3 第12章 一次函数-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（沪科版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第12章 一次函数 1.变量、常量和函数的概念 在某个变化过程中,数值保持不变的量, 叫做 ,可以取不同的数值且变化的 量是 .如圆的周长C 与半径r之间的 关系式C=2πr中,常量是 ,变量是 .一般地,设在一个变化过程中有两 个变量x、y,如果对于x 在它允许范围内的 每一个值,y 都有 的值与它对应,那 么就说x 是 ,y 是x 的 .如 果当x=a 时,y=b,那么b就叫做当自变量 的值为a 时的 . 2.函数表示方法 (1)列表法 通过列出 的值,与对应 的表格来表示函数关系的方法叫做列表法. 这样表示函数的优点是非常直观,表格中已 有的自变量的每一个值,不需要计算就可以 直接从表格中找到与它对应的函数值,使用 起来较方便. (2)解析法 用 表示函数关系的方法叫做解 析法.用解析法表示函数关系能准确地表示 出自变量与其函数之间的数量关系,能很准 确地得到所有自变量与其对应的函数值.如: 已知圆的半径是r,圆的面积S 与半径r 的 关系式为: ,这种表示方法就是解析 法.其中的等式叫做函数表达式. (3)图象法 一般地,对于一个函数,把自变量x 与 函数y 的每对对应值分别作为点的 、 ,在坐标平面内,描出相应的点,由 这些点组成的图形,就叫做这个函数的图象. 用图象表示两个变量之间的 的方 法,叫做图象法. 3.一次函数的概念与图象 一般地,如果变量y 与x 有关系式 ,那么,y 叫做x 的一次函数.一般地,一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象是一条直线,这条直线与y 轴相 交于点( ),这里 叫做截距. 画一次函数的图象,可直接先确定这条直线 上的任意两点,然后过这两点画一条直线就 行了.如直线y=2x-1的截距是 . 4.直线y=kx+b 与直线y=kx 的 关系 直线y=kx+b 可以看作是由直线y= kx 平移 个单位而得到,当 时,向上平移;当 时,向下平移.如直 线y=x+2可以由直线y=x 经过 得到. 5.一次函数图象的性质 一次函数y=kx+b(k、b 为常数,且k ≠0)有下列性质:当k>0时,y 随x 的增大 而 ,图象是自左向右 的直 线,且一定经过第 象限;当k<0时, y 随x 的增大而 ,图象是自左向右 的直线.可以简记为“大撇(/)小捺 (﹨)”.例如,一次函数y=-2x+3中,y 的 值随x 值增大而 (填“增大”或“减 小”). 6.待定系数法确定一次函数解析式的 步骤 (1)设所求的一次函数关系式为: 9 第 一 部 分 夯 实 基 础 . (2)根据已知条件列出关于k、b的 . (3)解方程组,求得k、b的值. (4)把求得k、b的值代入所设的解析式. 7.分段函数 在 的不同取值范围内表示 关系的表达式有不同的形式,这样的函 数称为分段函数. 8.一元一次方程、不等式与一次函数的 联系 一元一次方程kx+b=0(k≠0)的根就 是一次函数y=kx+b的图象与 轴 交点的 坐标.一元一次不等式kx+b >0(或kx+b<0)(k≠0),它的解集可以看 作一次函数y=kx+b取正值(或负值)时对 应 的取值范围. 9.二元一次方程与一次函数的联系 一般地,一个二元一次方程都可以转化 为一个一次函数y=kx+b(k、b 为常数,且 k≠0)的形式,所以,每一个二元一次方程都 对应一个 ,也对应 . 10.二元一次方程组图象解法 利用图象法解二元一次方程组时,一般 按下列步骤:(1)在同一平面直角坐标系内画 出每个二元一次方程组所对应的 ; (2)观察这两条直线是否 ,如果有, 找出交点坐标(a,b);(3)写出方程组的解: . 例1 小芳的爷爷每天坚持体育锻炼,某天 他慢步行走到离家较远的公园,打了一会儿 太极拳,然后沿原路跑步到家里,下面能够反 映当天小芳爷爷离家的距离y(米)与时间x (分钟)之间的关系的大致图象是 ( ) A B C D 解析:分三段考虑,①慢步到公园,此时y 随 x 的增大缓慢增大;②打太极,y 随x 的增 大,不变;③跑步回家,y 随x 的增大,快速减 小,结合选项判断即可. 答案:C 例2 “五一”节期间,申老师一家自驾游去 了离家170千米的某地,下面是他们离家的 距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间 的函数图象. (1)他们出发半小时时,离家多少千米? (2)求出AB 段图象的函数表达式. (3)他们出发2小时后,离目的地还有多 少千米? 