大家好，今天我们来讲第一讲的内容，集合的概念与表示。那么看好了什么是集合呢？集合在教材上的定义也是这样的，一些能够确定的不同对象所构成的整体。这个画横线的地方一定要注意了，能够确定其实指的是集合中元素，它必须是完全确定的，标准是统一的。然后不同对象集合中的元素不能重复出现两次。然后整体的话我们只看这个整体，不看内部的顺序。能理解我的意思吗？一会儿我们就知道了，构成集合的每一个对象叫什么，每个对象就成为这个集合的元素。原来这个整体叫做集合，集合中它这个个体就成为元素了。元素是个体，集合是整体，这么回事。那么举一个例子，比如说张三是我们班上的一位同学，现在我们班上所有同学肯定是构成了这样一个集合的。张三肯定是其中的一个元素，那么张三同学就是这个集合中的一个元素，清楚了吧？原来是这么回事。再打个比方，比如说很多同学都喜欢打王者荣耀这个游戏。比如说里面的梦奇是王者荣耀里头的一个英雄。王者里头他每一个英雄的所有的英雄都放一块构成了一个集合。清楚了吧？所有英雄构成一个集合，这梦奇就是元素，所有英雄就是集合。原来是这么回事，为什么举这个例子呢？因为杨老师曾经很久以前达到过天津市的第一梦奇。好了，咱们继续来看。一般情况下集合用英文大写字母来表示，大A大B大C都是表示这个集合的那元素那就用小写字母杯。那如果画图来表示的话，这个圈记住也得封闭它，这个就表示集合了。那里头这些小点小点，比如说咱们用小写字母表示，里面这个小点就表示元素了。这么回事，小写的是元素，大写的是集合。那么继续来看，有一个特殊的集合叫空集，什么意思呢？我问你X加一就是X的平方加1，它所有的实数解组成一个集合，比如说这个集合就叫集合A那么我想说的是它有实数解吗？一看就没有，平方怎么可能等于负一呢？在实数范围内是没有解的，所以这个A就是一个空集，清楚了吧？空集就是它空有集合的外表，但实际上里头什么都没有装清楚了哈那普通的集合普通的集合我们可以这么来理解，其实空集可以理解为一个空塑料袋。那普通的集合ABC它如果里头不是空的话，那就是一个装了东西的塑料袋呗，装了什么东西？装了元素呗，清楚了吧？空塑料袋空有结合的外表，空有结合的样子，但是里头什么也没装清楚了哈那继续来看理解集合的话要注意三点，哪三点呢？确定吗？每一个对象是不是在范围中，它是有客观的判定标准的，不依赖主观的感觉。比如说我们班里边比较帅的同学，比较帅究竟多么帅？算比较帅。难道说比杨老师帅的这是没有的，比较漂亮的那究竟多漂亮才算漂亮？每个人对帅和漂亮，他这个定义是有主观差异的这还有这个情人眼里出西施的特殊情况，所以都不能构成几何清楚了吧，必须是客观大家都公认的标准才行。那么数学上的话，经常研究的这个方程的根，你看了数学本身是严格的。比如说方程它的根这个很好解，用因式分解的方法，X减1乘X减2等于0，原来它的根就是一和2，它确实可以构成集合，对不对？一和2可以构成一个集合的那小于等于三的所有的实数也是可以构成一个集合的，确实是这样。这个标准是非常明确的，都是大家统一的，小于等于三对吧？那好，继续来看了。如果这个整体如果客观存在的话，就算你不知道也不影响确定性的。比如说世界上第五高的山，第一个高的山大家可能都知道，珠穆朗玛峰，喜马拉雅山，珠穆朗玛峰对吧？大家都知道，但是第五高的山峰确实有可能很多同学不知道不知道，人家也客观存在，所以说它是可以构成一个集合的。比如说咱们班头发最多的四个人，他其实也存在，但是你总不能把每个人头发都薅起来数一遍，这个是不切实际的，它也是可以构成一个集合的标准，是大家都公认的。虽然你不知道，但是人家都能构成集合清楚了。第三点的话，大家一定要理解，我刚才举过这个例子，能不能构成一个集合呢？说了能只不过是空集而已。那么我们再举一个例子，既比三大又比三小，有没有这样的数字？没有，所以说它不能构成集合，不能构成集合空集。它不是说不能构成集合，写空集就行了。我们既是男生又是女生的同学有没有呢？肯定也没有，所以应该写空记清楚了。空集就是不含有任何元素的集合，就是空集，好了，现在我们来做一下这个例一。以下可以构成集合的是我再重复说一遍集合的概念，把一些能够确定的不同对象所组成的整体称为集合。中国人口他现在应该说的是现阶段，2024年现阶段，此时此刻中国人口排在第八到第12位的城市肯定是客观存在的，大家都是承认的对吧？户籍人口你可以加一个，看第2个到2点的距离的和等于到两定点。什么意思呢？到两定点距离的和等于两定点之间距离的点，那其实是存在的。