5 第17章 一元二次方程-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（沪科版）

式为y=10x. ②当12≤x≤20时,函数图象过(20,0) 和(12,120)两点, 设日销售量y 与上市时间x 的函数解析 式为y=kx+b, 由待 定 系 数 法 得,12k+b=120 20k+b=0{ ,解 得 k=-15 b=300{ , 即日销售量y 与上市时间x 的函数解析 式为y=-15x+300. 综上所述,日销售量y 与上市时间x 的 函数解析式为y=10x(0≤x≤12)和y= -15x+300(12≤x≤20). (3)由函数图象2可得,第10天和第12 天在第5天和第15天之间, 当5<x≤15时,直线过(5,32),(15,12) 两点, 设草莓价格z 与上市时间x 的函数解析 式为z=kx+b, 由待 定 系 数 法 得,5k+b=32 15k+b=12{ ,解 得 k=-2 b=42{ , 即草莓价格z 与上市时间x 的函数解析 式为z=-2x+42, ∴当x=10时,日销售量y=100千克, 草莓价格z=22元,销售金额为22×100= 2200(元); 当x=12时,日销售量y=120千克,草 莓价格z=18元,销售金额为18×120=2160 (元); ∵2200>2160,∴第10天的销售金额多. 五 八年级下册分章复习 第16章 二次根式 要点回顾 1.a(a≥0) 2.a≥0 3. aa>0( ) 0a=0( ) -aa<0( ){ 4.零 5.a·b= ab 6. a b = a b 7.被开方数的因数是整数,因式是整式 8.最简二次根式 被开方数 9.合并同类 二次根式 10.有理数(式) 基础过关 一、1.B 2.D 3.A 4.B 5.A 6.B 7.B 8.A 9.C 10.D 二、11.6 2 12.1.096 13.< > 14.±3 4 15.n2-1= n-1× n+1(n≥1) 三、16.(1)0.3 (2)原式=26× 3 3-4× 2 4×1=22- 2= 2 17.v = gR = 0.0098×6370 = 0.012×492×22×5×13=0.01×49×2 65 = 49 65 50 (千米/秒) 18.解:原式= (a+b)(a-b) (a-b)2 - a a-b é ë êê ù û úú· a(a-b) b2 = (a+ba-b- a a-b)· a(a-b) b2 = b a-b ·a (a-b) b2 = a b , ∵ a+1+|b- 3|=0, ∴a+1=0,b- 3=0, 解得a=-1,b= 3, 当a=-1,b= 3时,原式= -1 3 =- 3 3. 综合提升 1.10<l<16 2.B 3.1 4. 5- 5 26 =5 5 26 n- n n2+1=n n n2+1 5.D 6.C 7.原式= x,x 取值只要大于2即可. 中考热身 1.D 2.D 3.C 4.D 5.-1或-7 6.7 7.原式=23-1+1- 3= 3. 8.∵x=1- 2,y=1+ 2, ∴x-y=(1- 2)-(1+ 2)=-22, xy=(1- 2)(1+ 2)=-1, ∴x2+y2-xy-2x+2y=(x-y)2- 2(x-y)+xy=(-22)2-2×(-2 2)+ (-1)=7+42. 第17章 一元二次方程 要点回顾 1.一个未知数 整式 ax2+bx+c=0 ax2 bx c 2.未知数 3.(x±m)2=n ax2+bx+c=0(a≠0) 4.因式分解法 5.b2-4ac (1)有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 6.- b a ·7· 基础过关 一、1.D 2.B 3.B 4.C 5.D 6.A 7.B 8.B 9.D 10.C 二、11.3x2-5x+4=0 12.0 1 13.5 14.0 15.本题答案不唯一,如:b=1,c=1 三、16.解:x2-2x+1-3=0 x2-2x+1=3 (x-1)2=3 ∴x-1= 3或x-1=- 3; ∴x1=1+ 3,x2=1- 3 17.解:∵a=1、b=-2、c=0, ∴b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0, ∴x= 2±2 2 ,∴x1=0,x2=2. 18.(1)50-5x (2)19元 19.解:设 x 秒 后 △PCQ 的 面 积 为 Rt△ACB面积的一半. 根据题意,得:1 2 (8-x)(6-x)= 1 2× 1 2×8×6 整理,得:x2-14x+24=0 (x-7)2=25即x1=12,x2=2 x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1= 12不合题意,舍去. 所以2秒后△PCQ 的面积为Rt△ACB 面积的一半. 综合提升 1.