第五单元数学广角——鸽巢问题素养测评卷【C卷·思维拓展卷】-2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列（A3+A4+解析卷）人教版

绝密★启用前…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第五单元数学广角——鸽巢问题素养测评卷【C卷·思维拓展卷】 难度：；时间：90分钟；总分：100+2分；日期：2025年 学校： 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：第五单元。 卷面（2分）。我能做到书写工整，格式正确，卷面整洁。 评卷人 得分 一、用心思考，正确填写。（每空2分，共26分） 1．（本题2分）小东玩掷骰子游戏，要保证掷出的骰子点数一定有两次是相同的小东至少应掷( )次。 2．（本题2分）11只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了( )只鸽子。 3．（本题2分）把18个橘子放进4个果盘里，总有一个果盘里至少放进了( )个橘子。 4．（本题2分）妈妈准备了7只信封，在每只信封里都放了钱共100元，要求每一只信封里都放整元数，而且都不相同，那么钱放得最多的一只信封里至少放( )元。 5．（本题2分）在任意的37人中，至少有( )人是同一属相。 6．（本题2分）81只鸽子飞回20个鸽房，总有一个鸽房至少飞进( )只鸽子。 7．（本题2分）把若干本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进5本书，这些书至少有( )本。 8．（本题2分）小红参加象棋比赛，胜一盘得3分，平一盘得1分，负一盘不得分，小红已得了7分，她至少下了( )盘。 9．（本题4分）方格中可以写“数”或“学”字。 （1）如果写3行，至少有( )列的写法相同。 （2）如果只写2行，至少有( )列的写法相同。 10．（本题6分）盒子里有同样大小的红球和黄球各5个，想摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出( )个；一个袋子里装了同样大小的红、黑、白玻璃球各2个，要保证取出的玻璃球三种颜色都有，至少要取出( )个，要保证取出的玻璃球中至少有两种颜色，至少应取出( )个。 评卷人 得分 二、仔细推敲，判断正误。（对的画√，错的画×，每题2分，共10分） 11．（本题2分）组成一个11位数的所有数字中，至少有两个数字是重复的。( ) 12．（本题2分）投掷一枚硬币3次，至少有两次出现同一面。( ) 13．（本题2分）在从1开始的连续19个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20。( ) 14．（本题2分）在一条1米长的线段上任取4个点，这4个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。( ) 15．（本题2分）把一些书放进5个抽屉中（任何一个抽屉不能空着），要保证总有一个抽屉至少有3本，那么这些书至少需要有11本。( ) 评卷人 得分 三、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题2分，共10分） 16．（本题2分）盒子里有5个黑球，3个黄球，2个绿球，任意拿出8个，一定有一个( )。 A．红球 B．黑球 C．绿 17．（本题2分）六（一）班有50人，在一次数学测试中，全班同学都及格了（60分及格，100分满分，都是整数分），至少一定有( )个人的分数是相同的。 A．9 B．10 C．2 18．（本题2分）启航学校的学生中，最大的12岁，最小的6岁，最多从中挑选( )名学生，就一定能找到年龄相同的两名同学。 A．8 B．13   C．7 19．（本题2分）一个口袋里装有红、黄、蓝3种不同颜色的小球各10各，要摸出的球一定有2个同色的，最少要摸( )个。 A．10 B．11 C．4 20．（本题2分）盒子里有同样大小的红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出( )个球。 A．11 B．5 C．9 评卷人 得分 四、走进生活，解决问题。（共54分） 21．（本题6分）有红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里。一次摸出小球8个，其中至少有几个小球的颜色是相同的？ 22．（本题6分）任意给出4个不同的自然数，其中必有两个数的差是3的倍数。为什么？ 23．（本题7分）把5双手套（手套分左、右手）放进暗箱里，要保证取出的手套中至少有1双，至少要取出几只手套？ 24．（本题7分）班上有名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？ 