3 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（沪科版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 1.由 上的三条线段首尾依次 相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形 的线段叫做三角形的 ;相邻两边的 叫做三角形的顶点; 所组 成的角叫做三角形的内角. 2.三角形的分类 三角形中,三条边 的三角形叫 做不等边三角形;有 条边相等的三 角形叫做等腰三角形; 条边都相等 的三角形叫做等边三角形(正三角形).等腰 三角形中,相等的两边叫做 ,第三边 叫做 . 的夹角叫做顶角, 与 的夹角叫做底角. 三角形按边长关系,可分为: 三 角形, 三角形(等边三角形是特殊的等 腰三角形). 3.三角形的三边关系 三角形 中 任 何 两 边 的 和 第 三边. 三角形中任何两边的差 第 三边. 4.三角形按角的大小,可分为: 三角形 三角形 三角形 三角形 三角形{ ì î í ï ï ï ï 5.三角形三个内角的和等于180°.即: △ABC 中,∠A+∠B+∠C= . 6.三角形中几条重要线段 角平分线:三角形中,一个角的平分线与 这个角 相交,顶点与交点之间的 叫做三角形的角平分线. 中线:三角形中,连接一个顶点与它对边 的线段叫做三角形的中线. 高线:从三角形的一个顶点到它对边所 在直线的 叫做三角形的高. 重心:三角形三条 交于一点,这 个点就是三角形的重心. 7.命题 学习几何需要观察和实验,同时也需要 学会推理. 是一种思维活动.人们在 思维活动中,常要对事物的情况作出种种判 断.可以判断出正确、不正确的语句或式子叫 做 .正确的命题叫 ,错误的 命题叫做 .每个命题都是由 和 两部分组成,题设是 事项, 是由已知事项推出的事项.命题常 写成“如果……那么……”的形式,“如果”引 出的是条件,“那么”引出的是结论.对于有些 条件、结论不太分明的命题,可先改写成“如 果……那么……”的形式,再找条件和结论. 8.互逆命题 将命题“如果p,那么q”中的条件与结 论互换,便得到一个新命题“如果q,那么 p”,我们把这样的两个命题称为 .其 中一 个 叫 做 原 命 题,另 一 就 叫 做 原 命 题 的 . 9.反例 要说明一个命题是假命题,通常可以举 出一个例子,使之符合命题的条件,但不满足 命题的结论,这种例子称为 . 10.基本事实、定理、证明 几何推理中,把那些人们从长期实践中 总结出来,不需要再作证明的 叫做 61 第 一 部 分 夯 实 基 础 .也叫基本事实. 有些命题是从基本事实或其他真命题出 发,用 方法判断为正确的,并被选作 判断命题真假的依据,这样的真命题叫做 . 从已知条件出发,依据定义、公理、已证 定理,并按照逻辑规则,推导出结论,这一方 法称为 (或演绎法),演绎推理的过 程就是演绎证明,简称 . 11.证明过程 在证明命题时,要分清命题的条件和结 论,如果问题与图形有关,首先,根据条件画 出图形,并在图形上标出有关字母与符号;再 结合图形,写出 、 ;然后,分 析因果关系,找出证明途径;最后有条理地写 出 过程.在证明过程中,为了证明的 需要,在原来图形上添画的线叫做 . (辅助线通常画成虚线) 12.推论、直角三角形的性质、判断 推论1:直角三角形的两锐角 . 推论2:有两个角互余的三角形是 . 由基本事实、定理直接得出的真命题叫 做 . 13.外角、外角与内角的关系 由三角形的一边与另一边的 组 成的角,叫做三角形的 . 推论3:三角形的一个外角 与 它不相邻的两个内角的和. 推论4:三角形的一个外角 与 它不相邻的任何一个内角. 例1 已知三角形三个内角的度数之比为 1∶3∶5,求这个三角形各个角的度数. 解析:解法一:设这个三角形的三个内角分别 为x,3x,5x,则 x+3x+5x=180° 解得:x=20° 所以这个三角形的三个内角分别是20°, 60°,100°. 解法二:180°× 1 9=20° ,180°× 3 9=60° , 180°× 5 9=100°. 答案:因此,这三个内角的度数分别为20°、 60°、100°. 例2 把“对顶角相等”改写成“如果……那 么……”的形式. 