比如说这是点A平面结合里头这是点B然后点A和点B上任何一个动点点P都满足要求的这不就是动点到点A的距离我们写成D一动点到点B的距离写成D2，那D1加上D2不正好等于AB的距离，所以这样的点P也是存在的对吧？那没问题。所以说第二个也对，继续来看第三个，高一数学课本中的难题，多难算难，什么题是难题？请问你的难题或者简单题有一个明确的判断标准吗？没有，所以说第三个就不能写了，每个人对难他这样一个标准不一样。最后一个不用说了，它虽然没有实数节，但是人家是空集，空集是集合的。所以说第四个比较特殊一些，空集也是集合124清楚了哈那做完利益之后的话，接下来第二点咱们就说一说集合和元素的关系。比如说画草图来表示的话，我们用闭合的曲线表示集合。你看此时这个小点用小写字母表示，就是表示元素。当这个元素在集合里头的时候，我们用属于这样一个符号，这个符号就这样来记吗？首先开口左边的话肯定是元素，右边必须是集合，这个就读作元素A属于集合B清楚了哈那有另外的情况，如果你这个元素它在外头，元素不在集合里头，对不对？那这个时候怎么表示呢？在数学上也有专门的符号，就跟等于号还有不等于号一样，属于是这样写的，不属于你画个斜杠就行了，就这么来记的，清楚了吧？那了解了这一点之后，我们再来看一些常见的书籍。注意，以下这些字母是专属的写法。比如说当你写自然数据，什么叫自单数？你小学学的01、23456等等等等，一直往后面数，它都叫做自然数，对吧？你比如说零，什么叫零？什么叫一？你就原始人人家在表示一的时候，打一个绳结就表示一个，打两个绳结表示两个，你不打绳结那就得代表零了，自然出现数字。你可以这么认为。然后这个正整数的话，下面写个加上面写个星，这都代表正整数。它这个星代表什么含义呢？它这个星号代表去掉零的意思，那它这个加号代表什么意思呢？代表自然数里头只保留整数部分，零是不包含的。它其实都是一回事。那整数记起来是好记的，只ong整大写，都是大写的。有理数用Q来表示，实数用R来表示。那么现在大家肯定有一个问题了，老师为什么要用这些字母呢？不能用别的字母吗？我们都是统一的，其实这个集合在发展过程中，德国人是做出了巨大贡献的。咱们先来看第一个，你比如说自然数英文单词，natural number这不就是自然数的意思吗？所以用第一个首字母N就表示全体非负数组成的集合了。零是在自然数里头的那正整数的话好理解，来什么时候上标，什么时候下标。星星在天上，十字架插在地上，星星在天上，十字架插在地上，你可以这么来记，那这个时候都表示正整数了，其中他这个星星就是非零的意思，懂了德国人在集合论中做出了几非常大的贡献，在历史上。所以说这个整数级是德文，很多机构它其实是德文发展出来的。这个德文我不会读，是德文，用它的首字母来表示整数级。我们记的话其实也好记zhang py整，跟我读zhang py整，这不就完了，对吧？来看有理数集，有理数的话也是德语，你看其实这都是德语Q才有的，我也不会读。但是我们在学高等数学数论的时候，你其实自己都可以体会到。学高等数学的时候，你将来到了大学学高等数学。P除QP和Q是两个整数，其中Q是非零的那这样一个形式就可以来表示所有的有理数了。比值的意思或者说商的意思清楚了吧？这个理解就行了。你知道Q开头Q表示。是商表示有理数就行了。实数的话实时实在实际存在real，对不对？Real number它的首字母就是R所以代表实数。我想多补充一点，其实我们现在这个阶段，包括考试的时候，知道这几个就完完全全足够用了。但是将来也会有一些补充，比如说你在练习册里头或者之后学均值不等式的时候，经常会用什么呢？R加。那R加就代表实数里头正数的部分，为代表正实数，你知道这个意思就行。那么将来到了这个下学期必修二的时候，我们会学负数，负数的范围比实数还要大。这个时候负数就是用大写的C来表示的。除此之外，你就不会再接触到其他数据的表现形式了。大家就记住这几个，再加上一个R加2，这代表正实数，再加上一个大写的C代表负数集合就行了。整个高中这些足够了。那么现在的话我们来看一下来负一是不是自然数？不是，01、23456等等等等才是自然数。所以我们应该写一个不属于对吧？那绝对号它运算完之后，三三是不是正整数？是，所以应该写一个属于2分之1，是不是整数？不是2分之1，不是整数，那就应该写不属于。然后3.14是不是这个什么数？有理数是你可以写什么100分之314，这当然是有理数了，有理数整数和分数都称为有理数。