5 第20章 数据的初步分析-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（沪科版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第20章 数据的初步分析 1.频数、频率 在n 个数据中,某类数据出现的次数m 称为该类数据出现的频数, 称为该 类数据出现的频率. 2.极差、组距、组数 (1)极差=最大值-最小值 (2)组距 (3)组数= 极差 组距 3.画频数分布直方图的步骤: (1)求极差;(2)决定组距与组数;(3)决 定分点;(4) ;(5) . 4.画频数分布折线图 有了频数分布直方图,先描出每个小长 方形上边的中点,再在左右两边各增加一组, 并把它们的频数看作 ,然后用线段 依次连接上面各点即可. 5.平均数 一般地,我们把n 个数x1,x2,…,xn的 和与n 的比叫做这n 个数的平均数.记作 “ ”. 表示这组数 据的平均值,其中n 表示数据的总个数,x1, x2,…,xn 表示各个数据. 6.中位数的定义 把一组数据按 (即使 有相等的数据也要全部参与排列),位于最中 间位置的一个数据(或中间位置两个数据的 平均数),叫做这组数据的中位数. 7.众数的定义 在一组数据中, 的数 叫做众数. 8.方差 的方差;方差的计算 公式:若用x表示平均数,则有 . 例1 红星家电商场的一个柜组出售容积分 别为268升、228升、185升、182升四种型号 的同一品牌的冰箱,每卖出一台冰箱,售货员 就在一张纸上写出它的容积作为原始记录, 到月底,柜组长清点原始记录,得到一组由 10个182、18个185、66个228和16个268 组成的数据. (1)这组数据的平均数有实际意义吗? (2)这组数据的中位数、众数分别等于 多少? (3)红星商场总经理关心的是中位数还 是众数? 解析:本题中,商场最关心的是哪一种商品销 量最大,因此最关心众数. 答案:解:(1)这样数据的平均数没有实际意 义,对商店经营也没有任何参考价值. (2)这组数据共有110个数据,中位数应 是从小到大排列后笫55个和第56个的平均 数,这两个数据都是228,又由于这组数据中 228出现的次数最多,所以这组数据的中位 数、众数都是228升. (3)商场总经理关心的是众数,众数是 228,表明容积为228升的冰箱的销量最大, 它能为商场带来较多的利润,因此,这种型号 的冰箱要多进货,其他的型号则要少进货. 25 第 一 部 分 夯 实 基 础 例2 某校八年级(一)班20名女生某次体 育测试的成绩统计如下: 成绩 (分) 60 70 80 90 100 人数(人) 1 5 x y 2 (1)如果这20名女生体育成绩的平均分 数是82分,求x,y 的值. (2)在(1)的条件下,设20名学生本次测 试成绩的众数是a,中位数为b,求(a-b)2 的值. 解析:(1)根据题意可以得到关于x、y 的二 元一 次 方 程 组,解 方 程 组 即 可 求 得 x,y 的值. (2)众数是一组数据中出现次数最多的 数;中位数是将一组数据从小到大(或从大到 小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两 个数的平均数).根据定义求出a,b,再求代 数式的值. 答案:解:据题可得, 1+5+x+y+2=20 60×1+70×5+80x+90y+100×2 20 =82 ì î í ï ï ï ï , 解得 x=5 y=7{ (2)众数a=90,中位数b=80,所以(a -b)2=(80-90)2=100. 一、选择题 1.列一组数据的频数分布表时,落在各 个小组内的数据的个数叫做 ( ) A.组距 B.频数 C.频率 D.样本容量 2.要了解全市七年级学生身高在某一 范围内的学生所占比例的大小,需知道相应 样本的 ( ) A.平均数 B.中位数 C.众数 D.频率分布 3.某地连续10天的最高气温统计如 下表: 最高气温(℃) 23 24 25 26 天数 3 2 1 4 则这组数据的中位数和平均数分别为 ( ) A.24.5,24.6 B.25,26 C.26,25 D.24,26 4.