老师们，大家好，现在来跟大家分享一下2025年新高考一卷的分析，以及后边的一些想法。我们将分三个模块来分享我的一些观点，一、聚焦命题特点，总结高考规律。2、解构经典试题，注重教考衔接。3、共享复习策略，科学备战高考。现在是第一块。首先我们对教育部官方发布的试题说明以及评析表示拥护。他们的主要观点在这我就不再读了，这边我们直接进入试题分析阶段。2015年新高考一卷的具体分析。第一题量控制，它继续控制在第19题，坚守了减少体量留给学生深度思考的改革的初心，就新模式的设计才确定为19题，原来可不是19题。第二运算量增大，今年非常明显的一个特点就是每道大题都有八步左右或更多的演算，复杂程度也大幅增加。比方说出现了六位数除以四位数，以及计算五的和3的高次方程，还有结果中出现了三根号3加3根号二这种形式。字母运算中第18题的解析几何题可以多打九个字母，考生至少自己要设三个字母，所以多思少算。这个改革。的初心到底。怎么落实，还值得我们关注。第三，陷阱较多，综合能力要求高。这个看起来试卷还是比较平和，但是纠纷的地方还是蛮多的。这个难度上就是除了中等难度的三个小题，中上难度的一小题，第十一题因难度较大的第19题的两个问以外，多数题目比较常规，也可以说题目非常老套。这个陷阱多丢分点多，可能也不完全是试卷的原因，也与我们平时的教学有关。什么意思呢？我们是基于知识的教学，一般会套用一个定义，三项注意或者几项注意来进行知识的传授。这种教学一般很少说人能够把注意点都记住，就是陷阱都都避开。人的心里会回避对可怕事物的记忆，就是一个定义，几项注意，那个注意一般都得视为这种可怕的事物，人们会回避对他的记忆。命题规律从公开。提出反刷题、反套路以后，高考题其实命题风格人为因素很大，本身有反套路对吧？它就不能太常规。比如说原先提出的加大阅读量，当时有人曾经提出高考试卷要做到5000字。这些好这些资金很快就被推翻了。今年的试题大多简明扼要，去年也一样，还有前几年古文词汇满天飞，所谓考文化的那种题目，这两天一个都看不见。所以命题规律恐怕要逐渐的回归，还是回归到朴实，回归到数学本身，普遍的有两点，真实情境与学科融合。这是当初提出这个新模式改革最强调的两点，真实情境和学科融合，学科融合这个国家的各种文件以及杂志上各种论文都在强调回到数学本身和与现实世界相结合的原则。连篇累牍的论证真实情境论证学科融合调查，直接喊出这项教学的名字了。解构经典试题，注重教考衔接。我们来看，辩护，众人都认为第17题立体几何题是新颖的。那么他心在哪里，如何应付实际利益两个问。第一，证明面面垂直这是非常经典的题目，也非常简单，这个没什么新意。他新是现在第二轮，第二个给了几个数量，说PCDBCD在同一个球面上是球形的O一证明O在平面ABCD上。第二求直线与平面所成的角的余弦，它的第二个求线面角的余弦值也是非常老套的。在第一问解决的前提下，第二问不算是新问题，也不算新颖，角度也没有新方法。关键是第一问证明O在平面ABCD上。现在两点，第一，一般我们习惯就心理习惯上说是求一个多面体的外接球。那么这个题目里边给的不是四棱锥的外接球，他把A点抛出在外，而是说过PBCD这个三棱锥的外接球。很多人的在阶梯的时候，特别考场紧张的时候，他会把这个。背景。做模糊。就是A点他不忽略的情况下，而且不糊涂的情况下，这个背景会极大的淹没我们的对三轮车的关注。而他他如果一直关注四轮追，这个题目就没法解，无法解，就说应该把三分之1P杠BCD从4分之1剥离出来，从背景中剥离出来。如果完不成这个玻璃，那么这题目没法进行下去。第二个景点是。它不是直接叫你求外接球的半径，而是说证明球心在这个平面ABCD内。这样其实给了一个提示作用，我认为这个提示其实反而干扰了学生对问题本身的思考。本来是一个探究题，让让你去判断探究点球形在什么位置，在什么地方，它现在变成证明O在平面ABCD内。有人说这会降低题目难度，那也可以说也可能是干扰正常的对正常题目的思考。什么意思呢？我们这样讲，就目前我看的被传的最广的两个解法是这样。第一是直接标出点AD上一点O他就说在AD上取一点O使得AO等于1，通过计算逐一计算OP等于根号3，OB等于根号3，OC的根号3，OD的根号3。