3 第15章 轴对称图形与等腰三角形-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（沪科版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第15章 轴对称图形与等腰三角形 1.轴对称图形、轴对称的定义 如果一个图形 ,直线两旁的部 分能够互相 ,这个图形就叫做轴对 称图形,这条直线就是它的 . 2.轴对称 一个图形沿着某一条直线折叠,如果它 能够与 重合,那么就说这两个图形 关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折 叠后重合的点是对应点,叫做对称点.两个图 形关于直线对称也叫做 . 3.线段的垂直平分线 经过线段的 这条线段的直线叫 做线段的垂直平分线. 4.图形的轴对称的性质 如果两个图形关于某直线对称,那么对 称轴是 ; 反过来,如果 ,那么这两个图形关于这条 . 5.成 轴 对 称 的 两 个 图 形 的 对 称 轴 的 画法 如果两个图形成轴对称,其对称轴就是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因 此,我们只要找到 ,作出 ,就可以得到这两个图形的对称轴. 6.关于x 轴、y 轴对称的点的特征 在平面直角坐标系中,关于x 轴对称的 点, 不变, 互为相反数;关 于y 轴对称的点,纵坐标 ,横坐标 . 7.用尺规作已知线段的垂直平分线 作法:例如作线段AB 的垂直平分线,分 别以A、B 为端点, 为半径画 弧,两弧交于两点E,F,连接EF,则 就是所求线段的垂直平分线. 8.线段垂直平分线的定理和性质 线段垂直平分线上的点到 相等. 到线段两端距离相等的点在 . 9.等腰三角形的性质与判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形. 等腰三角形的两个 角相等;等腰三 角形的顶角 、底边上的 以 及底边上的 三线合一.如果一个三 角形的两个角 ,那么这两个角所对 的边 .(简称“等角对 ”). 10.等边三角形的性质及判定方法 等边三角形三个内角都 ,每一 个内角都等于 .三个角都相等的三 角形是 三角形;有一个角是 的等腰三角形是等边三角形. 11.含有30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中,如果一个锐角等于 °,那么它所对的 等于斜边的 一半. 12.角平分线 角的平分线上的点到 的距离相 等.角的内部,到角两边距离 的点在 这个角的平分线上. 42 第 一 部 分 夯 实 基 础 例1 学习了轴对称的知识以后,小惠忽然 想起了过去做过的一道题目:有一组数排列 成方阵,如图1所示,试计算这组数的和.小 惠想,方阵就是正方形,正方形是轴对称图 形,能不能利用轴对称的性质来解决方阵的 计算问题呢? 小惠试了试,竟然得到了一种 非常巧妙的方法,你也试试看吧? 图1 图2 解析:观察方阵可以看出,一条对角线上的数 都是5,若把这条对角线当作轴,把正方形对 折一下,就会发现对称位置的两数之和都是 10,问题就很简单了. 答案:正方形的一条对角线上的数都是5,把 这条对角线作为对称轴对折,对称位置的两 数之和都是10,如图2,这样方阵中数的和= 10×10+5×5=125. 点评:认真观察正方形中的数字,找出规律是 解本题的关键. 例2 如图,在△ABC 中,∠B=2∠C,AD ⊥BC 于D,求证:CD=AB+BD. 解析:由于已知AD⊥BC,欲证CD=AB+ BD,AB、BD 不在同一直线上,所以通过构 造垂直平分线可将AB、BD 转换到同一直线 上,进而可得. 答案:证明:在CD 上截取DE=BD,连接AE, 则AD 为BE 的垂直平分线,则AB=AE. 所以∠B=∠AEB, 因 为 ∠B = 2 ∠C,∠AEB = ∠C +∠EAC, 所以 ∠C = ∠EAC,所 以 CE =AE =AB, 因为 CD=CE+ED,所以 CD=AB +BD. 点评:充分利用已知条件AD⊥BC 和∠B= 2∠C,从而构造AD 为某一线段的垂直平分 线,目的是构造等腰三角形,而其中的角的2 倍关系常构造一个以小角为底角的等腰三角 形,利用三角形的外角性质可以解决问题. 例3 如图,在△ABC 中,D,E 分别是AC 和AB 上的一点,BD 与CE 交于点O,给出 下 列 四 个 条 件:① ∠EBO = ∠DCO;② ∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC. (1)上述四个条件中,哪两个条件可以判 定△ABC 是等腰三角形: . (2)根据你所选的条件,证明△ABC 是 等腰三角形. 解析:(1)这是一道条件开放性试题,答案一 般不唯一.可以根据等腰三角形的判定方法 去寻找添加的条件,添加的条件有①③、① ④、②③、②④四种.(2)从中任选一对利用等 腰三角形的性质和判定及三角形全等等有关 知识可以证明. 答案:解:(1)添加的条件可以是①③或①④ 或②③或②④. (2)选取①④,即∠EBO=∠DCO,OB =OC. 证 明:因 为 OB =OC,所 以 ∠OBC 52 第 一 部 分 夯 实 基 础 =∠OCB. 