（典型例题篇）第五单元数学广角——鸽巢问题【五大考点】-2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）人教版

第 1 页 共 8 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 8 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第五单元数学广角——鸽巢问题【五大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第五单元数学广角——鸽巢问题 专题内容 本专题以巢原理（抽屉原理）及最不利原则为主，其中包括 多种典型问题。 总体评价 讲解建议 本专题考察较为基础，多以填空和选择为主，建议作为本章 基础内容进行讲解。 考点数量 五个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】鸽巢原理（抽屉原理） ................................................................................... 3 【考点二】鸽巢原理的应用 ...............................................................................................4 【考点三】最不利原则其一：求总数 ................................................................................5 【考点四】最不利原则其二：摸球问题 ............................................................................6 【考点五】最不利原则其三：生日问题 ............................................................................7 第 3 页 共 8 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】鸽巢原理（抽屉原理）。 【方法点拨】 1. 鸽巢原理（抽屉原理）。 （1）把多于 n个物体任意分放进 n 个鸽巢中（n是非 0自然数），那么一定有 一个鸽巢里至少放进了 2个物体。 （2）把多于 kn个的物体任意分放进 n个鸽巢中（k和 n是非 0自然数），那么 一定有一个鸽巢里至少放进了（k＋1）个物体。 2. 抽屉原理的关键。 平均分配，苹果数÷抽屉数，若有余数也要尽量平均分配。 【典型例题】 生活实践题。 （1）上学期有 18名留守儿童插班进入实验小学就读，将 18名留守儿童编入 5 个班，总有一个班至少要编入 4名。为什么？ （2）18名留守儿童来自全国的 4个省份，至少有 5名来自同一个省份。为什么？ （3）把 50本图书分给 18名留守儿童，总有一名至少分到 3本图书。为什么？ 【对应练习 1】 5只鸽子飞进 4个鸽巢，总有 1个鸽巢中至少飞进几只鸽子？ 【对应练习 2】 把 100枝花插进 14个花瓶里。他们俩谁说得对？ 第 4 页 共 8 页 【对应练习 3】 下面解答正确吗？如果错误，请改正。 把 15个桃放入 6个果盘，一定有一个果盘至少放了多少个桃？ 15÷6＝2（个）……3（个） 2＋3＝5（个） 答：一定有一个果盘至少放了 5个桃。 【考点二】鸽巢原理的应用。 【方法点拨】 鸽巢原理的解题步骤。 1. 分析题意，把实际问题转化成"鸽巢问题"，即弄清"鸽巢"（"鸽巢"是什么，有 几个鸽巢）和分放的物体及它们的个数。 2. 设计"鸽巢"的具体形式。 3. 运用原理得出在某个"鸽巢"里至少分放的物体个数，最终解决问题。 【典型例题】 10个小朋友相约去游乐场，共有碰碰车、摩天轮、旋转木马三种游乐设施可选 择，每个小朋友可选一个游乐设施组合（不重复的两种游乐设施）游玩，至少有 几个小朋友选的游乐设施组合相同？ 【对应练习 1】 学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两 个（可以不参加）学习班。某班有 52名同学，至少有几名同学参加课外学习班 的情况完全相同？ 第 5 页 共 8 页 【对应练习 2】 文学、数学、英语、美术等 4个课外学习小组共有 51人，它们当中有参加 1个、 2个、3个和 4个课外学习小组的，其中至少有几位同学参加的学习小组相同？ 【对应练习 3】 六（1）班有 6名同学参加知识竞赛，满分 100分。如果他们的成绩中最低分为 96分，那么参赛的同学中至少有 2人成绩相同。这种说法对吗？六（2）班有 7 名同学参加知识竞赛，他们的成绩中最低分也是 96分，六（2）班参赛的学生中 至少有几人成绩相同？（竞赛成绩的分数均为整数） 【考点三】最不利原则其一：求总数。 【方法点拨】 1. 在日常生活中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题， 一般需要从最糟糕的情况出发分析问题，这就是最不利原则，即从最坏的情况出 发分析问题，如果在最坏的情况下都能满足题目要求，那么所有情况都能保证满 足题目要求。 2. 一般问句中出现"至少.....保证....."这个词的时候，我们解决这个问题需要从最 不利的方面思考。 【典型例题】 纸箱里杂乱地放着黑、白、红、绿、黄五种颜色的袜子各 50只，规格都相同。 在黑暗中至少要取出多少只袜子，才能保证有 15双颜色相同的袜子？ 第 6 页 共 8 页 【对应练习 1】 王老师借来了历史、文艺和科普三种书若干本．每个同学从中任意借一本或两本， 那么至少要几个同学借阅才能保证一定有两人借的图书一样？ 【对应练习 2】 一副扑克牌(大、小王除外)，有四种花色，每种花色有 13张，从中任意抽牌， 至少要抽几张，才能保证有四张牌是同一花色的？ 【对应练习 3】 不透明的袋子中，有外形完全一样的红黄蓝，三种颜色的球各 10个，每个小朋 友从中摸出一个球，至少有多少个小朋友摸球才能保证一定有 5个小朋友摸的球 颜色一样？ 【考点四】最不利原则其二：摸球问题。 【方法点拨】 “最不利原则”方法，即从最坏情况出发考虑问题。 【典型例题】 有红、绿、紫三种颜色的袜子各 6只，把它们混放在一个口袋中。如果要从口袋 中摸袜子。 ①至少要摸出几只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）？ ②至少要摸出多少只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子？ 第 7 页 共 8 页 【对应练习 1】 把红、黄、蓝、白四种颜色的球各 10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可 以保证取到两个颜色相同的球？ 【对应练习 2】 箱子里有大小形状一样的卡片，其中红卡 30张，白卡 20张，黄卡 15张，蓝卡 25张，那么最少要从箱子里摸出多少张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、 黄卡和蓝卡。 【对应练习 3】 桌子上有 5个黑球、6个白球、7个红球，闭上眼睛取多少个球才能保证三种球 都取到？ 【考点五】最不利原则其三：生日问题。 【方法点拨】 “最不利原则”方法，即从最坏情况出发考虑问题。 【典型例题】 某校有 30名学生是 2月份出生的，能否至少有两个学生的生日是在同一天？ 第 8 页 共 8 页 【对应练习 1】 某校有 370名 2020年出生的学生，其中至少有 2名学生的生日是同一天，为什 么？ 【对应练习 2】 向阳小学有 730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？ 【对应练习 3】 植树节，育才小学有 41名老师和 381名学生参加义务植树活动。参加植树的老 师至少有 4人是同一个月出生的。参加植树的学生至少有 2人的生日是同一天。 他们说得对吗？ 第 1 页 共 10 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 10 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第五单元数学广角——鸽巢问题【五大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第五单元数学广角——鸽巢问题 专题内容 本专题以巢原理（抽屉原理）及最不利原则为主，其中包括 多种典型问题。 总体评价 讲解建议 本专题考察较为基础，多以填空和选择为主，建议作为本章 基础内容进行讲解。 考点数量 五个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】鸽巢原理（抽屉原理） ................................................................................... 