方才知道不是求新。那这个地方就是很突然，为什么你标出了，没有一个探究过程没有个探究过程吗？探究过程是什么？这个看不出来。解法二是先建立空间直角坐标系，标出PBCD的坐标，并设外接球的球心为OXYZ。这个O还不是那个坐标原点，不是坐标原点OXYZ，再由OAOBO的OA等于OB等于OC等于OD列出三个方程是三元一次方程组，可以求出坐标，不管是第一种解法，第二种解法，我认为这就没有很好的体现空间想象能力以及空间的图形的转换能力。应当说空间。几何重点在对空间的想象力，对空间图形的操作能力。那么作为外接球的球心位置探寻完全可以这样是做每个面的外接圆，每个面是多边形，三角形，每个面的三角形的外接圆的圆心，自圆心做这个面的垂线，找几条垂线的交点，它就是球心。这样就是探究起来，想象起来是比较实在的，也考察核心素养。那这样做好不好做呢？也好做，比方一个面PBC是个直角三角形，它的外心就是西边的终点。那如果是这个起点终点做平面PPT的垂线有难度。但是它但是他可以在这个左边通信上可以看到这个EO对这个平面PBC那个FA恰好FHF是PP的重点，恰好也是垂直于平面PPT的这通过第一个证明很容易做到，第一题的证明很容易做到，那么EO和FA平行，那么AO和EF平行相等，AO长度就是一，IO长度就是一。因为EF是BC的一半，EF是PBC的三角形，PBC的装备线也不等于一，AO就等于1，这就是一种做法。另外这个题目可以他说了明确的说外星在平面ABCD内，那么只要找到三角形BCD的外形即可。也就是说把空间结合的问题转化成平面ABCD内，掌握三角形BCD的外形，这就是平面的解三角形问题了，所以真的降低了难度真的降低难度，但是也失去了通奸素养的一种考察是吧？所以这个设问我感到有点奇怪有点奇怪，就是这个第二种方法。第二种话就做的就非常简单，要找三角形BCD的外心，只要找BC的边的垂直平分线，再找另外一个CD边的垂直平面。就是我们不需要只要找一个BC边的平分平分线一交一交交对边AD与O点AD那么AO就等于1，很简单，IO等于1。稍微看一看那个ACAD边的长是根号3加1，这边去掉了一个一，那OD长就是根号三根号3，那这边OB是根号3，OC根号三是非常好求，因为这边根号2，AB是根号2，这个根号二和一配起来直接的三角形识别根号3就非常容易了。所以这个设备的方法是降低了难度，降低难度。但是如果说平时我们立体以后的训练比较好的话，可能学生会直接去做面的垂线，这样这个和他会想到两差距。那么应试训练比较到位的，一般来讲这个题目两种思维合在一起是很容易的。应试训练到位的这个题目做起来不是难题，不是问题。现在高中生立体和教材中用空间向量来求各种角线、线角线、面角和2面角。这个有有的老师会只知道只让学生知道求解的流程就套路让他们反复的练习向量求角，结果造成会求角却不知道角是什么，混血讲或不知道讲是什么，这就不是好的教育。那么这2025年的这个题目你稍微的像什么呢？像让你知道外星这个方面的努力了也想知道脚这方面做了一些努力，可以做脚求角，可以做角求角。我认为正常的现象。那么你如果连脚都不认识，但是通过向量把它变出来，这个不是我们攻坚核心素养所所期望的但是最近有些地方有些老师调研部门来强调说一定要做脚右脚。又回到原来的老路上去了。这也不是我们所希望看到的，我希望看到的是你会跺脚，会知道那个角是什么，同时也会用向量来求角，这才是既有古典的有现代的新东西。研究角就要回到角本身，这应该没有什么不可理解的对吧？求导的方法并不是脚本身，如果只会用向量求角，不知道角是什么，那是吊球，应当是闭门的，应当避免。第二个。对于秒的方法是好方法吗？这是第八题。第八题被认为是难度比较大的一个题目。前两年曾经有人说毕业大学不考了。比较大小，通过函数去去构造函数来比较大小就不考了。今年可不是这样，这不光考了，还考个比较难的题。它是个逆比较逆向比较来，但是这比较方便的很多，很多有的人还动用了这对数平均不等式。这。都可以。但是有这样一个现象，我想提出来供大家讨论。是这样。如果我们直接来画三个图像，Y等于log 2，X加2，Y等于log 3，X加3，Y等于log 5为底X的对数加5。