那好了，所以它写属于号来根号五是不是有理数？肯定不是，带根号的根号5根号7根号二等等，它都是实数，都是无理数。那接下来这个负的它是不是是啊一看就是，这个不用多说。最后一个，派是无理数，无理数和有理数都是实数，那当然属于负号了，不知道你能不能填对清楚了哈那做完例二之后的话，咱们继续来看什么呢？其实当你遇到这些例题之后，我的建议是你自己先做一下，因为后边还有很多例题的，你自己先做一下例题，然后看一下跟我最后答案也不一样。我建议是这样来看。元素集合中元素其实有三大特性的，确定性、互异性、无序性从哪来的？就是从集合里头定义来的，把一些能够确定的不同对象所组成的整体来能够确定。就指的是集合中每一个元素它在不在里头是完全确定的，不能两不能模棱两可。比如说拿一个元素，它要么在集合A里头，要么不再结合A里头，他没有第三种可能。清楚了吧？绝对是不能模棱两可的。互异性集合中的元素两两拿出来都是互不相同的，集合中的元素不能重复出现两次。比如说有同学说老师1410，这是不是一个集合？一看就不是一个集合，为什么你相同的元素一居然出现了两遍？开玩笑不满足互异性对吧？几何中的元素互不相同，相同的元素只能算作一个清楚了，无序性。比如说我不知道大家现在坐过绿皮火车没有，绿皮火车上面是有这个销售员的，他经常是啤酒饮料、矿泉水，花生瓜子八宝粥，这个没问题吧？花生、瓜子、八宝粥这肯定是可以组成一个集合的，没有问题。如果我换了一个顺序，我把瓜子放到前头，这个八宝粥我放到中间，把这个花生放到后边，就是说它的顺序不一样，但除了顺序之外其他都一样。这两个集合能不能画等号？AB这两个集合完全可以画等号。因为集合中的元素，我们观看的是什么，研究的是这个整体怎么样，并不管里头的顺序里头是不排序的。清楚了吧？你顺序什么顺序都行，只要里头的元素能一一对应好就行了。瓜子就是瓜子，花生就是花生，八宝粥就是我八宝粥，清楚了吧？他此时如果仅仅是顺序不一样，两个集合是完全等价的这就是整体这个意思。所以集合中元素的三大特性都是从定义里头来的，把一些能够确定的不同对象所组成的整体叫做集合。对了，那么现在看咱们做三道题，这三道题我强烈的建议你自己做完之后，再来跟我对一下答案。这个第一题怎么做呢？他说是一个集合中的三个，那就代表考察的是互异性。也就是说集合中这三个数字必须两两之间都不一样。首先X加二是不能等于X方的，其次X方是不能等于一的，最后X加2也不能等于一。我们分别解一下。第一个解起来好像很麻烦，其实不麻烦。我们移项，然后因式分解，因式分解完之后，那不就是X不能等于2，并且X不能等于负一。第二个一看就是X不等于正负一，第三个的话就是X不等于0。所以实数X应该满足什么要求，才能说这三个数字互不相同，满足互异性。也就是说满足X既不等于正一和负一，并且也不能等于2。这就是这道题的最终答案，考察的是谁？就是集合中元素的互异性，互异性考察的是最多的那继续来看第二个，第二个的话他是这样的，他说乍看起来好像这个元素挺多的，组成了一个集合。它们集合中最多有几个元素，我们多写几个，X和负X大概率是不一样的，除非X等于零的时候一样。那根号下平方，那不就是绝对号。绝对号展开的话，我想说的是什么意思呢？你要么是正X要么是负X当X大于等于0的时候是正的当X小于零的时候是负的那不还是跟前头重合了吗？我们看第三个来三次根号的话，这个我们是可以直接消掉的，其实就是负X没有什么区别。四次根号的话因为是偶数次方，所以说绝对号，绝对号也没关系，它不还什么，要么是负X要么正X还是跟前头这两个重合的那继续我们看谁呢？看最后一个，最后一个能看出来，你可以先把它改成X平方的平方，再来一个，这一看就知道了。二次根号下平方，X平方的这个其实就是X平方。X平方出现完了之后，你看其实我们只出现过3个IX负X和X方。那最多几个元素？最多只有三个不同的数字，所以这道题应该选什么？只能选A真的只能选A，那么最少有几个？最少是有一个，为什么最少只有一个呢？当X等于0的时候，你这三个东西都一样了，你每一个元素都是等于0。清楚了吧？他问的是最多，我们当然选A了。那继续来看括号3，括号三的话也是建议你自己做完之后，咱们对一下答案。以下正确的说法。来先看第一个，如果说负A是整数的话，正一肯定也是整数，这毫无疑问，肯定那是对的。正整数负整数对不对？对的。那第二个，如果负A不是自然数，那A怎么样？A就是自然数，这句话对不对？好像不对。