3 【考点二】鸽巢原理的应用 ...............................................................................................4 【考点三】最不利原则其一：求总数 ................................................................................6 【考点四】最不利原则其二：摸球问题 ............................................................................7 【考点五】最不利原则其三：生日问题 ............................................................................9 第 3 页 共 10 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】鸽巢原理（抽屉原理）。 【方法点拨】 1. 鸽巢原理（抽屉原理）。 （1）把多于 n个物体任意分放进 n 个鸽巢中（n是非 0自然数），那么一定有 一个鸽巢里至少放进了 2个物体。 （2）把多于 kn个的物体任意分放进 n个鸽巢中（k和 n是非 0自然数），那么 一定有一个鸽巢里至少放进了（k＋1）个物体。 2. 抽屉原理的关键。 平均分配，苹果数÷抽屉数，若有余数也要尽量平均分配。 【典型例题】 生活实践题。 （1）上学期有 18名留守儿童插班进入实验小学就读，将 18名留守儿童编入 5 个班，总有一个班至少要编入 4名。为什么？ （2）18名留守儿童来自全国的 4个省份，至少有 5名来自同一个省份。为什么？ （3）把 50本图书分给 18名留守儿童，总有一名至少分到 3本图书。为什么？ 解析： （1）18÷5＝3（名）⋯ ⋯ 3（名） 3＋1＝4（名） 答：所以将 18名留守儿童编入 5个班，总有一个班至少要编入 4名。 （2）18÷4＝4（名）⋯ ⋯ 2（名） 4＋1＝5（名） 答：18名留守儿童来自全国的 4个省份，所以至少有 5名来自同一个省份。 （3）50÷18＝2（本）⋯ ⋯ 14（本） 2＋1＝3（本） 答：所以把 50本图书分给 18名留守儿童，总有一名至少分到 3本图书。 【对应练习 1】 5只鸽子飞进 4个鸽巢，总有 1个鸽巢中至少飞进几只鸽子？ 第 4 页 共 10 页 【答案】 5÷4＝1（只）……1（只） 1＋1＝2（只） 答：总有 1个鸽巢中至少飞进 2只鸽子。 【对应练习 2】 把 100枝花插进 14个花瓶里。他们俩谁说得对？ 【答案】 100÷14＝7（枝）……2（枝） 7＋1＝8（枝） 至少有 8枝花要插进同一个花瓶里。 答：文文说得对。 【对应练习 3】 下面解答正确吗？如果错误，请改正。 把 15个桃放入 6个果盘，一定有一个果盘至少放了多少个桃？ 15÷6＝2（个）……3（个） 2＋3＝5（个） 答：一定有一个果盘至少放了 5个桃。 【答案】 解答错误。 15÷6＝2（个）……3（个） 2＋1＝3（个） 答：一定有一个果盘至少放了 3个桃。 【考点二】鸽巢原理的应用。 【方法点拨】 鸽巢原理的解题步骤。 第 5 页 共 10 页 1. 分析题意，把实际问题转化成"鸽巢问题"，即弄清"鸽巢"（"鸽巢"是什么，有 几个鸽巢）和分放的物体及它们的个数。 2. 设计"鸽巢"的具体形式。 3. 运用原理得出在某个"鸽巢"里至少分放的物体个数，最终解决问题。 【典型例题】 10个小朋友相约去游乐场，共有碰碰车、摩天轮、旋转木马三种游乐设施可选 择，每个小朋友可选一个游乐设施组合（不重复的两种游乐设施）游玩，至少有 几个小朋友选的游乐设施组合相同？ 【答案】 10÷3＝3（个）……1（个） 3＋1＝4（个） 答：至少有 4个小朋友选的游乐设施组合相同。 【点睛】本题考查鸽巣问题，采用最不利原则解题。 【对应练习 1】 学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两 个（可以不参加）学习班。某班有 52名同学，至少有几名同学参加课外学习班 的情况完全相同？ 【答案】 52÷11＝4（人）……8（人） 4＋1＝5（人） 答：至少有 5名同学参加课外学习班的情况完全相同。 【对应练习 2】 文学、数学、英语、美术等 4个课外学习小组共有 51人，它们当中有参加 1个、 2个、3个和 4个课外学习小组的，其中至少有几位同学参加的学习小组相同？ 【答案】 情况数一共： 4 6 4 1 15    （种） 51 15 3 6   3 1 4  （位） 答：至少有 4位同学参加的学习小组相同。 第 6 页 共 10 页 【对应练习 3】 六（1）班有 6名同学参加知识竞赛，满分 100分。如果他们的成绩中最低分为 96分，那么参赛的同学中至少有 2人成绩相同。这种说法对吗？六（2）班有 7 名同学参加知识竞赛，他们的成绩中最低分也是 96分，六（2）班参赛的学生中 至少有几人成绩相同？（竞赛成绩的分数均为整数） 【答案】 如果 5名同学的成绩分别是 96、97、98、99、100分，共 5种分数； 6÷5＝1（名）……1（名） 1＋1＝2（名） 六（1）班参赛的同学中至少有 2人成绩相同，这种说法是对的。 7÷5＝1（名）……2（名） 1＋1＝2（名） 答：六（1）班有 6名同学参加，参赛的学生中至少有 2人成绩相同，这种说法 是对的。 六（2）班有 7名同学参加，参赛的学生中至少有 2人成绩相同。 【考点三】最不利原则其一：求总数。 【方法点拨】 1. 在日常生活中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题， 一般需要从最糟糕的情况出发分析问题，这就是最不利原则，即从最坏的情况出 发分析问题，如果在最坏的情况下都能满足题目要求，那么所有情况都能保证满 足题目要求。 2. 一般问句中出现"至少.....保证....."这个词的时候，我们解决这个问题需要从最 不利的方面思考。 【典型例题】 纸箱里杂乱地放着黑、白、红、绿、黄五种颜色的袜子各 50只，规格都相同。 在黑暗中至少要取出多少只袜子，才能保证有 15双颜色相同的袜子？ 【答案】 5×29＋1 ＝145＋1 第 7 页 共 10 页 ＝146（只） 答：在黑暗中至少要取出 146只袜子，才能保证有 15双颜色相同的袜子。 【对应练习 1】 王老师借来了历史、文艺和科普三种书若干本．每个同学从中任意借一本或两本， 那么至少要几个同学借阅才能保证一定有两人借的图书一样？ 【答案】 每个学生从中任意借两本，那么一共有 9种借法：只借 1本，有三种情况；借两 本：历史两本、文艺两本、科普两本、历史和文艺各一本、历史和科普各一本、 文艺和科普各一本，9+1=10（个）； 答：那么至少要 10个学生才能保证一定有两人接到的图书是一样的。 【对应练习 2】 一副扑克牌(大、小王除外)，有四种花色，每种花色有 13张，从中任意抽牌， 至少要抽几张，才能保证有四张牌是同一花色的？ 【答案】3×4＋1＝13(张) 【对应练习 3】 不透明的袋子中，有外形完全一样的红黄蓝，三种颜色的球各 10个，每个小朋 友从中摸出一个球，至少有多少个小朋友摸球才能保证一定有 5个小朋友摸的球 颜色一样？ 【答案】 3×（5－1）＋1 ＝3×4＋1 ＝12＋1 ＝13（个） 答：至少有 13个小朋友摸球才能保证一定有 5个小朋友摸的球颜色一样。 【考点四】最不利原则其二：摸球问题。 【方法点拨】 “最不利原则”方法，即从最坏情况出发考虑问题。 【典型例题】 有红、绿、紫三种颜色的袜子各 6只，把它们混放在一个口袋中。如果要从口袋 第 8 页 共 10 页 中摸袜子。 ①至少要摸出几只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）？ ②至少要摸出多少只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子？ 解析： ①因为有可能摸出 3只袜子时，这三种颜色各 1只， 所以至少要摸出 4只，才能保证摸出一双袜子。 答：至少要摸出 4只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）。 ②3 3 1  9 1  10 （只） 答：至少要摸出 10只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子。 【对应练习 1】 把红、黄、蓝、白四种颜色的球各 10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可 以保证取到两个颜色相同的球？ 解析： 解决此类问题，从最坏情况出发考虑问题。最坏的情况就是摸出的前 4个球的颜 色都不一样，那么摸出的第 5个球的颜色必定与之前的四个球中的某一个球颜色 相同。 答：至少取 5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 【对应练习 2】 箱子里有大小形状一样的卡片，其中红卡 30张，白卡 20张，黄卡 15张，蓝卡 25张，那么最少要从箱子里摸出多少张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、 黄卡和蓝卡。 