甲、乙两名射击运动员各进行10次射 击练习,成绩均为95环,这两名运动员成绩 的方差分别是s2甲=0.6,s2乙=0.4,则下列说 法正确的是 ( ) A.甲比乙的成绩稳定 B.乙比甲的成绩稳定 C.甲、乙两人的成绩一样稳定 D.无法确定谁的成绩更稳定 5.一组由小到大排列的数据为-1,0, 4,x,6,15,这组数据的中位数为5,那么这组 数据的众数为 ( ) A.5 B.6 C.4 D.15 6.为做好“四帮四促”工作,黔南州某局 机关积极倡导“挂帮一日捐”活动,切实帮助 贫困村民.在一日捐活动中,全局50名职工 积极响应,同时将所捐款情况统计并制成统 计图,根据下图提供的信息,捐款金额的众数 和中位数分别是 ( ) 35 第 一 部 分 夯 实 基 础 A.20,20 B.30,20 C.30,30 D.20,30 7.某班50名同学参加一次科技知识竞 赛,将竞赛成绩整理后分为五个组,画出如图 所示的频数分布直方图,已知图中从左到右 前四个小组的频率依次是0.04,0.16,0.32和 0.28,则第五组的频数是 ( ) A.20 B.8 C.10 D.16 第7题 第8题 8.如图是某学校全体教职工年龄的频 数分布直方图(统计中采用“上限不在内”的 原则,如年龄为36岁统计在36≤x<38小 组,而不在34≤x<36小组),根据图形提供 的信息,下列说法中错误的是 ( ) A.该学校教职工总人数是50人 B.年龄在40≤x<42小组的教职工人 数占该学校全体教职工总人数的20% C.教职工年龄的中位数一定落在40≤ x<42这一组 D.教职工年龄的众数一定在40≤x< 42这一组 二、填空题 9.如果x1 与x2 的平均数是4,那么x1 +1与x2+5的平均数是 . 10.一组数据-1,0,2,3,x,其中这组数 据的 极 差 是 5,那 么 这 组 数 据 的 平 均 数 是 . 11.为了估计水库中鱼的数量,先从水 库中捕捉50条鱼做记号,然后放回水库里, 经过一段时间,等带有记号的鱼完全混于鱼 群中之后,再捕捞300条鱼,发现有10条鱼 做了记号,则可估计水库中大约有 条鱼. 12.已知一组数据x1,x2,…,xn的方差 是s2,则新的一组数据ax1+1,ax2+1,…, axn+1(a 为常数,a≠0)的方差是 (用含a,s2 的代数式表示). 13.如图是某班学生上学的三种方式 (乘车、步行、骑车)的人数分布直方图和扇形 图.若补上人数分布直方图的空缺部分,则空 缺的长方形所表示的人数为 . 14.已知一组数据5,8,10,x,9的众数 是8,那么这组数据的方差是 . 15.如图是小果同学参加6次数学测验 的成绩统计图,则该同学6次成绩的中位数 是 . 三、解答题 16.已知A 组数据如下:0,1,-2,-1,0, -1,3. (1)求A 组数据的平均数. (2)从A 组数据中选取5个数据,记这5 个数据为B 组数据,要求B 组数据满足两个 条件:①它的平均数与A 组数据的平均数相 45 第 一 部 分 夯 实 基 础 等;②它的方差比A 组数据的方差大. 你选取的B 组数据是 ,请说明 理由. 17.为了提高学生对新冠病毒危害性的 认识,某市相关部门每个月都要对学生进行 “防疫知识应知应会”测评.为了激发学生的 积极性,某校对达到一定成绩的学生授予“防 疫小卫士”荣誉称号.为了确定一个适当的奖 励目标,该校随机选取了七年级20名学生在 5月份测评的成绩(单位:分),数据如下. 收集数据: 90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88 (1)根据上述数据,将下表补充完整. 整理、描述数据: 成绩/分 888990919596979899 学生人数 2 1 3 2 1 2 1 数据分析:样本数据的平均数,众数和中位数 如表. 平均数 众数 中位数 93 91 得出结论: (2)根据所给的数据,如果该校想确定七 年级前50%的学生为“良好”等次,你认为 “良好”等次的测评成绩应至少定为 分. 