第03讲 二次函数与一元二次方程及不等式（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（沪科版）

第03讲 二次函数与一元二次方程及不等式（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求抛物线与x轴的交点坐标 典型例题二 求抛物线与y轴的交点坐标 典型例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值 典型例题四 抛物线与x轴的交点问题 典型例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 典型例题六 求x轴与抛物线的截线长 典型例题七 图象法确定一元二次方程的近似根 典型例题八 图象法解一元二次不等式 典型例题九 利用不等式求自变量或函数值的范围 典型例题十 根据交点确定不等式的解集 知识点01 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【即时训练】 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【问题】关于x的一元二次方程在的范围内有解．求m的取值范围． 【提示】如图，此问题可以转化为研究函数与直线的相关问题． 几名学生的答案如下： 甲：；乙：；丙：． 下列判断正确的是（   ） A．甲正确 B．乙和丙合在一起正确 C．乙正确 D．甲和丙合在一起正确 知识点02 二次函数与不等式 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 【即时训练】 1．（23-24九年级上··安徽蚌埠·期中）如图是抛物线的部分图象，该图象的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，则关于的一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上··安徽合肥·期末）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图像经过点A（﹣1，0），点B（m，0），点C（0，﹣m），其中2＜m＜3，下列结论：①2a＋b＞0，②2a＋c＜0，③方程ax2＋bx＋c＝﹣m有两个不相等的实数根，④不等式ax2＋（b﹣1）x＜0的解集为0＜x＜m，其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点03二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【即时训练】 1．（24-25九年级上··安徽安庆·期末）在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根最接近于（   ） A．0 B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上··安徽亳州·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象如图所示，有下列四个结论，其中正确的是（   ） ①一元二次方程的根为； ②若点在该抛物线上，则； ③对于任意实数m，都有； ④若（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个 A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 知识点04 求一元二次方程的近似解的方法（图象法） （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【即时训练】 1．（24-25九年级上··安徽合肥·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（   ） A． B． C．或3 D．或 【即时训练】 2．（24-25九年级上··安徽宣城·期中）如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为米，如果梯子的顶端下滑米，底端也水平滑动米，则满足方程．在估算—元二次方程的根时，小欣列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程的一个根的范围是（   ） A． B． C． D． 【典型例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（2025··安徽蚌埠·模拟预测）二次函数的图象与x轴交点的横坐标是（   ） A．1和2 B．1和 C．和2 D．和 【例2】（24-25九年级上··安徽安庆·阶段练习）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【例3】（24-25九年级上··安徽滁州·期末）若二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则的面积是 ． 【例4】（24-25九年级上··安徽阜阳·期末）已知二次函数 (1)该二次函数图象的顶点坐标为______，与 x轴交点坐标为______，与 y轴交点坐标为______； (2)画出该二次函数的图象． 1．（24-25九年级上··安徽宣城·阶段练习）二次函数的图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（24-25九年级上··安徽安庆·期末）小宁在复习二次函数时进行如下整理，请写出满足条件的一个函数关系式：抛物线与坐标轴有3个交点，如；抛物线与坐标轴有2个交点，如 ；抛物线与坐标轴有1个交点，如． 3．（2025··安徽合肥·模拟预测）在直角坐标系中，设函数（m是常数）． (1)当时，求该函数图象与x轴的交点坐标． (2)若点，，都在该函数图象上，点A不与点B，C重合． ①比较，的大小． ②若，，直接写出n的取值范围． 4．（2025·安徽亳州·模拟预测）中医常用碾药工具——药碾子（如图1）起源于东汉时期，它不仅是一种工具，更是一种文化的象征，代表了古代医者的智慧和对中药炮制的精益求精．图1中碾槽外轮廓的上沿和下沿可分别近似地看成两条抛物线的一部分，如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点和点，点与点到水平地面的距离相等．上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为，以所在直线为轴，过点且垂直于的竖直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线满足关系式，． (1)求下沿抛物线的函数表达式； (2)点与点是两个支撑架与下沿抛物线的交点，若点与点到轴的距离均为，求点与点之间的距离． 【典型例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例1】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则的面积为（   ） A．6 B．3 C． D．5 【例3】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，抛物线与轴交于一点，则该点坐标是 ． 【例4】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，抛物线 与y 轴交于点B， 与 x 轴交于点A，C（点A在点C的右边）．求A点 、B 点 、C 点坐标． 1．（24-25九年级上·安徽池州·期末）小丽借助之前学习的画出函数的图象，你认为正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若关于x的一元一次不等式组无解，且使二次函数的图象与y轴交于正半轴，则所有符合题意的整数a的值之和是 ． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数． (1)该函数图像的对称轴是______； (2)无论取何值，该函数的图像都经过两个定点，直接写出这两个定点的坐标； (3)若点，在该函数图像上，比较，的大小并说明理由． 4．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线的顶点，连接，． (1)求点的坐标； (2)求的周长． 【典型例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例1】（24-25九年级上·云南红河·期中）点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．将如图所示的剪纸“鱼”置于平面直角坐标系中，使得外轮廓上的点、B、均落在抛物线（a、c为常数，）上，已知点B在第一象限，且到y轴的距离为，则点B到x轴的距离为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·山西阳泉·阶段练习）已知点在抛物线上，则的由大到小关系是 ． 【例4】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为，矩形的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，交y轴于点，且矩形面积为8． (1)求此抛物线的解析式； (2)求当时，y的取值范围； (3)直接写出当时，x的取值范围． 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知的图象如图所示，则关于的一元二次方程有（    ）个解 A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知函数，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围是 ． 3．（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线（，，为常数，）经过，两点． (1)当时，求抛物线的表达式． (2)求一元二次方程的根． (3)求证：． 4．（2024·安徽阜阳·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，与轴交于点，且． (1)求这条抛物线的解析式； (2)若点与点在（1）中的抛物线上，且，．求的值． 【典型例题四 抛物线与x轴的交点问题】 【例1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点A、点，点，点在轴下方的抛物线上，点的横坐标为，则下列说法：；；，正确的是（　　） A．②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【例3】（2025·河北唐山·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与x轴交于B，D两点．若直线与始终有公共点，则k的最大值是 ． 【例4（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x …… 0 1 2 …… y …… 5 0 …… (1)求该二次函数的表达式； (2)根据二次函数图象，直接写出不等式的x的取值范围． 1．（2025·安徽淮北·模拟预测）如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③若点在该抛物线上，且，则；④．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·安徽六安·模拟预测）为了研究函数的性质，小广用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 2 3 … … m … 下列五个结论：①；②该函数图象在x轴上方；③该函数图象与直线有2个交点；④当时，该函数图象有最低点；⑤点和是该函数图象上两点，若，则或或．其中正确的结论是 （填序号）． 3．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线图象经过点，是抛物线与轴交点的横坐标，证明，比较与的大小． 4．（2025·安徽滁州·模拟预测）数学活动课上，同学们在刘老师的指导下对二次函数进行了研究． (1)甲同学经过分析后发现，无论取任何实数，该函数的图象与轴都有两个交点．请你通过计算判断甲同学的说法是否正确． (2)刘老师为了让同学们更好地感悟“数形结合”的思想，提出了新问题：若该函数图象经过点，当时，求的取值范围． 乙同学经过思考后，通过待定系数法求函数的解析式，利用函数的图象与性质确定了的最大值和最小值，进而求出的取值范围．请你结合自己对二次函数的理解求出的取值范围． (3)刘老师要求同学们能对所学知识举一反三，进一步研究：在已知（2）的函数解析式的前提下，若，且函数的最大值和最小值之差为6，求的值． 【典型例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例1】（2025·安徽安庆·模拟预测）已知，则函数可以表示为，例如当时所对应的函数值记作；函数的图象如图所示，关于该函数说法正确的是（    ）   A． B． C． D．当时，x的值为1或 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列图中、两点横坐标是方程两根的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表，根据表格中的数据可知，关于的一元二次方程的根是 ． … 0 1 2 3 … … 6 2 0 0 2 6 … 【例4】（24-25九年级上·全国·课后作业）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线． (1)方程的解是______； (2)若，则方程的解有______个，抛物线与直线有______个公共点； (3)不等式的解集是______． 1．（2025·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线为常数，且的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），有下列结论：①；②；③；④若方程的两根为，，则．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2025·安徽滁州·模拟预测）已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·江西南昌·期中）已知的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)求方程的解； (2)如果方程无实数根，求的取值范围． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A，B的坐标； (2)当时，若为等腰三角形，求a的值； (3)直线与x轴，y轴分别交于E，F两点，当抛物线与线段有两个交点时，求a的取值范围． 