换这三个图像，我们先用前两个图像标出的焦点A再用第三个图像来画画出来。但是第三段它是经过挨个上方还是另外一个下方呢？不好判断。要判断的话可以动用比较高级的技术，比方对数平均不等式。但是如果我们不做任何判断，直接画。画条的话，如果你画的第三条线经过挨在下方，那立刻就可以找到ACD成立的分段，分段成立的那段都能找到，就剩下的B那直接选B。如果你画的不巧，就画把第三条线画经过A的上方，也得到几个焦点分段，结果发现出现了什么呢？出现了两个选择值，另外两个不出现。但是这是多选题，这是多选题，你只有一个可选的，对于这种情况就立刻淘汰掉。就说他我们就把画图像没画桥经过A点上方的图像立刻淘汰掉。短赶紧改改的话结果还在下方，那立刻就可以把答案做出来了。这样做的话不需要经过任何计算，而且很快几秒钟就做出来了，这就叫秒杀，这就叫秒杀。如果说我们把它转化为直线画的更清楚，直线在这儿，直线一样的，把它转化为直线来画，经过上方立刻淘汰掉，经过上方就出现了A和B出现了A和B没有C平和没有D那么这立刻把它淘汰掉，就改换后面这个经过下方的出现了ACDB没有，那就选B了，那就选B了。各种秒得答案的各种解码几秒钟。是数学吗？我们有些老师一直热衷于去找秒的方法，我认为有些描述方法是对的，有些描述法是不适合用来教学的，完全是应试技巧。他不是数学，偏离了我们培养学生核心素养的这个教育宗旨，教育重点。同时也说明这个题目不在这里，还是存在瑕疵的，存在瑕疵要避免的瑕疵。简单只要把C选项和D选项中的任何一个改成这里的，改成Z大于UI大于S或者改成Z大于X大于UI那这样瑕疵就被弥补掉了。第三，我们共享复习策略，科学备战高考。一、康熙技术这个老料还要不要重产？当时技术老调还要不要中台？我想到了这个例3，今天的例3，这个例三这个题是第四题，是这个正切函数的一个对称中心。正切函数对称中心求A的最小值，那等于说求求这个函数对称中心中在S在S轴正半轴上的离原点最近的那个对称中心。这个题目其实曾经考过大约是2026年，2026年要考的是。Y等于半径的X减三分之派，离原点就直接考离原点最近的。这个他是考的时候我的判定的X加30派意味着最近的对中心。当时某市的这个状元在接受记者采访的时候，直接说一段话，说什么呢？说我一看到考正题函数变成一，我就知道考的不是00点一定是考的是二分之派逗号零这一点他就说了这两句话，可想而知。当时我就想这个孩子应试能力训练的话已经出神入化了。他不是说看到题目就知道怎么做，而是没看到题目就知道了这部分有哪些题目，他的易错点在哪里，他都知道。那么这个叫不叫夯实基础？这叫不叫夯实基础？从单从这一句话来说，从一段话来说，我只能说这个人的应试训练是到位的。但是他的基础有没有夯实？他这句话是说不出来，就是读出来的。那我看对照这两个问题，这个题目这个题目这题有很多人回答就是最近的点，最近的对称中心是三分之派都好离这当然是错误的，当然错误的。这个同样点，正确的是什么呢？它不是零点向右平移三分之派，而是负二分之派。多少零向右平移三分之派，它另一个点距离就是六分之派，而不是三分之派。那回到基础，这个Y乘X的对中心Y等于四对中心。为什么说是二分之派？多少零是记住了吗？记住他最中心可以吗？调查助学和核心素养吗？来我们教学生学习正确函数的性质，结果学生记住了Y特点的最中心是二分之派。二分之K派多少人？我们认为这就高级了。如果你记住它是K派逗号零是错误的，你记住二分派逗号零是对的，那么他记住二分之K派逗号0，是不是我们教学就成功了？我认为不光是说他从图片上看出这个二分之派派多少人是最中心。他应该让他明白为什么这个2分之300多少零是对称中心对称中心天然的，不应该是看出来的，应该是可以证的，应该凭证的那怎么证呢？不能停留在万一探点之上，要做一般性的思考，就是数学建模对称中心的模型是什么？一般意义下，若Y等于FX的图像，对称中心是A逗号BA和B那么当S1加S2等于2S就当横坐标关于A对称时，纵坐标要关于B对称。当S1加3等于2SY1加Y2那等于2B要恒成立恒成立。