第21章 二次函数与反比例函数-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（沪科版）

(2)根据 C,D,当 L 不变时,S-L= 1 2N-1 ;根据B,C,E,当N 不变时,S- 1 2N =L-1;综上,得:S=L+ 1 2N-1. (3)当L=10,N=12时,S=10+6-1=15. 5.(1)(n)2+1=n+1,Sn = n 2 (2)10 (3) 55 4 二 八年级综合检测 一、1.B 2.C 3.C 4.A 5.D 6.D 7.D 8.C 二、9.直角 10.6或18 11.AC=AE 或 ∠B=∠D 或∠C=∠E 12.乙 13.①③ ④⑤ 三、14.18- 2 2 - 8 2+ (5-1) 0 =3 2- 2- 2+1= 2+1. 15.解:(1)设函数的解析式为y=kx+ b,将点A,B 的坐标代入,有 -3k+b=2 , k+b=6,{ 解 得k=1,b=5,所以函数解析式为y=x+5. (2)S= 25 2. 16.解:(1)设每次下降的百分率为x, 依题意,得:2500(1-x)2=1600, 解得:x1=0.2=20%,x2=1.8(不合题 意,舍去). 答:每次下降的百分率为20%. (2)1600×(1-20%)=1280(元). 答:若9月份继续保持相同的百分率降 价,则这种品牌的手机售价为1280元. 17.(1)正方形,矩形或直角梯形(任选两 个) (2)图略,M(3,4)或M(4,3) (3)连接EC,∵△ABC≌△DBE,∴AC =DE,BC=BE.∵∠CBE=60°,∴EC= BC,∠BCE=60°.∵∠DCB=30°,∴∠DCE =90°,∴DC2+EC2=DE2,∴DC2+BC2= AC2,即四边形ABCD 是勾股四边形. 18.解:(1)如图;(2)甲队共比赛了5场, 得分超过90分的有三场,因此得分超过90分 的频率为0.6.(3)甲队成绩的极差是18分,乙 队成绩的极差是30分;x甲=x乙=90(分).(4) 从平均分看,两队的平均分相同,实力大体相 当;从折线的走势看,甲队比赛成绩呈上升趋 势,而乙队比赛成绩呈下降趋势;从获胜场数 看,甲队胜三场,乙队胜两场,甲队成绩较好; 从极差看,甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动 小,甲队成绩较稳定.综上,选派甲队参赛更 能取得好成绩. 甲、乙两球队比赛成绩折线统计图 19.解:(1)四边形EFGH 是正方形. (2)①在▱ABCD 中,AB∥CD,∴∠BAD =180°-∠ADC=180°-α; ∵△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角 形,∴∠HAD=∠EAB=45°, ∴∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB- ∠BAD=360°-45°-45°-(180°-α)=90°+ α. ②∵△AEB 和△DGC 都是等腰直角三 角形,∴AE = 2 2 AB ,DG = 2 2 CD ,在 ▱ABCD 中,AB = CD,∴ AE = DG. ∵△HAD和△GDC 都是等腰直角三角形, ∴∠HDA = ∠CDG = 45°,∴ ∠HDG = ∠HDA + ∠ADC + ∠CDG =90°+α= ∠HAE.∵ △HAD 是 等 腰 直 角 三 角 形, ∴HA=HD,∴△HAE≌△HDG,∴HE= HG. ③四边形EFGH 是正方形.由②同理可 得:GH=GF,FG=FE.∵HE=HG(已证), ∴GH=GF=EH=FE,∴四边形EFGH 是 菱形.∵△HAE≌△HDG(已证),∴∠DHG =∠AHE,又∵∠AHD=∠AHG+∠DHG =90°,∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°, ∴四边形EFGH 是正方形. 第三部分 探究先飞 九年级上册前一章预习检测 第21章 二次函数与反比例函数 要点回顾 1.y=ax2+bx+c a≠0 全体实数 2.y=ax+ b 2a æ è ç ö ø ÷ 2 + 4ac-b2 4a 4.(1)y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x +h)2+k (2)a,b,c 5.交点的横坐标 有两个交点 有一个 交点 没有交点 两个不等实数根 两个 两个相等的实数根 一个 没有实数根 没 有 ·51· 7.(1)一般地,函数y= k x (k是常数,k≠0) 8.第一、三象限 第二、四象限 9.探求两个变量之间 预习检测 一、1.B 2.C 3.B 4.C 5.D 6.C 7.B 8.D 9.B 二、10. 