比如说负的1.5它不是自然数。那对，那正的1.5就是自然数了，那肯定也不对。所以怎么回事？所以第二个它可是不对的。来继续来看第三个，如果A是整数的话，负A它一定不是什么，负A它一定不是自然数。这句话对不对？这句话好像是不对的。你看当A是整数的时候，你看这是大前提，咱们读完了，然后如果什么则什么，大前提就是A必须是整数。如果负A不是自然数，那A一定是自然数。这句话对不对？这句话肯定是对的。比如说零它是自然数，那负一不是自然数，那正一肯定就是自然函数了，它对的，三是对的。那看看第四个，第四个的话说的是也是在整数这样一个大前提下讨论。如果A是自函数的负，一定不是增函数不对吧？零当A是零的时候，那负A其实也是0，所以第四个就不对了，正确答案就是圈一和圈3，其他都不对，那答案当然是选C了，对吧？好了，继续来看第二个集合的表示方法。对于集合的表示方法的话，我们先来看第一种方法，最直观最简单的方法列举法。什么是列举法呢？把集合中的所有元素都列举出来，每个元素之间怎么样？每个元素之间用逗号隔开，并把它写在什么？并把它写在大括号中的方式，这个就叫做列举法。你比如说12345，你看元素和元素之间都要隔开了，这个用列举法表示的这样一个集合，这个集合中有五个元素，那如果是这种表示方法的话，它应该就表示正整数集了一个意思。省略号是用在什么时候呢？有规律的情况下，123456123456、6 7 8 9 10一直往后边写，它这个是个无限极。前头有区别，它是个什么？是个有限极，它是个无限极，大家知道这样的区分就行。那我们继续来看列举法，它既可以表示有限级，就是集合中元素个数是有限的，也可以表示当元素呈现一定规律的无限极。比如说咱们刚刚举的第二个例子，比如说不大于100的自然数，咱们完全可以这样来表示0123一直到100。但是写的太多了，我们中间用省略号隔开，这个是不影响理解的。包括自然数集，你可以写成012345省略号，也可以写成0123省略号。因为大家默认后边都是按这样一个规律递增的。清楚说了，当有规律的时候可以用省略号。但是列举法的话，我们继续来再来看另外一种类型，我们一般接触的是数据，什么叫数据呢？数集就是说集合里头的元素都是数字。但有些时候怎么样？有些时候的话我们研究的是这个东西。全都是数集对吧？解当然是由数字组成的集合了。然后如果是直线Y等于2X和直线Y等于X方的焦点，它是有两个交点的这两个焦点很好求，分别是00和2，逗号4。那有几个元素？两个焦点，两个焦点都写出来，所以元素和元素之间，它的元素是点，两个元素之间用逗号隔开。就还得用花炮表示出来，用列举法也可以表示什么？也可以表示点击。什么叫点击？由坐标点组成的集合，这样的集合就叫点集。什么叫数集？由数字组成的集合，此时就称为什么集？就称为数集。清楚了吧？点击数集。另外一个区分有限集无限集也是一个区分结合的不同的类型。那么描述法的话我说一下，列举法它并不完美。比如说请你表示出来所有的大于三的实数，你又能用列举法表示出来吗？三肯定不是3.1，3.013.00不行。所以这个时候就没办法了，我们用列举法就不合适了。列举法不能表示所有的集合就引入描述法。那什么叫描述法？描述法有另外的名字，人家的全称在课本上叫做特征性质描述法。用集合所含元素的共同特性表示集合的方法称为描述法，主要看的是那个特征性质。比如说我们经常写成这样的形式，这个形式怎么理解呢？首先看这个PX我说一下，它可以是等式，可以是文字，可以是元，可以是方程，可以是什么？可以是任何一种形式，也可以是不等式，可以是任何一种形式，都是有可能的。那么它的作用是什么？它的作用就是告诉你这个元素前头这个元素竖杠左边这个元素还可具有怎样的特征性质，描述它的好了，PX成为特征性质，那X成为代表的元素A就是X首先约定的范围。当然有时候也可以这么来理解，他俩这种方法都是其实本质上是一样的。比如说我们刚刚举的例子，大于三的所有的整数，首先我们是在整数范围内讨论的，所以这个竖杠左边就得写X属于整数，放到右边的话就要表示它的特征。什么特征大于3，那不就是X大于三的意思吗？所以此时如果你用描述法来表示的话就特别简单了，这个就代表大于三的所有整数。那如果是大于三的所有的实数，大于三的所有的实数，那当然是可以这么来表示的。清楚了吧？这个是不是一回事？它表示大于三所整数，它代表大于三的所有的实数。那实数根呢？实数根的话你完全可以直接来写。因为我们一般讨论数学问题的时候，默认就是在实数范围内讨论的。