解析： 30+25+20+1=76（张） 【对应练习 3】 桌子上有 5个黑球、6个白球、7个红球，闭上眼睛取多少个球才能保证三种球 都取到？ 解析： 第 9 页 共 10 页 7＋6＝13（个） 13＋1＝14（个） 答：闭上眼睛取 14个球才能保证三种球都取到。 【考点五】最不利原则其三：生日问题。 【方法点拨】 “最不利原则”方法，即从最坏情况出发考虑问题。 【典型例题】 某校有 30名学生是 2月份出生的，能否至少有两个学生的生日是在同一天？ 【答案】 2月份最多天数为 29天。 30÷29＝1（个）……1（个） 1＋1＝2（个） 答：至少有两个学生的生日是在同一天。 【对应练习 1】 某校有 370名 2020年出生的学生，其中至少有 2名学生的生日是同一天，为什 么？ 【答案】 2020是闰年，全年是 366天。 370÷366＝1（名）……4（名） 1＋1＝2（名） 答：2020年共有 366天，把它看成是 366个抽屉，把 370名学生放入 366个抽 屉中，至少有一个抽屉里有 2名学生，因此其中至少有 2名学生的生日是同一天 的。 【对应练习 2】 向阳小学有 730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？ 【答案】 如果这一年是 365天； 730 365 2  没有余数，至少有 2个学生的生日是同一天； 第 10 页 共 10 页 730 366 1 364   1 1 2  至少有 2个学生的生日是同一天； 两种情况下都是至少有 2个学生的生日是同一天； 答：至少有 2个学生的生日是同一天。 【对应练习 3】 植树节，育才小学有 41名老师和 381名学生参加义务植树活动。参加植树的老 师至少有 4人是同一个月出生的。参加植树的学生至少有 2人的生日是同一天。 他们说得对吗？ 【答案】 41 12 3 5   3 1 4  （人） 所以参加植树的老师至少有 4人是同一个月出生的； 381 365 1 16   381 366 1 15   1 1 2  （人） 不论这一年是多少天，参加植树的学生至少有 2人的生日是同一天； 答：他们说得对。 第 1 页 共 13 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 13 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第五单元数学广角——鸽巢问题【五大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第五单元数学广角——鸽巢问题 专题内容 本专题以巢原理（抽屉原理）及最不利原则为主，其中包括 多种典型问题。 总体评价 讲解建议 本专题考察较为基础，多以填空和选择为主，建议作为本章 基础内容进行讲解。 考点数量 五个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】鸽巢原理（抽屉原理） ................................................................................... 3 【考点二】鸽巢原理的应用 ...............................................................................................5 【考点三】最不利原则其一：求总数 ................................................................................8 【考点四】最不利原则其二：摸球问题 ..........................................................................10 【考点五】最不利原则其三：生日问题 ..........................................................................11 第 3 页 共 13 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】鸽巢原理（抽屉原理）。 【方法点拨】 1. 鸽巢原理（抽屉原理）。 （1）把多于 n个物体任意分放进 n 个鸽巢中（n是非 0自然数），那么一定有 一个鸽巢里至少放进了 2个物体。 （2）把多于 kn个的物体任意分放进 n个鸽巢中（k和 n是非 0自然数），那么 一定有一个鸽巢里至少放进了（k＋1）个物体。 2. 抽屉原理的关键。 平均分配，苹果数÷抽屉数，若有余数也要尽量平均分配。 【典型例题】 生活实践题。 （1）上学期有 18名留守儿童插班进入实验小学就读，将 18名留守儿童编入 5 个班，总有一个班至少要编入 4名。为什么？ （2）18名留守儿童来自全国的 4个省份，至少有 5名来自同一个省份。为什么？ （3）把 50本图书分给 18名留守儿童，总有一名至少分到 3本图书。为什么？ 解析： （1）18÷5＝3（名）⋯ ⋯ 3（名） 3＋1＝4（名） 答：所以将 18名留守儿童编入 5个班，总有一个班至少要编入 4名。 （2）18÷4＝4（名）⋯ ⋯ 2（名） 4＋1＝5（名） 答：18名留守儿童来自全国的 4个省份，所以至少有 5名来自同一个省份。 （3）50÷18＝2（本）⋯ ⋯ 14（本） 2＋1＝3（本） 答：所以把 50本图书分给 18名留守儿童，总有一名至少分到 3本图书。 【对应练习 1】 5只鸽子飞进 4个鸽巢，总有 1个鸽巢中至少飞进几只鸽子？ 第 4 页 共 13 页 【答案】2只 【分析】这是一道“鸽巢问题”，可以利用分铅笔帮助理解，把 5支铅笔放入 3个 笔筒，可以这样分： 不管怎么分，一定保证 1个笔筒（红框中）里是有铅笔的，并且这个笔筒的铅笔 是三个笔筒中最多的：有 2支或比 2支更多的铅笔，即总有 1个笔筒至少有 2 支铅笔，或者说：最多铅笔的笔筒中，最少有 2支铅笔。 因此，我们可以把“总有 1个鸽巢中至少有几只鸽子”这样理解：最多鸽子的鸽巢 中，最少有几只鸽子？ 要使鸽巢里的鸽子数最少，就要尽量将鸽子平均分配，用“鸽子总数÷鸽巢数”； 平均分配后余下的鸽子再尽量平均分配，因此，最多鸽子的鸽巢中鸽子数最少时 要比平均分配得到的鸽子数多 1个。 【详解】5÷4＝1（只）……1（只） 1＋1＝2（只） 答：总有 1个鸽巢中至少飞进 2只鸽子。 【点睛】这道“鸽巢问题”可以理解为“在最多里面找最少”：最多鸽子的鸽巢，最 少时有几个鸽子。要使鸽巢里的鸽子最少，要尽量平均分配，余下的鸽子也要再 次平均分配。 【对应练习 2】 把 100枝花插进 14个花瓶里。他们俩谁说得对？ 【答案】文文说得对。 【分析】根据抽屉原理，用总数除以抽屉数(花瓶数），得到每个抽屉放几枝， 还余几枝。 第 5 页 共 13 页 那么至少数＝商＋1。 【详解】100÷14＝7（枝）……2（枝） 7＋1＝8（枝） 至少有 8枝花要插进同一个花瓶里。 答：文文说得对。 【对应练习 3】 下面解答正确吗？如果错误，请改正。 把 15个桃放入 6个果盘，一定有一个果盘至少放了多少个桃？ 15÷6＝2（个）……3（个） 2＋3＝5（个） 答：一定有一个果盘至少放了 5个桃。 【答案】解答错误。 见详解 【分析】题中把 5个果盘看作 5个抽屉，用苹果的总数除以 5，计算出商；根据 抽屉原理中不能整除时至少数＝商＋1、能整除时至少数＝商，即可使问题得解。 【详解】解答错误。 15÷6＝2（个）……3（个） 2＋1＝3（个） 答：一定有一个果盘至少放了 3个桃。 【考点二】鸽巢原理的应用。 【方法点拨】 鸽巢原理的解题步骤。 1. 分析题意，把实际问题转化成"鸽巢问题"，即弄清"鸽巢"（"鸽巢"是什么，有 几个鸽巢）和分放的物体及它们的个数。 2. 设计"鸽巢"的具体形式。 3. 运用原理得出在某个"鸽巢"里至少分放的物体个数，最终解决问题。 【典型例题】 10个小朋友相约去游乐场，共有碰碰车、摩天轮、旋转木马三种游乐设施可选 择，每个小朋友可选一个游乐设施组合（不重复的两种游乐设施）游玩，至少有 第 6 页 共 13 页 几个小朋友选的游乐设施组合相同？ 【答案】4个 【分析】根据题意，三种游乐设施可组合成：碰碰车和摩天轮、碰碰车和旋转木 马、摩天轮和旋转木马，共有 3种组合；把 10个小朋友平均分配给 3种游乐设 施组合，那么每种组合有 3个小朋友，还剩下 1个小朋友，无论把他放在哪个组 合，总有一个组合至少有 4个小朋友。 【详解】10÷3＝3（个）……1（个） 3＋1＝4（个） 答：至少有 4个小朋友选的游乐设施组合相同。 【点睛】本题考查鸽巣问题，采用最不利原则解题。 【对应练习 1】 学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两 个（可以不参加）学习班。某班有 52名同学，至少有几名同学参加课外学习班 的情况完全相同？ 【答案】5人 【分析】本题同学参加情况共 11种，不参加、书法、舞蹈、棋类、乐器、书法 和舞蹈、书法和棋类、书法和乐器、舞蹈和棋类、舞蹈和乐器、棋类和乐器；这 里可以把这 11个情况看做 11个抽屉，考虑最差情况，每个抽屉的人数尽量平均， 52÷11＝4（人）……8（人），每个抽屉都有 4人，还剩下 8人，由此即可利用 抽屉原理解决问题。 