25．（本题7分）把10个红球、9个黄球、8个绿球、3个蓝球混合后放到一个布袋里，一次至少摸出多少个球才能保证有2个红球？ 26．（本题7分）六（1）班有43名同学订报纸，每人至少订一种报纸最多可订三种报纸。已知报纸有、、三种。至少有几人订的报纸完全相同？ 27．（本题7分）如图，分别标有数字的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数字都不相同。当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。 28．（本题7分）从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数。证明： （1）在这51个数中，一定有两个数互质； （2）在这51个数中，一定有两个数的差等于50； （3）在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1。 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第五单元数学广角——鸽巢问题素养测评卷 【C卷·思维拓展卷】 难度：；时间：90分钟；总分：100+2分；日期：2025年 学校： 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：第五单元。 卷面（2分）。我能做到书写工整，格式正确，卷面整洁。 评卷人 得分 一、用心思考，正确填写。（每空2分，共26分） 1．（本题2分）小东玩掷骰子游戏，要保证掷出的骰子点数一定有两次是相同的小东至少应掷( )次。 2．（本题2分）11只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了( )只鸽子。 3．（本题2分）把18个橘子放进4个果盘里，总有一个果盘里至少放进了( )个橘子。 4．（本题2分）妈妈准备了7只信封，在每只信封里都放了钱共100元，要求每一只信封里都放整元数，而且都不相同，那么钱放得最多的一只信封里至少放( )元。 5．（本题2分）在任意的37人中，至少有( )人是同一属相。 6．（本题2分）81只鸽子飞回20个鸽房，总有一个鸽房至少飞进( )只鸽子。 7．（本题2分）把若干本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进5本书，这些书至少有( )本。 8．（本题2分）小红参加象棋比赛，胜一盘得3分，平一盘得1分，负一盘不得分，小红已得了7分，她至少下了( )盘。 9．（本题4分）方格中可以写“数”或“学”字。 （1）如果写3行，至少有( )列的写法相同。 （2）如果只写2行，至少有( )列的写法相同。 10．（本题6分）盒子里有同样大小的红球和黄球各5个，想摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出( )个；一个袋子里装了同样大小的红、黑、白玻璃球各2个，要保证取出的玻璃球三种颜色都有，至少要取出( )个，要保证取出的玻璃球中至少有两种颜色，至少应取出( )个。 评卷人 得分 二、仔细推敲，判断正误。（对的画√，错的画×，每题2分，共10分） 11．（本题2分）组成一个11位数的所有数字中，至少有两个数字是重复的。( ) 12．（本题2分）投掷一枚硬币3次，至少有两次出现同一面。( ) 13．（本题2分）在从1开始的连续19个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20。( ) 14．（本题2分）在一条1米长的线段上任取4个点，这4个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。( ) 15．（本题2分）把一些书放进5个抽屉中（任何一个抽屉不能空着），要保证总有一个抽屉至少有3本，那么这些书至少需要有11本。( ) 评卷人 得分 三、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题2分，共10分） 16．（本题2分）盒子里有5个黑球，3个黄球，2个绿球，任意拿出8个，一定有一个( )。 A．红球 B．黑球 C．绿 17．（本题2分）六（一）班有50人，在一次数学测试中，全班同学都及格了（60分及格，100分满分，都是整数分），至少一定有( )个人的分数是相同的。 A．9 B．10 C．2 18．（本题2分）启航学校的学生中，最大的12岁，最小的6岁，最多从中挑选( )名学生，就一定能找到年龄相同的两名同学。 A．8 B．13   C．7 19．（本题2分）一个口袋里装有红、黄、蓝3种不同颜色的小球各10各，要摸出的球一定有2个同色的，最少要摸( )个。 A．10 B．