数据应用: (3)根据数据分析,该校决定在七年级授 予测评成绩前30%的学生“防疫小卫士”荣 誉称号,请估计评选该荣誉称号的最低分数, 并说明理由. 1.一组数据从小到大依次为-1,0,4, x,6,15,其众数是6,则这组数据的中位数是 . 2.某校八年级(1)班全体同学在“支援 贫困山区”活动中都捐了款,具体捐款情况如 下表.则该班同学捐款的众数是 元, 中位数是 元. 捐款数(元) 2 4 5 10 捐款人数 3 20 23 4 3.在一次家庭年收入的调查中,抽查15个 家庭的年收入(单位:万元)如下表所示: 每个家庭年收入 (万元) 0.91.01.21.31.41.618.2 家庭个数 1 3 3 1 3 3 1 根据表中数据填空: (1)样本平均数为 万元,中位数 为 万元. (2)若去掉一个最高收入和一个最低收 入,则平均数为 万元. 4.已知一组数据0,1,5,x,7,且这组数 据的中位数为5,则x 的取值为 ( ) A.x=5 B.x≠5 C.x<5 D.x≥5 5.从测量所得数据中抽取出 m 个a,n 个b,p 个c组成一个样本,这个样本的平均 55 第 一 部 分 夯 实 基 础 数x是 ( ) A. a+b+c 3 B. m+n+p 3 C. ma+nb+pc 3 D. ma+nb+pc m+n+p 6.一组数据x1,x2,…,xn 的极差是10, 则另一组数据2x1+1,2x2+1,…,2xn+1 的极差是 ( ) A.10 B.20 C.11 D.21 7.一组数据x1,x2,x3,x4,x5 的平均数 是x,方差是s2,则样本x1+3,x2+3,x3+ 3,x4+3,x5+3的平均数和标准差分别是 ( ) A.x+3,s+3 B.x+3,s C.x,s+3 D.x,s 8.为了普及环保知识,增强环保意识, 某中学组织了环保知识竞赛活动.初中三个 年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参 加决赛,这些选手的决赛成绩(满分为100 分)如下表所示: 决赛成绩(分) 七年级 80868880889980749189 八年级 85858797857688778788 九年级 82807878819697888986 (1)填写下表: 平均数 众 数 中位数 七年级 85.5 87 八年级 85.5 85 九年级 78 84 (2)请从以下两个不同的角度对三个年 级的决赛成绩进行分析: ①从平均数和众数相结合看,哪个年级 的成绩好些? ②从平均数和中位数相结合看,哪个年 级的成绩好些? (3)如果在每个年级参加决赛的选手中 分别选出3个参加总决赛,你认为哪个年级 的实力更强一些? 并说明理由. 1.(北京中考题)某篮球队12名队员的 年龄如下表所示.则这12名队员年龄的众数 和平均数分别是 ( ) 年龄(岁) 18 19 20 21 人数 5 4 1 2 A.18,19 B.19,19 C.18,19.5 D.19,19.5 2.(齐齐哈尔中考题)现测得齐齐哈尔 市扎龙自然保护区六月某5天的最高气温分 别为27、30、27、32、34(单位:℃).这组数据的 众数和中位数分别是 ( ) A.34、27 B.27、30 C.27、34 D.30、27 65 第 一 部 分 夯 实 基 础 3.(西宁中考题)一次英语测试后,随机 抽取九年级某班5名学生的成绩如下:91, 78,98,85,98.关于这组数据说法正确的是 ( ) A.中位数是91 B.平均数是91 C.众数是91 D.极差是78 4.(安徽中考题)某棉纺厂为了解一批 棉花的质量,从中随机抽取了20根棉花纤维 进行测量,其长度x(单位:mm)的数据分布 如下表,则棉花纤维长度的数据在8≤x<32 这个范围的频率为 ( ) 棉花纤维长度x 频数 0≤x<8 1 8≤x<16 2 16≤x<24 8 24≤x<32 6 32≤x<40 3 A.0.8 B.0.7 C.0.4 D.0.2 5.(深圳中考题)关于体育选考项目统 计图. 