- 3 2.20 3.k≥0 4.m+m(1+ x)+m(1+x)2 5.28m 6.C 7.D 8.C 9.解:(1)设剪成的较短的这段为xcm, 较长的这段就为(40-x)cm,由题意,得 x 4 æ è ç ö ø ÷ 2 + 40-x4 æ è ç ö ø ÷ 2 =58,解得:x1=12, x2=28, 当x=12 时,较 长 的 为 40-12=28 (cm),当x=28时,较长的为40-28=12 <28(舍去). ∴较短的这段为12cm,较长的这段就为 28cm. (2)设剪成的较短的这段为 mcm,较长 的这段就为(40-m)cm,由题意,得 m 4 æ è ç ö ø ÷ 2 + 40-m4 æ è ç ö ø ÷ 2 =48,变形 为:m2- 40m+416=0.∵Δ=(-40)2-4×416=-64 <0, ∴原方程无解,∴小峰的说法正确,这两 个正方形的面积之和不可能等于48cm2. 中考热身 1.D 2.C 3.B 4.C 5.B 6.5 7.-1 8.解:(1)设2018年到2020年这种产品 产量的年增长率为x,则 100(1+x)2=121,解得x1=0.1=10%, x2=-2.1(舍去), 答:2018年到2020年这种产品产量的年 增长率为10%. (2)2019年这种产品的产量为:100(1+ 0.1)=110(万件). 答:2019年这种产品的产量应达到110 万件. 第18章 勾股定理 要点回顾 1.a2+b2=c2 c2-a2 2.如果三角形两边的平方和等于第三边 的平方,那么这个三角形是直角三角形 3.(1)能够成为直角三角形三条边的长 度 基础过关 一、1.C 2.A 3.D 4.B 5.B 6.B 7.C 二、8.225 9.10 10.3 11.2 12.6 150 13.18 三、14.(1)AB=25 (2)CD=6.72 15.3600元 16.如图所示,连接AB, 则AB 的长即为A 处到B 处的最短路 程.在Rt△ABD 中,因为AD=AN+ND=5 +10=15,BD=8,所以AB2=AD2+BD2= 152+82=289=172.所以AB=17cm.故蚂蚁 爬行的最短路径为17cm. 综合提升 1.直角 2.4.8 3.90° 4.答案不唯一, 如:3,4,5;6,8,10;5,12,13等 5.A 6.C 7.D 8.解:过点C 作CE⊥AB 于点E,则 CE 的长即为点C 到AB 的距离, 在△ABC 中,∵AC=24,CB=18,AB= 30, ∴AC2+CB2=242+182=900,AB2= 302=900, ∴AC2+BC2=AB2, ∴△ABC 为直角三 角 形,且∠ACB= 90°, ∵S△ABC= 1 2AC ·BC= 1 2CE ·AB, ∴AC·BC=CE·AB,即24×18=CE ×30, ∴CE=14.4≈14, 答:点C 到AB 的距离约为14cm. 9.(1)S1=S2+S3 (2)S1=S2+S3,证 ·8· 第 一 部 分 夯 实 基 础 第17章 一元二次方程 1.一元二次方程 只含有 ,并且未知数的最高次 数是2的 方程,叫做一元二次方程. 我们把 (a,b,c为常数,a≠0)称为一 元二次方程的一般形式(又叫做标准形式), 其中 、 、 分别称为 二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次 项系数和一次项系数. 2.一元二次方程的根 能使一元二次方程两边相等的 的值叫做一元二次方程的根. 3.选择适当的方法解一元二次方程 一元二次方程一般有四种解法,四种解 法对照如下: 解法 适合类型 注意事项 直接开 平方法 n≥0时,有解;n<0 时,无解 配方法 x2 +px+q =0 二次 项 系 数 若 不 为 1,必须先把系数化为 1,再进行配方 公式法 先化为一般形式再用 公式.b2-4ac≥0时, 方程有解;b2-4ac< 0时,方程无解 因式分 解法 方程的一边为 0,另一边能够 分解成两个一 次因式的乘积 方程 的 一 边 必 须 是 0,另一边可用任何方 法分解因式 4.选择的原则:首先要看 或直 接开平方法是否可行,接着考虑配方法,最后 考虑公式法. 5.一元二次方程的根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 根的情况由b2-4ac来确定.我们把b2-4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 根的判别式,通常用符号“Δ”来表示, 即Δ= . 一元二次方程的根的情况与根的判别式 的关系 (1)利用根的判别式判定根的情况. 一般地,方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当Δ>0时, ; 当Δ=0时, ; 当Δ<0时, . (2)根据方程根的情况,确定Δ的取值 范围. 