如此说来，对于完全看解词，我们设计对称中心为A逗号B则当X1加X2等于2，XY加Y2等于特定S一加特定S2等于运算就是sine 2A除以cos s1 cos s2，所以S1加S2为定值，但是cosine s一乘以cosine s2不是定值。要是这个式子为定值，那只有一种可能性就是sine 2A等于0。你sine 2A不等于等不等于0的话，这个式子不可能是定值。所以sine 2A等于0，那就是2A等于K派，就是A等于二分之K派，A等于二分之K派，K分Z由此就知道Y的离子对称性是二分之K派，逗号0HZ我认为这样就算才算是学生真正理解了，为什么万一探解式的最终一式二分之开百多合理。2024年也考了对称中心的问题，今年又考了对称中心问题。其实前几年2021年、22年、二三年也都涉及了个人中心。所以去年在2023年在猜题的时候，猜对了，我就猜了我说这种人要引起注意，我就举了log x的例子，log那个一加X除以一减X这种类型的例子。那么这样的学生听起来其实也不难，而且素质上得到了提高得到提高。所以记住结论不一定是你就有了这个素养，你考了满分也不一定有这个数量。所以我们平时教学还是应该遵守课程标准的要求，也应当遵守为学生发展这个宗旨。应是需不需要硬是当然你不能说不需要，但是如果纯粹是为了应试，就教学走了，走到了铁路上去。现在我来问一句，函数Y的X加3X的对称音是什么？我的S加。3也是有些人。回答是00。我问过好多学生，也问过一些老师，他回答认为理由很充分，因为它是奇函数，实际上这个函数有无数多个对称中心，有五十多个对称中心，你只回答一个00，那显然是不够的。那么他有五十多个对中心怎么治，怎么去？如果你不会认，我告诉你有无作用，你记住他也不叫你约会了，说回去。那么回到开始的一个疑问上，什么是基础？怎样夯实基础？基础不应当指下位概念。相反对上面。概念有所耳闻，可能极有利于对下面概念的理解。因此人不能改做下面概念，都学好了再去学上面概念。这本身就是现象教学的一个比较好的主张。什么叫下面一个生命链？这个是什么叫有所耳闻？我举个例子，比方说如果有人问你蝙蝠是不是鸟？你可能跟人家说这个蝙蝠不是鸟，那怎么说？你说蝙蝠是液体出来的，鸟被炼出来的那人家立刻反驳你，有些鸟是液体出来的。你可能再说蝙蝠的猫和鱼和鸟的猫是不一样的。蝙蝠叫猫，那个那个鸟的叫羽毛。人家就要追问你什么是毛，什么是羽毛，那你再去解释，解释不清楚。但是如果你对上面的人有上面一个有所了解，有所理解，你就说耳闻，然后就说耳闻，你就说这个变化是哺乳动物这太深的。这个鸟是卵生的，卵生动物是不同的类，那么这基本上大家都都能够接受的，基本上都能接受。这是上面给你，哪怕你稍微有一点知道，不是并不理解他，但是对下一个人理解是极有好处的。好，那么这个Y等于X加上颜色对称一，这怎么看呢？这样看一关键词对称，一是派多少0。第二YS是直线，直线就是中心这种对称图形，那直线的所有点都是它的对称中心，因此可以认为。YS的。最容易是派派逗号派派。那么一个函数是开派多少人最容易，另外一个函数最容易是开派多少开派，那加起来的原因是什么呢？我认为这个就要升级一下，不能停留在这个函数上。应当追问，如果FX最容易是A逗号，BGS的最容易是A逗号B撇，那么FX加G的这东西是什么？有人会说A逗号二分之B加B撇，而实际上让你根据刚才的定义，当S1加S2等于2S。Y1加Y2等于2B那另外一个是Y1加Y2等于2B撇。两个是加起来应该是丁的，两个函数之和等于两倍的B加B撇。因此核函数的对称中心是A逗号B加B撇。所以这个函数YS加3减4的对称一就是K派逗号。K派如果写成Y03X加X对中心，那就应当是开派逗号三倍的开派。好，这样的话我们用FS加GS一般的两个对称函数中心对称函数的和来理解完成S加上叶子的对称性就非常的清楚，而不是停留在对X加3S的。这是什么？这里我愿意和同行分享一个非常有效的教学方法，就是观念的升级。关键的问题就是用上面概念来理解下面概念，但是并不是无限加码，我们只要对上一概念有所耳闻就可以了，有就可以了。对于我们教材编写说曾经有过这个原则，说螺旋式上升它不是一次性的打好基础，不是一次性的消耗所有东西在上升，它是螺旋式的上升。