你可以写这个竖圆，也可以不写，这个属于儿清楚了。那这个时候的话都表示这两个集合都是一回事，它都表示X方加X减6等于0，这个方程的实数根清楚了哈那继续来描述法其实给出了一个客观的标准，我们就是用树干然后加上画画来表示的。其中这个树杠左边表示的是什么？表示这个集合描述的范围是什么？那么这个输入框右边这个PX表示什么呢？表示集合中描述的元素，它具有什么样的特征，具有什么样的特点，清楚了吧？这就是描述法。比如说我们先举几个文学上的问题，或者说其他方面的问题。X是山峰，树干又软，X的高度在3000米以上，这个代表什么？所以我画横线的第一个集合，它其实表示的就是地球上高度在3000米以上的山峰所组成的集合。清楚了吧？那继续来看这个，第二个的话说的是这个XX是人物角色，然后树干右边的话表示是红楼梦中出现的，所以这个集合表示的就是红楼梦中出现的人物角色，对不对？最后一个X是人，X是西游记中出现的人。那这个集合其实就表示的是什么？表示的是西游记中出现的所有的人组成的集合。那猪八戒是不是呢？好像不是他是猪，那猴子是不是呢？不是他是猴子，对吧？唐僧是不是唐僧好像是他是人清楚了。数学上的集合是这样来的，来这样一个集合。我们刚刚已经说过了，表示大于等于三的所有的实数组成的集合。那么这个实数具有这样的特点。如果元素的范围是全体实数的话，在不发生这样的误解的情况下，其实这个属于R经常是省略掉的。我们直接写成这种形式，他俩表示的是一回事，因为我们讨论数学问题一般在不说明的情况下，就是默认在实数范围内讨论。所以这两个集合你写属于R也行，不写属于R也行都代表实数范围内讨论实数范围内大于等于三的所有的数字，对吧？那么你如果写成这个就不行了。如果说X属于整数，然后大于等于三的所有整数，这俩可就不是一回事了，这俩可就不是一回事儿，这个就不能随便省了，属于Z可千万不能省。清楚了吧？属于R可以省，其他的不能省。好，记住这个。那么当你了解了这些之后，来看第二点，除了书籍之外，还有另外一种类型，我们数学上经常研究的典籍。由坐标点组成的集合，那么竖线左边代表的元素是点，你必须写成这种点的形式。X表示横坐标，Y表示纵坐标。此时这样的集合我就不说，你也知道表示什么，表示Y等于X方。这样一个抛物线上所有的点组成的集合，当然是有无数个点了，对吧？那继续来看描述法，它需要注意的是你集合描述跟字母选择是没有关系的。也就是说你如果这样写，我写的这个集合表示大于二的所有实数。那如果我写成T，它其实也表示大于二的所有的实数。你把T写成Y，它仍然表示大于二的所有的实数，它们是可以画等于号的。所以大家在区分在理解描述法表示集合的时候，一定要看什么？不要看这个字母是浮云，我们一定要看内涵，懂了吧？就相当于不管你怎么改名字，你还是你一样，你也可以改名叫X也可以改名叫Y但不管X还是Y你自己还是你清楚了。那现在我们来做一道例题，我强烈建议还是你自己先做一遍，然后咱们再讨论这个答案。对，再跟我对答案对吧？那我们来看第四个，他说的是什么呢？请你用描述法怎么样把下列都是描述法从1到5，然后用列举法婊出来。有些情况下是可以列举法描述法互相转化的。你看第一个实数范围内这个方程的解，那一看X方等于一，那不就是X方等于正负一组成的集合。你先写负一再写正一，先写正一再写负一都行，这就是写成了列举法，没问题的。看第二个，这个第二个的话说的是整数范围内这样一个方程的解，正一负一都是整数，所以我仍然可以写完全一样的。那第三个自然数范围内，自然数负一可就没了，自然数没有负一的话，所以我就只能写正义，哪怕只有一个元素，你也要写正义。清楚这么回事了吗？清楚了哈那第四个的话说的是这样一个满足要求的点，那肯定是平方加平方等于0。根据非负性，那只能X和Y都等于零了。所以我们表示的是零逗号零这一个点所组成集合。这是一个什么集合？这是一个点击。如果问我问你什么问题呢？如果我问你这样一个集合里头有几个元素？有同学说00两个元，不对，人家只有一个元素，一个点懂了吧？是点，所以它只有一个元素的哈那第五个的话也不难，它当然也是点集。它这个点集的话其实就是求的Y等于X减1和Y等于2X它的焦点，这个焦点我不用多求了，解关于X和Y的二元一次方程组就可以了。这个焦点很简单，当X等于负一的时候，Y肯定等于-2就是它。所以你写成这样的列举法，那么就把这个唯一的一个焦点负一、逗号、负二表示出来就行了。好了，结束了，这就是它1到5用列举法描述出来。