11 C．4 20．（本题2分）盒子里有同样大小的红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出( )个球。 A．11 B．5 C．9 评卷人 得分 四、走进生活，解决问题。（共54分） 21．（本题6分）有红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里。一次摸出小球8个，其中至少有几个小球的颜色是相同的？ 22．（本题6分）任意给出4个不同的自然数，其中必有两个数的差是3的倍数。为什么？ 23．（本题7分）把5双手套（手套分左、右手）放进暗箱里，要保证取出的手套中至少有1双，至少要取出几只手套？ 24．（本题7分）班上有名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？ 25．（本题7分）把10个红球、9个黄球、8个绿球、3个蓝球混合后放到一个布袋里，一次至少摸出多少个球才能保证有2个红球？ 26．（本题7分）六（1）班有43名同学订报纸，每人至少订一种报纸最多可订三种报纸。已知报纸有、、三种。至少有几人订的报纸完全相同？ 27．（本题7分）如图，分别标有数字的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数字都不相同。当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。 28．（本题7分）从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数。证明： （1）在这51个数中，一定有两个数互质； （2）在这51个数中，一定有两个数的差等于50； （3）在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第五单元数学广角——鸽巢问题素养测评卷 【C卷·思维拓展卷】 难度：；时间：90分钟；总分：100+2分；日期：2025年 学校： 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：第五单元。 卷面（2分）。我能做到书写工整，格式正确，卷面整洁。 评卷人 得分 一、用心思考，正确填写。（每空2分，共26分） 1．（本题2分）小东玩掷骰子游戏，要保证掷出的骰子点数一定有两次是相同的小东至少应掷( )次。 【答案】7 【分析】骰子有1、2、3、4、5、6这6种不同的点数，小东掷骰子时，可以假设前面6次，分别掷出1、2、3、4、5、6点各一次，那么第7次结束后，一定有两次是相同点数。 【详解】（次） 【点睛】本题考查的是最不利原则，所谓最不利原则，通俗讲就是最倒霉的情况。 2．（本题2分）11只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了( )只鸽子。 【答案】3 【解析】把4个鸽笼看作4个抽屉，把11只白鸽看作11个元素，那么每个抽屉需要放11÷4＝2（只）……3（只），所以每个抽屉需要放2个。剩下3只不论怎么放，总有一个鸽笼至少进了2＋1＝3（只）。 【详解】11÷4＝2（只）……3（只） 2＋1＝3（只） 【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握抽屉原理的解题方法。 3．（本题2分）把18个橘子放进4个果盘里，总有一个果盘里至少放进了 个橘子。 【答案】5 【分析】把18个橘子放进4个果盘里，从最不利情况考虑，每个盘子里装4个，剩下的2个橘子无论怎么放，总有一个盘子里至少放了5个。 【详解】18÷4＝4（个）……2（个）， 4＋1＝5（个） 所以总有一个果盘里至少放进了5个橘子。 【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握抽屉原理解决问题的方法。 4．（本题2分）妈妈准备了7只信封，在每只信封里都放了钱共100元，要求每一只信封里都放整元数，而且都不相同，那么钱放得最多的一只信封里至少放 元。 【答案】18 【分析】这题有多种方法，只要每一袋的数不同就可以了，但题中要求“最多的一袋至少放多少”，那么必须是这7袋的数是非常接近的，把100分成接近的数，所以每袋是十几元，根据个位数的和是30元，结果是：11＋12＋13＋14＋15＋17＋18＝100（元），最多的一袋至少是18元。 【详解】11＋12＋13＋14＋15＋17＋18＝100（元） 妈妈准备了7只信封，在每只信封里都放了钱，共100元，要求每一只信封里都放整元数，而且都不相同，那么钱放得最多的一只信封里至少放18元。 【点睛】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：①k＝[n÷m]＋1个物体：当n不能被m整除时；②k＝n÷m个物体：当n能被m整除时。 