【典型例题六 求x轴与抛物线的截线长】 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）二次函数的值永远为负值的条件是（          ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25九年级上·全国·课后作业）老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25九年级上·江苏·期末）如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为 ． 【例4】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，抛物线， （1）求证：不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点； （2）若已知抛物线与x轴有一个交点A（1，0），另一交点B，求k的值及线段AB的长． 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，二次函数（）的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24九年级上·上海普陀·期中）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．      3．（2025·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 【典型例题七 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例1】（24-25九年级上·全国·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【例2】 （24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（   ） A． B． C．或3 D．或 【例3】（2025·安徽安庆·模拟预测）如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根． 【例4】（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）已知二次函数． … －4 －3 －2 －1 0 1 2 … … －6 －1 ______ 3 2 ______ －6 … (1)填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)根据表格结合函数图象，直接写出方程的近似解（指出在哪两个连续整数之间即可）． 1．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为米，如果梯子的顶端下滑米，底端也水平滑动米，则满足方程．在估算—元二次方程的根时，小欣列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程的一个根的范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西崇左·期末）抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为 （精确到0.1）． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数 （a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 3 4 … y … 0 4 m 0 … (1)直接写出m的值，并求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 4．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图1，在直角坐标系中画出抛物线和直线的图象，利用图象可以直接得到一元二次方程的解． (1)根据图1，直接写出一元二次方程的解； (2)请参考上述方法，再给出两种作图法求方程的解（分别画在图2和图3）． 【典型例题八 图象法解一元二次不等式】 【例1】（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【例2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）已知抛物线上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如表： x … －2 －1 1 3 4 … y … 2.5 0 －2 0 2.5 … ①物线的开口向上； ②方程的根为－1和3； ③当时，x的取值范围是； ④抛物线的对称轴为直线． 以上结论中正确的是（    ） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②④ 【例3】（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集 ． 【例4】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题： (1)直接写出方程的两个根； (2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围； (3)直接写出关于x的不等式的解集． 1．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图为二次函数的图象，在下列说法中正确的是（    ）    ①；②方程的根是，③；④当时，y随x的增大而增大⑤当时；⑥（m为实数） A．②③④ B．②③④⑤ C．②③④⑥ D．②③④⑤⑥ 2．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）对于一个函数，我们把当时对应的自变量的值，称之为函数的零点．例如：函数的零点为1；函数的零点为、3．已知函数（其中）的零点为3、0，则关于的不等式（其中）的解集为 ． 3．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，抛物线与y轴交于点． (1)求出m的值及抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点和顶点坐标； (3)当x取什么值时，抛物线在x轴上方？ (4)当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？ 4．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）小明根据学习函数的经验，对函数的图象及性质进行了探究和应用．下面是小明的探究过程 x … 1 2 … y … … (1)函数的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是y与x的几组对应值，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其它2条不同的性质：① ，② ； (4)设，，利用图象比较a和b的大小（请写出比较过程）． 【典型例题九 利用不等式求自变量或函数值的范围】 【例1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的、的部分对应值如下表： 0 1 2 3 5 1 1 下列结论中正确的个数有（    ） ①；②抛物线的对称轴是直线；③方程有一个根，且；④不等式的解集是；⑤是方程的根． A．4 B．3 C．2 D．1 【例2】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【例3】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）直线与抛物线的图象如图，当时，的取值范围为 【例4】（24-25九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（，，为常数，）与轴的一个交点坐标是，与轴的交点坐标是，且经过点． (1)求该抛物线解析式中，，的值； (2)直接写出时，自变量的取值范围． 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是点，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为，下列结论：①；②；③方程有一个实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，则，其中正确的是（   ） A．①②③ B．③⑤ C．①④ D．④⑤ 2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … 以下四个结论：①；②若，则；（3）若，且，则不等式的解集为；④若，且，则当时，随的增大而增大．其中正确的结论有 （填序号）． 3．（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． (1)求的值； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ii）若，且当时，总有，求的取值范围． 4．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)在图中画出该函数的图象； (3)直接写出当的y的取值范围． 【典型例题十 根据交点确定不等式的解集】 【例1】（2025·安徽淮北·模拟预测）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 【例2】（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）如图，已知抛物线与直线交于、两点，与x轴交于，当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例3】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是 ． 【例4】（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)观察图像，当时，x的取值范围是______． 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 2．（2025·安徽芜湖·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上． （1）抛物线的对称轴是直线 ． （2）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是 ． 3．（2025·北京平谷·模拟预测）在平面直角坐标系中，点是抛物线上的两个不同点． (1)当时，有，求的值； (2)当时，都有，求的取值范围． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，二次函数经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为 ． 1．（2024·安徽安庆·模拟预测）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是(　　) A．和3 B．和5 C．和3 D．和4 2．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知二次函数过点，，三点．记，，则下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（   ） …… …… …… …… A．， B．， C．， D．， 4．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽六安·模拟预测）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨，的交点为坐标原点建立平面直角坐标系．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．抛物线的表达式为，若点A到轴的距离是，则，两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽合肥·模拟预测）二次函数的图像与轴的交点坐标是 ． 7．（24-25九年级上·安徽池州·期中）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．    （1）方程的根为 ； （2）方程的根为 ； （3）方程的根为 ； 8．（2025·安徽安庆·模拟预测）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是 ． 9．（2024九年级上·安徽合肥·专题练习）设二次函数(，，是常数，)，如表列出了、的部分对应值． … … … … 则方程的解是 ，不等式的解集是 ． 10．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②当y＜0时，x＜﹣1或x＞2；③ac＞0；④c＜4b，其中正确的序号为 ． 11．（23-24九年级上·安徽亳州·单元测试）利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试． 12．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若抛物线与x轴的两个交点为和，且过点， (1)求抛物线的解析式； (2)求出这条抛物线上纵坐标为的点的坐标． 13．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数的图象如图所示，图象经过，最高点，对称轴是．根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根是？ (2)不等式的解集是？ (3)若方程有两个实数根，则的取值范围是？ 14．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）已知二次函数． (1)把抛物线化为的形式，并写出顶点坐标． (2)画出其函数图象； (3)观察图象，函数时，直接写出x的取值范围是______． 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C． (1)求的长； (2)若一次函数的图象经过点B，结合图象，写出时x的取值范围； (3)填空：当时，二次函数的取值范围为_____． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次函数与一元二次方程及不等式（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 求抛物线与x轴的交点坐标 典型例题二 求抛物线与y轴的交点坐标 典型例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值 典型例题四 抛物线与x轴的交点问题 典型例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 典型例题六 求x轴与抛物线的截线长 典型例题七 图象法确定一元二次方程的近似根 典型例题八 图象法解一元二次不等式 典型例题九 利用不等式求自变量或函数值的范围 典型例题十 根据交点确定不等式的解集 知识点01 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】A 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：令， 由表格可知：时，，当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【问题】关于x的一元二次方程在的范围内有解．