5 第18章 勾股定理-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（沪科版）

基础过关 一、1.D 2.B 3.B 4.C 5.D 6.A 7.B 8.B 9.D 10.C 二、11.3x2-5x+4=0 12.0 1 13.5 14.0 15.本题答案不唯一,如:b=1,c=1 三、16.解:x2-2x+1-3=0 x2-2x+1=3 (x-1)2=3 ∴x-1= 3或x-1=- 3; ∴x1=1+ 3,x2=1- 3 17.解:∵a=1、b=-2、c=0, ∴b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0, ∴x= 2±2 2 ,∴x1=0,x2=2. 18.(1)50-5x (2)19元 19.解:设 x 秒 后 △PCQ 的 面 积 为 Rt△ACB面积的一半. 根据题意,得:1 2 (8-x)(6-x)= 1 2× 1 2×8×6 整理,得:x2-14x+24=0 (x-7)2=25即x1=12,x2=2 x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1= 12不合题意,舍去. 所以2秒后△PCQ 的面积为Rt△ACB 面积的一半. 综合提升 1.- 3 2.20 3.k≥0 4.m+m(1+ x)+m(1+x)2 5.28m 6.C 7.D 8.C 9.解:(1)设剪成的较短的这段为xcm, 较长的这段就为(40-x)cm,由题意,得 x 4 æ è ç ö ø ÷ 2 + 40-x4 æ è ç ö ø ÷ 2 =58,解得:x1=12, x2=28, 当x=12 时,较 长 的 为 40-12=28 (cm),当x=28时,较长的为40-28=12 <28(舍去). ∴较短的这段为12cm,较长的这段就为 28cm. (2)设剪成的较短的这段为 mcm,较长 的这段就为(40-m)cm,由题意,得 m 4 æ è ç ö ø ÷ 2 + 40-m4 æ è ç ö ø ÷ 2 =48,变形 为:m2- 40m+416=0.∵Δ=(-40)2-4×416=-64 <0, ∴原方程无解,∴小峰的说法正确,这两 个正方形的面积之和不可能等于48cm2. 中考热身 1.D 2.C 3.B 4.C 5.B 6.5 7.-1 8.解:(1)设2018年到2020年这种产品 产量的年增长率为x,则 100(1+x)2=121,解得x1=0.1=10%, x2=-2.1(舍去), 答:2018年到2020年这种产品产量的年 增长率为10%. (2)2019年这种产品的产量为:100(1+ 0.1)=110(万件). 答:2019年这种产品的产量应达到110 万件. 第18章 勾股定理 要点回顾 1.a2+b2=c2 c2-a2 2.如果三角形两边的平方和等于第三边 的平方,那么这个三角形是直角三角形 3.(1)能够成为直角三角形三条边的长 度 基础过关 一、1.C 2.A 3.D 4.B 5.B 6.B 7.C 二、8.225 9.10 10.3 11.2 12.6 150 13.18 三、14.(1)AB=25 (2)CD=6.72 15.3600元 16.如图所示,连接AB, 则AB 的长即为A 处到B 处的最短路 程.在Rt△ABD 中,因为AD=AN+ND=5 +10=15,BD=8,所以AB2=AD2+BD2= 152+82=289=172.所以AB=17cm.故蚂蚁 爬行的最短路径为17cm. 综合提升 1.直角 2.4.8 3.90° 4.答案不唯一, 如:3,4,5;6,8,10;5,12,13等 5.A 6.C 7.D 8.解:过点C 作CE⊥AB 于点E,则 CE 的长即为点C 到AB 的距离, 在△ABC 中,∵AC=24,CB=18,AB= 30, ∴AC2+CB2=242+182=900,AB2= 302=900, ∴AC2+BC2=AB2, ∴△ABC 为直角三 角 形,且∠ACB= 90°, ∵S△ABC= 1 2AC ·BC= 1 2CE ·AB, ∴AC·BC=CE·AB,即24×18=CE ×30, ∴CE=14.4≈14, 答:点C 到AB 的距离约为14cm. 9.(1)S1=S2+S3 (2)S1=S2+S3,证 ·8· 明如下:显然 S1= 3 4c 2,S2= 3 4a 2,S3= 3 4b 2.∵c2=a2+b2,∴S2+S3= 3 4 (a2+b2) = 3 4c 2=S1. 中考热身 1.C 2.A 3.C 4.25 5.10 6.5 7.解:(1)∵AD 平分∠CAB,DE⊥AB, ∠C=90°,∴CD=DE. ∵CD=3,∴DE=3. (2)在Rt△ABC 中,由勾股定理得:AB = AC2+BC2= 62+82=10, ∴△ADB 的面积为S△ADB= 1 2AB•DE = 1 2×10×3=15. 8.解:过点D 作DH⊥AC,∵∠CED= 45°,DH ⊥EC,DE = 2,∴EH =DH. ∵EH2+DH2=ED2,∴EH2=1,∴EH = DH=1,又∵∠DCE=30°,∴DC=2,HC= 3.