【详解】52÷11＝4（人）……8（人） 4＋1＝5（人） 答：至少有 5名同学参加课外学习班的情况完全相同。 【点睛】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用；根据题干，找出学生参 加学习班的所有可能情况，是解决本题的关键。 【对应练习 2】 文学、数学、英语、美术等 4个课外学习小组共有 51人，它们当中有参加 1个、 2个、3个和 4个课外学习小组的，其中至少有几位同学参加的学习小组相同？ 【答案】4位 第 7 页 共 13 页 【分析】文学、数学、英语、美术等 4个课外学习小组参加 1个课外学习小组的 情况数为①文学、②数学、③英语、④美术的 4种；参加 2个课外学习小组的情 况数为①文学、数学、②文学、英语、③文学、美术、④数学、文学、⑤数学、 英语、⑥数学、美术的 6种；参加 3个课外学习小组的情况数为①文学、数学、 英语、②文学、数学、美术、③文学、英语、美术、④数学、英语、美术的 4 种，参加 4个课外学习小组的情况数为 1种，情况数一共有 15种，也就是抽屉 数为 15，再用物体数除以 15，求出商，用商＋1就是至少数。 【详解】情况数一共： 4 6 4 1 15    （种） 51 15 3 6   3 1 4  （位） 答：至少有 4位同学参加的学习小组相同。 【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握解决鸽巢问题的计算方法。 【对应练习 3】 六（1）班有 6名同学参加知识竞赛，满分 100分。如果他们的成绩中最低分为 96分，那么参赛的同学中至少有 2人成绩相同。这种说法对吗？六（2）班有 7 名同学参加知识竞赛，他们的成绩中最低分也是 96分，六（2）班参赛的学生中 至少有几人成绩相同？（竞赛成绩的分数均为整数） 【答案】对；2人 【分析】得分为整数，最低分是 96分，那么得分的可能是 96、97、98、99、100 分，共 5种分数。从最不利的情况考虑，如果前 5名同学得分都不相同，那么第 6名或第 7名无论得分是多少，都至少有 2人成绩相同。 【详解】如果 5名同学的成绩分别是 96、97、98、99、100分，共 5种分数； 6÷5＝1（名）……1（名） 1＋1＝2（名） 六（1）班参赛的同学中至少有 2人成绩相同，这种说法是对的。 7÷5＝1（名）……2（名） 1＋1＝2（名） 答：六（1）班有 6名同学参加，参赛的学生中至少有 2人成绩相同，这种说法 是对的。 第 8 页 共 13 页 六（2）班有 7名同学参加，参赛的学生中至少有 2人成绩相同。 【点睛】本题考查鸽巣问题，采用最不利原则解答。 【考点三】最不利原则其一：求总数。 【方法点拨】 1. 在日常生活中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题， 一般需要从最糟糕的情况出发分析问题，这就是最不利原则，即从最坏的情况出 发分析问题，如果在最坏的情况下都能满足题目要求，那么所有情况都能保证满 足题目要求。 2. 一般问句中出现"至少.....保证....."这个词的时候，我们解决这个问题需要从最 不利的方面思考。 【典型例题】 纸箱里杂乱地放着黑、白、红、绿、黄五种颜色的袜子各 50只，规格都相同。 在黑暗中至少要取出多少只袜子，才能保证有 15双颜色相同的袜子？ 【答案】146只 【分析】15双就是 30只，考虑最不利原则，五种颜色，每种都摸到 29只，怎 么办呢，那就随便再摸一只，因为不管摸到什么色，都可以跟前面的 29相加， 到 30了，这样就能保证有 15双颜色相同的袜子。 【详解】5×29＋1 ＝145＋1 ＝146（只） 答：在黑暗中至少要取出 146只袜子，才能保证有 15双颜色相同的袜子。 【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握抽屉原理解决问题。 【对应练习 1】 王老师借来了历史、文艺和科普三种书若干本．每个同学从中任意借一本或两本， 那么至少要几个同学借阅才能保证一定有两人借的图书一样？ 【答案】10个 【分析】每个学生从中任意借 1本，有 3种借法，借两本，那么一共有 6种借法： 历史两本、文艺两本、科普两本、历史和文艺各一本、历史和科普各一本、文艺 和科普各一本；所以一共有 3+6=9种不同的借法，把 9种借法看作 9个抽屉， 第 9 页 共 13 页 把学生数看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放 1个元素，共需要 9个， 再取出 1个不论是哪一种借法，总有一个抽屉里和他相同，所以至少要有：9+1=10 （个），据此解答。 【详解】每个学生从中任意借两本，那么一共有 9种借法：只借 1本，有三种情 况；借两本：历史两本、文艺两本、科普两本、历史和文艺各一本、历史和科普 各一本、文艺和科普各一本，9+1=10（个）； 答：那么至少要 10个学生才能保证一定有两人接到的图书是一样的。 【对应练习 2】 一副扑克牌(大、小王除外)，有四种花色，每种花色有 13张，从中任意抽牌， 至少要抽几张，才能保证有四张牌是同一花色的？ 【答案】13张 【详解】3×4＋1＝13(张) 【对应练习 3】 不透明的袋子中，有外形完全一样的红黄蓝，三种颜色的球各 10个，每个小朋 友从中摸出一个球，至少有多少个小朋友摸球才能保证一定有 5个小朋友摸的球 颜色一样？ 【答案】13个 【分析】抽屉原则二：如果把 n个物体放在 m个抽屉里，其中 n＞m，那么必有 一个抽屉至少有： （1）当 n不能被 m整除时，k＝[ nm ]＋1个物体。 （2）当 n能被 m整除时，k＝ nm个物体。 小朋友数量相当于 n，三种颜色相当于 m，根据（k－1）×m＋1＝n，列式解答 即可。 【详解】3×（5－1）＋1 ＝3×4＋1 ＝12＋1 ＝13（个） 答：至少有 13个小朋友摸球才能保证一定有 5个小朋友摸的球颜色一样。 【点睛】抽屉问题的关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量， 第 10 页 共 13 页 然后依据抽屉原则进行计算。 【考点四】最不利原则其二：摸球问题。 【方法点拨】 “最不利原则”方法，即从最坏情况出发考虑问题。 【典型例题】 有红、绿、紫三种颜色的袜子各 6只，把它们混放在一个口袋中。如果要从口袋 中摸袜子。 ①至少要摸出几只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）？ ②至少要摸出多少只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子？ 解析： ①因为有可能摸出 3只袜子时，这三种颜色各 1只， 所以至少要摸出 4只，才能保证摸出一双袜子。 答：至少要摸出 4只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）。 ②3 3 1  9 1  10 （只） 答：至少要摸出 10只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子。 【对应练习 1】 把红、黄、蓝、白四种颜色的球各 10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可 以保证取到两个颜色相同的球？ 解析： 解决此类问题，从最坏情况出发考虑问题。最坏的情况就是摸出的前 4个球的颜 色都不一样，那么摸出的第 5个球的颜色必定与之前的四个球中的某一个球颜色 相同。 答：至少取 5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 【对应练习 2】 箱子里有大小形状一样的卡片，其中红卡 30张，白卡 20张，黄卡 15张，蓝卡 25张，那么最少要从箱子里摸出多少张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、 黄卡和蓝卡。 第 11 页 共 13 页 解析： 30+25+20+1=76（张） 【对应练习 3】 桌子上有 5个黑球、6个白球、7个红球，闭上眼睛取多少个球才能保证三种球 都取到？ 解析： 7＋6＝13（个） 13＋1＝14（个） 答：闭上眼睛取 14个球才能保证三种球都取到。 【考点五】最不利原则其三：生日问题。 【方法点拨】 “最不利原则”方法，即从最坏情况出发考虑问题。 【典型例题】 某校有 30名学生是 2月份出生的，能否至少有两个学生的生日是在同一天？ 【答案】能 【分析】2月份最多有 29天，把它看作 29个抽屉，把 30名学生放入 29个抽屉， 至少有一个抽屉里有两个人，因此这 30名学生中至少有两个学生的生日是在同 一天。 【详解】2月份最多天数为 29天。 30÷29＝1（个）……1（个） 1＋1＝2（个） 答：至少有两个学生的生日是在同一天。 【点睛】掌握鸽巢原理的解题方法是解答题目的关键。 【对应练习 1】 某校有 370名 2020年出生的学生，其中至少有 2名学生的生日是同一天，为什 么？ 【答案】见详解 【分析】2020能整除 4，所以 2020年是闰年，有 366天。