解析:“对顶角”说明的是一个位置关系,而 “相等”则是数量关系.具有这样的位置关系 的两个角,数量关系是相等.依照这样的样子 就写出来了. 答案:如果两个角是对顶角,那么这两个角相等. 例3 如 图 所 示,AB∥CD,若∠ABF= 120°,∠DCF=35°,求∠BFC 的度数. 解 析:可 以 延 长 BF,∠BFC = ∠C + ∠FEC,而∠FEC 又可以根据“两直线平行, 同旁内角互补”求出. 答案:解:延长BF 交CD 于点E, ∵AB∥CD, ∴∠B+∠BEC=180°.(两直线平行, 同旁内角互补) ∴∠BEC=180°-120°=60°. 又∵∠BFC 是△FCE 的外角, ∴∠BFC=∠C+∠BEC=35°+60°=95°. 71 第 一 部 分 夯 实 基 础 点评:本题通过延长BF,将分散的三个角通 过三角形外角、内角的关系给串联起来了,从 而达到解题的目的. 一、填空题 1.命题“如果a+b=0,那么a,b互为相 反数”的逆命题为 . 2.三角形的一边是8,另一边是1,第三 边如果是整数,则第三边是 ,这个三 角形是 三角形. 3.△ABC 的周长是36,a+b=2c,a∶b =1∶2,则a= ,b= ,c = . 4.等 腰 △ABC 中,AB =AC,BC= 6cm,则△ABC 的周长C 的取值范围是 . 5.(佛山中考题)如图是一副三角板叠 放的示意图,则∠α= . 6.命题“对顶角相等”的逆命题是 ,这个逆命题是 命题. 7.直角三角形的两个锐角的平分线所 交成的角的度数是 . 8.(扬州中考题)若等腰三角形的两条 边长分别为7cm 和14cm,则它的周长为 cm. 二、选择题 9.三角形的三边分别为3,1-2a,8,则 a 的取值范围是 ( ) A.-6<a<-3 B.-5<a<-2 C.2<a<5 D.a<-5或a>-2 10.在△ABC 中,如果∠A-∠B=90°, 那么△ABC 是 ( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.斜三角形 11.下列不属于命题的是 ( ) A.两直线平行,同位角相等 B.如果x2=y2,则x=y C.过C 点作CD∥EF D.不相等的角就不是对顶角 12.已知:如图,∠A=32°,∠B=45°, ∠C=38°,则∠DFE 等于 ( ) A.120° B.115° C.110° D.105° 第12题 第13题 13.(临 沂 中 考 题)如图,已知l1∥l2, ∠A=40°,∠1=60°,则∠2的度数为 ( ) A.40° B.60° C.80° D.100° 三、解答题 14.如图,△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线BD,CE 相交于点O,∠ABC= 40°,∠ACB=80°,求∠BOC 的度数. 81 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.已知三角形的两边长分别为5cm和 8cm,则 此 三 角 形 的 周 长l 的 取 值 范 围 是 . 2.如图,四边形OABC 中,OA=OB=O C,∠2 是 ∠1 的 4 倍,那 么 ∠4 是 ∠3 的 倍. 3.下列各边可以组成三角形的是 ( ) A.4,6,10 B.6,8,10 C.8,10,18 D.8,15,30 4.如图,△ABC 中,AD,AE 分别是高 与角平分线,∠B=33°,∠C=67°,则∠EAD 等于 ( ) A.7° B.17° C.27° D.34° 5.如图,草原上的四口油井位于四边形 ABCD 的4个顶点,现在要建立一个贮油库 M,使它到四口油井的距离之和 MA+MB +MC+MD 最小.请画出点 M 的位置,并说 明理由. 1.(包头中考题)长为9,6,5,4的四根木 条,选其中三根组成三角形,选法有 ( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 2.(福州中考题)下列命题中,假命题是 ( ) A.对顶角相等 B.三角形两边和小于第三边 C.菱形的四条边都相等 D.多边形的外角和等于360° 3.(广东中考题)一个等腰三角形的两 边长分别是3和7,则它的周长为 ( ) A.17 B.15 C.13 D.13或17 4.