5．（本题2分）在任意的37人中，至少有( )人是同一属相。 【答案】4 【分析】总共有12个属相，那么抽屉数是12，总数是37，37除以12，根据是否有余数进行判断。 【详解】 （人） 至少有4人是同一属相。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，这里的抽屉数隐含在题目中，类似的例子还有“若干个人中，至少有多少人出生在同一月”的等。 6．（本题2分）81只鸽子飞回20个鸽房，总有一个鸽房至少飞进( )只鸽子。 【答案】5 【分析】本题中抽屉数是20，总数是81，直接用81除以20，根据是否有余数进行判断。 【详解】 所以总有一个鸽房至少飞进5只鸽子。 【点睛】求解抽屉原理问题时，不论余数是多少，只有有余数，就是商加1。 7．（本题2分）把若干本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进5本书，这些书至少有( )本。 【答案】9 【分析】把若干本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进5本书，那么不符合要求的最多的数量是每个抽屉里都放4本书，这样再增加一本书，不论在哪一个抽屉里，一定是符合要求的。 【详解】（本） （本） （本） 【点睛】本题考查的是抽屉原理中的最不利原则，先找出不符合要求的最大数量，再加1就是符合要求的最小数量。 8．（本题2分）小红参加象棋比赛，胜一盘得3分，平一盘得1分，负一盘不得分，小红已得了7分，她至少下了( )盘。 【答案】3 【分析】小红已得了7分，要使得小红下的盘数尽可能少，那么获胜的盘数就尽可能多，胜2盘是6分，还差1分，平局得1分，刚好是7分。 【详解】胜2盘，平1盘，（分） 所以小红至少下了3盘。 【点睛】本题考查的是数的分拆，要把7拆成尽可能少的数，那么每个数就尽可能大。 9．（本题4分）方格中可以写“数”或“学”字。 （1）如果写3行，至少有( )列的写法相同。 （2）如果只写2行，至少有( )列的写法相同。 【答案】 2 3 【分析】（1）在每列的方格中写“数”或“学”，共有8种不同的写法：数学数、数数学、数学学、数数数、学数学、学学数、学数数、学学学。而表格中有9列，如果前8列分别为不同的写法，第9列一定与前面某一列的写法相同。所以无论怎么写，至少有2列的写法相同。 （2）如果只写两行，在每列的方格中写“数”或“学”，共有4种不同的写法∶数学、数数、学学、学数。而表格中有9列，（列）……1（列），平均每种写法写2列，还剩余1列。剩余的1列无论是哪种写法，都能保证至少有3列的写法相同。 【详解】（1）9÷8＝1（列） ……1（列） 1＋1＝1（列） （2）9÷4＝2（列） ……1（列） 2＋1＝3（列） 【点睛】本题先根据列表的方法找出所有不重复的可能，再根据抽屉原理进行解答。 10．（本题6分）盒子里有同样大小的红球和黄球各5个，想摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出( )个；一个袋子里装了同样大小的红、黑、白玻璃球各2个，要保证取出的玻璃球三种颜色都有，至少要取出( )个，要保证取出的玻璃球中至少有两种颜色，至少应取出( )个。 【答案】 3 5 3 【分析】想摸出的球一定有2个同色的，可以是两个红球，也可以是两个黄球，先取出一个红球，一个黄球，然后再任取一个，一定符合要求；要保证取出的玻璃球三种颜色都有，可以先把两种颜色的球取完，完后再取一个球，一定符合要求；要保证取出的玻璃球中至少有两种颜色，可以先把一种颜色的球取完，再取一个，一定符合要求。 【详解】盒子里有同样大小的红球和黄球各5个，想摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出3个球； 袋子里装了同样大小的红、黑、白玻璃球各2个，要保证取出的玻璃球三种颜色都有，至少要取出5个球； 袋子里装了同样大小的红、黑、白玻璃球各2个，要保证取出的玻璃球中至少有两种颜色，至少应取出3个球。 【点睛】本题考查的是最不利原则，先找出不符合要求的最大数量，然后再加上1，得出符合要求的最低要求。 评卷人 得分 二、仔细推敲，判断正误。（对的画√，错的画×，每题2分，共10分） 11．（本题2分）组成一个11位数的所有数字中，至少有两个数字是重复的。( ) 【答案】√ 【分析】根据抽屉原理进行判断。 【详解】假设组成一个11位数的前10位数字分别是0～9的不同数字，则第11位一定与前面某一位重复，即组成一个11位数的所有数字中，至少有两个数字是重复的，原题说法正确。 故答案为：√。 【点睛】本题主要考查简单的排列组合。 12．（本题2分）投掷一枚硬币3次，至少有两次出现同一面。( ) 【答案】√ 【分析】假设把投掷硬币的次数——3次平均分配给硬币的正反两面，每个面出现1次，剩下的1次不管哪个面朝上，总有一面至少出现了2次。 