)①底角 等 等 ②高 中 线 平 分 线 ③相 等 60° (3)①角 边 等 等 ②相等 60° 等腰 4.(1)已知线段 (2)已知角 (3)平分线 (4)垂线 (5)垂直平分线 5.(1)条件 结论 结论 条件 (2)逆命题 (3)①距离 相等 ②相等 相等 【基础过关】 1.一个直角三角形中的两个锐角 这 两个锐角互余 2.△ABD △ABC SAS 3.AB∥CD 4.如果两个三角形面积相 等,那么这两个三角形全等 假 5.CE △ABF △CDE 6.30° 5 7.60° 8.120° 9.△ABC ≌ △DCB AAS △DOC 10.C 11.证明:∵BC∥DE, ∴∠ABC=∠EDB. 又∵AB=ED,BC=DB, ∴△ABC≌△EDB, ∴∠A=∠E. 【综合提升】 1.① 2.8 3.100° 4.D 5.D 6.D 7.解:(1)证明:∵∠BAC=90°,BD⊥ ·3· AE,CE⊥AE, ∴∠BDA = ∠AEC=90°,∠ABD + ∠BAD=90°,∠BAD+∠CAE=90°, ∴∠ABD=∠CAE. 在 △BDA 和 △AEC 中,∠BDA = ∠AEC=90°,∠ABD=∠CAE,AB=CA, ∴△BDA≌△AEC, ∴BD=AE. (2)∵Rt△BDA≌Rt△AEC, ∴AD=CE,BD=AE, ∴BD=AE=AD+DE=CE+DE. (3)DE=BD+CE. 【中考热身】 1.6 2.AE=CB(答案不唯一) 3.45 4.C 5.解:(1)证 明:∵ △ABC 是 等 边 三 角形, ∴AB=BC,∠A=∠EBC, ∵BE=AF, ∴△BCE≌△ABF, ∴CE=BF; (2)由(1)得△BCE≌△ABF, ∴∠PCB=∠ABF, ∴∠PCB+∠PBC=∠ABF+∠PBC =∠EBC=60°, ∵∠CPB+∠PCB+∠PBC=180°, ∴∠CPB=180°-(∠PCB+∠PBC) =180°-60°=120°. 第14章 勾股定理 【要点回顾】 1.斜边 a2+b2=c2 2.a2+b2=c2或 a2+c2=b2 或b2+c2=a2 3.线段 两点 之间线段最短 【基础过关】 1.12 2.15 3.108 4.119或13 5.①②③ 6.49 7.4 8.D 9.C 10.C 11.C 12.B 13.解:设门高为x 米,则竹竿长为(x+ 1)米.由题意可得x2+42=(x+1)2,解得x =7.5,x+1=8.5. 答:竹竿的长为8.5米,门的高为7.5米. 14.解:设基地E 应建在离A 站x 千米 的地方.则BE=(50-x)千米. 在Rt△ADE 中,根据勾股定理得:AD2 +AE2=DE2. ∴302+x2=DE2. 在Rt△CBE 中,根据勾股定理得:CB2 +BE2=CE2. ∴202+(50-x)2=CE2. 又∵C,D 两村到E 点的距离相等, ∴DE=CE,∴DE2=CE2. ∴302+x2=202+(50-x)2,解得x =20, ∴基 地 E 应 建 在 离 A 站20千 米 的 地方. 【综合提升】 1.直角 2.4.8 3.90° 4.5或 13 5.D 6.B 7.A 8.A 9.(1)n2-m2,2mn (2)答案不唯一, 如9,40,41 10.解:(1)设AE=x,则BE=25-x. 因为DE=CE,所以DE2=CE2, 所以102+x2=(25-x)2+152, 解得x=15,即EA=15. (2)作D 点关于AB 的对称点D',连结 CD'交AB 于点F,过点C 作CG∥AB 交 D'D延长线于点G,则DF+CF 最短. DF+CF=D'C,D'G=10+15=25, CG=AB=25, D'C2=252+252=1250,D'C=252, 即DF+CF 的最小值为252. 【中考热身】 1.43 2. 2 3 3.3 4.10 5.C 6.C 7.解:(1)证明:∵△ABC≌△DBE, ∴BC=BE. ∵∠CBE=60°, ∴△BCE 是等边三角形; (2)证明:∵△ABC≌△DBE, ∴AC=DE. ∵△BCE 是等边三角形, ·4· 第 一 部 分 夯 实 基 础 第13章 全等三角形 1.命题、定理与证明 (1)表示 的语句,叫做命题.命 题是由 和 两部分组成的. 如果条件成立,那么结论一定成立的命题称 为 题;当条件成立,结论不成立的命 题称为 题. (2)数学中,有些命题可以从 或 其他真命题出发,用 的方法判断它 们是正确的,并且可以作为进一步判断其他 命题真假的 ,这样的真命题叫做 定理. (3)根据条件、定义以及基本事实、定理 等,经过演绎推理,来判断一个命题是否 ,这样的推理过程叫做证明. 2.