求m的取值范围． 【提示】如图，此问题可以转化为研究函数与直线的相关问题． 几名学生的答案如下： 甲：；乙：；丙：． 下列判断正确的是（   ） A．甲正确 B．乙和丙合在一起正确 C．乙正确 D．甲和丙合在一起正确 【答案】C 【分析】根据关于x的一元二次方程有解，可得，当时，当时，，解不等式组即可解答． 本题考查抛物线与x轴的交点，根的判别式，不等式组的应用，函数性质的应用，关键是函数性质的应用． 【详解】解： ∵关于x的一元二次方程在内有解， ∴抛物线和直线有交点， ∴或， 解得， 故选：C． 知识点02 二次函数与不等式 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 【即时训练】 1．（23-24九年级上··安徽蚌埠·期中）如图是抛物线的部分图象，该图象的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，则关于的一元二次不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查图象法解不等式，先根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点，图象法求不等式的解集即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点的坐标是， ∴与轴的另一个交点坐标为， 由图象可知：一元二次不等式的解集是或； 故选A． 【即时训练】 2．（24-25九年级上··安徽合肥·期末）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图像经过点A（﹣1，0），点B（m，0），点C（0，﹣m），其中2＜m＜3，下列结论：①2a＋b＞0，②2a＋c＜0，③方程ax2＋bx＋c＝﹣m有两个不相等的实数根，④不等式ax2＋（b﹣1）x＜0的解集为0＜x＜m，其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用二次函数的对称轴方程可判断①，结合二次函数过 可判断②，由与有两个交点，可判断③，由ax2＋（b﹣1）x＜0可得ax2+bx+c＜x+c，可理解成y＝ax2＋bx＋c与y=x+c的图象交点问题，就可以判断④，从而可得答案； 【详解】解：∵ 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图像经过点A（﹣1，0），点B（m，0）， 抛物线的对称轴为： ∵ 2＜m＜3，则 而图象开口向上 即 故①符合题意； ∵ 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图像经过点A（﹣1，0）， 则 则 故②符合题意； ∴与有两个交点， ∴方程ax2＋bx＋c＝﹣m有两个不相等的实数根，故③符合题意； ∵ax2＋（b﹣1）x＜0 ∴ax2+bx-x＜0， 整理一下可得：ax2+bx+c＜x+c， ∴此选项可理解成y＝ax2＋bx＋c与y=x+c的图象交点问题，如图所示： ∴两个图象的交点分别是C（0，-m）、B（m，0）， ∵ax2+bx+c＜x+c， ∴解集为0＜x＜m， ∴不等式ax2＋（b﹣1）x＜0的解集不是0＜x＜m，故④符合题意； 综上：符合题意的有①②③④； 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，利用二次函数的图象判断及代数式的符号，二次函数与一元二次方程，不等式之间的关系，熟练的运用数形结合是解本题的关键． 知识点03二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【即时训练】 1．（24-25九年级上··安徽安庆·期末）在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根最接近于（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次函数求对应一元二次方程的近似根，理解“当自变量取两个值，对应的函数值由负数变为正数时，则对应方程的一个根在两个自变量之间，求函数值的绝对值，取较小绝对值所对应的自变量的值为近似根．”是解题的关键．根据表格中的数据进行判断即可． 【详解】解：根据题意，设方程的一个根为， 当时， ， 当时， ， ， ， ， 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25九年级上··安徽亳州·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象如图所示，有下列四个结论，其中正确的是（   ） ①一元二次方程的根为； ②若点在该抛物线上，则； ③对于任意实数m，都有； ④若（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个 A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与一次函数之间的关系，二次函数的性质等等，抛物线与x轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，据此可判断①；根据增减性即可判断②；根据对称轴处函数有最大值即可判断③；直线与抛物线的交点的横坐标即为方程的根，求出根的情况即可判断④． 【详解】解：由函数图象可知，抛物线与x轴的两个交点坐标为， ∴一元二次方程的根为，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵抛物线对称轴为直线，且， ∴，故②错误； 当时，y有最大值，最大值为， ∴，即，故③正确； 根据题意可得直线与抛物线的交点的横坐标即为方程的根， ∵， ∴方程的根可以为或或， ∴对应的P的值有三个，故④错误； 故选：B． 知识点04 求一元二次方程的近似解的方法（图象法） （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【即时训练】 1．（24-25九年级上··安徽合肥·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（   ） A． B． C．或3 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的交点是解题的关键．根据抛物线与直线交于，两点，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， 的解为或3， 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25九年级上··安徽宣城·期中）如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为米，如果梯子的顶端下滑米，底端也水平滑动米，则满足方程．在估算—元二次方程的根时，小欣列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程的一个根的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次函数确定一元二次方程的根的取值范围．从表中可以看出当时，，当时，，所以能使成立的一定在范围内． 【详解】解：整理方程 得到：， 令， 由表中数据可知：当时，， 当时，， 当时，即时， 一定有． 故选：B． 【典型例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（2025··安徽蚌埠·模拟预测）二次函数的图象与x轴交点的横坐标是（   ） A．1和2 B．1和 C．和2 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数的图象与x轴的交点坐标，熟练掌握求二次函数的图象与x轴的交点坐标是解题的关键．根据二次函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0，可令，解方程，方程的解即为所求答案． 【详解】解：令，则， 解方程，得，， 所以二次函数的图象与x轴交点的横坐标是1和2． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上··安徽安庆·阶段练习）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，关键是通过数形结合观察到图象过A点时，C的横坐标是最小值，过点B时，D的横坐标是最大值，能够正确地判断出点C横坐标最小、点D横坐标最大时抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出D点横坐标最大值． 【详解】解∶当点C横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为∶． 此时D点横坐标为5．则； 当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，且， 故，；由于此时D点横坐标最大， 故点D的横坐标最大值为8; 故选∶B． 【例3】（24-25九年级上··安徽滁州·期末）若二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则的面积是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查抛物线与坐标轴的交点求法．令求抛物线与x轴的两个交点从而求出的底边长，令求抛物线与y轴的交点坐标从而求出的高，从而求出的面积． 【详解】解：对于， 当时，， 解得，， 所以； 当时，，所以， 所以， 故答案为：3． 【例4】（24-25九年级上··安徽阜阳·期末）已知二次函数 (1)该二次函数图象的顶点坐标为______，与 x轴交点坐标为______，与 y轴交点坐标为______； (2)画出该二次函数的图象． 【答案】(1) ； ； (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点，熟悉函数和方程的关系是解题的关键． （1）先把该二次函数的解析式化为顶点式，再求出函数图象的顶点坐标、对称轴；再令求出y的值，令求出x的值，即可得出抛物线与坐标轴的交点； （2）根据（1）中抛物线与y轴的交点及对称轴，由函数图象可得出结论． 【详解】（1）解：， 顶点坐标为， 对称轴为：直线， 当时，， 解得：或， 它与x轴的交点坐标为和； 当时，， 它与y轴的交点坐标为； （2）解：函数图象，如图所示： 1．（24-25九年级上··安徽宣城·阶段练习）二次函数的图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴． 【详解】解：∵， ∴函数图象与x轴的交点坐标为，， ∴函数图象的对称轴为直线， 故选：A． 2．（24-25九年级上··安徽安庆·期末）小宁在复习二次函数时进行如下整理，请写出满足条件的一个函数关系式：抛物线与坐标轴有3个交点，如；抛物线与坐标轴有2个交点，如 ；抛物线与坐标轴有1个交点，如． 【答案】，等 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点个数问题，解题的关键是掌握抛物线与坐标轴交点个数与系数的关系．抛物线与坐标轴有2个交点，则抛物线与 x 轴有1个交点或与 x 轴有2个交点但其中一个交点为原点． 【详解】解：解：抛物线与坐标轴有2个交点，则抛物线与 x 轴有1个交点或与 x 轴有2个交点但其中一个交点为原点，当抛物线与 x 轴有1个交点时，函数关系式为 ，当抛物线与 x 轴有2个交点但其中一个交点为原点时，函数关系式为． 故答案为 或 . 3．（2025··安徽合肥·模拟预测）在直角坐标系中，设函数（m是常数）． (1)当时，求该函数图象与x轴的交点坐标． (2)若点，，都在该函数图象上，点A不与点B，C重合． ①比较，的大小． ②若，，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②当时，或；当时，或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）当时，代入函数解析式，进而可求顶点坐标即可； （2）①根据题意确定点B为顶点坐标，函数值最小，即可求解；②将点C代入函数解析式得出或，然后分情况分析即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得：， ∴与x轴的交点坐标为； （2）①， ∴对称轴为：， ∵抛物线开口向上， ∴点B为顶点坐标，函数值最小， ∴； ②当时，， 将点C代入函数解析式为：， 解得：或， 当时，， ∴，解得：或； 当时，， ∴，解得：或； ∴当时，或；当时，或． 4．（2025·安徽亳州·模拟预测）中医常用碾药工具——药碾子（如图1）起源于东汉时期，它不仅是一种工具，更是一种文化的象征，代表了古代医者的智慧和对中药炮制的精益求精．图1中碾槽外轮廓的上沿和下沿可分别近似地看成两条抛物线的一部分，如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点和点，点与点到水平地面的距离相等．上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为，以所在直线为轴，过点且垂直于的竖直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线满足关系式，． (1)求下沿抛物线的函数表达式； (2)点与点是两个支撑架与下沿抛物线的交点，若点与点到轴的距离均为，求点与点之间的距离． 【答案】(1) (2)4 【分析】本体考查二次函数的应用： （1）根据顶点式写出顶点坐标，结合得到点的坐标为，设出解析式的顶点式，将点代入求解即可得到答案； （2）令代入求解，再根据两点间距离公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：上沿抛物线的函数表达式为， 点的坐标为， ， ∴点的坐标为， 设下沿抛物线的函数表达式为， 将点代入，得，解得， 下沿抛物线的函数表达式为； （2）解：在中，令， 得， 解得，， ，， 点与点之间的距离为． 【典型例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例1】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．把代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，， 则抛物线与y轴交点的坐标为， 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则的面积为（   ） A．6 B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与轴的交点坐标，二次函数与轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别令，，代入，得，，再结合三角形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点， ∴令时，则， 得 ∴， ∴， 令时，， ∴． ∴， ∴． 