【详解】把3次看作苹果数，硬币的两面看作2个抽屉，因为3÷2＝1（次）……1（次），1＋1＝2（次），所以投掷3次硬币时，至少有两次出现同一面。 故答案安为√。 【点睛】投掷一枚硬币3次，至少有两次出现同一面。这正符合把n＋1个苹果放到n个抽屉中，总有一个抽屉至少有2个苹果的原理。 13．（本题2分）在从1开始的连续19个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20。( ) 【答案】× 【分析】即在1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31、33、35、37这19个数中选6个数可以将这6个数分成（1，19），（3，17），（5，15），（7，13），（9，11）这5组每组的2个数和为20，将其视为5个抽屉。任选6个数由抽屉原理可知一定存在6个数中任意两个数的和不是20；据此解答。 【详解】由分析可得：在从1开始的连续19个奇数中任取6个，不一定有两个数的和是20。 故答案为：× 【点睛】本题也可通过举例法进行验证，比如选27、29、31、33、35、37这六个数。 14．（本题2分）在一条1米长的线段上任取4个点，这4个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。( ) 【答案】× 【分析】一条1米长的线段上有4个点，如果这4个点将1米长的线段平均分成5段，每段长20厘米；根据抽屉原理，把5个线段看作5个抽屉，需要6个点放入5个抽屉中，必然有两个点的距离小于20厘米；据此判断。 【详解】1米＝100厘米 4＋1＝5（段） 100÷5＝20（厘米） 5×1＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 故答案为：× 【点睛】关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答。 15．（本题2分）把一些书放进5个抽屉中（任何一个抽屉不能空着），要保证总有一个抽屉至少有3本，那么这些书至少需要有11本。( ) 【答案】√ 【分析】抽屉原理（鸽巢原理）：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。由抽屉原理可知：要使其中一个抽屉至少有3本，则这些书的本数至少要比抽屉数的（3－1）倍多1本，即抽屉数×（其中一个抽屉至少有的本数－1）＋1＝这些书至少的本数。 【详解】5×（3－1）＋1 ＝5×2＋1 ＝10＋1 ＝11（本） 所以这些书至少需要11本。原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。 评卷人 得分 三、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题2分，共10分） 16．（本题2分）盒子里有5个黑球，3个黄球，2个绿球，任意拿出8个，一定有一个（    ）。 A．红球 B．黑球 C．绿 【答案】B 【分析】可从最糟糕的情况去考虑。 ①假设先摸到的是个数最多的黑球，先拿出5个黑球，接着可能拿出黄球、也可能拿出绿球，即这样摸球，一定会摸到黑球，而不保证一定会摸到黄球和绿球； ②假设先摸到的是个数最少的绿球，接着是个数较少的黄球，2＋3＝5，还剩3个球没有摸到，再继续摸就是摸到3个黑球了，即这样摸球，也一定会摸到黑球。 【详解】①5＋3＝8（个） 5＋2＋1＝8（个） ②2＋3＋3＝8（个） 即无论怎样摸球，由于数据的关系，都会摸到黑球。 故答案为：B 【点睛】本题属于“鸽巢问题”，需要我们开动脑筋，从最坏的情况去一一分析，注意本题有两个分析方向，一是从最多到最少；二是从最少到最多。 17．（本题2分）六（一）班有50人，在一次数学测试中，全班同学都及格了（60分及格，100分满分，都是整数分），至少一定有（    ）个人的分数是相同的。 A．9 B．10 C．2 【答案】C 【分析】抽屉原理（鸽巢原理）：把m个物体放进n个抽屉里（m＞n＞1），m÷n＝a……b，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。由题意可知，一共有100－60＋1＝41（个）分数，即抽屉数是41个；六（一）班有50人，即物体数是50人；用50÷41求出商几余几，再用商数＋1求出至少数。 【详解】100－60＋1 ＝40＋1 ＝41（个） 50÷41＝1（人）……9（人） 1＋1＝2（人） 所以至少一定有2个人的分数是相同的。 故答案为：C 【点睛】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。 18．（本题2分）启航学校的学生中，最大的12岁，最小的6岁，最多从中挑选（    ）名学生，就一定能找到年龄相同的两名同学。 