那么这个有利于学生对原有概念理解，所以观念升级是有必要大家有所了解。现在你主张这个来看2025年新一卷的第十一题，第十一题。三角形里边的问题，三角形的面积为4分之1，然后cos 2A加cos 2B加两倍的cos c等于2，而cosine a cosy可以sine等于4分之1。则下面四个选项这个题目被认为是整份卷子的难题。押金除了第19题以外，就这题是最难的。那么困难在哪里呢？如果你对每一个条件进行分析，每次点都不能指向一个固定的结论，不能指向一个固定结论，这和我们习惯于演绎法的推演，建立习惯就不大相符。对，这个就是这个歧路亡羊对吧？不好去找目标了。另外我们可以这样看到，他给我三个条件，解三角形问题给我三个条件，三个方程就可以解三个人数。三方的是可以写三个指数的，而解三角形要确定三角形需要几个条件呢？根据三角形。正好需要三个条件。要么三个边，要么两边和夹角，两边和一角或者一边和两角是吧？确定三角形需要是三个条件，你给我三个方程又是可以解三个未知数的。因此这个三角形其实是确定的对的。只不过由于它这个三不是单调的，因此这个方程三个条件简单的是两组解，不是一组解。那么把它看作是方程子路来做做，就逐渐的消元。想求什么我就指向于保留什么，这样的话思路就比较清楚，而不会拿着这个条件三条件去首先没有目标的去推演。这样就用方用这个方程的观点来理解这个题目，看这个题目可能就是容易找到变形的大致的方向。2024年去年的新一卷的解三角形也给了三个条件，那这样看就比较好理解。如果只给两个条件就不是有什么值的问题，那是小范围也可以给一个条件出外面问题。像北京大学的去年的这个长期计划试题里面就出现了，这是一个条件。BC边上的高是三分之ABC边上的高是三分之A求B分之C加C分之一这个类型的最小值问题，最大值问题。那么就是给只给一个条件，那只给两个条件，都不能求三个量，所以只能求范围或者求最值，要给一个条件应当是求二元最值，所以这就容易把问题看清楚容易把问题看清楚。第二，怎样看待反套路和反刷题？反套路这个词提出来开始，如果不做认真思考，那大家的话那就这个繁体没啥事，实际上不是这回事，我们更广泛的来看一下，我国对数学的定义是这样的，数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学。2023年课程标准是数学是研究数量关系和空间形式的科学，把现实世界四个字去掉，现在修订版又把现实世界四个字加回来，可能因为恩格斯所说的定义，可能不想轻易动。那么西方的哲学定义是什么呢？是发达国家。他说数学是关于模式的科学，澳大利亚说是关于模式和秩序的科学。老师们这个模式监听模式、思维模式，模式和套路有什么关系？反套路肯定不是反模式反套路肯定不是反模式，那到底反什么？这个我希望大家去讨论，把这个弄清楚，有利于我们去复习引导。本刷题大家能理解是吧？本刷题我告诉大家，一我极度反感的一句话。因为有几个在网上面谈钓鱼的。大卫把这个当做。旗子扛出来，当什么旗帜呢？什么当旗帜呢？就说他说所谓学习就是极致的重复，独立学习就是极致的重复。有的几个单位把这个当做一个口号提出来，这甚至于把它当做学习的一种好像很高大上的东西，反复的宣传。我是极度反感这句话，他刷题就要反这种一致的重复。比如典型集合。中的反复练习，韦达定理的应用反复练形成公式，那么一旦出现非对称的回答题他就不会了。那在反复的练非对称回答定理这种教学局限于一招一式的反复的操练，不仅不应当提倡，应当极力反对。他偏离了数学的核心素养，比方说有的人交了一倍的数学，有的人学了一倍数学，不知道简称公式这个名称是错误的。简称公式这个名称极大的限制了机的设备。来我看你。最新高考，今年新高考第十题第一集合体。其实我们很简单的就可以设那个弦的方程AB的方程X等于MY这个加2分之3，然后再进去求弦长，求几个长度，很容易比较出来，计算并不难，不需去追要追求多少的技巧，必须要去记住多少二级结论，但是有个地方是这样，这个一月份的差一年份长怎么求？如果一月份长，你再去求一点坐标，再来求现场，再不是再来求EF长，那就确实有点预算量比较大。而如果。你知道。