3 4 11.-1<x<3 12.2 13. 1 2x -1 三、14.解:设抛物线的关系式为y=a(x- 0)(x-4)-3 把(1,0)代入y=a(x-0)(x-4)-3,得 0=-3a-3,a=-1. ∴y=-(x-0)(x-4)-3,即y=-x2 +4x-3. 15.解:(1)因为点A(1,2)在函数y= k x 上, 所以2= k 1 ,即k=2, 所以双曲线的解析式为y= 2 x. (2)由函数y= 2 x 的性质可得在第一象限 y 随x 的增大而减小. 因为2>1,所以b<2. 16.解:(1)抛物线的函数关系式为y=x2 -4x+3. (2)把D (72,m ) 代入函数解析式y=x 2 -4x+3中,得m= (72 ) 2 -4× 7 2+3= 5 4. 所以S△ABD= 1 2× (3-1)× 5 4= 5 4. 17.解:(1)设该工艺品每件的进价是x 元,标价是y 元.依题意得方程组: y-x=45 8y·0.85-8x=(y-35)·12-12x{ , 解得:x=155 y=200{ . 故该工艺品每件的进价是155元,标价是 200元. (2)设每件应降价a 元出售,每天获得的 利润为W 元. 依题意可得W 与a 的函数关系式: W=(45-a)(100+4a)=-4a2+80a+ 4500, 配方得:W=-4(a-10)2+4900, 当a=10时,W 最大=4900. 故每件应降价10元出售,每天获得的利 润最大,最大利润是4900元. 18.解:(1)设直线DE 的解析式为y=kx +b, ∵点D,E 的坐标为(0,3)、(6,0), ∴ 3=b , 0=6k+b.{ 解得 k=- 1 2 , b=3.{ ∴y=- 1 2x+3. ∵ 点M 在AB 边上,B(4,2),而四边形 OABC 是矩形, ∴ 点M 的纵坐标为2. 又 ∵ 点M 在直线y=- 1 2x+3 上, ∴2=- 1 2x+3.∴x=2.∴ M (2,2). (2)∵y= m x (x>0)经过点M(2,2), ∴m=4.∴y= 4 x. 又 ∵ 点N 在BC 边上,B(4,2),∴点N 的横坐标为4. ∵ 点N 在直线y=- 1 2x+3 上, ∴y=1.∴ N(4,1). ∵ 当x=4时,y= 4 x=1 ,∴点N 在函数 y= 4 x 的图象上. (3)4≤m≤8 ·61· 第 三 部 分 探 究 先 飞 第三部分 探究先飞 九年级上册前一章预习检测 第21章 二次函数与反比例函数 1.二次函数的概念 一般地,形如: (a,b,c 为常数 且 )的函数叫做二次函数,其中x 是自变量;二次函数的取值范围一般是 . 2.y=ax2+bx+c(a≠0)向y=a(x- h)2+k形式的转化 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)通过 配方可化为y= 的形式. 于是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 就可以看作抛物线y=ax2 向左或向右平移 b 2a 个单位,向上或向下平移 4ac-b 2 4a 个 单位得到的. 3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 性质 函数 取值 图象 开口方向 顶点坐标及 对称轴 增减性 极值 y=ax2 + bx+c(a,b, c是常数,a ≠0) a>0 向上 a<0 向下 - b 2a ,æ è ç 4ac-b2 4a ö ø ÷ x=- b 2a 当x<- b 2a 时, y 随x 的增大而 减 小;当 x > - b 2a 时,y 随x 的增大而增大 当x=- b 2a 时, y最小值= 4ac-b2 4a 当x<- b 2a 时, y 随x 的增大而 增 大;当 x > - b 2a 时,y 随x 的增大而减小 当x=- b 2a 时, y最大值= 4ac-b2 4a 4.待定系数法确定二次函数解析式的 步骤:(1)设出适当的二次函数关系式,即一 般式: 或顶点式: ;(2)根据已 知信息,构建关于常数 的方程(组); (3)解方程(组);(4)把求出的常数的值代入 所设的解析式. 5.二 次 函 数 与 一 元 二 次 方 程 之 间 的 联系 当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象与x 轴有交点时, 就是当y = 87 第 三 部 分 探 究 先 飞 0时自变量x 的值,即一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)的根;二次函数y=ax2+ bx+c(a≠0)的图象与x 轴交点有三种情 况: 、 、 ,当b2-4ac >0时,相应的方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的情况是有 ,抛物线与x 轴 有 交点;当b2-4ac=0时,相应的 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况是有 ,抛物线与x 轴有 交点;当 b2-4ac<0时,相应的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况是 ,抛物线与x 轴 交点. 6.