A．8 B．13   C．7 【答案】A 【分析】最大的12岁，最小的6岁，根据“抽屉原理”，最差就有12－6＋1＝7名学生是6到12岁年龄不同的学生，只要再有1名学生，就一定有2名学生的年龄相同。据此解答。 【详解】12－6＋1＋1＝8（名） 故答案选：A 【点睛】根据抽屉原理中的最差情况进行分析是完成本题的关键。 19．（本题2分）一个口袋里装有红、黄、蓝3种不同颜色的小球各10各，要摸出的球一定有2个同色的，最少要摸（    ）个。 A．10 B．11 C．4 【答案】C 【分析】把3种不同颜色看作3个抽屉，把3种不同颜色的球看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个球，共需要3个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的球和它同色，所以至少要取出：3＋1＝4（个），据此解答。 【详解】根据分析可得， 3＋1＝4（个） 所以要摸出的球一定有2个同色的，最少要摸4个。 故答案为：C。 【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握 抽屉原理解决问题的方法。 20．（本题2分）盒子里有同样大小的红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出（    ）个球。 A．11 B．5 C．9 【答案】B 【分析】最好的打算是第一次摸出一个颜色的，第二次又摸出相同颜色的，则至少两次就可以，但为了保险起见，我们通常做最坏的打算，即先把所有颜色的球全部摸一遍，再任意摸出一个球，就摸出了两个同色的球。 【详解】（1＋1＋1＋1）＋1 ＝5（个） 故答案为B。 【点睛】考察了鸽巢问题的掌握情况，此类问题一般用最不利原则来解答。 评卷人 得分 四、走进生活，解决问题。（共54分） 21．（本题6分）有红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里。一次摸出小球8个，其中至少有几个小球的颜色是相同的？ 【答案】2个 【分析】题目问至少有几个小球的颜色是相同，相当于苹果数是8，抽屉数是4，用苹果数除以抽屉数，根据是否有余数进行判断。 【详解】（个） 没有余数，所以至少有2个小球的颜色是相同的； 答：至少有2个小球的颜色是相同的。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，抽屉原理是最不利原则和平均原则的体现，要使得数量最多的一个最少，就尽量平均分。 22．（本题6分）任意给出4个不同的自然数，其中必有两个数的差是3的倍数。为什么？ 【答案】见详解 【分析】自然数除以3，其结果只有三种情况：整除、余数为1或余数为2。任意给出4个不同的自然数，最不理想情况下，其中3个数除以3的结果都不相同，则第4个数出现时，就会有两个数除以3的余数相同，或是都能被3整除，用这两个数的差除以3可以整除，即必有两个数的差是3的倍数。 【详解】根据题意：自然数除以3，其余数只有三种情况：0、1、或2；而4个非零自然除以3，其中就会有两个数除以3的余数相同（即同是0，1或2），用这两个数的差除以3的余数就是0，所以任意给出4个不同的自然数，其中必有两个数的差是3的倍数。 【点睛】解答本题的关键是明确任意自然数除以3的余数中有三种情况即余数为0、1或2，且余数相同的两个不同自然数的差必定是3的倍数，如7和4，除以3的余数都是1，它们的差是7－4＝3，是3的倍数。 23．（本题7分）把5双手套（手套分左、右手）放进暗箱里，要保证取出的手套中至少有1双，至少要取出几只手套？ 【答案】6只 【分析】考虑最不利的情况，取出的5只手套要么都是左手，要么都是右手，此时是不符合要求的最大数量，但只要再取1个，一定是满足要求的。 【详解】先取出5个左手的手套或5个右手的手套，此时不符合要求； 5＋1＝6（只） 答：至少要取出6只手套。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，要求符合要求的最小数量，可以先求出不符合要求的最大数量。 24．（本题7分）班上有名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？ 【答案】本 【分析】要保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书，可以给每个小朋友都先分1本书，现在是不符合要求的，但只要再拿一本书分给任意一个小朋友，就可以保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书。 【详解】（本） （本） 答：老师至少拿29本书。 