EREAF厂，就得根号下一加K平方乘以XE减XFEFX等于根号下一加K平方乘X1减XF，X1减XF就是P那他就得根号下这个一加K1加KEF的平方乘以P而K就是他的这个斜率的负导数，负导数就是M那就直接就是写成根号下一加M平方乘以P这就很容易做出来，把人做出来。问题是业务上可不可以这模式？有的人有的学生就疑惑了，说老师这是现场模式，业务不是钱，这就是学习的。你你你你反复刷题，刷的刷了死板的结果就是EF你那个公式并不是说只能用来求线上，还可以求什么呢？还可以求直线上任意两点的距离公式，或者可以称为它是斜率时的两点间距离公式。斜率时的两点间距离公式你把它叫做弦长公式，限制了行政思维，也限制了这个公式的力量。对夯实技术不是把你体型练得多熟，把公式用的多熟，而且应当对提高对这个顺序的理解。怎样看待二级结论？就在前两年二级结论还被奉若神明。杂志上也反复的讲，我有50个2级结论。有的人讲我有多少100个2级结论。实际上那你要。多毛性结论来解题，反而加重了学生的负担，反而削弱了对更本质东西的理解。现在国家明确提出反对这样的做法，而且还不光这样，还反对把大学里的内容搬过来。对高考试题就是明确反对的。不是我说的，人家明确有这个说法，明确文件不允许这样做。2024年已经没有这种二级结论解说，不用二级证不会写的题目了。他现在有没有用？有用，你要能灵活用起来大有用。但是追逐用二级精神来秒杀高考题，这本身是违反高考的公平公正原则。像今年的这个学习和第十八题，你看学习和第十八题就是基本的坐标法，就是坐标法。你说点击集合就是坐标法，对吧？没有坐标法，坐标法就没有解几何。有了坐标，有了纵坐标就有了解几何，就这么简单。所以今天考的第三题是非常基本的题。虽然它字母比较多，字母比较多分了八个九个，你是要设三个，但是他没有脱离解析集合的核心东西，所以它不算是偏题。甚至于你如果对解析核的核心素养练的比较好的话，他不算是偏题，根本不偏。他堂堂正正的是坐标化的题目，他求动点轨迹是设这个代入等式的代入几何等式的对吧？那求最后求最值是动点坐标构造目标函数也是堂堂正正的。所以我认为二级结论也罢，这个特殊技巧也罢，不应当是数学教学的追求的东西。在这里我举出一个夯实技术，但不要二级阶段的一个实例。因为这个第十八题，就遇到了火源上点到1个定点。你这个圆心那个P点那个轨迹是圆，圆心是0-4 0是-4对吧？那遇到了货源上点到定点0-4距离的最大值问题，那么椭圆上点。到一个定点距离的。最大值到一个定点距离的最大值，这个就应该是基础性的问题。基础性的问题什么意思？来在完成给点求图形点到它这个点的距离的最大值。在30年前1997年就专门考过一个大题。这一个是说什么呢？说椭圆的中心的原点交点在Y轴上交点在X轴上，然后履行率是2分之23，货运站点到定点A02分之3距离的最大值根号7。求平衡方程竟然把这个A02分之根号3到椭圆上距离的最大值为根号七作为一个条件，有条件来求解方程，这说明什么呢？说明轴上一点到椭圆上距离的点的距离的最大值也是需要数学基本功来理解他的。那有的人就认为就是下顶点或者上顶点对它距离最近最远，实际上不是这回事，不是那么简单。应当是设椭圆上一个动点PSY，求这一点到定点的距离表达式。这个表达式是一个二元函数，双变量的二元函数。但是因为这个点在椭圆上，所以可以得到一个变成一元函数。一元是一个二次函数。二次函数物比例又有限制，点在椭圆上，所以它就变成一个定轴定区间上的二次函数，求最大值问题。你看这是不是最基本的问题，还是我的基本功。如果说你要夯实基础，夯到什么程度，你可以夯到货源上。点到1个定点的距离，最大值是下跌点还不是下定点。可能是下顶点，也可能是顶点下顶点两边的两点。那么分界点在哪里？分界点在这，我在这就说一下，如果这个点就分界点在这B分之4平方，那下边是负的B分之4平方。如果这个定点是在这个负的B分4平方到B分4平方之间，那同样是两点到它距离最远。如果你那个定点是超出了这个范围，在上面或者在下边，那就椭圆上一点到它的距离，最远就是相对的那个短轴端点，同样椭圆上点到X上一点的距离的最近最小值是什么呢？有几点到这点距离最近？也可能是一个点，也可能两个点。