把 370名学生平均分 给 366天，那么每天会有 1名学生，还剩下 4名学生，这 4名学生无论给哪一天， 第 12 页 共 13 页 总会有至少 2名学生的生日是同一天。 【详解】2020是闰年，全年是 366天。 370÷366＝1（名）……4（名） 1＋1＝2（名） 答：2020年共有 366天，把它看成是 366个抽屉，把 370名学生放入 366个抽 屉中，至少有一个抽屉里有 2名学生，因此其中至少有 2名学生的生日是同一天 的。 【点睛】本题考查鸽巣（抽屉）问题，关键是掌握鸽巣问题的解题方法。 【对应练习 2】 向阳小学有 730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？ 【答案】2个 【分析】一年有 365天或 366天，730个学生是苹果数，365天或 366天是抽屉 数，分别计算两种情况下的结果，分类讨论。 【详解】如果这一年是 365天； 730 365 2  没有余数，至少有 2个学生的生日是同一天； 730 366 1 364   1 1 2  至少有 2个学生的生日是同一天； 两种情况下都是至少有 2个学生的生日是同一天； 答：至少有 2个学生的生日是同一天。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，由于并未给出年份，所以要分情况讨论，可以 考虑一下，如果是 7312名学生，结果还一样吗？ 【对应练习 3】 植树节，育才小学有 41名老师和 381名学生参加义务植树活动。参加植树的老 师至少有 4人是同一个月出生的。参加植树的学生至少有 2人的生日是同一天。 他们说得对吗？ 【答案】对 【分析】每年有 12个月是固定的，每年 365天或 366天，用 41除以 12，用 381 第 13 页 共 13 页 除以 365或 366，根据是否有余数进行判断。 【详解】41 12 3 5   3 1 4  （人） 所以参加植树的老师至少有 4人是同一个月出生的； 381 365 1 16   381 366 1 15   1 1 2  （人） 不论这一年是多少天，参加植树的学生至少有 2人的生日是同一天； 答：他们说得对。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，解决此类问题，首先要找出抽屉数和总数分别 是多少。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第五单元数学广角——鸽巢问题【五大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第五单元数学广角——鸽巢问题 专题内容 本专题以巢原理（抽屉原理）及最不利原则为主，其中包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 本专题考察较为基础，多以填空和选择为主，建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 五个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】鸽巢原理（抽屉原理） 3 【考点二】鸽巢原理的应用 4 【考点三】最不利原则其一：求总数 5 【考点四】最不利原则其二：摸球问题 6 【考点五】最不利原则其三：生日问题 7 【第三篇】典型例题篇 【考点一】鸽巢原理（抽屉原理）。 【方法点拨】 1. 鸽巢原理（抽屉原理）。 （1）把多于n个物体任意分放进n个鸽巢中（n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了2个物体。 （2）把多于kn个的物体任意分放进n个鸽巢中（k和n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k＋1）个物体。 2. 抽屉原理的关键。 平均分配，苹果数÷抽屉数，若有余数也要尽量平均分配。 【典型例题】 生活实践题。 （1）上学期有18名留守儿童插班进入实验小学就读，将18名留守儿童编入5个班，总有一个班至少要编入4名。为什么？ （2）18名留守儿童来自全国的4个省份，至少有5名来自同一个省份。为什么？ （3）把50本图书分给18名留守儿童，总有一名至少分到3本图书。为什么？ 【对应练习1】 5只鸽子飞进4个鸽巢，总有1个鸽巢中至少飞进几只鸽子？ 【对应练习2】 把100枝花插进14个花瓶里。他们俩谁说得对？ 【对应练习3】 下面解答正确吗？如果错误，请改正。 把15个桃放入6个果盘，一定有一个果盘至少放了多少个桃？ 15÷6＝2（个）……3（个）         2＋3＝5（个） 答：一定有一个果盘至少放了5个桃。 【考点二】鸽巢原理的应用。 【方法点拨】 鸽巢原理的解题步骤。 1. 分析题意，把实际问题转化成"鸽巢问题"，即弄清"鸽巢"（"鸽巢"是什么，有几个鸽巢）和分放的物体及它们的个数。 2. 设计"鸽巢"的具体形式。 3. 运用原理得出在某个"鸽巢"里至少分放的物体个数，最终解决问题。 【典型例题】 10个小朋友相约去游乐场，共有碰碰车、摩天轮、旋转木马三种游乐设施可选择，每个小朋友可选一个游乐设施组合（不重复的两种游乐设施）游玩，至少有几个小朋友选的游乐设施组合相同？ 【对应练习1】 学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 【对应练习2】 文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组共有51人，它们当中有参加1个、2个、3个和4个课外学习小组的，其中至少有几位同学参加的学习小组相同？ 【对应练习3】 六（1）班有6名同学参加知识竞赛，满分100分。如果他们的成绩中最低分为96分，那么参赛的同学中至少有2人成绩相同。这种说法对吗？六（2）班有7名同学参加知识竞赛，他们的成绩中最低分也是96分，六（2）班参赛的学生中至少有几人成绩相同？（竞赛成绩的分数均为整数） 【考点三】最不利原则其一：求总数。 【方法点拨】 1. 在日常生活中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，一般需要从最糟糕的情况出发分析问题，这就是最不利原则，即从最坏的情况出发分析问题，如果在最坏的情况下都能满足题目要求，那么所有情况都能保证满足题目要求。 2. 一般问句中出现"至少.....保证....."这个词的时候，我们解决这个问题需要从最不利的方面思考。 【典型例题】 纸箱里杂乱地放着黑、白、红、绿、黄五种颜色的袜子各50只，规格都相同。在黑暗中至少要取出多少只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子？ 【对应练习1】 王老师借来了历史、文艺和科普三种书若干本．每个同学从中任意借一本或两本，那么至少要几个同学借阅才能保证一定有两人借的图书一样？ 【对应练习2】 一副扑克牌(大、小王除外)，有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，至少要抽几张，才能保证有四张牌是同一花色的？ 【对应练习3】 不透明的袋子中，有外形完全一样的红黄蓝，三种颜色的球各10个，每个小朋友从中摸出一个球，至少有多少个小朋友摸球才能保证一定有5个小朋友摸的球颜色一样？ 【考点四】最不利原则其二：摸球问题。 【方法点拨】 “最不利原则”方法，即从最坏情况出发考虑问题。 【典型例题】 有红、绿、紫三种颜色的袜子各6只，把它们混放在一个口袋中。如果要从口袋中摸袜子。 ①至少要摸出几只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）？ ②至少要摸出多少只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子？ 【对应练习1】 把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？ 【对应练习2】 箱子里有大小形状一样的卡片，其中红卡30张，白卡20张，黄卡15张，蓝卡25张，那么最少要从箱子里摸出多少张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。 【对应练习3】 桌子上有5个黑球、6个白球、7个红球，闭上眼睛取多少个球才能保证三种球都取到？ 【考点五】最不利原则其三：生日问题。 【方法点拨】 “最不利原则”方法，即从最坏情况出发考虑问题。 【典型例题】 某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生的生日是在同一天？ 【对应练习1】 某校有370名2020年出生的学生，其中至少有2名学生的生日是同一天，为什么？ 【对应练习2】 向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？ 【对应练习3】 植树节，育才小学有41名老师和381名学生参加义务植树活动。参加植树的老师至少有4人是同一个月出生的。参加植树的学生至少有2人的生日是同一天。他们说得对吗？