故选：B． 【例3】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，抛物线与轴交于一点，则该点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴交点的计算是解题的关键． 根据顶点坐标设二次函数解析式为，运用待定系数法得到解析式，令解得函数值即可． 【详解】解：抛物线与轴交于点，顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为， 把点代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴抛物线与轴交于一点，则该点坐标是， 故答案为： ． 【例4】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，抛物线 与y 轴交于点B， 与 x 轴交于点A，C（点A在点C的右边）．求A点 、B 点 、C 点坐标． 【答案】，， 【分析】本题考查求抛物线顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，令，求出x的值，可求出A、C的坐标，令，求出y的值，可求出B 的坐标 【详解】解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴． 1．（24-25九年级上·安徽池州·期末）小丽借助之前学习的画出函数的图象，你认为正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，抛物线与坐标轴的交点，绝对值的意义，根据绝对值的意义分三种情况：当时，当时，当时，求出函数图象与坐标轴的交点坐标，即可判断．确定函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 【详解】解：当时，函数表达式为， 当时，得：， 解得：（舍去）或， 此时函数图象与轴的交点为； 当时，函数表达式为， 当时，得：， 解得：（舍去）或， 此时函数图象与轴的交点为； 当时，， 此时函数图象与轴的交点为； ∴函数图象与轴有两个交点且关于原点对称，与轴一个交点且在原点上方． 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若关于x的一元一次不等式组无解，且使二次函数的图象与y轴交于正半轴，则所有符合题意的整数a的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组和二次函数与y轴的交点，根据不等式组无解得到，然后根据二次函数与y轴交点在正半轴得到且，然后求出整数a的值即可解题． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组的无解， ∴， 解得， ∵二次函数的图象与y轴交于正半轴， ∴，且， 解得且， ∴且， ∴整数a为，，，，， ∴整数a的值之和是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数． (1)该函数图像的对称轴是______； (2)无论取何值，该函数的图像都经过两个定点，直接写出这两个定点的坐标； (3)若点，在该函数图像上，比较，的大小并说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)当时，；当时，． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称性求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用二次函数的对称轴直线代入数值化简，即可作答． （2）先把把代入，得，则二次函数经过点，结合对称性得出点关于直线对称的点为，即可作答． （3）先得出，要进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：∵二次函数， ∴把代入，得， 即二次函数经过点， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的点为， 则无论取何值，该函数的图像都经过两个定点，且这两个定点的坐标分别为和； （3）解：当时，；当时，．理由如下： ∵点，在该函数图像上， ∴， 则， 当时，则，即； 当时，则，即． 综上：当时，；当时，． 4．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线的顶点，连接，． (1)求点的坐标； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数的性质以及两点间距离公式等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）令，则，解方程求出x的值即可求解； （2）先求出点C的坐标，然后根据两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ； （2）解：该抛物线对称轴为， 将代入，得， ， 在中，当时，， ， 由（1）可知，， ， ， ， ． 【典型例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例1】（24-25九年级上·云南红河·期中）点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的函数值比大小．正确计算各函数值是解题的关键． 分别计算的值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：C． 【例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．将如图所示的剪纸“鱼”置于平面直角坐标系中，使得外轮廓上的点、B、均落在抛物线（a、c为常数，）上，已知点B在第一象限，且到y轴的距离为，则点B到x轴的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，先根据已知条件求出抛物线的解析式，再求出当时的函数值即可． 【详解】解：∵点、B、均落在抛物线（a、c为常数，）上， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 即点B到x轴的距离为， 故选：D． 【例3】（24-25九年级上·山西阳泉·阶段练习）已知点在抛物线上，则的由大到小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次函数函数值的大小．正确计算是解题的关键． 将分别代入得，，，，由，可得，然后作答即可． 【详解】解：将分别代入得，，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为，矩形的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，交y轴于点，且矩形面积为8． (1)求此抛物线的解析式； (2)求当时，y的取值范围； (3)直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)时，或 【分析】（1），由矩形面积及长度，求出点F坐标，根据顶点设抛物线顶点式，然后将点F坐标代入解析式求解； （2），抛物线开口向上，对称轴为直线，离对称轴越远的点，y值越大； （3），先求出时一元二次方程的解，然后根据抛物线开口方向求解． 【详解】（1）解：∵为抛物线顶点， ∴抛物线对称轴为y轴. ∵点C，F在抛物线上， ∴. ∵矩形面积为， ∴， ∴， ∴点F坐标为. 设抛物线解析式为， 把代入解析式得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，y取最小值为1. ∵， ∴时y取最大值. 把代入， 得． ∴； （3）解：把代入， 得， 解得或， ∴时，或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数关系式，矩形的性质，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程，灵活选择二次函数的关系式是解题的关键． 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知的图象如图所示，则关于的一元二次方程有（    ）个解 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴、轴的交点，由抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标得出当时，，或，即可得出结果．抛物线的对称轴以及抛物线的性质；理解时，得出的值是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与轴交于点， ∴当时，， 即纵坐标为的点是或， ∴或， ∴关于的一元二次方程有个解． 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知函数，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的应用和一元二次方程根的判别式，掌握知识点的应用及分类讨论思想的运用是解题的关键． 先判断当时，，即方程只有一个实数根，再确定有两个实数根，然后解出方程即可求解． 【详解】解：当时，，即， 则， ∴， ∴， ∴只有，有一个实数根， ∴有两个实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线（，，为常数，）经过，两点． (1)当时，求抛物线的表达式． (2)求一元二次方程的根． (3)求证：． 【答案】(1) (2)， (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴交点的坐标是它所对应一元二次方程的两个根，关键是利用一元二次方程的根与系数的关系以及根的判别式的应用，熟练运用是关键． （1）由，根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可； （2）根据已知可得两根是2和，由一元二次方程根与系数的关系，可得，进而化简方程求解即可； （3）根据已知可得两根是2和，由一元二次方程根与系数的关系，可得，根据的范围得证． 【详解】（1）解：中， ， ，，为常数，经过，， 的两个根为：2和， ，， 解得：，， 抛物线的表达式为：； （2）解：，，为常数，经过，， 的两个根为：2和， ， ， 当时，则， ， ， ， 解得：，； （3）证明：，，为常数，经过，， 的两个根为：2和， ， ， ， ， ． 4．（2024·安徽阜阳·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，与轴交于点，且． (1)求这条抛物线的解析式； (2)若点与点在（1）中的抛物线上，且，．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求函数解析式、与坐标轴的交点问题； （1）先确定点的坐标，根据，在点的左侧，可得出点的坐标，将点坐标代入可得出抛物线解析式； （2）由抛物线可知对称轴为，因为点与点纵坐标相等，可得出两点关于抛物线对称轴对称，从而可得出的表达式，变形后代入即可得出答案； 【详解】（1）解：当 时， ， ∴与y轴交于点， ∵抛物线与轴交于、两点，， ∵点在点的左侧，， ∴抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为 ； （2）， 抛物线的对称轴为直线 ， 在中的抛物线上， ， 轴 ， 解得 ∴ 答：的值为4 【典型例题四 抛物线与x轴的交点问题】 【例1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题的关键．运用根的判别式，代入系数，可直接求解． 【详解】解：∵的图象与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴． 故选：D． 【例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点A、点，点，点在轴下方的抛物线上，点的横坐标为，则下列说法：；；，正确的是（　　） A．②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由抛物线可知抛物线的开口方向向上，对称轴在y轴的左侧可得，，进而判定①；由抛物线过可得，进而判定②；由③可得，再根据函数图象可得，即，再将代入整理即可判定③；由题意易得，，然后整理变形即可判定④． 【详解】解：∵二次函数的抛物线的开口方向向上，对称轴在y轴的左侧， ∴，， ∴，即①错误； ∵二次函数的图象与x轴交于点A，点B，点， ∴，则，即②正确； ∵， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ∴， ∴， ∴，则，即③正确； ∵点C在x轴下方的抛物线上，点C的横坐标为m，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即④正确． 综上，正确的有②③④． 故选：D． 【例3】（2025·河北唐山·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与x轴交于B，D两点．若直线与始终有公共点，则k的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数、一次函数，以及直线与函数相切知识的综合运用，结合平移的知识推出抛物线解析式，结合函数图象得到当直线与只有一个交点时的值，即可求解． 【详解】解：抛物线与x轴交于点A、B，则点A、B的坐标为：、， ∵抛物线从：平移得到抛物线， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，解得或（舍去）， ∴抛物线解析式为， 如图， ∵直线过点， ∴当直线与只有一个交点时，k值最大， 联立与直线的表达式可得：， 整理得， ∴，， ∴， 解得：， ∵唯一交点横坐标， ∴，解得， ∴由图可得当时，直线与抛物线在范围内有交点， ∴k的最大值是． 故答案为：． 【例4（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x …… 0 1 2 …… y …… 5 0 …… (1)求该二次函数的表达式； (2)根据二次函数图象，直接写出不等式的x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组），待定系数法求函数解析式，关键是求出函数的解析式． （1）利用待定系数法确定函数关系式； （2）根据函数的图象，求的取值范围即可． 【详解】（1）解：由表格可知抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， ， ∴ 二次函数的表达式为； （2）解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 点的对称点为， 不等式的的取值范围是或． 1．（2025·安徽淮北·模拟预测）如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③若点在该抛物线上，且，则；④．