比方说同样点到左焦点的距离最近的点，那就是多点点，就一个点到右顶点距离最近点是右顶点也是一个点。但是从上点到与原点的距离，这点就不是一个点，是上下两个点。把这个定点从原点出发，向左边走一下，向右边走一下。如果走的距离不太远，那椭圆上点到达距离最近的这两个点，而不是一个点走的远了，到达距离最近的点就是一个点了。那分界点在哪里？分界点在A分之C平方和负的A分之C平方。那A分之平方显然在两个交点直接小于ZFC01小于C所以这段线段就包含在两个焦点之间，焦点在现在之外，对椭圆上点到焦点距离的最小值最近的就是一个点，而上面的B分之C平方不一定比B大，也不一定比B小。所以这个长度可能是包含在椭圆内部，有可能超出椭圆的范围，这个应该就算是夯实基础，这航道已扩大了制度的范围了。但是这个不是不需要记住，这个二级结论不需要记住。你让他会求回上点到定点的距离的最大最小值就可以了。今天考大值，你明天考试小时他还会做他还会做。讲，下面两种题型值得注意，一种是构造性问题，老师们今年考的构造性问题好几个好几个。构造一个东西证明这东西在哪在哪。就是解体时候解体时候有的人说特殊化，那也是构造你构造的一个特殊例子对吧？构造性问题为什么那么重要？其实构造就是创造，创造型就是创造性？这个让我想起100年前，数学关于数学哲学的三大流派的互相争论。逻辑主义学派，罗素的新式主义学派，还有一个是直接主义学派，新是直接主义学派，又又叫构造瑞学派。就是说你说的东西如果存在，就要把它构造成这个东西，到现在还有争论对吧？但是高考题包括各种大赛，包括数学奥林匹克竞赛，构造性题目比比皆是比比皆是。现在我们国家提倡培养创造性精神创新精神，提高全民族的创新能力。创新我认为构造很是很重要。一方面如果是从演绎推理得出结论，后面的结论一定是包含在大前提里边的，方案在前提里面。而是说你构造一个新东西，包括构造一新的问题，提出问题，那这个构造能力就是创新能力。一个例子分享给大家。第数目界20国际足球里面跟的一个例子是AB是实数铁，使得这个方程X4次方加AX3次方加BX平方加X加一等于零有实数解，至少有一个实数解对轴车的速度，AB求出A平方加B方的可能的最小值。什么最小值？来我又回到前面的问题，如果你把它当做4次方程，那么我们的学生是没有能力减4次方程。所以不要把它看成4次方程。那看成什么方程？不看成是方程，看成什么？只要你在方程两边同除以X的平方，你会出现你会发现这个系数是对称的。X的4次方的系数是一常数项是一，X的3次方的系数是A1次方的系数也是A这两边对称，所以只要两边同除以X的平方，就会出现X平方加X平方之一和X加X分之一这种类型。于是再把S平方加X平方分之一换成S加14分之1括号平方。第二你是这个函数就变成了二次函数。好，第一观念，你必须是观念，对吧？这观念那是比较高的观念。知道你的行为不能看成4次方程，那就看成2次方程除以X平方就行了。出来以后变成2次方程有解问题还不是有实数解，而是有一个使得X加X分之一有解，那就是区间是2到正琼以及-9到-2，在二到中旬以及负的二上有解。就可以得到关于系数的限制条件，再求A方加B方的最小值就可以了，这一种做法。另一种做法是什么也不做，不化简，你不说有简单，那我假设D是X0，这个方程变成了X的4次方。X的4次方加NS03方加BX0平方加X0加1等于0。那么当他这个X0上来以后，这S零就当个常数了。正向的是求A平方加B方的可能最小值，那说明AB是可变的。而当AB变化是怎么样，AB符合的是一个1次方程、2元1次方程两个变量的1次方程很清楚，2元1次方程表示的是直线，于是把点AB把速度AB当做是点的坐标。AB这个点在一条直线上，点B这条直线上从A方加B方的最小值，很显然，直线上点到原点距离的平方就是A方加B方。于是构造点到直线的距离，构造点到直线距离A方加B方大于D平方，然后就把这个A把这个距离飙升。关于刚才X0的1个函数，一元函数非常好解，求最小值非常好解。这个构造你看通过方程构造一个新的方程，通过方程构造直线又构造把A方加B方构造成原点到AB点的距离。