当方程有两个不相等的实数根时,Δ> 0;当方程有两个相等的实数根时,Δ=0;当 方程没有实数根时,Δ<0. 6.一元二次方程的根与系数的关系 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个 根为x1,x2,那么x1+x2= ,x1· x2= c a. 这个关系通常称为韦达定理. 例1 解下列方程: (1)x2+x-1=0;(2)(x-3)2+2x(x -3)=0. 解析:方程(1)为一般形式,不适合用特殊的 解法,可用公式法或配方法来解方程;(2)两 项中有公因式(x-3),可用因式分解法来解. 解:(1)a=1,b=1,c=-1,b2-4ac=1 73 第 一 部 分 夯 实 基 础 +4=5>0,x= -1± 5 2×1 . ∴x1= -1+ 5 2 ,x2= -1- 5 2 . (2)(x-3)2+2x(x-3)=0. (x-3)(x-3+2x)=0, (x-3)(3x-3)=0, ∴x1=3,x2=1. 例2 若关于x 的方程(m2-1)x2-2(m+ 2)x+1=0有实数根,求m 的取值范围. 解析:本题易误认为所给方程是一元二次方 程,而用b2-4ac≥0且 m2-1≠0来解,事 实上,题目中没有指明方程的次数,也没有指 明根的个数,因此应考虑方程为二次方程和 一次方程两种情况. 解:本题有两种情况. (1)若方程是一元二次方程,且有实数 根,则必有 m2-1≠0, b2-4ac=[-2(m+2)]2-4(m2-1)≥0.{ 解得 m≠±1, m≥- 5 4 , ì î í ï ï ï ï 即m≥- 5 4 且m≠±1. (2)若 方 程 为 一 元 一 次 方 程,则 m2-1=0, -2(m+2)≠0,{ 解得m=±1. 当m=1时,原方程为-6x+1=0,有实 数根x= 1 6 , 当m=-1时,原方程为-2x+1=0,有 实数根x= 1 2. 综合(1)(2)得,当m≥- 5 4 时原方程有 实数根. 例3 某校团委准备举办学生绘画展览,为 美化画面,在长为30cm,宽为20cm的矩形 画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的 面积恰好与原画面面积相等(如图).求彩纸 的宽度. 解析:已知矩形长、宽可求出矩形面积和镶边 面积,设彩纸的宽为xcm,然后用x 分别表 示新矩形的长、宽,根据彩纸面积与原画面的 面积相等,列出方程求解即可. 答案:解:设彩纸的宽为xcm, 由题意得(30+2x)(20+2x)=2×30 ×20, 600+60x+40x+4x2=1200. 4x2+100x-600=0, 则x2+25x-150=0, 因式分解,得(x+30)(x-5)=0, 解得x1=5,x2=-30(不合题意,舍 去). 答:彩纸的宽为5cm. 一、选择题 1.下列方程属于一元二次方程的是 ( ) A.(x2-2)·x=x2 B.ax2+bx+c=0 C.x+ 1 x=5 D.x2=0 2.若关于x 的一元二次方程(m-1)x2 +5x+m2-3m+2=0的常数项为0,则m 的 值等于 ( ) A.1 B.2 C.1或2 D.0 83 第 一 部 分 夯 实 基 础 3.方程x2-4x+4=0根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数根 D.没有实数根 4.一元二次方程x2+3x=0的解是 ( ) A.x=-3 B.x1=0,x2=3 C.x1=0,x2=-3 D.x=3 5.方程x2+9x+9=0的两根为x1, x2,则x1+x2+x1x2 等于 ( ) A.-18 B.18 C.9 D.0 6.某种药品零售价经过两次降价后的 价格为降价前的81%,则平均每次降价 ( ) A.10% B.19% C.9.5% D.20% 7.已知2y2+y-2的值为3,则4y2+ 2y+1的值为 ( ) A.10 B.11 C.10或11 D.3或11 8.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风 景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形 挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是 5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x 满足的方程是 ( ) A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0 C.x2-130x-1400=0 D.x2-65x-350=0 9.关于x 的一元二次方程2x2-3x- a2+1=0的一个根为2,则a 的值是 ( ) A.1 B.3 C.- 3 D.± 3 10.