又 ∠EBO = ∠DCO,所 以 ∠OBC + ∠EBO= ∠OCB + ∠DCO,即 ∠ABC = ∠ACB,所以AB=AC. 点评:条件开放性试题的特点是要得到某一 个结论还缺少条件,需要补充完整,其解决方 法类似于分析法,假如结论成立,逐步探索其 成立的条件.此题本身没有什么难度,但留给 同学们一定的自由空间,激发了大家发散思 维、灵活运用知识的能力. 一、选择题 1.若点P(2,2m-1)与点P'(2,2m- 3)关于x 轴对称,则m 的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.0 2.等腰三角形的顶角为80°,则它的底 角是 ( ) A.20° B.50° C.60° D.80° 3.如图,直线OA,OB 和直线AB 表示 相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要 求它到三条公路的距离相等,则可供选择的 地址有 ( ) A.一处 B.两处 C.三处 D.四处 4.如图是一个经过改造的台球桌面的 示意图,图中四个角上的阴影部分分别表示 四个入球孔,一个球按图中所示的方向被击 出(球可以经过多次反射),那么该球最后将 落入的球袋是 ( ) A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋 5.等腰三角形两边长分别为4和8,则 这个等腰三角形的周长为 ( ) A.16 B.18 C.20 D.16或20 6.如图,已知等边△ABC 中,BD=CE, AD 与BE 相交于点P,则∠APE 的度数为 ( ) A.45° B.60° C.55° D.75° 第6题 第7题 … 7.如图,已知:∠MON=30°,点A1,A2, A3…在射线ON 上,点B1,B2,B3…在射线 OM 上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4… 均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7 的 边长为 ( ) A.6 B.12 C.32 D.64 二、填空题 8.如图,在△ABC 中,∠C=90°,点 D 在AC 上,将△BCD 沿着直线BD 翻折,使 点C 落在斜边AB 上的点E 处,DC=5cm, 则点D 到斜边AB 的距离是 cm. 第8题 第9题 62 第 一 部 分 夯 实 基 础 9.如图,在△ABC 中,AB=AC=3cm, AB 的垂直平分线交AC 于点N,△BCN 的 周长是5cm,则BC 的长等于 cm. 10.如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90°, ∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,AD= 3,BC=10,则△BDC 的面积是 . 第10题 第11题 11.如图,∠ABC=50°,AD 垂直且平分 BC 于点D,∠ABC 的平分线BE 交AD 于点 E,连接EC,则∠AEC 的度数是 度. 12.等腰三角形的底角是15°,腰长为 10,则其腰上的高为 . 13.如图,在△ABC 中,BC=8,AB 的 中垂线交BC 于D,AC 的中垂线交BC 于 E,则△ADE 的周长等于 . 三、解答题 14.(温州中考题)如图,在等边三角形 ABC 中,点D,E 分别在边BC,AC 上,DE ∥AB,过点E 作EF⊥DE,交BC 的延长线 于点F. (1)求∠F 的度数. (2)若CD=2,求DF 的长. 15.△ABC 在平面直角坐标系中的位置 如图所示. (1)作 出 与 △ABC 关 于 y 轴 对 称 的△A1B1C1. (2)将△ABC 向下平移3个单位长度, 画出平移后的△A2B2C2. 16.如图,点C 是线段AB 上除点A,B 外的任意一点,分别以AC,BC 为边在线段 AB 的同旁作等边△ACD 和等边△BCE,连 接AE 交DC 于M,连接BD 交CE 于N,连 接 MN. (1)求证:AE=BD. (2)求证:MN∥AB. 1.正方形有 条对称轴,长方形 有 条对称轴. 2.等腰三角形顶角是x°,则一腰上的高 与底边的夹角等于 . 72 第 一 部 分 夯 实 基 础 3.在△ABC 和△ADC 中,下 列 三 个 论断: ①AB=AD;②∠BAC=∠DAC;③BC =DC. 将两个论断作为条件,另一个论断作为 结论构成一个命题,写出一个真命题: . 4.如图,把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折,使C 点落在E 处,BE 与AD 相交于点 O,写出一组相等的线段: (不包括 AB=CD 和AD=BC). 5.如图,△ABC 是边长为3的等边三角 形,△BDC 是等腰三角形,且∠BDC=120°. 以D 为顶点作一个60°角,使其两边分别交 AB 于 点 M,交 AC 于 点 N,连 接 MN,则 △AMN 的周长为 . 6.若△ABC 的边长为a,b,c,且满足a2+ b2+c2=ab+ac+bc,则△ABC 的形状是 ( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 7.