【点睛】本题考查的是最不利原则，可以先找出不符合要求的最大数量，加上1即为符合要求的最小数量。 25．（本题7分）把10个红球、9个黄球、8个绿球、3个蓝球混合后放到一个布袋里，一次至少摸出多少个球才能保证有2个红球？ 【答案】22个 【分析】考虑最不利原则，可以先把除红球外的9个黄球、8个绿球、3个蓝球先全部取出来，取出来了20个球，里面一个红球有没有，再取出2个球即可保证有2个红球。 【详解】（个） 答：至少摸出22个球才能保证有2个红球。 【点睛】本题考查的是最不利原则，在求解问题的时候，先要找出不符合要求的最大数量。 26．（本题7分）六（1）班有43名同学订报纸，每人至少订一种报纸最多可订三种报纸。已知报纸有、、三种。至少有几人订的报纸完全相同？ 【答案】7人 【分析】每人至少订一种报纸最多可订三种报纸，可以先列举出订报纸的方式，方式的数量即为抽屉数，然后用43除以抽屉数，根据是否有余数，进行判断。 【详解】订报纸的方式： 只订A，只订B，只订C，订A和B，订A和C，订B和C，订A、B和C，共7种订报纸的方式； （个） 答：至少有7人订的报纸完全相同。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，也就是鸽巢问题，用苹果数除以抽屉数，如果没有余数，结果就是商，如果有余数，商加1是结果。 27．（本题7分）如图，分别标有数字的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数字都不相同。当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。 【答案】详解见解析 【分析】两个圆环都转动的话，研究起来不是很方便，可以假设其中一个静止，另一个转动，然后展开分析。 【详解】证明： 内外两个圆环对转可以看成一个静止，只有一个环转动； 一个环转动一周后，每个滚珠都会有一次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现，那么这种局面共要出现8次； 将这8次局面看成8个苹果，注意到一环每转动45°角就有一次滚珠相对的局面出现，转动一周共有8次滚珠相对的局面，而最初相对滚珠所标数字都不相同，所以相对的滚珠所标的数字相同的情况只出现在以后的7次转动中，将7次转动看做7个抽屉； 根据抽屉原理至少有2次数字相对的局面出现在同一次转动中即必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。 【点睛】本题考查的是抽屉原理问题，首先要能够找出苹果数和抽屉数是多少，与抽屉原理联系起来。 28．（本题7分）从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数。证明： （1）在这51个数中，一定有两个数互质； （2）在这51个数中，一定有两个数的差等于50； （3）在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1。 【答案】见详解 【分析】第（1）问，任意相邻的两个非零自然数互质，可以把1~100这100个数每两个相邻的数分成1组，总共50组； 第（2）问，把差是50的两个数分成1组，同样可以分成50组； 第（3）问，最大公因数大于1，可能是2或3，那么按照2的倍数、3的倍数、既不是2又不是3的倍数分成3组。 【详解】（1）证明： 我们将1~100分成（1，2），（3，4），（5，6），（7，8），…，（99，100）这50组，每组内的数相邻，而相邻的两个自然数互质； 将这50组数作为50个抽屉，同一个抽屉内的两个数互质，而现在51个数，放进50个抽屉，则必定有两个数在同一抽屉，于是这两个数互质，问题得证。 （2）证明： 我们将1~100分成（1，51），（2，52），（3，53），…，（50，100）这50组，每组内的数相差50； 将这50组数视为抽屉，则现在有51个数放进50个抽屉内，则必定有2个数在同一抽屉，那么这两个数的差为50，问题得证。 （3）证明： 我们将1~100按2的倍数、3的奇数倍、既不是2又不是3的倍数的情况分组，有（2，4，6，8，…，98，100），（3，9，15，21，27，…，93，99），（5，7，11，13，17，19，23，…，95，97）这三组； 第一、二、三组分别有50、17、33个元素，最不利的情况下，51个数中有33个元素在第三组，那么剩下的18个数分到第一、二两组内，那么至少有9个数在同一组； 所以这9个数的最大公因数为2或3或它们的倍数，显然大于1，问题得证。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，求解问题的关键是准确构造出抽屉，问题不同，构造抽屉的形式也不相同。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$