解析:此 题 主 要 是 将实际问题转化为 函 数 的 问 题 来 解 决,利 用 待 定 系 数 法来确定一次函数 的表达式,给出自变量的值来求出相应的函 数值. 解:(1)由图象可设OA 段图象的函数表 达式为y=kx. 当x=1.5时,y=90; 所以:1.5k=90,解得k=60,即y=60x (0≤x≤1.5). 01 第 一 部 分 夯 实 基 础 当x=0.5时,y=60×0.5=30. 答:行驶半小时时,他们离家30千米. (2)由图象可设AB 段图象的函数表达 式为y=k'x+b, 因为A(1.5,90),B(2.5,170)在AB 上, 代入得: 90=1.5k'+b 170=2.5k'+b{ ,解 得:k'=80,b = -30, 所以y=80x-30(1.5<x<2.5). (3)当x=2时,代入得:y=80×2-30 =130,所以170-130=40. 答:他们出发2小时后,离目的地还有 40千米. 例3 某商场计划购进A,B 两种新型节能 台灯共100盏,这两种台灯的进价、售价如表 所示: 价格 类型 进价(元/盏) 售价(元/盏) A 型 30 45 B 型 50 70 (1)若商场预计进货款为3500元,则这 两种台灯各购进多少盏? (2)若商场规定B 型台灯的进货数量不 超过A 型台灯数量的3倍,应怎样进货才能 使商场在销售完这批台灯时获利最多? 此时 利润为多少元? 解析:(1)设商场应购进A 型台灯x 盏,表示 出B 型台灯为(100-x)盏,然后根据进货款 =A 型台灯的进货款+B 型台灯的进货款 列出方程求解即可. (2)设 商 场 销 售 完 这 批 台 灯 可 获 利 y 元,根据获利等于两种台灯的获利总和列式 整理,再求出x 的取值范围,然后根据一次 函数的增减性求出获利的最大值. 解:(1)设商场应购进A 型台灯x 盏,则 B 型台灯为(100-x)盏. 根据题意得,30x+50(100-x)=3500, 解得x=75,所以,100-75=25, 答:应购进 A 型台灯75盏,B 型台灯 25盏. (2)设 商 场 销 售 完 这 批 台 灯 可 获 利 y 元, 则y=(45-30)x+(70-50)(100-x) =15x+2000-20x =-5x+2000, ∵B 型台灯的进货数量不超过A 型台 灯数量的3倍, ∴100-x≤3x,∴x≥25, ∵k=-5<0, ∴x=25时,y 取得最大值,为-5×25 +2000=1875(元). 答:商场购进A 型台灯25盏,B 型台灯 75盏,销售完这批台灯时获利最多,此时利 润为1875元. 一、填空题 1.(泰州中考题)将一次函数y=3x-1 的图象沿y 轴向上平移3个单位后,得到的 图象对应的函数关系式为 . 2.已知一次函数y=-x+a 与y=x+ b的图象相交于点(m,8),则a+b= . 3.一次函数y=(k+1)x+k-2的图象 经过 第 一、三、四 象 限,则 k 的 取 值 范 围 是 . 4.(威海中考题)一次函数y1=kx+b与 11 第 一 部 分 夯 实 基 础 y2=x+a的图象如图,则kx+b>x+a的解 集是 . 5.老师给出一个函数,甲、乙、丙各正确 地指出了这个函数的一个性质: 甲:函数的图象经过第一象限; 乙:函数的图象经过第三象限; 丙:在每个象限内,y 随着x 的增大而 增大. 请你根据他们的叙述构造满足上述性质 的一个函数: . 6.(株洲中考题)直线y=k1x+b1(k1>0) 与y=k2x+b2(k2<0)相交于点(-2,0),且两 直线与y轴围成的三角形面积为4,那么b1- b2 等于 . 二、选择题 7.一次函数y=kx+2经过点(1,1),那 么这个一次函数 ( ) A.y 随x 的增大而增大 B.y 随x 的增大而减小 C.图象经过原点 D.图象不经过第二象限 8.直线y=-x+2和直线y=x-2的 交点P 的坐标为 ( ) A.P(2,0) B.P(-2,0) C.P(0,2) D.P(0,-2) 9.(深圳中考题)已知函数y=ax+b经 过(1,3),(0,-2),则a-b等于 ( ) A.-1 B.-3 C.3 D.7 10.直线y=- 4 3x+4 和x 轴、y 轴分 别相交于点A,B,在平面直角坐标系内,A, B 两点到直线a 的距离均为2,则满足条件 的直线a 的条数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11.