(随州中考题)将一副直角三角板如 图放置,使含30°角的三角板的直角边和含 45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的 度数为 度. 5.(益阳中考题)如图,EF∥BC,AC 平 分∠BAF,∠B=80°.求∠C 的度数. 91 m=-2. (2)根据题意,得 2m-1>0 m2-3=1 m>0{ ,解得 m=2. (3)当m=2时,y=(2m-1)xm2-3+ m 变为y=3x+2.令x=0,则y=2,即B 点 坐标为(0,2).所以OB=2.令y=0,则x= - 2 3 ,即 A 点坐标为 - 2 3 ,0 æ è ç ö ø ÷.所以 OA= - 2 3 = 2 3. 所以S△OAB= 1 2 ·OA·OB= 1 2× 2 3×2= 2 3. 8.解:(1)若购买120张票时, 方案一购票总价:y=8000+50x=14000 (元), 方案二购票总价:y=13200元. (2)当0<x≤100时,设y=kx,代入 (100,12000)得 12000=100k,解得k=120, ∴y=120x. 当x>100时,设y=kx+b,代入(100, 12000)、(120,13200)得 100k+b=12000 120k+b=13200{ ,解得 k=60 b=6000{ , ∴y=60x+6000. ∴y= 120x (0<x≤100) 60x+6000(x>100){ . (3)由(1)可知,要选择方案一比较合算, 必须超过120张,由此得 8000+50x<60x+6000,解得x>200, 所以至少买201张票时选择方案一比较 合算. 中考热身 1.B 2.B 3.C 4.x≥-2且x≠0 5.解:(1)当0≤x≤20时,y 与x 的函数 表达式是y=2x; 当x>20时,y 与x 的函数表达式是y= 2×20+2.8(x-20)=2.8x-16. (2)因为小颖家五月份的水费不超过40 元,四月份的水费超过40元, 所以把y=38代入y=2x 中,得x=19; 把y=45.6代入y=2.8x-16中,得x= 22. 所以22-19=3(吨). 答:小 颖 家 五 月 份 比 四 月 份 节 约 用 水 3吨. 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 要点回顾 1.不在同一直线 边 公共点 任意两 边 2.互不相等 两 三 腰 底边 两腰 腰 底边 不等边 等腰 3.大于 小于 4.直角 斜 锐角 钝角 5.180° 6.对边 线段 中点 垂线段 中线 7.推理 命题 真命题 假命题 题设 结论 已知 结论 8.互逆命题 逆命题 9.反例 10.真命题 公理 推理 定理 演绎 推理 证明 11.已知 求证 证明 辅助线 12.互余 直角三角形 推论 13.延长线 外角 等于 大于 基础过关 一、1.如果a,b互为相反数,那么a+b=0 2.8 等腰 3.8 16 12 4.C>12cm 5.75° 6.相等的角是对顶角 假 7.45°或 135° 8.35 二、9.B 10.B 11.C 12.B 13.D 三、14.解:∵∠ABC 和∠ACB 的 平 分 线 BD,CE 相交于点O,∠ABC=40°,∠ACB= 80°, ∴∠DBC= 1 2∠ABC=20° ,∠ECB= 1 2∠ACB=40° , ∴∠BOC=180°-∠DBC-∠ECB= 180°-20°-40°=120°. 综合提升 1.16cm<l<26cm 2.4 3.B 4.B 5.M 的位置在AC,BD 的交点处. 理由:假设在 M'点,则BM' +DM'>BD=BM+DM. 同理,假设在 M″ 点,AM″+M″C>AC=AM+MC.要使 MA +MB+MC+MD 最小,点 M 必是AC,BD 的交点. 中考热身 1.C 2.B 3.A 4.75 5.解:∵EF∥BC, ∴∠BAF=180°-∠B=100°, ∵AC 平分∠BAF, ∴∠CAF= 1 2∠BAF=50° , ∵EF∥BC, ∴∠C=∠CAF=50°. 第14章 全等三角形 要点回顾 1.全等形 2.相互重合 相等 相互重合 相等 相互重合 3.边角边 SAS 角边角 ASA 边边 ·4·