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟悉函数的图像和性质是解题关键． 利用二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点坐标即可求出①；令即可判断②；利用时函数值最大，即可判断③；令即可判断④． 【详解】①由图象可知：， ，故①正确； ②当时，，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故②正确； ③当时，y的值最大，此时，， 而当时，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④当时，，对称轴为直线 ∴当时，， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 2．（2025·安徽六安·模拟预测）为了研究函数的性质，小广用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 2 3 … … m … 下列五个结论：①；②该函数图象在x轴上方；③该函数图象与直线有2个交点；④当时，该函数图象有最低点；⑤点和是该函数图象上两点，若，则或或．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】将代入即可判断①；根据题意判断出即可判断②；将代入得到或，然后根据判别式即可判断③；首先求出抛物线与x轴的交点坐标为和，得到当时，，然后得出，得出中，有最大值，进而可判断④；由表格得到，当时，，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】解：①将代入，故①正确； ②∵， ∴， ∴该函数图象在x轴上方，故②正确； ③当时，， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或， ∴该函数图像与直线有4个交点，故③错误； ④设， 当时，， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，， ∴此时， ∵中， ∴此抛物线开口向下， ∴它有最大值， ∴有最小值，即函数有最低点，故④正确； ⑤∵点和是该函数图象上两点， ∴由表格得，当时，， 当时，， ∵若， ∴， ∴， ∴， 解得或，故⑤错误． 综上所述，其中正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查二次函数的图象和性质，二次函数与x轴交点问题，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 3．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线图象经过点，是抛物线与轴交点的横坐标，证明，比较与的大小． 【答案】(1)直线 (2)当时，；当时， 【分析】本题考查二次函数的对称轴、待定系数法求解析式，抛物线与x轴的交点以及代数式化简和大小比较．关键在于熟练运用公式及对进行合理变形 ． （1）根据抛物线的对称轴公式求解即可． （2）将已知点代入解析式求，求出函数的解析式，然后令求值，再对进行变形化简，得出关于的表达式，最后分情况比较与的大小． 【详解】（1）解：∵抛物线为， 则抛物线的对称轴为直线， 即抛物线的对称轴为直线； （2）解：代入函数表达式得：，解得， 故抛物线解析式． 令，得，解得， ∵是抛物线与轴交点的横坐标， ∴，∴， ∴ ， ∴， 故． 当时，，此时； 当时，，此时． 4．（2025·安徽滁州·模拟预测）数学活动课上，同学们在刘老师的指导下对二次函数进行了研究． (1)甲同学经过分析后发现，无论取任何实数，该函数的图象与轴都有两个交点．请你通过计算判断甲同学的说法是否正确． (2)刘老师为了让同学们更好地感悟“数形结合”的思想，提出了新问题：若该函数图象经过点，当时，求的取值范围． 乙同学经过思考后，通过待定系数法求函数的解析式，利用函数的图象与性质确定了的最大值和最小值，进而求出的取值范围．请你结合自己对二次函数的理解求出的取值范围． (3)刘老师要求同学们能对所学知识举一反三，进一步研究：在已知（2）的函数解析式的前提下，若，且函数的最大值和最小值之差为6，求的值． 【答案】(1)甲同学的说法正确 (2) (3)的值为或或 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，开口方向、对称轴以及自变量的取值范围是求最值的三要素，掌握分类讨论的思想思想是解决第三问的关键． （1）根据可得结果； （2）把代入求出解析式，再结合函数图象求最大值和最小值即可得到的取值范围． （3）比较抛物线对称轴与的位置关系，分情况讨论分别结合增减性和顶点的特征求最值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴该函数的图象与轴都有两个交点． 故甲同学的说法正确． （2）解：把代入得到， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 当时，函数图象如图： 由图可得，在顶点处有最小值，当时有最大值， ∴的取值范围为． （3）解：（2）的函数解析式为， ∴对称轴为，开口向上，当时随增大而增大，当时随增大而减小， ①当，即时，随增大而减小， ∴当时，有最大值；当时，有最小值； ∵函数的最大值和最小值之差为6， ∴， 解得，符合题意； ②当，时，对称轴在范围中间，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，此时， ∴在顶点处有最小值；当时，有最大值； ∵函数的最大值和最小值之差为6， ∴， 解得， ∵，， 此时不符合题意； ③当，时，对称轴在范围中间，到对称轴的距离大于到对称轴的距离，此时， ∴在顶点处有最小值；当时，有最大值； ∵函数的最大值和最小值之差为6， ∴， 解得， ∵，， 此时符合题意； ④当，即时，随增大而增大， ∴当时，有最小值；当时，有最大值； ∵函数的最大值和最小值之差为6， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，若，且函数的最大值和最小值之差为6，的值为或或． 【典型例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例1】（2025·安徽安庆·模拟预测）已知，则函数可以表示为，例如当时所对应的函数值记作；函数的图象如图所示，关于该函数说法正确的是（    ）   A． B． C． D．当时，x的值为1或 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象和性质，从函数图象中获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图象可知：，故，该选项错误，不符合题意； B、由图象可知：，故，该选项正确，符合题意； C、由图象可知：，故，该选项错误，不符合题意； D、由图象可知，与轴的交点为，故当时，x的值为1或或0，，该选项错误，不符合题意； 故选B． 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列图中、两点横坐标是方程两根的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的有关知识，解题关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．根据直线与二次函数的关系式得出方程，再整理并进行判断即可． 【详解】解：A．由题意得：，整理得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（1）符合题意； B．由题意令得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（2）符合题意； C．由题意得：，整理得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（3）符合题意； D．由题意得：，整理得：，则、两点横坐标是方程两根，故图（4）符合题意； 故选：D 【例3】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表，根据表格中的数据可知，关于的一元二次方程的根是 ． … 0 1 2 3 … … 6 2 0 0 2 6 … 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合，根据表格信息直接求解即可． 【详解】解：由表格知：当时，；当时，； ∴一元二次方程的根是，， 故答案为：，． 【例4】（24-25九年级上·全国·课后作业）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线． (1)方程的解是______； (2)若，则方程的解有______个，抛物线与直线有______个公共点； (3)不等式的解集是______． 【答案】(1) (2)2，两 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数的对称性，则，得出二次函数与轴的另一个交点为，故方程的解是， （2）作图，得出直线与有两个交点，运用数形结合，即可作答． （3）运用图象性质以及二次函数与轴的交点，开口方向，即可作答． 【详解】（1）解：结合图象，设二次函数与轴的另一个交点为， ∵对称轴为直线，二次函数与轴的一个交点为， ∴， ∴， ∴二次函数与轴的一个交点为， ∴方程的解是； 故答案为：； （2）解：如图所示： 直线与有两个交点， ∴方程的解有2个； ∴抛物线与直线有两个公共点； 故答案为：2，两； （3）解：由（1）得二次函数与轴的交点坐标为和 ∵二次函数的开口方向向下， ∴结合图象，得不等式的解集是. 1．（2025·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线为常数，且的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），有下列结论：①；②；③；④若方程的两根为，，则．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、根与系数的关系等知识，逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线，a、b同号， ∴， ∵抛物线与y轴的交点B在，之间， ∴， ∴，故①不正确； ∵对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点， ∴与x轴交于另一点， ∴当时，，故②正确； 由题意可得，方程的两个根为， 又∵，即， ∵， ∴， 因此，故③正确； 若方程的两根为，，即方程为：，则直线与抛物线的交点的横坐标为m，n， ∵直线过一、二、三象限，且过点， ∴直线与抛物线的交点在第一、第三象限， 由图象可知．故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④，共3个， 故选：B． 2．（2025·安徽滁州·模拟预测）已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数图象的应用， 画出的图象，分别画出经过、的图象，然后然后数形结合即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根， ∴与有4个交点， ∵中，当即时，， ∴经过定点， 对于，当时，， 当时，，解得， ∴与y轴交于，与x轴交于，， 当经过时，如图， 则，解得， ∴， 此时与有3个交点， 当经过时，如图， 则， 解得， ∴， 此时与有3个交点， 观察图象发现：当时，与有4个交点， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江西南昌·期中）已知的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)求方程的解； (2)如果方程无实数根，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系， （1）根据函数图象与轴的交点坐标即可求解； （2）先确定二次函数的解析式，再根据函数图象即可求解； 利用数形思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：观察函数图象可知，图象与轴的交点坐标为，，与轴的交点坐标为， 将方程变形为，即的图象与轴的交点坐标， 由图象可知方程的解为，， ∴方程的解为，； （2）观察函数图象可知，的图象与轴的交点坐标为，，与轴的交点坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴的图象的顶点坐标为， ∵方程无实数根， 则由图象可得， ∴， ∴的取值范围为． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A，B的坐标； (2)当时，若为等腰三角形，求a的值； (3)直线与x轴，y轴分别交于E，F两点，当抛物线与线段有两个交点时，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）令时，则，解方程即可解答； （2）令，得到，因此，当时，为钝角三角形，当为等腰三角形时，，在中，根据勾股定理有，即得到方程，求解即可； （3）对于直线，分别令，，求出点E，F的坐标．分两种情况讨论：①当时，要使抛物线与线段有两个交点，则抛物线与y轴交点在点F处或上方，得到，即；②当时，由得，根据根的判别式得到，求得或（此时交点在线段的延长线上，舍去），即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解得，， ∴，； （2）解：当时，， ∴点C坐标为 ∵， ∴ 由（1）得：，， 当时，为钝角三角形，，如图 ∴当为等腰三角形时，， ∴ ∵在中，， ∴，解得： ∵， ∴； （3）解：对于直线， 令，则，解得， ∴， 令，则， ∴； ①当时， 由（1）可知抛物线与x轴交于点，，而点在点B的右侧， ∴要使抛物线与线段有两个交点，则抛物线与y轴交点在点F处或上方，如图 把代入函数，得， ∴， ∴； ②当时， 由得， 整理得， 要使抛物线与线段有两个交点，则 ， ∴或（此时交点在线段的延长线上，舍去）． 综上所述，a的取值范围是或． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，等腰三角形的定义，勾股定理，抛物线与线段的交点，一元二次方程根的判别式，综合运算相关知识，掌握数形结合思想是解题的关键． 【典型例题六 求x轴与抛物线的截线长】 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）二次函数的值永远为负值的条件是（          ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】二次函数的值永远为负即函数图象的开口向下且函数与轴没有交点，根据此即可算出和的取值． 【详解】解：因为二次函数的值永远为负值， 所以函数图象的开口向下，所以． 此外，函数与轴没有交点，所以， 所以二次函数的值永远为负值的条件是，． 故选D. 【点睛】本题主要考查对于二次函数图象的理解，同时还要掌握函数图象与x轴没有交点的性质． 