已知m 是方程x2-x-1=0的一个 根,则代数式m2-m 的值等于 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 二、填空题 11.将3x2=5x-4化成一元二次方程 的一般形式为 . 12.一元二次方程ax2+bx+c=0,若有 一个根为-1,则a-b+c= ,如果 a+b+c=0,则有一根为 . 13.已知三角形的两边分别是1和2,第 三边的数值是方程x2-3x+2=0的根,则 这个三角形的周长为 . 14.若-2是关于x的一元二次方程(k2- 1)x2+2kx+4=0的一个根,则k= . 15.若关于x 的一元二次方程x2+bx+ c=0没有实数根,则符合条件的一组b,c的 实数值可以是b= ,c= . 三、解答题 16.用配方法解方程: x2-2x-2=0 17.用公式法解方程: x2-2x=0 93 第 一 部 分 夯 实 基 础 18.新冠疫情蔓延全球,口罩成了人们 的生活必需品.某商店销售一款口罩,每袋进 价为12元,计划每袋售价大于12元但不超 过20元,通过市场调查发现,这种口罩每袋 售价为18元时,日均销售量为50袋,而当每 袋售价提高1元时,日均销售量就减少5袋. (1)在每袋售价为18元的基础上,将这 种口罩的售价每袋提高x 元,则日均销售量 是 袋.(用含x 的代数式表示) (2)经综合考察,要想使这种口罩每天赢 利315元,该商场每袋口罩的销售价应定为 多少元? 19.如图,在 Rt△ACB 中,∠C=90°, AC=8m,CB=6m,点P、Q 同时由A,B 两点出发分别沿AC、BC 方向向点C 匀速移 动,它们的速度都是1m/s,几秒后△PCQ 的 面积为Rt△ACB 面积的一半? 1.若关于x 的方程(m- 3)xm2-1-x +3=0 是 一 元 二 次 方 程,则 m 的 值为 . 2.已知a2-4a+4=0,则5a2= . 3.若关于x 的方程x2+2 kx-1=0 有实数根,则k的取值范围为 . 4.某厂1月份的产量为m,如果平均每 月比上个月增长的百分数为x,则该厂第一 季度的产量为 . 5.长方形的长比宽多2m,面积为48m2, 则它的周长为 . 6.下列各方程一定是关于x 的一元二 次方程的是 ( ) A. 5 2x 2+ 1 x=0 B.ax2+bx+c=0 C.(n2+1)x2+n=0 D.mx2+3x=2x(x-1)+2 7.若实数x,y 满足(x+y+2)(x+y- 1)=0,则x+y 的值为 ( ) A.1 B.-2 C.2或-1 D.-2或1 8.某电视机厂计划用两年时间把某种型 号电视机降价19%,若每年下降的百分比相同, 则这个百分数是 ( ) A.19% B.10%或19% C.10% D.9% 9.小林准备进行如下操作实验:把一根 长为40cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围 成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于 58cm2,小林该怎么剪? 04 第 一 部 分 夯 实 基 础 (2)小峰对小林说:“这两个正方形的面 积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗? 请说明理由. 1.(来宾中考题)已知一元二次方程的 两根分别是2和-3,则这个一元二次方程是 ( ) A.x2-6x+8=0 B.x2+2x-3=0 C.x2-x-6=0 D.x2+x-6=0 2.(宁夏中考题)一元二次方程x2-2x -1=0的解是 ( ) A.x1=x2=1 B.x1=1+ 2,x2=-1- 2 C.x1=1+ 2,x2=1- 2 D.x1=-1+ 2,x2=-1- 2 3.(陕西中考题)若x=-2是关于x 的 一元二次方程x2- 5 2ax+a 2=0的一个根, 则a 的值为 ( ) A.1或4 B.-1或-4 C.-1或4 D.1或-4 4.(黄冈中考题)若α,β 是一元二次方 程x2+2x-6=0的两根,则α2+β2 等于 ( ) A.-8 B.32 C.16 D.40 5.(海南中考题)某药品经过两次降价, 每瓶零售价由100元降为81元.已知两次降 价的百分率都为x,那么x 满足的方程是 ( ) A.100(1+x)2=81 B.100(1-x)2=81 C.100(1-x%)2=81 D.100x2=81 6.(襄阳中考题)若正数a 是一元二次 方程x2-5x+m=0的一个根,-a 是一元 二次方程x2+5x-m=0的一个根,则a 的 值是 . 7.(莱芜中考题)若关于x 的方程x2+(k -2)x+k2=0的两根互为倒数,则k= . 8.(大连中考题)某工厂一种产品2018 年的产量是100万件,计划2020年产量达到 121万件.假设2018年到2020年这种产品产 量的年增长率相同. (1)求2018年到2020年这种产品产量 的年增长率. (2)2019年这种产品的产量应达到多少 万件? 14