∵∠AEB=45°,∠BAC=90°,BE=22, ∴AB=AE=2,∴AC=2+1+ 3=3+ 3, ∴S四边形ABCD= 1 2×2× (3+ 3)+ 1 2×1× (3 + 3)= 33+9 2 . 第19章 四边形 要点回顾 1.首尾顺次相接 同一侧 2.(n-3) n(n-3) 2 3.平行四边形的对边相等 平行四边形 的对角相等 平行四边形的对角线互相平分 一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形 两组对边分别相等的四边形是平行四边 形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 4.对角线 对角线相等的平行四边形 有三个角是直角的四边形 5.菱形的四条边都相等 菱形的两条对 角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角 一组邻边相等的平行四边形 四边都相等 的四边形 对角线互相垂直的平行四边形 6.正方形的四条边都相等,对边平行,邻 边垂直 正方形的四个角都是直角 正方形 的对角线互相垂直平分且相等,并且每条对角 线平分一组对角 7.一组邻边相等 有一个角是直角 有 一组邻边相等且有一个角是直角 基础过关 一、1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.D 二、7.20 8.163 9.120° 三、10.证 明:∵BE ⊥AD,CF ⊥AD, ∴∠AEB=∠DFC=90°. ∵AB∥CD,∴∠A=∠D, 在△AEB 与△DFC 中, ∠AEB=∠DFC AE=DF ∠A=∠D{ , ∴△AEB≌△DFC(ASA), ∴BE=CF. ∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴BE∥CF. ∴四边形BECF 是平行四边形. 11.证 明:∵ ∠ACB =90°,AE 平 分 ∠BAC,EH⊥AB,∴CE=EH. 在 Rt△ACE 和 Rt△AHE 中,AE = AE,CE=EH,由勾股定理得:AC=AH, ∵AE 平分∠CAB,∴∠CAF=∠HAF, 在△CAF 和△HAF 中, AC=AH ∠CAF=∠HAF AF=AF{ , ∴△CAF≌△HAF(SAS),∴∠ACD= ∠AHF.∵CD⊥AB,∠ACB=90°,∴∠CDA = ∠ACB =90°,∴ ∠B + ∠CAB =90°, ∠CAB+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B= ∠AHF.∴FH∥CE.∵CD⊥AB,EH⊥AB, ∴CF∥EH,∴四边形 CFHE 是平行四边 形,∵CE=EH,∴四边形CFHE 是菱形. 12.(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠B=∠D=90°.在 Rt△ABE 和Rt△ADF 中,∵ AD=ABAF=AE{ ,∴Rt△ABE ≌Rt△ADF(HL),∴BE=DF. (2)解:四边形AEMF 是菱形,理由为: ∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BCA= ∠DCA=45°(正方形的对角线平分一组对 角),BC=DC(正方形四条边相等),∵BE= DF(已证),∴BC-BE=DC-DF,即CE= CF,在△COE 和△COF 中, CE=CF ∠ACB=∠ACD OC=OC{ , ∴△COE≌△COF(SAS),∴OE=OF, 又OM=OA,∴四边形 AEMF 是平行四边 形.∵AE=AF,∴平行四边形 AEMF 是菱 形. 13.(1)证明:∵CN∥AB,∴∠DAC= ∠ACN.在△AMD 和△CMN 中, ∠DAC=∠ACN MA=MC ∠AMD=∠CMN{ , ∴△AMD≌△CMN (ASA),∴AD = CN.又AD∥CN,∴四边形ADCN 是平行四 边形, ∴CD=AN. (2)解:∵AC⊥DN,∠CAN=30°,MN ·9· 第 一 部 分 夯 实 基 础 第18章 勾股定理 1.勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和,等于 斜边的平方.如果直角三角形的两直角边用 a,b表示,斜边用c表示,那么勾股定理可表 示为: .勾股定理的变形:在直 角三角形中,若两直角边长分别为a,b,斜边 长为c,那么:①a= c2-b2;②b= ; ③c= a2+b2. 2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理: . 3.勾股数 若三个数为勾股数,则它们必须同时满 足两个条件: (1) ; (2)三个数都是正整数. 这两个条件缺一不可. 例1 如图所示,在公路AB 旁有一座山,现 有一C 处需要爆破,已知点C 与公路上的停 靠站A 的距离为300米,与公路上另一停靠 站B 的距离为400米,且CA⊥CB,为了安 全起见,爆破点C 周围半径250米范围内不 得进入,问:在进行爆破时,公路AB 段是否 因有危险而需要暂时封锁? 解析:要判断公路AB 段是否需要封锁,则需 要计算点C 到AB 的距离是否大于250米, 如果大于250米,则不需要封锁,否则,需要 封锁,可以借助勾股定理和三角形的面积计 算点C 到AB 的距离. 