项目 频数 频率 A 80 b B c 0.3 C 20 0.1 D 40 0.2 合计 a 1 (1)求出表中a,b,c 的值,并将条形统 计图补充完整. a= ,b= ,c= . A 篮球 B 引体向上 C 中长跑或实 心球 D 立定跳远 (2)如果有3万人参加,估计会有多少人 选择篮球? 6.(扬州中考题)八(2)班组织了一次经 典朗读比赛,甲、乙两队各10人的比赛成绩 如下表(10分制): 甲 7 8 9 7 1010 9 101010 乙 10 8 7 9 8 1010 9 10 9 (1)甲队成绩的中位数是 分,乙 队成绩的众数是 分. (2)计算乙队的平均成绩和方差. (3)已知甲队成绩的方差是1.4分2,则 成绩较为整齐的是 队. 75 =1,∴AN=2MN=2,AM= AN2-MN2 = 3,∴S△AMN= 1 2AM ·MN= 1 2× 3×1 = 3 2.∵ 四边形ADCN 是平行四边形, ∴S四边形ADCN=4S△AMN=23. 综合提升 1.14或16或18 2.12cm 3.12 4.2 5.60 6.略 中考热身 1.B 2.C 3.C 4.A 5.3 6.解:探究:∵AB=AC,∠ABC=60°, ∴△ABC 是等边三角形, ∴BC=AC,∠ACB=∠ABC, ∵BE=AD, ∴BE+BC=AD+AB, 即CE=BD. 在△ACE 和△CBD 中, CE=BD ∠ACB=∠ABC, AC=BC{ ∴△ACE≌△CBD(SAS); 应用:如图,连接 AC,易知△ABC 是等 边三角形, 由探究可知△ACE≌△CBD, ∴∠E=∠D. ∵∠BAE=∠DAG, ∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG, ∴∠CGE=∠ABC, ∵∠ABC=60°, ∴∠CGE=60°. 第20章 数据的初步分析 要点回顾 1. m n 2.(2)指每个小组的两个端点间的距离 3.(4)列频数分布表 (5)画频数分布直 方图 4.零 5.x x= 1 n (x1+x2+x3+…+xn) 6.从大到小(从小到大)排列起来 7.出现次数最多 8.一组数据中,各数据与这组数据的平 均数的差的平方的平均数叫做这组数据 s2 = 1 n [(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2] 基础过关 一、1.B 2.D 3.A 4.B 5.B 6.C 7.C 8.D 二、9.7 10.1.6 或 -0.4 11.1500 12.a2s2 13.10 14.2.8 15.75分 三、16.解:(1)x= 0+1-2-1+0-1+3 7 =0. (2)所选数据为-1,-2,3,-1,1; 理由:其和为0,则平均数为0,各数相对 平均数0的波动比第一组大,故方差大. 故答案为:-1,-2,3,-1,1.(答案不唯 一) 17.解:(1)由题意得90分的有5个;97 分的有3个;出现次数最多的是90分, ∴众数是90分;故答案为:5;3;90. (2)20×50%=10,如果该校想确定七年 级前50%的学生为“良好”等次,则“良好”等 次的测评成绩至少定为91分.故答案为91. (3)估计评选该荣誉称号的最低分数为 97分;理由:∵20×30%=6, ∴估计评选该荣誉称号的最低分数为97 分. 综合提升 1.5 2.5 5 3.(1)2.4 1.3 (2)1.3 4.D 5.D 6.B 7.B 8.(1)七年级众 数:80 八年级中位数:86 九年级平均数: 85.5 (2)①八年级 ②七年级 (3)九年级, 因为高分段人数多. 中考热身 1.A 2.B 3.A 4.A 5.解:(1)a=20÷0.1=200,b= 80 200= 0.4,c=200×0.3=60;条形统计图补充如图: (2)30000×0.4=12000(人). 6.解:(1)9.5 10 解析:把甲队的成绩 从小到大排列为:7,7,8,9,9,10,10,10,10, 10,最中间两个数的平均数是(9+10)÷2= 9.5(分),则中位数是9.5分; 乙队中10出现了4次,出现的次数最多, 则乙队成绩的众数是10分; 故答案为:9.5,10. (2)乙队的平均成绩是: 1 10 (10×4+8×2 ·01· +7+9×3)=9, 则方差是:1 10 [4×(10-9)2+2×(8-9)2 +(7-9)2+3×(9-9)2]=1. (3)乙 解析:∵甲队成绩的方差是1.4, 乙队成绩的方差是1, ∴成绩较为整齐的是乙队; 故答案为:乙. 