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第五单元数学广角——鸽巢问题【五大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第五单元数学广角——鸽巢问题 专题内容 本专题以巢原理（抽屉原理）及最不利原则为主，其中包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 本专题考察较为基础，多以填空和选择为主，建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 五个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】鸽巢原理（抽屉原理） 3 【考点二】鸽巢原理的应用 4 【考点三】最不利原则其一：求总数 6 【考点四】最不利原则其二：摸球问题 7 【考点五】最不利原则其三：生日问题 9 【第三篇】典型例题篇 【考点一】鸽巢原理（抽屉原理）。 【方法点拨】 1. 鸽巢原理（抽屉原理）。 （1）把多于n个物体任意分放进n个鸽巢中（n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了2个物体。 （2）把多于kn个的物体任意分放进n个鸽巢中（k和n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k＋1）个物体。 2. 抽屉原理的关键。 平均分配，苹果数÷抽屉数，若有余数也要尽量平均分配。 【典型例题】 生活实践题。 （1）上学期有18名留守儿童插班进入实验小学就读，将18名留守儿童编入5个班，总有一个班至少要编入4名。为什么？ （2）18名留守儿童来自全国的4个省份，至少有5名来自同一个省份。为什么？ （3）把50本图书分给18名留守儿童，总有一名至少分到3本图书。为什么？ 解析： （1）18÷5＝3（名）⋯⋯3（名） 3＋1＝4（名） 答：所以将18名留守儿童编入5个班，总有一个班至少要编入4名。 （2）18÷4＝4（名）⋯⋯2（名） 4＋1＝5（名） 答：18名留守儿童来自全国的4个省份，所以至少有5名来自同一个省份。 （3）50÷18＝2（本）⋯⋯14（本） 2＋1＝3（本） 答：所以把50本图书分给18名留守儿童，总有一名至少分到3本图书。 【对应练习1】 5只鸽子飞进4个鸽巢，总有1个鸽巢中至少飞进几只鸽子？ 【答案】 5÷4＝1（只）……1（只） 1＋1＝2（只） 答：总有1个鸽巢中至少飞进2只鸽子。 【对应练习2】 把100枝花插进14个花瓶里。他们俩谁说得对？ 【答案】 100÷14＝7（枝）……2（枝） 7＋1＝8（枝） 至少有8枝花要插进同一个花瓶里。 答：文文说得对。 【对应练习3】 下面解答正确吗？如果错误，请改正。 把15个桃放入6个果盘，一定有一个果盘至少放了多少个桃？ 15÷6＝2（个）……3（个）         2＋3＝5（个） 答：一定有一个果盘至少放了5个桃。 【答案】 解答错误。 15÷6＝2（个）……3（个） 2＋1＝3（个） 答：一定有一个果盘至少放了3个桃。 【考点二】鸽巢原理的应用。 【方法点拨】 鸽巢原理的解题步骤。 1. 分析题意，把实际问题转化成"鸽巢问题"，即弄清"鸽巢"（"鸽巢"是什么，有几个鸽巢）和分放的物体及它们的个数。 2. 设计"鸽巢"的具体形式。 3. 运用原理得出在某个"鸽巢"里至少分放的物体个数，最终解决问题。 【典型例题】 10个小朋友相约去游乐场，共有碰碰车、摩天轮、旋转木马三种游乐设施可选择，每个小朋友可选一个游乐设施组合（不重复的两种游乐设施）游玩，至少有几个小朋友选的游乐设施组合相同？ 【答案】 10÷3＝3（个）……1（个） 3＋1＝4（个） 答：至少有4个小朋友选的游乐设施组合相同。 【点睛】本题考查鸽巣问题，采用最不利原则解题。 【对应练习1】 学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 【答案】 52÷11＝4（人）……8（人） 4＋1＝5（人） 答：至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。 【对应练习2】 文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组共有51人，它们当中有参加1个、2个、3个和4个课外学习小组的，其中至少有几位同学参加的学习小组相同？ 【答案】 情况数一共：（种） （位） 答：至少有4位同学参加的学习小组相同。 【对应练习3】 六（1）班有6名同学参加知识竞赛，满分100分。如果他们的成绩中最低分为96分，那么参赛的同学中至少有2人成绩相同。这种说法对吗？六（2）班有7名同学参加知识竞赛，他们的成绩中最低分也是96分，六（2）班参赛的学生中至少有几人成绩相同？（竞赛成绩的分数均为整数） 【答案】 如果5名同学的成绩分别是96、97、98、99、100分，共5种分数； 6÷5＝1（名）……1（名） 1＋1＝2（名） 六（1）班参赛的同学中至少有2人成绩相同，这种说法是对的。 7÷5＝1（名）……2（名） 1＋1＝2（名） 答：六（1）班有6名同学参加，参赛的学生中至少有2人成绩相同，这种说法是对的。 六（2）班有7名同学参加，参赛的学生中至少有2人成绩相同。 【考点三】最不利原则其一：求总数。 【方法点拨】 1. 在日常生活中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，一般需要从最糟糕的情况出发分析问题，这就是最不利原则，即从最坏的情况出发分析问题，如果在最坏的情况下都能满足题目要求，那么所有情况都能保证满足题目要求。 2. 一般问句中出现"至少.....保证....."这个词的时候，我们解决这个问题需要从最不利的方面思考。 【典型例题】 纸箱里杂乱地放着黑、白、红、绿、黄五种颜色的袜子各50只，规格都相同。在黑暗中至少要取出多少只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子？ 【答案】 5×29＋1 ＝145＋1 ＝146（只）   答：在黑暗中至少要取出146只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子。 【对应练习1】 王老师借来了历史、文艺和科普三种书若干本．每个同学从中任意借一本或两本，那么至少要几个同学借阅才能保证一定有两人借的图书一样？ 【答案】 每个学生从中任意借两本，那么一共有9种借法：只借1本，有三种情况；借两本：历史两本、文艺两本、科普两本、历史和文艺各一本、历史和科普各一本、文艺和科普各一本，9+1=10（个）； 答：那么至少要10个学生才能保证一定有两人接到的图书是一样的。 【对应练习2】 一副扑克牌(大、小王除外)，有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，至少要抽几张，才能保证有四张牌是同一花色的？ 【答案】3×4＋1＝13(张) 【对应练习3】 不透明的袋子中，有外形完全一样的红黄蓝，三种颜色的球各10个，每个小朋友从中摸出一个球，至少有多少个小朋友摸球才能保证一定有5个小朋友摸的球颜色一样？ 【答案】 3×（5－1）＋1 ＝3×4＋1 ＝12＋1 ＝13（个） 答：至少有13个小朋友摸球才能保证一定有5个小朋友摸的球颜色一样。 【考点四】最不利原则其二：摸球问题。 【方法点拨】 “最不利原则”方法，即从最坏情况出发考虑问题。 【典型例题】 有红、绿、紫三种颜色的袜子各6只，把它们混放在一个口袋中。如果要从口袋中摸袜子。 ①至少要摸出几只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）？ ②至少要摸出多少只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子？ 解析： ①因为有可能摸出3只袜子时，这三种颜色各1只， 所以至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子。 答：至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）。 ② （只） 答：至少要摸出10只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子。 【对应练习1】 把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？ 解析： 解决此类问题，从最坏情况出发考虑问题。最坏的情况就是摸出的前4个球的颜色都不一样，那么摸出的第5个球的颜色必定与之前的四个球中的某一个球颜色相同。 答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 【对应练习2】 箱子里有大小形状一样的卡片，其中红卡30张，白卡20张，黄卡15张，蓝卡25张，那么最少要从箱子里摸出多少张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。 解析： 30+25+20+1=76（张） 【对应练习3】 桌子上有5个黑球、6个白球、7个红球，闭上眼睛取多少个球才能保证三种球都取到？ 解析： 7＋6＝13（个） 13＋1＝14（个） 答：闭上眼睛取14个球才能保证三种球都取到。 【考点五】最不利原则其三：生日问题。 