全等三角形 (1)定义:能够 的两个图形叫做 全等形,能够 的两个三角形叫做全 等三角形. (2)性质:全等三角形的对应边 , 对应角 . (3)判定:① 和它们的 对应相等的两个三角形全等,简记为“边角 边”或“SAS”. ② 和它们的 对应相等 的两 个 三 角 形 全 等,简 记 为“角 边 角”或 “ASA”. ③ 对应相等的两个三角形全 等,简记为“边边边”或“SSS”. ④ 和其中一个角的 对 应相等的两个三角形全等,简记为“角角边” 或“AAS”. ⑤ 和一条 边对应相等 的两个直角三角形全等,简记为“斜边、直角 边”或“HL”. 3.等腰(边)三角形 (1)定义:有两条边 的三角形叫 做等腰三角形.三条边都 的三角形 叫做等边三角形. (2)性质:①等腰三角形的两个 相等(简写成“ 边对 角”); ②等腰三角形底边上的 、 及顶角的 互相重合(简称“三线 合一”); ③等边三角形的各个角 ,并且 每一个角都等于 . (3)判定:①如果一个三角形有两个 相等,那么这两个角所对的 也 相等(简写成“ 角对 边”); ②三个角都 的三角形是等边三 角形.有一个角等于 的 三 角形是等边三角形. 4.基本作图 (1)作一条线段等于 .(2)作一 个角等于 .(3)作已知角的 . (4)经过一已知点作已知直线的 . (5)作已知线段的 . 5.互逆命题与互逆定理 (1)两个命题,如果第一个命题的 是第二个命题的 ,而第一个命题的 又是第二个命题的 ,那么 这两个命题叫做互逆命题,其中一个命题称 为另一个命题的逆命题. (2)如果一个定理的 也是定理, 41 第 一 部 分 夯 实 基 础 那么这两个定理叫做互逆定理,其中的一个 定理叫做另一个定理的逆定理. (3)实例:①角平分线上的点到这个角的 两边的 相等;在角的内部到一个角 的两边距离 的点,在这个角的平分 线上. ②线段的垂直平分线上的点到这条线段 的两个端点的距离 ;到一条线段的 两个端点的距离 的点,在这条线段 的垂直平分线上. 例1 (凉 山 中 考 题)如图,△ABO 与 △CDO 关于O 点中心对称,点E,F 在线段 AC 上,且AF=CE. 求证:FD=BE. 解析:首先根据△ABO 与△CDO 关于 O 点中心对称可得△ABO≌△CDO,然后由 全等三角形的性质得到OA=OC,再结合已 知 和 图 形 信 息 即 可 得 到 证 明 △FOD ≌ △EOB 的条件,进而由全等三角形的性质即 可证明结论. 证明:∵△ABO 与△CDO 关于O 点中 心对称, ∴△ABO≌△CDO. ∴AO=CO,BO=DO. 又∵AF=CE, ∴AO-AF=CO-CE,即OF=OE. ∵∠FOD=∠EOB, ∴△FOD≌△EOB(SAS). ∴FD=BE. 点评:在证明线段相等或角相等的题目 中,通常通过证明这两条线段或角所在的三 角形全等来得到线段相等或角相等,若这两 条线段或角在不可能全等的两个三角形中, 还可寻求题目中的已知条件或图形中的隐含 条件通过等量代换来达到证明全等的目的. 例2 (黄冈中考题)如图所示,已知AB =AC,BD=CD,DE⊥AB 于点E,DF⊥ AC 于点F. 求证:DE=DF. 解析:连结 AD,利用SSS得到△ABD 与△ACD 全等,利用全等三角形对应角相等 得到∠EAD=∠FAD,即AD 为角平分线, 再由 DE⊥AB,DF⊥AC,利用角平分线定 理即可得证. 证明:连结AD. ∵AB=AC,BD=CD,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD. ∴∠BAD=∠CAD, ∴AD 是∠EAF 的平分线, 又∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF. 点评:证明两条垂线段相等,应用三角形 全等或角平分线性质定理是通法. 例3 (泰 安 中 考 题)如图,∠ABC= 90°,D,E 分别在BC,AC 上,AD⊥DE,且 AD=DE.点F 是AE 的中点,FD 与AB 相 51 第 一 部 分 夯 实 基 础 交于点M. (1)求证:∠FMC=∠FCM; (2)AD 与MC 垂直吗? 并说明理由. 解析:(1)要证∠FMC=∠FCM,只要 证 明 MF=CF 即 可,可 通 过 证△DFC≌ △AFM 来说明; (2)延长AD 交MC 于点G.由已知AD ⊥DE,若能证明DE∥MC,即可说明AD 与 MC 垂直. 解:(1)证明:∵△ADE 是等腰直角三 角形,F 是AE 的中点. ∴DF⊥AE,DF=AF=EF. 又∵∠ABC=90°,∠DCF、∠AMF 都 与∠MAC 互余, ∴∠DCF=∠AMF. 又∵∠DFC=∠AFM=90°, ∴△DFC≌△AFM(AAS). ∴CF=MF. ∴∠FMC=∠FCM. (2)AD⊥MC,理由如下: 如图,延长AD 交MC 于点G.由(1)知 ∠MFC=90°,FD=FE,FM=FC. ∴∠FDE=∠FMC=45°,∴DE∥CM. ∴∠AGC=∠ADE=90°, ∴AG⊥MC,即AD⊥MC. 