答案:解:作CD⊥AB 于D,因为BC=400 米,AC=300米,∠ACB=90°, 根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即 3002+4002=AB2,所以AB=500(米). 根据三 角 形 的 面 积 得1 2AB ·CD= 1 2BC ·AC, 所 以 500CD =400×300,所 以 CD =240. 因为240<250,即点C 到AB 的距离小 于250米, 所以有危险,公路AB 段需要暂时封锁. 例2 已知直角三角形的斜边的长为13,两 直角边之比为5∶12.求它的面积. 解析:由于已知直角三角形的斜边的长为13, 两直角边之比为5∶12,可利用勾股定理求解. 答案:解:设两直角边分别为5x、12x,则由 勾股定理,得(5x)2+(12x)2=132,解得x= 1.即5x=5,12x=12,所以这个直角三角形 的面积为1 2×5×12=30. 例3 如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁 从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶 点B 的最短距离是 ( ) A.3 B.5 C.2 D.1 24 第 一 部 分 夯 实 基 础 解析:本题以正方体为载体,我们知道两点之 间线段最短,由于蚂蚁是沿正方体的外表面 爬行的,故需把正方体相邻的两个面展开成 平面图形,根据勾股定理求出AB 的长即可. 解:∵在Rt△ABC 中,AC=1,BC=2, ∴AB2=AC2+BC2=12+22=5, 得AB= 5,∴应选B. 答案:B 例4 正方形网格中,每个小正方形的顶点 叫做格点.请你在如图所示的正方形网格中 按要求作图: (1)在正方形网格的三条不同实线上各取 一个格点,使其中任意两点不在同一条实线上. (2)连接三个格点,使之构成直角三角形. 解析:根据勾股定理及其逆定理,通过计算, 进而得解. 在图1中,由勾股定理可知,AB2=32+ 42=25,AC2=42+22=20,BC2=12+22= 5,而AC2+BC2=AB2, 根据勾股定理的逆定理可知△ABC 为 直角三角形. 同理可求得图2中△ABC 为直角三角形. 答案:解:作得的直角三角形如图所示. 图1 图2 一、选择题 1.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边 分别是a,b,c,若∠A+∠C=90°,则下列等 式中成立的是 ( ) A.a2+b2=c2 B.b2+c2=a2 C.a2+c2=b2 D.c2-a2=b2 2.已知一个直角三角形的三边的平方 和为1800cm2,则斜边长为 ( ) A.30cm B.80cm C.90cm D.120cm 3.如果a,b,c 是一个直角三角形的三 边,则a∶b∶c可以等于 ( ) A.1∶2∶4 B.1∶3∶5 C.3∶4∶7 D.5∶12∶13 4.如图,如果半圆的直径恰为直角三角 形的一条直角边,那么半圆的面积为 ( ) A.4πcm2 B.6πcm2 C.12πcm2 D.24πcm2 第4题 第5题 5.如图,在△ABC 中,∠C=90°,BD 平 分∠ABC,交AC 于点D,若 DC=3,BC= 6,AD=5,则AB 等于 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 6.聪聪在广场上玩耍,他从某地开始, 先向东走10米,又向南走40米,再向西走 20米,又向南走40米,最后再向东走70米, 则聪聪到达的终止点与原出发点间的距离是 ( ) A.80米 B.100米 C.120米 D.95米 7.勾股定理是几何中的一个重要定理, 在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股 四,则弦五”的记载.如图(1)是由边长相等的 小正方形和直角三角形构成的,可以用其面 积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入 34 第 一 部 分 夯 实 基 础 长方形内得到的,∠BAC=90°,AB=3,AC =4,点D,E,F,G,H,I都在长方形KLMJ 的边上,则长方形KLMJ 的面积为 ( ) A.90 B.100 C.110 D.121 二、填空题 8.如图,阴影部分正方形的面积是 . 第8题 第10题 9.若直角三角形中,一斜边比一直角边大 2,且另一直角边长为6,则斜边为 . 10.如图,△ABC 为等边三角形,AD 为 BC 边上的高,且 AB=2,则正方形 ADEF 的面积为 . 11.若三角形的三边长分别为x+1,x +2,x+3,当x= 时,此三角形是直 角三角形. 12.如图,P 是正△ABC 内一点,且PA= 6,PB=8,PC=10,若将△PAC 绕点A 逆时针 旋转后,得到△P'AB,则点P 与P'之间的距离 为PP'= ,∠APB= 度. 第12题 第13题 13.