利用二次函数的图象和性质解决实 际问题 应用二次函数的有关知识解决实际问题 的一般思路是:理解问题;分析问题中的变量 和常量,以及它们之间的关系;用函数解析式 表示它们之间的关系;用数学方法求解;检验 结果的合理性. 7.反比例函数的概念 (1)定义: 叫做反比例 函数,其中自变量x 的取值范围是x≠0的 一切实数,y 的取值范围是y≠0的一切实 数;(2)一般形式:y= k x (k≠0),也可以写成 y=kx-1,或xy=k;(3)反比例函数y= k x (k≠0)中,y 与x 成反比例关系. 8.反比例函数的图象与性质 反比例函数图象是关于坐标轴对称的两 支双曲线.当k>0时,双曲线的两个分支分 别在 内,在每一象限内,y 随x 的增大 而减小;当k<0时,双曲线的两个分支分别 在 内,在每一象限内,y 随x 的增大 而增大. 9.反比例函数的应用 和利用其他函数解决实际问题一样,要 利用反比例函数的关系解决实际问题,只要求 能够正确地 的关系.探索反比例函数 中的两个变量之间的关系同样和列方程解决 问题一样,即弄清题意和题目中的数量关系, 找到能够表示问题全部含义的一个相等的关 系,根据这个相等的数量关系式,列出所需的 代数式,从而列出两个变量之间的关系式. 例1 如何平移y=- 1 3x 2+2的图象得到 函数y=- 1 3 (x+1)2-3的图象? 解析:抛物线y=- 1 3x 2+2的顶点坐标是 (0,2),抛物线y=- 1 3 (x+1)2-3的顶点坐标 是(-1,-3),要使两顶点坐标重合,则应把 抛物线y=- 1 3x 2+2的图象向左平移1个 单位,再向下平移5个单位. 答案:解:将函数y=- 1 3x 2+2的图象向左 平移1个单位,再向下平移5个单位,就得到 函数y=- 1 3 (x+1)2-3的图象. 点评:抛物线y=a(x+m)2+k 在平移时,a 不变,只是m 和k发生变化,因此,研究抛物 线平移法作图,关键是准确求出抛物线的顶 点坐标,进而研究其顶点位置的变化,作出图 象.要注意根据 m 和k 的符号,并比较原顶 点坐标,确定图象的左、右、上、下移动. 例2 某校科技小组进行野外考察,途中遇 到一片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速 97 第 三 部 分 探 究 先 飞 通过这片湿地,他们沿着前进路线铺了若干 块木块,构筑成一条临时近道.木板对地面的 压强p(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函 数,其图象如图所示. (1)请直接写出这一函数表达式和自变 量取值范围. (2)当木板面积为0.2 m2 时,压强是 多少? (3)如果要求压强不超过6000Pa,木板 的面积至少要多大? 解析:由于木板对地面的压强p(Pa)是木板 面积S(m2)的反比例函数,而图象经过点A, 于是可以利用待定系数法求得反比例函数的 关系式,进而可以进一步求解. 答案:解:(1)设木板对地面的压强p(Pa)与木 板面积S(m2)的反比例函数关系式为p= k S (k>0,S>0). 因为反比例函数的图象经过点A(1.5, 400),所以有400= k 1.5 ,解得k=600, 所以反比例函数关系式为p= 600 S (S>0). (2)当S=0.2时,p= 600 0.2=3000. 即压强 是3000Pa. (3)由题意知, 600 S ≤6000 ,所以S≥0.1. 即木板面积至少要有0.1m2. 点评:本题渗透了物理学中压强、压力与受力面 积之间的关系p= F S ,当压力F 一定时,p 与S 成反比例.另外,利用反比例函数的知识解决实 际问题时,要善于发现实际问题中变量之间的 关系,从而进一步建立反比例函数模型. 一、选择题 1.已知点(3,1)是双曲线y= k x (k≠0) 上一点,则下列各点中在该图象上的是 ( ) A.13 ,-9 æ è ç ö ø ÷ B.(1,3) C.(-1,3) D.6,- 1 2 æ è ç ö ø ÷ 2.某村的粮食总产量为a(a 为常数) 吨,设该村的人均粮食产量为y 吨,人口数 为x,则y 与x 之间的函数关系式的大致图 象应为 ( ) A B C D 3.