【例2】（24-25九年级上·全国·课后作业）老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】首先求出抛物线的解析式，然后逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线过（1,0），对称轴是x＝2， ∴ ，解得a＝1，b＝－4， ∴y＝x2－4x＋3， 当x＝3时，y＝0，所以小华正确， 当x＝4时，y＝3，小彬正确， a＝1，小明也正确， 抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点(1,0)，则可得另一点为(－1,0)或(3,0)，所以对称轴为y轴或x＝2，此时答案不唯一，所以小颖也错误， 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查抛物线，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·江苏·期末）如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，根据对称轴求得的值，解方程，即可求解． 【详解】解：∵抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线， ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，即， 解得：， ∴, ∴， ∴, 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，抛物线， （1）求证：不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点； （2）若已知抛物线与x轴有一个交点A（1，0），另一交点B，求k的值及线段AB的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）列出判别式，根据判别式的值的情况进行证明即可； （2）通过A点代入求解得k，进而求出完整解析式，求出B的坐标即可计算AB的长度． 【详解】（1）由题意：==， 不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点； （2）将A(1，0)代入解析式得：，解得：， 此时抛物线得解析式为：， 令，解得，，故， ． 【点睛】本题考查二次函数与轴交点的问题，熟练掌握求解判别式及二次函数与一元二次方程之间的关系是解题关键． 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，二次函数（）的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据B点的坐标与二次函数的对称轴即可求出A点坐标，即能求出AB的值，可判断①；由二次函数的图象与x轴有两个交点，即可确定，可判断②；由图象开口向上，可确定．由二次函数对称轴为，即可知，从而得到b的符号，即求出的符号，可判断③；根据图象可知，再由，即可判断出的符号．可判断④； 【详解】∵A、B两点是二次函数与x轴的交点，且二次函数对称轴为 ∴A、B两点关于直线对称． ∵B(1，0)， ∴A(-3，0)， ∴． 故①正确； ∵二次函数的图象与x轴有两个交点A点和B点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即． 故②正确； 根据图象开口向上可知， ∵二次函数对称轴为，即， ∴． ∴． 故③错误； 根据图象可知对于该二次函数，当时有最小值，且最小值小于0， 即， ∵，且， ∴，即． 故④正确； 综上，正确的结论有①②④，共3个． 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 2．（23-24九年级上·上海普陀·期中）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．      【答案】 【分析】根据直线，可以求出该直线与轴的交点，从而可以得到点的坐标，再根据点恰好是抛物线的顶点，即可得到、的值，然后联立抛物线与直线，求出它们的交点，即可求得抛物线关于直线的割距． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵点恰好是抛物线的顶点， ∴， ∴，， 即：抛物线为，则，解得：或， ∴抛物线与直线的交点为，， ∴此时抛物线关于直线的割距是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是求出抛物线与直线的交点坐标． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象性质，二次函数图象平移规律“上加下减”是解题的关键． （1）①把代入，得，即可得出顶点坐标； ②根据平移规律得平移后抛物线解析式为，把代入，求得，则，设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，，则，，又，即可得出，解之即可求解． （2）把，代入，得，根据，求得；把代入，得，根据和，求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∴抛物线的顶点坐标为， ②∵将抛物线向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 把代入，得， ∴ ∴ 设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，， 则，， ∴ ∴ ∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6， ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． （2）解：把，代入，得 ， ∵， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系；根据解析式求得点，令，设，，进而根据根与系数的关系得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴，， ∴ 设，， 则， ∴， ∴ 【典型例题七 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例1】（24-25九年级上·全国·期中）根据表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】A 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：令， 由表格可知：时，，当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：A． 【例2】 （24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为（   ） A． B． C．或3 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的交点是解题的关键．根据抛物线与直线交于，两点，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， 的解为或3， 故选：C． 【例3】（2025·安徽安庆·模拟预测）如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根． 【答案】3 【分析】本题考查函数与方程的关系，根据函数图象交点的个数即为两解析式联立方程的解得个数解答即可． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出与的图象，结合图像可得有三个交点， ∴方程有3个实数根． 故答案为：3． 【例4】（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）已知二次函数． … －4 －3 －2 －1 0 1 2 … … －6 －1 ______ 3 2 ______ －6 … (1)填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)根据表格结合函数图象，直接写出方程的近似解（指出在哪两个连续整数之间即可）． 【答案】(1)表见解析，图见解析 (2)两个近似根分别在之间和之间 【分析】（1）根据表格数据代入解析式即可求解，然后根据描点法画出函数图象即可； （2）根据表格结合函数图象，根据抛物线与轴的交点，即可直接写出方程的近似解在哪两个连续整数之间． 【详解】（1）解：由，令，， 令， 填表如下： … －4 －3 －2 －1 0 1 2 … … －6 －1 2 3 2 －1 －6 … 所画图象如图： （2）由图象可知，方程的两个近似根分别在之间和之间． 【点睛】本题考查了画二次函数图象，求函数值，图象法解一元二次方程，数形结合是解题的关键． 1．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为米，如果梯子的顶端下滑米，底端也水平滑动米，则满足方程．在估算—元二次方程的根时，小欣列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程的一个根的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次函数确定一元二次方程的根的取值范围．从表中可以看出当时，，当时，，所以能使成立的一定在范围内． 【详解】解：整理方程 得到：， 令， 由表中数据可知：当时，， 当时，， 当时，即时， 一定有． 故选：B． 2．（24-25九年级上·广西崇左·期末）抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为 （精确到0.1）． 【答案】 或1.7 【分析】抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根． 【详解】解：∵抛物线与x轴的两个交点分别是、， 又∵抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根， ∴方程的两个近似根是 或1.7． 故答案为： 或1.7 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数 （a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 3 4 … y … 0 4 m 0 … (1)直接写出m的值，并求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的根的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据表中数据可得二次函数图象的对称轴，由轴对称性可得m的值，再用待定系数法，即可求得答案； （2）根据二次函数的增减性和轴对称性可知，当时，y取最大值，当时，y取最小值，由此即得答案； （3）根据二次函数的增减性，即得答案； （4）方程有两个不相等的实数根，等价于二次函数与直线有两个交点，根据图象即得答案． 【详解】（1）由表中数据可知，当和时，， 该二次函数的图象的对称轴为， 和时，， ； 将，；，；，分别代入， 得，解得， 该二次函数的解析式为； （2）当时，， 当时，， 当时，， ， 抛物线开口向下， 当时，； （3）， 抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而减小； （4）方程有两个不相等的实数根， 二次函数与直线有两个交点， ． 4．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图1，在直角坐标系中画出抛物线和直线的图象，利用图象可以直接得到一元二次方程的解． (1)根据图1，直接写出一元二次方程的解； (2)请参考上述方法，再给出两种作图法求方程的解（分别画在图2和图3）． 【答案】(1)的解是，． (2)画图见解析 【分析】本题考查的是利用图象法求解一元二次方程的解，掌握数形结合的方法是关键； （1）由图1可得：抛物线和直线的图象的交点的横坐标为： ，，即方程的解； （2）由方程可得其解是函数函数与直线的交点的横坐标；或函数与直线的交点的横坐标；再画图即可． 【详解】（1）解：由图1可得：抛物线和直线的图象的交点的横坐标为： ，， ∴，是方程的解； ∴的解是，． （2）解：如图，方程的解是函数与直线的交点的横坐标； 如图，方程的解是函数与直线的交点的横坐标； ； 【典型例题八 图象法解一元二次不等式】 【例1】（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的与x轴的交点问题，对称性．求出二次函数的图象与x轴的另一个交点，再结合图象，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线． ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，x的取值范围是． 故选：C 【例2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）已知抛物线上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如表： x … －2 －1 1 3 4 … y … 2.5 0 －2 0 2.5 … ①物线的开口向上； ②方程的根为－1和3； ③当时，x的取值范围是； ④抛物线的对称轴为直线． 以上结论中正确的是（    ） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②④ 【答案】B 【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式，确定a的符号可判断①，利用函数值为0的两点横坐标为方程的解可判断②，利用图像解不等式确定自变量的取值范围可判断③，利用对称两的坐标可求对称轴可判断④． 【详解】解：把（-2，2.5），（-1，0），（1，-2）代入抛物线解析式得： ， 解方程组得， ∴， ∴a=0.5＞0，抛物线开口向上，故①正确； ∵（-1，0）和（3，0）在抛物线上， ∴当x=-1时，当x=3时，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）和（3，0）， 当时，函数图像在x轴下方，在两交点之间，x的取值范围是，故③正确； ∵抛物线的对称两点坐标为(-2，2.5)，（4，2.5）， ∴抛物线的对称轴为x=,故④不正确， 故正确的答案为①②③； 故选B． 【点睛】本题考查从表格获取信息与处理信息，待定系数法求抛物线解析式确定抛物线性质，抛物线与x轴的交点的意义，利用图像与表格解不等式，确定自变量取值范围． 【例3】（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集 ． 【答案】或 【分析】本题考查数形结合，利用数形结合的思想，找到图象在轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：关于的不等式的解集为：或； 故答案为：或． 