如图,正方形ABDE,CDFI,EFGH 的面积分别为25,9,16,△AEH,△BDC, △GFI的面积分别为S1,S2,S3,则S1+S2 +S3= . 三、解答题 14.如图,△ABC 中,∠ACB=90°,AC =7,BC=24,CD⊥AB 于D.求: (1)AB 的长. (2)CD 的长. 15.某开发区有一空地 ABCD,如图所 示,现计划在空地上种草皮,经测量,∠B= 90°,AB=3m,BC=4m,AD=12m,CD= 13m,若每种植1平方米草皮需要100元, 问:总共需要投入多少元? 44 第 一 部 分 夯 实 基 础 16.如图,一块长方体砖宽AN=5cm, 长 ND=10cm,CD 上的点B 距地面的高 BD=8cm,地面上A 处的一只蚂蚁到B 处 吃食,需要爬行的最短路径是多少? 1.已知|x-12|+(z-13)2 和(y-5)2 互为相反数,则以x,y,z为三边的三角形是 三角形. 2.在△ABC 中,BC=6,AC=8,AB= 10,则AB 边上的高为 . 3.在△ABC 中,若AB=41,AC=9,BC =40,则三个内角中较小的两个角的和是 . 4.写出三组勾股数: . 5.在Rt△ABC 中,∠C=90°,若AC+ BC=14,AB=10,则Rt△ABC 的面积为 ( ) A.24 B.36 C.48 D.60 6.在Rt△ABC 中,∠C=90°,则三边长 (从小到大)可能的比是 ( ) A.2∶3∶4 B.3∶5∶7 C.8∶15∶17 D.4∶6∶9 7.以下所给数据为三角形的各边长组 成的三角形是直角三角形的有 ( ) ①7,24,25 ②n2-1,2n,n2+1 ③2n2+2n,2n2+2n+1,2n+1 ④1, 2,3 A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 8.如图,是超市购物车的侧面简化示意 图,测得支架AC=24cm,CB=18cm,两轮 中心的距离AB=30cm,求点C 到AB 的距 离.(结果保留整数) 9.如图①,分别以直角三角形ABC 三 边为直径向外作三个半圆,其面积分别用 S1,S2,S3 表示,则不难证明S1=S2+S3. (1)如图②,分别以直角三角形ABC 三 边为边向外作三个正方形,其面积分别用 S1,S2,S3 表示,那么S1,S2,S3 之间有什么 关系? (不必证明) (2)如 图③,如 果 分 别 以 直 角 三 角 形 ABC 三边为边向外作三个正三角形,其面积 分别用S1,S2,S3 表示,请你确定S1,S2,S3 之间的关系并加以证明. 54 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.(山西中考题)如图是我国古代数学 家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦 图”,它解决的数学问题是 ( ) A.黄金分割 B.垂径定理 C.勾股定理 D.正弦定理 2.(荆门中考题)如图,已知圆柱底面的 周长为4dm,圆柱高为2dm,在圆柱的侧面 上,过点A 和点C 嵌有一圈金属丝,则这圈 金属丝的周长最小为 ( ) A.42dm B.22dm C.25dm D.45dm 第2题 第3题 3.(钦州中考题)如图,在6个边长为1 的小正方形及其部分对角线构成的图形中, 从A 点到B 点只能沿图中的线段走,那么从 A 点到B 点的最短距离的走法共有 ( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 4.(潍坊中考题)我国古代有这样一道 数学问题:“枯木一根直立地上'高二丈周三 尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问: 葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看 作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高 为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A 处 缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B 处. 则问题中葛藤的最短长度是 尺. 第4题 第5题 5.(东营中考题)如图所示,有两棵树, 一棵高12米,另一棵高6米,两树相距8米, 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树 梢,小鸟至少飞行 米. 6.(巴中中考题)若直角三角形的两直 角边长为a,b,且满足 a2-6a+9+|b-4| =0,则该直角三角形的斜边长为 . 7.(湘 西 中 考 题)如图,Rt△ABC 中, ∠C=90°,AD 平分∠CAB,DE⊥AB 于E, 若AC=6,BC=8,CD=3. (1)求DE 的长. (2)求△ADB 的面积. 8.(天水中考题)如图,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点E,∠BAC=90°, ∠CED=45°,∠DCE=30°,DE= 2,BE= 22.求CD 的长和四边形ABCD 的面积. 64