已知函数y=(m+1)xm2-5是反比例 函数,且图象在第二、四象限内,则m 的值是 ( ) A.2 B.-2 C.±2 D.- 1 2 4.下列函数:①y=2x-1,②y=-2x, ③y=- 2k x ,④y= -3 x (x>0)中,y 随x 增 大而增大的有 ( ) A.①③④B.①② C.①④ D.②④ 08 第 三 部 分 探 究 先 飞 5.二 次 函 数 y= ax2+bx+c(a≠0)的 图象如图所示,对称轴 是直线x=1,则下列四 个结论中错误的是 ( ) A.c>0 B.2a+b=0 C.b2-4ac>0 D.a-b+c>0 6.在同一坐标系中,其图象与y=2x2 的图象关于x 轴对称的函数为 ( ) A.y= 1 2x 2 B.y=- 1 2x 2 C.y=-2x2 D.y=-x2 7.二次函数y=x2+4x+3的图象可以 由二次函数y=x2 的图象平移而得到,下列 平移正确的是 ( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移1 个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移1 个单位 C.先向右平移2个单位,再向上平移1 个单位 D.先向右平移2个单位,再向下平移1 个单位 8.如图,已知抛物线y=x2+bx+c的 对称轴为x=2,点 A,B 均在抛物线上,且 AB 与x 轴平行,其中点A 的坐标为(0,3), 则点B 的坐标为 ( ) A.(2,3) B.(3,2) C.(3,3) D.(4,3) 第8题 第9题 9.如图,直线y=kx(k<0)与双曲线y =- 2 x 交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 3x1y2-8x2y1 的值为 ( ) A.-5 B.-10 C.5 D.10 二、填空题 10.已知抛物线y=x2+x+b2 经过点 a,- 1 4 æ è ç ö ø ÷ 和(-a,y1),则 y1 的 值 为 . 11.如图是二次函数y=ax2+bx+c图 象的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与 x 轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等 式ax2+bx+c<0的解集是 . 12.正比例函数y=x 与反比例函数y= 1 x 的图象相交于A,C 两点,AB⊥x轴于B,CD ⊥x轴于D,如图所示,则四边形ABCD 的面 积为 . 13.已知二次函数y=(x-2a)2+(a- 1)(a 为常数),当a 取不同的值时,其图象构 成一个“抛物线系”.下图分别是当a=-1,a =0,a=1,a=2时二次函数的图象.它们的 顶点在一条直线上,这条直线的解析式是y = . 18 第 三 部 分 探 究 先 飞 三、解答题 14.已知抛物线经过两点A(1,0),B(0, -3),且对称轴是直线x=2,求其关系式. 15.已知:如图,双曲线y= k x 的图象经 过A(1,2)、B(2,b)两点. (1)求双曲线的解析式. (2)试比较b与2的大小. 16.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与 x轴相交于两点A(1,0),B(3,0),与y 轴相交 于点C(0,3). (1)求抛物线的函数关系式. (2)若点 D 72 ,m æ è ç ö ø ÷ 是抛物线y=ax2+ bx+c 上一点,请求出 m 的值,并求出此时 △ABD 的面积. 17.工艺商场按标价销售某种工艺品 时,每件可获利45元;按标价的八五折销售 该工艺品8件与将标价降低35元销售该工 艺品12件所获利润相等. (1)该工艺品每件的进价、标价分别是多 少元? (2)若每件工艺品按(1)中求得的进价进 货,标价售出,工艺商场每天可售出该工艺品 100件.若每件工艺品降价1元,则每天可多 售出该工艺品4件.问:每件工艺品降价多少 元出售,每天获得的利润最大? 获得的最大 利润是多少元? 18.如图,在直角坐标系中,矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合,顶点A,C 分别 在坐标轴上,顶点 B 的坐标为(4,2).过点 D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC 交 于点M,N. (1)求 直 线 DE 的 解 析 式 和 点 M 的 坐标. (2)若反比例函数y= m x (x>0)的图象 经过点 M,求该反比例函数的解析式,并通 过计算判断点N 是否在该函数的图象上. (3)若反比例函数y= m x (x>0)的图象 与△MNB 有公共点,请直接写出m 的取值 范围. 28