六 八年级下册过关检测 一、1.A 2.A 3.A 4.B 5.A 6.C 7.D 8.B 9.B 10.D 二、11.2 12.菱形的两条对角线互相垂直 13.8000 14.225或63 15.(63,32) 三、16.(1)解:Δ=52-4×1×(-4)=41>0, ∴x= -5± 41 2 , ∴x1= -5+ 41 2 ,x2= -5- 41 2 . (2)解:原式=3- 3-4+1=- 3. (3)解:原式= x2-2x x2-4÷ x2-2x x+2 = x2-2x (x-2)(x+2)× x+2 x2-2x = 1 x-2. 将x=2+ 2代入 1 x-2 得:2 2 . 17.△ABC 是直角三角形. 理由:由勾股定理可得: AB2=32+22=13, BC2=32+22=13, AC2=52+12=26, ∴AB2+BC2=AC2. ∴△ABC 是直角三角形. 18.证明:平行四边形ABCD 中, ∵AD∥BC,AD=BC, ∴ ∠ACB=∠CAD. 又∵BE∥DF, ∴ ∠BEC=∠DFA, ∴ △BEC≌△DFA, ∴CE=AF. 19.解:∵方程x2-4x+b=0有两个相 等的实数根, ∴Δ=(-4)2-4b=0, ∴b=4, ∵c=4, ∴b=c=4, ∴△ABC 为等腰三角形. 20.解:设这个百分数为x,由题意,得 112+200× 1+13%( )=200(1+x)2 解这个方程得 x1=-2.3(舍去),x2=0.3=30% 答:增长的百分数为30%. 21.解:(1)平均数为:x= 1 10 (30+40×3 +50×2+60+70+80+100)=56(万元), 销售额中出现次数最多的是40万元,如 果把销售额按照从大到小或从小到大的顺序 排列,排在中间的两个数字都是50万元,所以 这组数的众数为40万元,中位数为50万元. (2)要调动员工积极性,提高年销售额,定 的标准应是大多数人所能完成的,众数、中位 数和平均数都是从不同角度描述一组数据的 一般水平的特征数,因此考虑上述因素,应把 销售额定在50万元为宜. 22.解:(1)∵FD⊥AB,∠BAC=90°, ∴EF∥AC. 又∵EF=AC, ∴四边形ACFE 为平行四边形. (2)当∠B=30°时,四边形 ACFE 为菱 形. 理由:由∠B=30°,得:∠ACE=60°, ∵DE 是BA 的垂直平分线, ∴ ∠BAE=∠B=30°, ∴∠EAC=60°, ∴△AEC 是等边三角形, ∴AE=AC,因此平行四边形ACFE 是 菱形. (3)不可能. 如果四边形ACFE 是正方形,则∠EAC =90°,点E 在线段AB 上,这是不可能的. 第二部分 整合提升 一 分题型复训 专项训练一 填空题 1.(-5,2) 2.1 3.(1,3) 4.x≥3 5.-2<x<-1 6.85 7.3 8.50° 9.①②③⑤ 10.7 11.2- 43 3 12.38° 13.5 10 14.3或-3 15.±1 16.2-1 17.10.1 18.1 19.1680 20.86 专项训练二 选择题 1.C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.B 9.C 10.B 11.C 12.B 13.B 14.B 15.A 16.B 17.C 18.D 19.C 20.B 21.C 22.A 23.B 24.C 25.B 26.C 27.C 28.B 29.B 30.A 31.C 32.C 33.C 专项训练三 计算与化简 1.解:过点A,B 分别作y 轴,x 轴的垂 线,垂足为 C,E,两线交于点 D,则四边形 OCDE 为正 方 形,面 积=32=9.△ACO 和 △OBE 的面积均为 1 2×3×1= 3 2 ,△ABD 的 ·11·