表述完了这些之后的话，接下来我们就可以看例五了。例五的话说的是什么？请你用通俗的语言描述下列集合所表示的含义。我们先来看第一个集合。首先这个K代表的是只能整整数所有的整数，那2K不就代表可以被二整除，我知道这不就代表偶数吗？偶数减一那就是奇数。所以如果你用通俗的语言表示出来的话，其实圈一表示的是所有的什么？所有的基数组成的集合我就简写，你写全所有的基数组成的集合。那2K的话刚才说过了，所有的偶数组成的集合。那第三个？第三个的话当然表示的是Y等于X加一这条直线和Y等于X方这个抛物线，它的焦点所组成的集合清楚了吧？这个就不详细说了，你可以求一下。好了，了解了这些之后，接下来我们还是要练题的。好记性不如烂笔头，多动动笔。来它是什么意思呢？一定要看懂。他说首先集合A里头只有1234这四个数字，集合B是一个点集。这个点集它的横坐标、纵坐标必须满足都从集合12三四里头找的对吧？都是从12三四里头找的，并且横坐标加上纵坐标还必须在集合A里头，怎么办？当A等于B的时候，咱们分两类。A等于1B等于一的时候可以吧？A等于2，B等于2的时候，此时A加B等于4，它还是在集合A里头。那此时这个点就有意思了，一逗号12逗号二没问题，一逗号2可以，2逗号一也可以。这是两个元素还是一个元素？两个元素因为它代表不同的点，我们研究的就是点击，包括一逗号33逗号1，所以有几个？所以其实有六个的，我们写的时候顺序可以变，但是这六个必须都写上。一逗号12逗号2两个了，然后一逗号22的话14个了，然后一逗号33逗号一一共是几个六个点？用列举法把所有的这六个点都写出来才对的。这第一题，但是你得理解人家写这个题的含义是什么，那么继续来看第二题，这个第二题好像就难了。他首先说的是你最后比出来2010比上5减A必须是什么？必须是正整数，并且A它也必须是什么？必须是自然数。那这个时候怎么办呢？五减去自然数，那最大的就是5，能理解我的意思吗？当A等于0的时候，5减A它是等于5.5，正好能整出2010，此时2010比上五等于几？你告诉我这个还是很简单的，我就直接说了，正好是等于402的，很简单。那继续A等于一的时候不行，因为它不能被四整除大，2010除4还是有余数的那就继续那一不行，那就2。45减A等于3，2010显然可以被三整除。2010初三得出来的正好是多少？是670对吧？当A等于3的时候，5减A等于22010是可以被二整除的。被二整除的话，这最后很简单了得出来是几？得出来显然是1005。那包括A等于4的时候，A肯定不能等于5。要不然A等于5的话，那就怎么样，你应该懂我的意思，那后边就不用讨论了，就这四种情况，5减A等于12010，比上5减A那不还是2010吗？所以说很简单，M这个集合A只能取0234这几个数字。所以我们第一个表示出来就是0234，这是所有满足要求的A因为我们研究的就是A他后边改了改什么了？其实他这个描述法后边是完全一样的。我们发现书杠右边不管是集合M还是集合几何N完全一样。但是左边一个算的是A多少，另一个算的是这个得数是多少。这个得数我们算过来就这四个数字。所以我们只需要把4026701005最后算出来的这个商还有2010再写一遍就可以。他们研究对象是不一样的，一个是研究这个A的情况，另一个是研究最后这个比值的情况，对吧？那就算出来了。那么做完这个括号二之后的话，其实还有咱们继续看了。最后一个这道题的最后一个，其实后边还有知识点。首先有一个集合A这个不用多说了，集合A的话是所有的偶数组成的集合。集合B的话不管这是加一还是减1，它都代表所有的奇数组成的集合。C虽然也代表奇数，但它不是所有的奇数，为什么呢？因为人家这个B是都有谁？你看看人家如果写成这样的基数级的话，那就是从-3、负一、正一正三正、五正七，所有的什么书，所有的技术都在里头。但是C可不一样，C的话它有谁？它虽然有一，但是一完了之后的话就该谁了。一完了之后，当K取0的时候可以取负一的时候直接就负三了。然后继续K取0的时候，K取一的时候，4K加1，那不就是五吗？我知道是怎么回事了。也就是说虽然集合C里头它也是怎么样的，也是表示基数，但它不是所有的基数，它扔掉了一半的基数，懂了吧？所以现在看好了，它基数的一小部分，它不是所有的基数。然后现在看了其中A是什么小A它是奇数，然后B是什么B呢？它是奇数，A是偶数，那么A加B现在看好了，你告诉我应该选什么？A加B不用多说，奇数加偶数肯定还是一个奇数，所以直接选2B这个选项就行了。