【例4】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题： (1)直接写出方程的两个根； (2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围； (3)直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 【详解】（1）解：由图象看， ∵二次函数与x轴交于点， ∴方程的两个根是，； （2）解：从图象看， 当时，y随x的增大而增大； （3）解：从图象看， ∵当或时，二次函数的图象在x轴 ∴不等式的解集是：或． 1．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图为二次函数的图象，在下列说法中正确的是（    ）    ①；②方程的根是，③；④当时，y随x的增大而增大⑤当时；⑥（m为实数） A．②③④ B．②③④⑤ C．②③④⑥ D．②③④⑤⑥ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，①依据抛物线开口方向可确定的符号、与轴交点确定的符号进而确定的符号；②由抛物线与轴交点的坐标可得出一元二次方程的根；③由当时＜，可得出＜；④观察函数图象并计算出对称轴的位置，即可得出当＞时，随的增大而增大，根据函数图象直接判断⑤，根据时，取得最小值，即可判断⑥． 【详解】①由图可知：，， ，故①错误； ②由抛物线与轴的交点的横坐标为与， 方程的根是，，故②正确； ③由图可知：时，， ，故③正确； ④由图象可知：对称轴为：， 时，随着的增大而增大，故④正确； ⑤根据函数图象可得，当时，故⑤错误， ⑥对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，取得小值，最小值为 即，故⑥不正确； 故选A． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）对于一个函数，我们把当时对应的自变量的值，称之为函数的零点．例如：函数的零点为1；函数的零点为、3．已知函数（其中）的零点为3、0，则关于的不等式（其中）的解集为 ． 【答案】且 【分析】根据零点定义，转化为方程的根，确定字母系数之间的关系，后化简绝对值，分类计算即可． 【详解】解：∵函数（其中）的零点为3、0， ∴的两个根为3、0， ∴， ∴， ∴， 当时，变形为， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，变形为， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴关于的不等式（其中）的解集为且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，根与系数关系定理，绝对值的化简，不等式的解法，熟练掌握关系，定理，解不等式是解题的关键． 3．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，抛物线与y轴交于点． (1)求出m的值及抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点和顶点坐标； (3)当x取什么值时，抛物线在x轴上方？ (4)当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？ 【答案】(1)， (2)与轴的交点坐标为，；顶点坐标为 (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点，把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题关键． （1）把已知点的坐标代入中可求出m，从而得到抛物线解析式； （2）通过解方程得抛物线与x轴的交点坐标；化为顶点式可求出顶点坐标； （3）利用抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围； （4）先求出抛物线的对称轴，然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：将 代入，可得， ； （2）令，即，解得， x轴的交点坐标为，． ， ∴顶点坐标为； （3）根据的图像，如下图： 如图可知， 当时，抛物线在x轴上方； （4）， 抛物线开口朝下， 抛物线对称轴为， 根据二次函数的性质可知， 当时，的值随的增大而减小． 4．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）小明根据学习函数的经验，对函数的图象及性质进行了探究和应用．下面是小明的探究过程 x … 1 2 … y … … (1)函数的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是y与x的几组对应值，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其它2条不同的性质：① ，② ； (4)设，，利用图象比较a和b的大小（请写出比较过程）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； (4)，过程见详解 【分析】本题考查函数自变量取值范围，画函数图象，探究函数的图象及性质；熟练掌握探究函数性质的方法，能结合表格、图象探究函数性质是关键． （1）由可得，， （2）描点、连线画出函数图象即可； （3）根据图象即可得到函数的性质； （4）根据函数的增减性即可判断． 【详解】（1）解：由可得， 故答案为：； （2）解：所画函数图象如下图： （3）解：探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是， ①当时，y随x的增大而减小； ②当时，y随x的增大而增大； 故答案为：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （4）解：由图象可知，当时，y随x的增大而减小，； ， ， ， ， ， ． 【典型例题九 利用不等式求自变量或函数值的范围】 【例1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的、的部分对应值如下表： 0 1 2 3 5 1 1 下列结论中正确的个数有（    ） ①；②抛物线的对称轴是直线；③方程有一个根，且；④不等式的解集是；⑤是方程的根． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据表格确定二次函数图象的开口方向以及对称轴，结合表格数据即可对各个选项进行判断． 【详解】解：由表格可知：当越来越大，先减小后增大，即二次函数图象开口向上， 则，故①错误； 由表格可知：当，，当，，即抛物线的对称轴为，故②正确； 当，，当，，即在和0之间，函数值都大于0， 则方程的根不在之间，故③错误； 不等式，即，根据表格数据可知当时不等式，故④正确； 当时，，即，故⑤正确； 正确的选项有3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是根据表格发现二次函数图象的对称轴以及开口方向，此题难度不大． 【例2】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据二次函数与轴的交点的横坐标，结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4， 根据图象可知，当时，的取值范围是或， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）直线与抛物线的图象如图，当时，的取值范围为 【答案】或/或 【分析】根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与抛物线的图象交点的横坐标分别为， ∴当时，的取值范围为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 【例4】（24-25九年级上·天津西青·期末）已知抛物线（，，为常数，）与轴的一个交点坐标是，与轴的交点坐标是，且经过点． (1)求该抛物线解析式中，，的值； (2)直接写出时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根据交点求不等式的解集； （1）把点代入，运用待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，令时，则，得到二次函数与轴的两个交点为，由抛物线开口向上，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线经过点，，， 有 解得 （2）解：由（1）可得，抛物线的解析式为， 令时，则， 解得，， ∴二次函数与轴的两个交点为， ∵， ∴图象开口向上， ∴当时，自变量的取值范围或． 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是点，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为，下列结论：①；②；③方程有一个实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，则，其中正确的是（   ） A．①②③ B．③⑤ C．①④ D．④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点． 根据抛物线的对称轴方程得到，从而可对①进行判断；利用抛物线开口方向得到，则利用可判断，利用抛物线与轴的交点位置得到，从而可对②进行判断；利用抛物线与直线的交点个数可对③进行判断；利用抛物线的对称性可对④进行判断；利用抛物线在直线上方所对应的自变量的取值范围可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ， 即，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ， ， ∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， ， ∴，所以②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个实数根，所以③错误； ∵抛物线与轴的一个交点为， 而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标，所以④正确； 当时，，所以⑤错误． 故选：C． 2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … 以下四个结论：①；②若，则；（3）若，且，则不等式的解集为；④若，且，则当时，随的增大而增大．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查二次函数的图像和性质．根据表格数据可判断结论①；根据二次函数的对称性可得，即可判断结论②；根据二次函数与一元二次方程关系可得的两根为，再根据可得的解集，即可判断③；通过举例说明：例如，满足条件，但时，y随x的增大而减小，故可判断结论④．解题的关键是掌握二次函数的图像及性质． 【详解】解：①∵时， ∴， ∴，故结论①正确； ②若，则抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴，故结论②错误； ③∵，即：， ∴的两根为：，， ∵， ∴的解集为，故结论③正确； ④例如，满足条件，但时，y随x的增大而减小，故结论④错误． ∴正确的序号有①③． 故答案为：①③． 3．（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． (1)求的值； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ii）若，且当时，总有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）分别求出抛物线与抛物线的顶点坐标，建立关于n的方程求解即可； （2）（i）由（1）得，根据题意得到，即，由仅存在一个正数，使得，则关于的一元二次方程，有两个相等的正数根，求出，，得到，即可解答；（ii）根据题意求出， ，由，得到，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4， ∴，即； （2）解：（i）由（1）知， ∴抛物线， ∵为抛物线上一点， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵仅存在一个正数，使得， ∴关于的一元二次方程，有两个相等的正数根， ∴，即， 解得：， 当时，，解得：（舍去，不符合题意）； 当时，，解得：（符合题意）； ∴， ∴， ∵为抛物线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； （ii）∵，，且为抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)在图中画出该函数的图象； (3)直接写出当的y的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，根据函数图象求自变量的取值范围； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据第（1）问中求得的函数解析式可化为顶点式，得出顶点坐标，进而画出函数解析式； （3）先计算出当是的函数值，再根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴ 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，则抛物线与轴的另一根交点为， 图象如图所示， （3）解：当时，， 当时，， ，顶点坐标为，即时，有最小值为， ∴根据函数图象可得当的y的取值范围为． 【典型例题十 根据交点确定不等式的解集】 【例1】（2025·安徽淮北·模拟预测）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． 由函数图象可知，当或时，函数在的图象的上方，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知， 当或时，函数在的图象的上方， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）如图，已知抛物线与直线交于、两点，与x轴交于，当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握利用函数交点求不等式的解集是解题的关键．结合函数图象，找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量x的取值范围即可解答． 【详解】解：结合图象得，当时，x的取值范围是或． 故选：B． 【例3】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据二次函数与一次函数的交点确定不等式的解集，由图象并结合交点坐标即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的图象交于点和原点O， ∴由图象可得：关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)观察图像，当时，x的取值范围是______． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数的解析式，二次函数与不等式，解题的关键是利用待定系数法求解析式和根据图象得出取值范围． （1）利用二次函数的解析式求出点和点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； （2）通过观察图象的交点和图象的位置关系，即可得出当时，x的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ∴， 当时，解得， ∴， 假设直线的解析式为， 将和代入得， 解得 ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：通过观察图像可知在直线和抛物线交点的左侧和交点的右侧，抛物线图象在直线上方， ∴当或时，． 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 2．（2025·安徽芜湖·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上． （1）抛物线的对称轴是直线 ． （2）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （）由题意直接求解即可； （）分当时和当时两种情况结合图象即可求解． 【详解】解：（）∵抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上， ∴点与点关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； （）如图，当时， 在中，令得， ∴， ∵，， ∴点在线段上，而， 由图可知，当点在点下方（包括点）时，抛物线与线段恰有一个公共点， ∴，解得， ∴； 如图，当时，同可知，点在线段上，， ∵， ∴，即点在点下方且在抛物线内部， ∴抛物线与线段无公共点， 综上所述，抛物线与线段恰有一个公共点时，， 故答案为：． 3．（2025·北京平谷·模拟预测）在平面直角坐标系中，点是抛物线上的两个不同点． (1)当时，有，求的值； (2)当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． （1）由题意，根据，得出点关于直线对称，再由中点坐标公式可得解． （2）根据题意得到即在时恒成立，分两种情况当时，当时分别进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，，对称轴为直线 ∵， ∴点关于直线对称. ∴， ∵； （2）∵点是抛物线上的两个不同点． ∴，， ∵当时，都有 ∴即在时恒成立， 当时，不等式化简为， 则， 解得， ∴，解得， 当时，不等式化简为， 解得或， ∴，解得， ∴， 综上可知，的取值范围是或． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，二次函数经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为 ． 【答案】(1) (2)①1；②且 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与x轴的交点． （1）设交点式，然后把C点坐标代入求出a即可； （2）①先利用配方法得到，则当时，有最小值；②写出函数图象在轴下方所对应的自变量的范围，并且自变量不取顶点的横坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，即； （2）解：①， 当时，有最小值， 即时，方程， 故答案为：1； ②不等式的解集为且． 故答案为：且． 1．（2024·安徽安庆·模拟预测）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是(　　) A．和3 B．和5 C．和3 D．和4 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式是关键；将关于x的一元二次方程a变形为由方程的解为，，即可得出或，由此解答问题． 【详解】解：因为抛物线经过点、 所以方程的解为，， ∵整理变形为， ∴或， 解得或 所以一元二方程的解为，． 故选：B． 2．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知二次函数过点，，三点．记，，则下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像上的点的特征，不等式，解题的关键是将对应点代入，计算并化简得到．根据题意求出m和n，再计算，再分别分析各选项即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， 若，即， ∴或， 故A错误； 若，则， ∴； 故B错误； 若，则，故C正确； 若时，例如时，即，故D错误； 故选：Ｃ． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（   ） …… …… …… …… A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，二次函数的性质，根据表中的对应值得到当时，；的对称轴为直线，进而可得当时，，则根据一元二次方程解的定义可得到方程的解．． 【详解】解∶由表中数据得当时，； 二次函数的对称轴为直线， ∴当时， 所以方程的解为，． 故选：D 4．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线的开口方向以及与轴的交点得出，，结合抛物线的对称轴得出，即可判断①和②，根据抛物线的对称性和与轴的交点可判断③，根据抛物线的对称性和图象即可判断④． 【详解】解：①∵二次函数图象开口向下，与轴交于轴的上方， ∴，， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴，故①错误； ②∵， ∴，故②正确； ③∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与轴的另一个交点坐标是， 结合图象可知：当时，， 即，故③错误； ④∵抛物线的开口向下，与轴的两个交点坐标为，， 由图象可知：当时，，故④正确； 正确的有个． 故选：B． 5．（2024·安徽六安·模拟预测）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨，的交点为坐标原点建立平面直角坐标系．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．抛物线的表达式为，若点A到轴的距离是，则，两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数自变量的值，两点之间的距离，根据题意可知，将其代入函数关系式求出x的值，进而得出答案． 【详解】根据题意可知， 当时，， 解得， ∴（）． 故选：A． 6．（2025·安徽合肥·模拟预测）二次函数的图像与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数与坐标轴的交点问题，令，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴二次函数的图像与轴的交点坐标是； 故答案为：． 7．（24-25九年级上·安徽池州·期中）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．    （1）方程的根为 ； （2）方程的根为 ； （3）方程的根为 ； 【答案】 ， ， 【分析】（1）根据图象，利用抛物线与x轴交点的横坐标是方程的根求解即可； （2）根据图象，利用抛物线与直线交点的横坐标是方程的根求解即可； （3）根据图象，利用抛物线与直线交点的横坐标是方程的根求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得：抛物线与x轴的两个交点为， ∴方程的根为，， 故答案为：，； （2）解：由图象可得：抛物线与直线的两个交点为， ∴方程的根为，， 故答案为：，； （3）解：由图象可得：抛物线与直线的一个交点为， ∴方程的根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用图象法求一元二次方程的根，熟练掌握方程的根为抛物线与x轴交点的横坐标，方程的根为抛物线与直线交点的横坐标是解题的关键． 8．（2025·安徽安庆·模拟预测）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义、二次函数与一元二次方程、解一元二次不等式，理解“倍值点”的定义是解题的关键．设倍值点的坐标为，代入到二次函数整理得，由题意得恒成立，则有恒成立，推出，解不等式即可得出的取值范围． 【详解】解：设倍值点的坐标为， 代入到二次函数得，， 整理得：， 二次函数总有两个不同的倍值点， 恒成立， 恒成立， ， 解得：， 的取值范围是． 故答案为：． 9．（2024九年级上·安徽合肥·专题练习）设二次函数(，，是常数，)，如表列出了、的部分对应值． … … … … 则方程的解是 ，不等式的解集是 ． 【答案】 或 或 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，根据二次函数图象的对称性可求得二次函数的对称轴为，根据当时，随的增大而增大，可求得． 【详解】∵当时，，当时，， ∴二次函数的对称轴为． ∵当时，， ∴当时，． ∴方程的解是或． ∵当时，， ∴当时，． ∵当时，随的增大而增大， ∴． ∴不等式的解集是或． 故答案为：或；或 10．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②当y＜0时，x＜﹣1或x＞2；③ac＞0；④c＜4b，其中正确的序号为 ． 【答案】①④/④① 【分析】由抛物线的对称轴可判断①，由抛物线与x轴的两个交点坐标，结合抛物线的图象可判断②，由抛物线的图象可判断③，先求解 再判断的符号可判断④，从而可得答案. 【详解】解：由抛物线的对称轴为： 即 故①符合题意； 对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）， 抛物线与轴的另一个交点的坐标为： 所以当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；故②不符合题意； 抛物线的开口向下，图象与轴交于正半轴， 则 故③不符合题意； 当时， 而 故④符合题意； 综上：符合题意的有：①④. 故答案为：①④. 【点睛】本题考查的是抛物线的图象与性质，利用二次函数的图象判断各项系数与代数式的符号，利用函数图象解二次不等式都是解本题的关键. 11．（23-24九年级上·安徽亳州·单元测试）利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试． 【答案】，． 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．建立平面直角坐标系，根据网格结构作出函数和的图象，然后找出两函数图象的交点坐标，从而得解． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示： 由图可知，交点坐标为，， 所以一元二次方程的近似根为，． 12．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若抛物线与x轴的两个交点为和，且过点， (1)求抛物线的解析式； (2)求出这条抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，代入点，求出a的值即可得出答案； （2）把代入抛物线的解析式，求出x的值，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的两个交点为和， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：把代入抛物线的解析式得： ， 解得：， ∴这条抛物线上纵坐标为的点的坐标为． 13．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数的图象如图所示，图象经过，最高点，对称轴是．根据图象解答下列问题： (1)方程的两个根是？ (2)不等式的解集是？ (3)若方程有两个实数根，则的取值范围是？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与轴的交点问题，一元二次方程与二次函数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抛物线的对称性得二次函数与轴的另一个交点坐标是，即可作答． （2）运用数形结合思想，得出当时，则的取值范围为，即可作答． （3）结合图象的开口方向以及最高点的纵坐标，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，对称轴是， 则， ∴二次函数与轴的另一个交点坐标是， ∴方程的两个根是，； （2）解：由图课得出二次函数图象的开口向下， 由（1）得二次函数与轴的交点坐标是和， ∴当时，则的取值范围为， ∴不等式的解集是． （3）解：∵二次函数的图象的最高点，且图象开口向下 ∴当方程有两个实数根，则的取值范围是． 14．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）已知二次函数． (1)把抛物线化为的形式，并写出顶点坐标． (2)画出其函数图象； (3)观察图象，函数时，直接写出x的取值范围是______． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)见解答 (3)或 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数的三种形式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，即可得出答案． （2）先列表，再描点、连线即可． （3）结合图象可直接得出答案． 【详解】（1）解：． 顶点坐标为． （2）解：列表： 0 3 0 0 3 画出图象如图所示． （3）解：由图可得，函数时，的取值范围是或． 故答案为：或． 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C． (1)求的长； (2)若一次函数的图象经过点B，结合图象，写出时x的取值范围； (3)填空：当时，二次函数的取值范围为_____． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，自变量的取值范围，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）令，求得A，B的坐标，即得答案； （2）先求b的值，然后求二次函数与一次函数的交点的横坐标，观察图象即可得到答案； （3）根据二次函数的轴对称性，即可求得答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ，， ； （2）解：把的坐标代入，得， 解得， ， 令， 解得，， 观察图象可知，当时，； （3）解：二次函数的图象的顶点坐标， 即当时，二次函数取得最大值9， 在对称轴左侧y1随x的增大而增大，在对称轴右侧y1随x的增大而减小， ， 当时，二次函数取得最小值0， 当时，二次函数的取值范围为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$