下列图形:①平行四边形;②有一个 角是30°的直角三角形;③长方形;④等腰三 角形.其中是轴对称图形的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.已知点P 在线段AB 的中垂线上,点 Q 在线段AB 的中垂线外,则 ( ) A.PA+PB>QA+QB B.PA+PB<QA+QB C.PA+PB=QA+QB D.不能确定 9.如图,已知∠AOP=∠BOP=15°, PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4,则PD 等于 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 10.将一张长方形纸片的一角折叠,使 点A 落在A'处,BC 为折痕,然后把BE 折 过去,使之与A'B重合,折痕为BD,那么两 条折痕BC 与BD 的夹角是多少度? 82 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.(防城港中考题)在等腰△ABC 中, AB=AC,其周长为20cm,则AB 边的取值 范围是 ( ) A.1cm<AB<4cm B.5cm<AB<10cm C.4cm<AB<8cm D.4cm<AB<10cm 2.(南充中考题)如图,在△ABC 中,AB =AC,且D 为BC 上一点,CD=AD,AB= BD,则∠B 的度数为 ( ) A.30° B.36° C.40° D.45° 第2题 第3题 3.(吉林中考题)如图,△ABC 中,∠C =45°,点D 在AB 上,点E 在BC 上.若AD =DB=DE,AE=1,则AC 的长为 ( ) A.5 B.2 C.3 D.2 4.(丽水中考题)如图,在△ABC 中,AB =AC,AD⊥BC 于点D,若AB=6,CD=4, 则△ABC 的周长是 . 5.(钦州中考题)如图,△ABC 中,∠A= 40°,AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D, ∠DBC=30°,若AB=m,BC=n,则△DBC 的 周长为 . 6.(衡阳中考题)如图,在△ABC 中,AB =AC,BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足 分别为点E,F.求证:△BED≌△CFD. 7.(龙岩中考题)如图,E,F 分别是等边 三角形ABC 的边AB,AC 上的点,且BE= AF,CE,BF 交于点P. (1)求证:CE=BF. (2)求∠BPC 的度数. 92 边 SSS 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 基础过关 一、1.A 2.A 3.A 4.A 5.D 6.A 7.A 8.C 二、9.4 10.5 三、11.证明:在△ABE 和△ACD 中, AB=AC ∠A=∠A AE=AD{ , ∴△ABE≌△ACD(SAS). ∴∠B=∠C. 12.(1)可证Rt△ABF≌Rt△CDE(HL) 得BF=DE,再 证 Rt△BMF≌Rt△DME (AAS),∴MB=MD,ME=MF. (2)成立,证明方法同(1). 综合提升 1.答案不唯一,如 AC=A'C'或∠B= ∠B'或∠C=∠C' 2.答案不唯一,如AH= CB 3.4 4.90° 5.B 6.C 中考热身 1.C 2.130° 3.AB=DC(答案不唯 一) 4.证明:∵BC∥DE, ∴∠ABC=∠BDE. 在△ABC 与△EDB 中, AB=ED ∠ABC=∠EDB BC=DB{ ∴△ABC≌△EDB(SAS), ∴∠A=∠E. 5.解:(1)△ABE≌△CDF,△AFD≌ △CEB. (2)如图,∵AB∥CD, ∴∠1=∠2, ∵AF=CE, ∴AF+EF=CE+EF, 即AE=FC, 在△ABE 和△CDF 中, ∠1=∠2 ∠ABE=∠CDF AE=CF{ ∴△ABE≌△CDF(AAS). 第15章 轴对称图形与 等腰三角形 要点回顾 1.沿着某一条直线折叠 完全重合 对 称轴 2.另一个图形 轴对称 3.中点并且垂直于 4.任何一对对称点所连线段的垂直平分 线 两个图形各对称点的连线被同一条直线 垂直平分 直线对称 5.一组对称点 该对称点连线的垂直平 分线 6.横坐标 纵坐标 不变 互为相反数 7.大于 1 2AB 的长 直线EF 8.线段两端的距离 线段的垂直平分线上 9.底 平分线 中线 高 相等 相等 等边 10.相等 60° 等边 60° 11.30 直角边 12.角的两边 相等 基础过关 一、1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.B 7.C 二、8.5 9.2 10.15 11.115 12.5 13.8 三、14.解:(1)∵△ABC 是等边三角形, ∴∠B=60°,∵DE∥AB,∴∠EDC= ∠B=60°, ∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,∴∠F= 90°-∠EDC=30°. (2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°, ∴△EDC 是等边三角形.