清楚了吧？直接选2B清楚了，千万不要选C为什么？因为C这个集合，第三个集合只是基数的一部分，它并不是所有的奇数组成的集合。当你了解了这点之后，接下来我们继续来说集合。其实还有别的表示方法的图示法。用什么平面内的封闭曲线，你可以画成这样的椭圆形、圆形、正方形，但是必须封闭，甚至你可以画成这种比较张扬的形状。它都代表什么？都代表一个集合。这个区域就叫做韦恩图，人家有名字，咱说一说这个名字的案例，用图形直观表示集合的运算关系，其实最早是瑞士数学家欧拉所创的，叫欧拉图。但是后来英国的逻辑学家韦恩他改进了柏拉图更好用了。所以后来就用这个维恩的名字来命名维恩图。维恩图非常形象直观的描述出集合运算关系的方法，方便人们掌握集合的运算。我们下节课会专门说一说的，来这个你了解就行。第四个，这个是很重要的。我们以前在表示什么？在表示这个数字的大小或者数字范围的时候，经常说的是X比负一大于等于负一，但是小于等于三其实不方便。到了高中有更加方便的形式。左边是可以闭合的，右边是可以取到3的那其实完全可以写成这种-1到3的方括号的形式。这个就代表我这个变量，它的取值范围就是数字-1到3之间，负一可以取，三也可以取。清楚了，那读的起来也是好读的，怎么读？-1到3的B区间，那全称的话那就是A到B的，当然A必须比B小，左边必须比右边小。A到B的B区间全称是这样来读的，那么我们用数轴来表示非常简单。来既然你可以取等于号，实心是不是？是啊实心，两个都是实心。那现在大家可能有问题了，老师如果我这两边都取不到的，必须是严格的大于负一，严格的小于3，1到3中间所有的数字。当然数轴上就是用空心来表示的那我们就不用方括号了，方括号代表可以取到端点，那就用圆括号，圆括号代表负一是取不到的，三也是取不到，但是负一和3之间所有的数字可以取得到。清楚了吧？那它的话有另外的名字，开放式的可以无限的接近负一，接近3，但是永远取不到负一和3。那他读的时候就读作A到B的开区间清楚了，那还有左开右闭，左闭右开，你自己应该都理解了。如果左边这个端点可以取得到，右边这个端点取不到，那左边就是实心，右边就是空心呗。那表示的时候咱们应该读作什么呢？A到B的左闭右开区间，那就代表A可以取得到数字A是在这个范围内的，但是数字B是取不到的那还有左开右闭，左开右闭就是数字A左边这个数字取不到，但是右边这个数字是可以取得到的，是在这个范围内的那如果用数轴表示，就是A它要画空心，B就画实心了，清楚了吧？当你了解这点之后的话，还有另外一种单边的形式，大于等于A在数轴上不就是在实心A的右侧吗？那左闭右开就清楚了，你发现有这样一个符号，躺着的8，其实人家读作什么呢？无穷符号，人家读作数学上有专门的符号是无穷的哈那如果是往右走，那就是正无穷。如果是往左走，你看小于等于A的话，那就是负无穷。因为你这个正无穷和负无穷，它不是一个确定的数字，只是一个概念。你正无穷就是可以向正数方向的，就是向数轴右侧一直走。负无穷就是向数轴左侧一直去走，往小的去走。那它代表一个概念，不代表具体的数字，所以是开放式的。你看左闭右开A到正无穷的左臂又开，能听懂我的意思吧？左闭右开。第二个的话，如果是小于等于A那就是负无穷读到A的左开右闭区间，这是区间表示法。其实比你初中时来表示数的范围又方便了许多。如果都取不到，那也那好说，如果取不到A的话，大于A那就是A到正无穷的开区间。如果小于A取不到A的话，那数轴上当然是空心了。这个A的左边所有的数字都在里头，那用区间法表示就是负无穷到一的开区间，知道怎么读吧？左闭右开，左开右闭A到正无穷的开区间，负无穷到A的开区间，原来是这么表示的。其实实数A和实数B都叫做区间的端点。我们正无穷刚才告诉你了，叫做正无穷，也可以读作正无穷大都行。负无穷咱就读作负无穷就行了，不用把这个大字省略掉就行了。那实数其实完全可以表示成负无穷到正无穷，真的可以这样表示的。有些时候就可以写成负无穷到正无穷，它和实数R没有任何区别，它都表示同一个概念。那好了。在直角坐标系就平面直角坐标系这样一个前提下，那么G和2度和3既可以表示区间，其实也可以表示点。那什么时候它表示坐标点2逗号三这个点，什么时候表示2到3的开区间，就是说大于二小于3的时候的数字的这样一个范围？具体情况具体分析，根据情况分析就行了，肯定不会混淆的那继续来看，现在米奇请你将以下表示成区间，这很简单，-1到2的左开右闭，负一取不到，但是二可以取得到。