点评:证明两角相等时,若两角是同一个 三角形的两个内角,则常需要证明这个三角 形有两条边相等(等腰三角形),利用“等边对 等角”的性质证明;利用全等是证明两条线段 相等的重要方法. 1.“直角三角形两锐角互余”这个命题 的题设是 ; 结论是 . 2.如图,已知∠BAD=∠BAC,AD= AC,则 ≌ ,根据是 . 3.如图,线段AC,BD 相交于点O,OA =OC,OB=OD,那么AB,CD 的位置关系 是 . 4.(广州中考题)已知命题:“如果两个 三角形全等,那么这两个三角形的面积相 等.”写出它的逆命题: .该逆命题是 (填“真”或 “假”)命题. 5.如图,AB=CD,BF=DE,E,F 是AC 上两点,且AE=CF,欲证∠B=∠D,可先运 用等式的性质证明 AF= ,再用 “SSS”证明 ≌ 得到结论. 61 第 一 部 分 夯 实 基 础 6.如图,在等边△ABC 中,BC=10,BD ⊥AC 于 D,则 ∠ABD = ,AD = . 7.如图,在等边△ABC 中,BD 为中线, CE 为 角 平 分 线,BD,CE 交 于 点 M,则 ∠BME= . 8.如图,△ABC 的边BC 上有D,E 两 点,且BD=DE=EC=AD=AE,则∠BAC = . 9.如图,∠A=∠D=90°,AC=DB,欲 证OB=OC,可以先利用“HL”证明 ,得到AB=DC,再利用 证 明△AOB≌ ,得到OB=OC. 10.如图,已知AB=AC,AD=AE,欲 证△ABD≌△ACE,需补充的条件是( ) A.∠B=∠C B.∠D=∠E C.∠1=∠2 D.∠CAD=∠2 11.(北京中考题)如图,点B 在线段AD 上,BC∥DE,AB=ED,BC=DB. 求证:∠A=∠E. 71 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.下列说法:①顶角相等的两个等腰三 角形的底角一定相等;②底边相等的两个等 腰三角形全等;③腰长相等且一个角是20°的 两个等腰三角形全等.其中正确的有 . 2. 如图所示,在△ABC 中,∠C=90°, AD 是∠CAB 的平分线,DE⊥AB 于点E, 且DE=3,BD=5,则BC= . 3. 如图,△ABC≌△DEF,AB=DE, ∠ABC =110°,∠FDE =30°,则 ∠FOC = . 4.如图,下列三角形中,若AB=AC,则 能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 5.已知△ABC 中,AB=AC,下列结论: ①若AB=BC,则△ABC 是 等 边 三 角 形; ②若∠A=60°,则△ABC 是等边三角形; ③若∠B=60°,则△ABC 是等边三角形.其 中正确的有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.(厦门中考题)已知命题 A:“任何偶 数都是8的整数倍”.在下列选项中,可以作 为“命题A 是假命题”的反例的是 ( ) A.16 B.15 C.24 D.42 7. 如 图1,已 知△ABC 中,∠BAC= 90°,AB=AC,AE 是过A 的一条直线,且 B,C 在A,E 的异侧,BD⊥AE 于D,CE⊥ AE 于E. (1)求证:BD=AE; (2)猜想:BD 与DE,CE 之间的关系, 并证明你的猜想; (3)若直线AE 绕A 点旋转到图2位置 时(BD<CE),其 余 条 件 不 变,则 BD 与 DE,CE 之间的关系如何? (直接写出结果) 81 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.(长沙中考题)如图,B,E,C,F 在同 一直线上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF, AC=6,则DF= . 2.(绥化中考题)如图,A,B,C 三点在 同一条直线上,∠A=∠C=90°,AB=CD, 请添加 一 个 适 当 的 条 件 ,使 得 △EAB≌△BCD. 3.(天津中考题)如图,在Rt△ABC 中, D,E 为斜边AB 上的两个点,且BD=BC, AE=AC,则∠DCE 的大小为 度. 4.(深 圳 中 考 题)如 图,△ABC 和 △DEF 中,AB=DE,∠B=∠DEF,添加 下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF ( ) A.AC∥DF B.∠A=∠D C.AC=DF D.∠ACB=∠F 5.(龙岩中考题)如图,E,F 分别是等边 三角形ABC 的边AB,AC 上的点,且BE= AF,CE,BF 交于点P. (1)求证:CE=BF; (2)求∠BPC 的度数. 91