【方法点拨】 “最不利原则”方法，即从最坏情况出发考虑问题。 【典型例题】 某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生的生日是在同一天？ 【答案】 2月份最多天数为29天。 30÷29＝1（个）……1（个） 1＋1＝2（个） 答：至少有两个学生的生日是在同一天。 【对应练习1】 某校有370名2020年出生的学生，其中至少有2名学生的生日是同一天，为什么？ 【答案】 2020是闰年，全年是366天。 370÷366＝1（名）……4（名） 1＋1＝2（名） 答：2020年共有366天，把它看成是366个抽屉，把370名学生放入366个抽屉中，至少有一个抽屉里有2名学生，因此其中至少有2名学生的生日是同一天的。 【对应练习2】 向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？ 【答案】 如果这一年是365天； 没有余数，至少有2个学生的生日是同一天； 至少有2个学生的生日是同一天； 两种情况下都是至少有2个学生的生日是同一天； 答：至少有2个学生的生日是同一天。 【对应练习3】 植树节，育才小学有41名老师和381名学生参加义务植树活动。参加植树的老师至少有4人是同一个月出生的。参加植树的学生至少有2人的生日是同一天。他们说得对吗？ 【答案】 （人） 所以参加植树的老师至少有4人是同一个月出生的； （人） 不论这一年是多少天，参加植树的学生至少有2人的生日是同一天； 答：他们说得对。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第五单元数学广角——鸽巢问题【五大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第五单元数学广角——鸽巢问题 专题内容 本专题以巢原理（抽屉原理）及最不利原则为主，其中包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 本专题考察较为基础，多以填空和选择为主，建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 五个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】鸽巢原理（抽屉原理） 3 【考点二】鸽巢原理的应用 5 【考点三】最不利原则其一：求总数 8 【考点四】最不利原则其二：摸球问题 10 【考点五】最不利原则其三：生日问题 11 【第三篇】典型例题篇 【考点一】鸽巢原理（抽屉原理）。 【方法点拨】 1. 鸽巢原理（抽屉原理）。 （1）把多于n个物体任意分放进n个鸽巢中（n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了2个物体。 （2）把多于kn个的物体任意分放进n个鸽巢中（k和n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢里至少放进了（k＋1）个物体。 2. 抽屉原理的关键。 平均分配，苹果数÷抽屉数，若有余数也要尽量平均分配。 【典型例题】 生活实践题。 （1）上学期有18名留守儿童插班进入实验小学就读，将18名留守儿童编入5个班，总有一个班至少要编入4名。为什么？ （2）18名留守儿童来自全国的4个省份，至少有5名来自同一个省份。为什么？ （3）把50本图书分给18名留守儿童，总有一名至少分到3本图书。为什么？ 解析： （1）18÷5＝3（名）⋯⋯3（名） 3＋1＝4（名） 答：所以将18名留守儿童编入5个班，总有一个班至少要编入4名。 （2）18÷4＝4（名）⋯⋯2（名） 4＋1＝5（名） 答：18名留守儿童来自全国的4个省份，所以至少有5名来自同一个省份。 （3）50÷18＝2（本）⋯⋯14（本） 2＋1＝3（本） 答：所以把50本图书分给18名留守儿童，总有一名至少分到3本图书。 【对应练习1】 5只鸽子飞进4个鸽巢，总有1个鸽巢中至少飞进几只鸽子？ 【答案】2只 【分析】这是一道“鸽巢问题”，可以利用分铅笔帮助理解，把5支铅笔放入3个笔筒，可以这样分： 不管怎么分，一定保证1个笔筒（红框中）里是有铅笔的，并且这个笔筒的铅笔是三个笔筒中最多的：有2支或比2支更多的铅笔，即总有1个笔筒至少有2支铅笔，或者说：最多铅笔的笔筒中，最少有2支铅笔。 因此，我们可以把“总有1个鸽巢中至少有几只鸽子”这样理解：最多鸽子的鸽巢中，最少有几只鸽子？ 要使鸽巢里的鸽子数最少，就要尽量将鸽子平均分配，用“鸽子总数÷鸽巢数”；平均分配后余下的鸽子再尽量平均分配，因此，最多鸽子的鸽巢中鸽子数最少时要比平均分配得到的鸽子数多1个。 【详解】5÷4＝1（只）……1（只） 1＋1＝2（只） 答：总有1个鸽巢中至少飞进2只鸽子。 【点睛】这道“鸽巢问题”可以理解为“在最多里面找最少”：最多鸽子的鸽巢，最少时有几个鸽子。要使鸽巢里的鸽子最少，要尽量平均分配，余下的鸽子也要再次平均分配。 【对应练习2】 把100枝花插进14个花瓶里。他们俩谁说得对？ 【答案】文文说得对。 【分析】根据抽屉原理，用总数除以抽屉数(花瓶数），得到每个抽屉放几枝，还余几枝。 那么至少数＝商＋1。 【详解】100÷14＝7（枝）……2（枝） 7＋1＝8（枝） 至少有8枝花要插进同一个花瓶里。 答：文文说得对。 【对应练习3】 下面解答正确吗？如果错误，请改正。 把15个桃放入6个果盘，一定有一个果盘至少放了多少个桃？ 15÷6＝2（个）……3（个）         2＋3＝5（个） 答：一定有一个果盘至少放了5个桃。 【答案】解答错误。 见详解 【分析】题中把5个果盘看作5个抽屉，用苹果的总数除以5，计算出商；根据抽屉原理中不能整除时至少数＝商＋1、能整除时至少数＝商，即可使问题得解。 【详解】解答错误。 15÷6＝2（个）……3（个） 2＋1＝3（个） 答：一定有一个果盘至少放了3个桃。 【考点二】鸽巢原理的应用。 【方法点拨】 鸽巢原理的解题步骤。 1. 分析题意，把实际问题转化成"鸽巢问题"，即弄清"鸽巢"（"鸽巢"是什么，有几个鸽巢）和分放的物体及它们的个数。 2. 设计"鸽巢"的具体形式。 3. 运用原理得出在某个"鸽巢"里至少分放的物体个数，最终解决问题。 【典型例题】 10个小朋友相约去游乐场，共有碰碰车、摩天轮、旋转木马三种游乐设施可选择，每个小朋友可选一个游乐设施组合（不重复的两种游乐设施）游玩，至少有几个小朋友选的游乐设施组合相同？ 【答案】4个 【分析】根据题意，三种游乐设施可组合成：碰碰车和摩天轮、碰碰车和旋转木马、摩天轮和旋转木马，共有3种组合；把10个小朋友平均分配给3种游乐设施组合，那么每种组合有3个小朋友，还剩下1个小朋友，无论把他放在哪个组合，总有一个组合至少有4个小朋友。 【详解】10÷3＝3（个）……1（个） 3＋1＝4（个） 答：至少有4个小朋友选的游乐设施组合相同。 【点睛】本题考查鸽巣问题，采用最不利原则解题。 【对应练习1】 学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 【答案】5人 【分析】本题同学参加情况共11种，不参加、书法、舞蹈、棋类、乐器、书法和舞蹈、书法和棋类、书法和乐器、舞蹈和棋类、舞蹈和乐器、棋类和乐器；这里可以把这11个情况看做11个抽屉，考虑最差情况，每个抽屉的人数尽量平均，52÷11＝4（人）……8（人），每个抽屉都有4人，还剩下8人，由此即可利用抽屉原理解决问题。 【详解】52÷11＝4（人）……8（人） 4＋1＝5（人） 答：至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。 【点睛】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用；根据题干，找出学生参加学习班的所有可能情况，是解决本题的关键。 【对应练习2】 文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组共有51人，它们当中有参加1个、2个、3个和4个课外学习小组的，其中至少有几位同学参加的学习小组相同？ 【答案】4位 【分析】文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组参加1个课外学习小组的情况数为①文学、②数学、③英语、④美术的4种；参加2个课外学习小组的情况数为①文学、数学、②文学、英语、③文学、美术、④数学、文学、⑤数学、英语、⑥数学、美术的6种；参加3个课外学习小组的情况数为①文学、数学、英语、②文学、数学、美术、③文学、英语、美术、④数学、英语、美术的4种，参加4个课外学习小组的情况数为1种，情况数一共有15种，也就是抽屉数为15，再用物体数除以15，求出商，用商＋1就是至少数。 【详解】情况数一共：（种） （位） 答：至少有4位同学参加的学习小组相同。 【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握解决鸽巢问题的计算方法。 【对应练习3】 六（1）班有6名同学参加知识竞赛，满分100分。如果他们的成绩中最低分为96分，那么参赛的同学中至少有2人成绩相同。这种说法对吗？六（2）班有7名同学参加知识竞赛，他们的成绩中最低分也是96分，六（2）班参赛的学生中至少有几人成绩相同？