这个距离大于等于原点到直线的距离，又用X0来表示了，于是非常好解，这个题目被2024年清华大学的强基计划改编成一个试题，原体改变，而且改变的变得非常简单，它直接把X平方除过去了，除下去以后构造一个方程，又要构造一个方程，就是这个题目的亮点。灵气就在于能够发现系数的对称性，能够两边平方除不过去除以X平方。当你把它变成先除平方除以，把平方除过去后，变成了X方加1000分之1以及X加X分之一这种函数方程的时候，0T已经被消掉了，那就不说。第二种题目是大小中取问题。什么叫大小桩取？大小中取本来至于说去年我猜题的时候，猜这种题目蛮重要的。在2024年1月19号进行的优胜联考里边多了这种题，个体大小双举。我给他起个名字叫大学双学问题，大小双穴问题。那么今年的十9题最后给大家这题其实就是求最大值的最小值。也没想到他把这种大小双穴里没出逼不出变化，一出不到最难题的位置。反而这种很好的题目，好多学生就没有机会座谈，正确座谈的机会在最后一题这种题目值得大家关注。我认为我把我原创的两个大小装备问题分享给大家，分享给大家。第一个是这样，USY属于D等于maxim绝对值3减20的绝对值和Y平方Y方加1分之4从这个G是四个中求取最大值，则G的最小值等于多少？填空题A的最小值等于多少？填空题第二个原创就是已知A大于等于A乘B等于1，求M的最小值。我把这两个分享大家停一段时间来，有兴趣的老师记一下。好大小双曲问题。为什么说值得我们关注呢？是因为它延长了思维链。本来你取个最大值就算了，现在是在最大值中求最小值。如果学生训练不足，可能题目看不懂，像今天第十九题，有人根本就看不懂，根本看不懂，不是谈不不谈会不会做了，他懂都不懂。像这种题目我们要也要去好好的训练他，答案在下边，答案是二分之根号下17减1和32和3。下面不得不推荐的现象级考题。现象级考题？新信息题是必考了，但是新信息带来了什么？新信息不是用新信息带来新知识，也不是用新信息带来新方法，而是带来一个新的数学现象。今年第八题中说哪一个阶段不可能成立，哪个阶段不可能成立？就是三个比较的XYZ和第16题哪个必会成立？相当于不一定会成立，与其说是数学试题，不如说是数学现象。这种题目两年前就出现在上海的高考题以及浙江的中考题中。大家可以到BC上去搜一搜现象题或者现象级考题，或者你可以搜现象教学。在deep c上还是有一些新信息的。你到desk k上去搜线上教学，或者搜变相式考题。你能知道上海的和浙江的上海的高考题和这个综合题。从线上教学或者从现象式学习可以了解相关的教学观念。下面是新一卷的第十四题，这个题目没有公式可套的概率分布，你不好判断它属于什么概型，对吧？不妨直接套公式。他只是说出了这件事情，一个箱子里有五个相同的球，分别标11到5的标号，从中取出取三次，有放回的取三次，你至少取一次的球的一次的球的个数出来一次，这样属于期望。你看他就把这个事情告诉你，这个事情摆在这儿，你看怎么办？它不属于任何一个各套公式的标准化的题目，对吧？那么非标准化题有人说它是非标准化题，那么非标准化这三个字就已经把它的范围扩大到难以描述，难以限制。等于说其实就扩大了所有的杜绝现象，你不可能用你的语言缩进所有的出现现象，因此就不可以缩进所有的非标准化试题。因此这种题目我认为就是让学生面对数学现象进行思考。这个题目是我们极其欢迎的，积极欢迎的。因为让学生面对世界，让学生面对数学事实，而不是让学生回忆数学结论，让学生回忆数学套路，在线数学套路，这那是培养出来的，他真的是素颜。这种从事实从现实世界到数学问题的转化能力，就是数学的建模能力，就是数学化的能力。弗莱德塔尔说数学的三作业调研商量之后，对于现实作业化在床上。作业化说与其说我们教数学，不如说我们教数学化。这个跟数学现象就是数学化，对于建国就是数学化，对于抽象也是数学化。这是创造能力所需要的，也是独立的人所应当具备的。这样的人不是等着别人来解释世界，而是自己去解释世界。新模式的数学高考试卷对数学的引导作用值得高兴。今天的数学教学和三年前比已经有了很大的变化，这是我们所能够亲身感受到的。三年以来我们的数学教学风格、追求利益都产生了明显的变化，这是新模式、新高考给我们带来的明显的变化。这种变化我们应当换一个。感谢大家的收看，不足之处请批评指正，谢谢大家。