∴ED=DC= 2, ∵∠DEF=90°,∠F=30°,∴DF=2DE =4. 15.解:作图如图所示: (1)作出A,B,C 关于y 轴的对称点A1, B1,C1,顺次连接A1B1,B1C1,C1A1. (2)将A,B,C 按平移条件找出它的对应 点A2,B2,C2,顺次连接A2B2,B2C2,C2A2. 16.证明:(1)∵△ACD 和△BCE 是等边 三角形,∴AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°, ∠ECB =60°.∵ ∠DCA = ∠ECB =60°, ∴∠DCA+ ∠DCE = ∠ECB + ∠DCE, ∴∠ACE=∠DCB. 在△ACE 与△DCB 中, ∵ AC=DC ∠ACE=∠DCB CE=CB{ , ∴△ACE≌△DCB,∴AE=BD. (2)∵ 由 (1)得,△ACE ≌ △DCB, ·5· ∴∠CAM=∠CDN.∵∠ACD=∠ECB= 60°,而A,C,B 三点共线,∴∠DCN=60°,在 △ACM 与△DCN 中,∵ ∠MAC=∠NDC AC=DC ∠ACM=∠DCN{ , ∴△ACM≌△DCN,∴MC=NC.∵∠MCN =60°,∴△MCN 为等边三角形,∴∠NMC =∠DCN=60°,∴∠NMC=∠DCA,∴MN ∥AB. 综合提升 1.4 2 2. x° 2 3. 在△ABC 和△ADC 中,如果 AB=AD,∠BAC=∠DAC,那么 BC=DC 4.答案不唯一,如OB=OD 等 5.6 6.D 7.B 8.D 9.C 10.解:由 折 叠 的 性 质:∠CBA = ∠CBA',∠DBE=∠DBE', 又 ∵ ∠CBA + ∠CBA' + ∠DBE + ∠DBE'=180°, ∴∠CBA'+∠DBE'=90°, ∴∠CBD=∠CBA'+∠DBE'= 1 2∠ABE =90°. 即BC 与BD 的夹角是90度. 中考热身 1.B 2.B 3.D 4.20 5.m+n 6.证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°, ∵AB=AC, ∴∠B=∠C, 在△BED 和△CFD 中, BD=CD ∠B=∠C ∠DEB=∠DFC{ , ∴△BED≌△CFD(AAS). 7.解:(1)证明:∵△ABC 是等边三角形, ∴BC=AB,∠A=∠EBC=60°, ∴在△BCE 与△ABF 中, BC=AB ∠EBC=∠A BE=AF{ , ∴△BCE≌△ABF(SAS), ∴CE=BF. (2)∵由(1)知△BCE≌△ABF, ∴∠BCE=∠ABF, ∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF =∠ABC=60°,即∠PBC+∠PCB=60°, ∴∠BPC=180°-60°=120°. 即:∠BPC=120°. 四 八年级上册过关检测 一、1.C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 二、11.略 12.70° 15cm 13.y=x+2或 y=-x+2 14.②③ 三、15.略 16.证明:∵AD 是连接点A 与BC 中点 D 的支架, ∴BD=DC. 在△ABD 和△ACD 中, AB=AC BD=CD, AD=AD(公共边){ ∴△ABD≌△ACD(SSS). ∴∠ADB=∠ADC, ∵∠ADB+∠ADC=180°, ∴∠ADB=∠ADC=90°, ∴AD⊥BC. 17.解:∵点P(3,-6)在y=k1x 和y= k2x-9上,∴-6=3k1,-6=3k2-9 ∴k1=-2,k2=1. ∴y=-2x,y=x-9. ∵一次函数y=x-9与x 轴相交, 当y=0时,x=9, ∴一次函数y=x-9与x 轴交点为(9, 0). 18.解:∵在△ABC 中,∠A+∠B+∠C =180° ∴∠B+∠C=180°-∠A=180°-30°= 150°, ∵∠B=2∠C, ∴∠B=100°,∠C=50° ∴△ABC 按边分属于不等边三角形,按 角分属于钝角三角形. 19.略 20.解:(1)∵函数的图象在y 轴上的截 距为-3,∴m-2=-3,解得m=-1. (2)∵函数的图象平行于直线y=x+1, ∴2m+1=1,解得m=0. (3)∵函数的值y 随自变量x 的增大而 减小,∴2m+1<0, ∴m<- 1 2. 21.相 等.证 明:∵∠ACB=∠ADB= 90°,AD=BC, 在Rt△ABC 和Rt△BAD 中 AD=BC,AB=BA ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL) ∴∠CAE=∠DBF,AC=BD 在Rt△CAE 和Rt△DBF 中, 又∵∠CEA=∠DFB=90° ∴△CAE≌△DBF(AAS) ∴CE=DF. 22.解:(1)120千克. (2)①当0≤x≤12时,函数图象过原点 和(12,120)两点, 设日销售量y 与上市时间x 的函数解析 式为y=kx. 由待定系数法得,120=12k,∴k=10, 即日销售量y 与上市时间x 的函数解析 ·6·