（竞赛成绩的分数均为整数） 【答案】对；2人 【分析】得分为整数，最低分是96分，那么得分的可能是96、97、98、99、100分，共5种分数。从最不利的情况考虑，如果前5名同学得分都不相同，那么第6名或第7名无论得分是多少，都至少有2人成绩相同。 【详解】如果5名同学的成绩分别是96、97、98、99、100分，共5种分数； 6÷5＝1（名）……1（名） 1＋1＝2（名） 六（1）班参赛的同学中至少有2人成绩相同，这种说法是对的。 7÷5＝1（名）……2（名） 1＋1＝2（名） 答：六（1）班有6名同学参加，参赛的学生中至少有2人成绩相同，这种说法是对的。 六（2）班有7名同学参加，参赛的学生中至少有2人成绩相同。 【点睛】本题考查鸽巣问题，采用最不利原则解答。 【考点三】最不利原则其一：求总数。 【方法点拨】 1. 在日常生活中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，一般需要从最糟糕的情况出发分析问题，这就是最不利原则，即从最坏的情况出发分析问题，如果在最坏的情况下都能满足题目要求，那么所有情况都能保证满足题目要求。 2. 一般问句中出现"至少.....保证....."这个词的时候，我们解决这个问题需要从最不利的方面思考。 【典型例题】 纸箱里杂乱地放着黑、白、红、绿、黄五种颜色的袜子各50只，规格都相同。在黑暗中至少要取出多少只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子？ 【答案】146只 【分析】15双就是30只，考虑最不利原则，五种颜色，每种都摸到29只，怎么办呢，那就随便再摸一只，因为不管摸到什么色，都可以跟前面的29相加，到30了，这样就能保证有15双颜色相同的袜子。 【详解】5×29＋1 ＝145＋1 ＝146（只）   答：在黑暗中至少要取出146只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子。 【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握抽屉原理解决问题。 【对应练习1】 王老师借来了历史、文艺和科普三种书若干本．每个同学从中任意借一本或两本，那么至少要几个同学借阅才能保证一定有两人借的图书一样？ 【答案】10个 【分析】每个学生从中任意借1本，有3种借法，借两本，那么一共有6种借法：历史两本、文艺两本、科普两本、历史和文艺各一本、历史和科普各一本、文艺和科普各一本；所以一共有3+6=9种不同的借法，把9种借法看作9个抽屉，把学生数看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个元素，共需要9个，再取出1个不论是哪一种借法，总有一个抽屉里和他相同，所以至少要有：9+1=10（个），据此解答。 【详解】每个学生从中任意借两本，那么一共有9种借法：只借1本，有三种情况；借两本：历史两本、文艺两本、科普两本、历史和文艺各一本、历史和科普各一本、文艺和科普各一本，9+1=10（个）； 答：那么至少要10个学生才能保证一定有两人接到的图书是一样的。 【对应练习2】 一副扑克牌(大、小王除外)，有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，至少要抽几张，才能保证有四张牌是同一花色的？ 【答案】13张 【详解】3×4＋1＝13(张) 【对应练习3】 不透明的袋子中，有外形完全一样的红黄蓝，三种颜色的球各10个，每个小朋友从中摸出一个球，至少有多少个小朋友摸球才能保证一定有5个小朋友摸的球颜色一样？ 【答案】13个 【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： （1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。 （2）当n能被m整除时，k＝个物体。 小朋友数量相当于n，三种颜色相当于m，根据（k－1）×m＋1＝n，列式解答即可。 【详解】3×（5－1）＋1 ＝3×4＋1 ＝12＋1 ＝13（个） 答：至少有13个小朋友摸球才能保证一定有5个小朋友摸的球颜色一样。 【点睛】抽屉问题的关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。 【考点四】最不利原则其二：摸球问题。 【方法点拨】 “最不利原则”方法，即从最坏情况出发考虑问题。 【典型例题】 有红、绿、紫三种颜色的袜子各6只，把它们混放在一个口袋中。如果要从口袋中摸袜子。 ①至少要摸出几只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）？ ②至少要摸出多少只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子？ 解析： ①因为有可能摸出3只袜子时，这三种颜色各1只， 所以至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子。 答：至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）。 ② （只） 答：至少要摸出10只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子。 【对应练习1】 把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？ 解析： 解决此类问题，从最坏情况出发考虑问题。最坏的情况就是摸出的前4个球的颜色都不一样，那么摸出的第5个球的颜色必定与之前的四个球中的某一个球颜色相同。 答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 【对应练习2】 箱子里有大小形状一样的卡片，其中红卡30张，白卡20张，黄卡15张，蓝卡25张，那么最少要从箱子里摸出多少张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。 解析： 30+25+20+1=76（张） 【对应练习3】 桌子上有5个黑球、6个白球、7个红球，闭上眼睛取多少个球才能保证三种球都取到？ 解析： 7＋6＝13（个） 13＋1＝14（个） 答：闭上眼睛取14个球才能保证三种球都取到。 【考点五】最不利原则其三：生日问题。 【方法点拨】 “最不利原则”方法，即从最坏情况出发考虑问题。 【典型例题】 某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生的生日是在同一天？ 【答案】能 【分析】2月份最多有29天，把它看作29个抽屉，把30名学生放入29个抽屉，至少有一个抽屉里有两个人，因此这30名学生中至少有两个学生的生日是在同一天。 【详解】2月份最多天数为29天。 30÷29＝1（个）……1（个） 1＋1＝2（个） 答：至少有两个学生的生日是在同一天。 【点睛】掌握鸽巢原理的解题方法是解答题目的关键。 【对应练习1】 某校有370名2020年出生的学生，其中至少有2名学生的生日是同一天，为什么？ 【答案】见详解 【分析】2020能整除4，所以2020年是闰年，有366天。把370名学生平均分给366天，那么每天会有1名学生，还剩下4名学生，这4名学生无论给哪一天，总会有至少2名学生的生日是同一天。 【详解】2020是闰年，全年是366天。 370÷366＝1（名）……4（名） 1＋1＝2（名） 答：2020年共有366天，把它看成是366个抽屉，把370名学生放入366个抽屉中，至少有一个抽屉里有2名学生，因此其中至少有2名学生的生日是同一天的。 【点睛】本题考查鸽巣（抽屉）问题，关键是掌握鸽巣问题的解题方法。 【对应练习2】 向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？ 【答案】2个 【分析】一年有365天或366天，730个学生是苹果数，365天或366天是抽屉数，分别计算两种情况下的结果，分类讨论。 【详解】如果这一年是365天； 没有余数，至少有2个学生的生日是同一天； 至少有2个学生的生日是同一天； 两种情况下都是至少有2个学生的生日是同一天； 答：至少有2个学生的生日是同一天。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，由于并未给出年份，所以要分情况讨论，可以考虑一下，如果是7312名学生，结果还一样吗？ 【对应练习3】 植树节，育才小学有41名老师和381名学生参加义务植树活动。参加植树的老师至少有4人是同一个月出生的。参加植树的学生至少有2人的生日是同一天。他们说得对吗？ 【答案】对 【分析】每年有12个月是固定的，每年365天或366天，用41除以12，用381除以365或366，根据是否有余数进行判断。 【详解】 （人） 所以参加植树的老师至少有4人是同一个月出生的； （人） 不论这一年是多少天，参加植树的学生至少有2人的生日是同一天； 答：他们说得对。 【点睛】本题考查的是抽屉原理，解决此类问题，首先要找出抽屉数和总数分别是多少。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$