第二题的话，这一算就是X大于2，大于二那不就是二到正无穷的开区间，很轻松。那第三个的话就是X小于等于2，小于等于2的话，那不就是负无穷到2的左开右闭，对吧？二是可以取得到的那行，我们每节课这个初高衔接的话，我想说的是什么呢？我们每节课都会讲一点点，有时间的话都会讲一点初高衔接的知识。我们不是集中在一块儿讲的，是每一节课最后一般都会放一些。这节课我们先来说一说这个配方的方法。配方其实就是完全平方，完全平方在初中又分成完全平方和，还有什么？还有完全平方差的公式。那么完全平方差的话，这个大家肯定知道，X方减2XY加Y方就行了。那么配方如何配出完全平方来？我们举一个例子，比如说2X方加4X减1，它如何能够凑出这个完全平方呢？首先我们可以先把前两项这个二你系数给提出来，平方项的系数提出来。难道你没有一种冲动吗？凡是有一点点触感的同学，其实都知道X方加2XY其实这个Y是统一一的，再加Y方Y既然等于一的话，那Y方不也等于一。所以我们括号里头肯定是接下来这一步我不跳步，它是要加一。但是你不能这平白无故就加了个一，你就这就是不等号了，你里头加一其实还得减1。因为是等号，所以最后我们就变成了X方加2，X加一再减二再减1，其实就是减3对吧？那括号里头一看就是完全平方的展开式，是X加一的展开式。清楚了，原来是这么回事儿。所以我们第一个题的话其实就可以写成什么？就可以写成Y等于二倍的X1的平方减3，这显然开口是向上的。我们初中学抛物线已经学得非常熟悉了，然后它的顶点坐标的话就是负一逗号-3。所以我清楚了，也就是说我对称轴是负一，顶点坐标是Y等于负三这个纵坐标。所以它在整个范围内怎么样，当X等于负一的时候，它这个函数值有最小值，就是-3。有没有最大值呢？没有最大值，它可以无限大去取，对吧？那继续来看第二个，第二个也是，第二个的话我们肯定是要前两天把这个负二提出来的。当你把这个负二提出来以后，就变成了这样一个样子。那显然负三一半的平方，你就记住，配方其实就是一半的平方，它的一半显然是-2分之3，平方以后不就是4分之9，所以我们接下来处理的时候，应该是X方减3X加4分之9。你为了保证等号成立，还得减4分之9，不能平白无故加。所以它其实就变成了这种情况，减3X加4分之9，加二分之再加上2分之11，那原来最后就是顶点是一看就长这个样子。横坐标首先开口向下，顶点横坐标是2分之3，纵坐标是2分之11。所以怎么办呢？所以咱就可以写，当X等于2分之3的时候，我这个函数最大值是等于2分之11的。有没有最小值呢？没有函数的最小值，为什么？因为你是开口向下画的，这是顶点，对不对？这是开口向下的抛物线。第三个第四个我就只解一个，另外一个咱们就只对答案了。比如说我来解一下第三个，因为这个叫什么呢？有些地方教育条件比较好的沿海地区，他是知道的这个叫区间最值。或者说看过我公益课的同学都知道什么叫曲线最值，就是横坐标的范围确定了。那我们先配方，配方的话其实跟前头完全一样，X加一的平方减3。那我们画一下这个抛物线，抛物线的话它对称轴是可以看出来是等于负一的，顶点坐标是也不用多说，就是-3。但是我们这条水平线不是X轴，我是为了方便表示X的范围。你注意X人家要求了必须是在负二到正二之间的。负二更远还是正二更远？显然是-2近一些，但是正二距离对称轴就更远一些。我们研究的是图中的这一段，因为你都是带等于号的，所以我都标成实心了。负二和正二所对应的这个点，你看图中蓝色部分哪个点最低？显然是当X等于负一的时候，对称轴所对应的那个点是最低的。然后当X等于2的时候最大，那个最大值是很好求的。你看离对称轴越远，它这个点就越高，点A显然是比这个点比较低一些的那此时把X等于二代入2乘2的平方，再加4乘2再减1，这最后一算出来就是15，清楚了吧？这个就是成为区间最值了。如果你在初中已经听过，已经完全学会了这部分知识，这固然很好。如果没有听过这一部分的笔记，一定要好好记。关于这个括号4的话，因为括号4和括号三完完全全就属于同一类，我就直接对答案了。你自己好好画图配方来做一下，然后再跟我对答案，行吧？好了，咱现在揭晓最后的结果。它的结果是当X等于2分之13的时候，它这个最大值是等于2分之11，是没有区别的。但是当X等于左端点负一的时候，此时最小值人家算出来是几是-7，清楚了吧？所以就是这么回事了。当我们学完这些之后，就可以了这节课你应该学会了集合的概念与表示，以及出国衔接这个配方法了。分享课堂知识，感受数学之美。我是杨帆老师，下节课再见。