如果规定[x]表示不大于x 的最大 整数,例如[2.3]=2,那么函数y=x-[x]的 图象为 ( ) A. B. C. D. 12.已知整数x 满足-5≤x≤5,y1=x +1,y2=-2x+4,对任意一个x,m 都取 y1,y2 中的较小值,则m 的最大值是 ( ) A.1 B.2 C.24 D.-9 13.(北京中考题)园林队在某公园进行 绿化,中间休息了一段时间.已知绿化面积S (单位:平方米)与工作时间t(单位:小时)的 函数关系的图象如图,则休息后园林队每小 时绿化面积为 ( ) A.40平方米 B.50平方米 C.80平方米 D.100平方米 21 第 一 部 分 夯 实 基 础 三、解答题 14.已知一次函数y=(6+3m)x+(n -4). (1)当m,n 为何值时,y 随x 的增大而 减小? (2)当m,n 为何值时,函数的图象与y 轴的交点在x 轴的下方? (3)当 m,n 为何值时,函数图象经过 原点? 15.某气象研究中心观测一场沙尘暴从 发生到结束全过程,开始时风暴平均每小时 增加2千米/时,4小时后,沙尘暴经过开阔 荒漠地,风速变为平均每小时增加4千米/ 时,一段时间,风暴保持不变,当沙尘暴遇到 绿色植被区时,其风速平均每小时减小1千 米/时,最终停止.结合风速与时间的图象,回 答下列问题: (1)在y 轴括号内填入相应的数值. (2)沙尘暴从发生到结束,共经过多少 小时? (3)求出当x≥25时,风速y(千米/时) 与时间x(小时)之间的函数关系式; (4)若风速达到或超过20千米/时,称为 强沙尘暴,则强沙尘暴持续多长时间? 16.(吉林中考题)甲、乙两辆汽车分别 从A,B 两地同时出发,沿同一条公路相向 而行,乙车出发2h后休息,与甲车相遇后,继 续行驶.设甲、乙两车与B 地的路程分别为 y甲(km),y乙 (km),甲车行驶的时间为 x (h),y甲,y乙 与x 之间的函数图象如图所 示,结合图象解答下列问题: (1)乙车休息了 h. (2)求乙车与甲车相遇后y乙 与x 的函 数解析式,并写出自变量x 的取值范围. (3)当两车相距40km 时,直接写出x 的值. 1.已知点A 是直线y=x+1上一点, 其横坐标为- 1 2 ,若点B 与点A 关于y 轴对 称,则点B 的坐标为 . 2.直线y=- 1 2x-1 可以由y=- 1 2x +3向 平移 个单位得到. 31 第 一 部 分 夯 实 基 础 3.已知一次函数y=2x-1,它的函数 值在-5到5的范围内,则x 的取值范围应 是 . 4.已知2y-m 与3x+5m 成正比例,且 当3x+5m=1时,2y-m=2,当x=1时,y =2,则y 与x 的函数关系式为 ( ) A.y=3x+ 2 11 B.y=3x- 2 11 C.y=-3x- 2 11 D.y=3x-1 5.如图,直线y1=kx+b和y2=bx+k 的图象在同一坐标系内的位置可能是( ) 6.一游泳池长90m,甲、乙两人分别在 游泳池相对两边同时朝另一边游泳,甲的速 度是3m/s,乙的速度是2m/s.图中的实线和 虚线分别为甲、乙与游泳池一边的距离随游泳 时间的变化而变化的图象.若不计转向时间, 则从开始起到3min止他们相遇的次数为 ( ) A.2次 B.3次 C.4次 D.5次 7.(1)已知y=(2m-1)xm2-3+m 是一 次函数,且y 随x 的增大而减小,求m 的值. (2)若y=(2m-1)xm2-3+m 是一次函 数,且函数图象过第一、二、三象限,求 m 的值. (3)若(2)中的一次函数图象与x 轴、 y 轴交于A,B 两点,求△ABO 的面积. 8.(常德中考题)在体育局的策划下,市体 育馆将组织明星篮球赛,为此体育局推出两种 购票方案(设购票张数为x,购票总价为y): 方案一:提供8000元赞助后,每张票的 票价为50元; 方案二:票价按图中的折线OAB 所表 示的函数关系确定. (1)若购买120张票时,按方案一和方案 二分别应付的购票款是多少? (2)求方案二中y 与x 的函数关系式. (3)至少买多少张票时选择方案一比较 合算? 41 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.(黔南中考题)正比例函数y=kx(k ≠0)的图象在第二、四象限,则一次函数y= x+k的图象大致是 ( ) A B C D 2.(南宁中考题)“黄金1号”玉米种子的 价格为5元/千克,如果一次购买2千克以上 的种子,超过2千克部分的种子价格打6折, 设购买种子数量为x 千克,付款金额为y 元,则y 与x 的函数关系的图象大致是 ( ) A B C D 3.(随州中考题)某通讯公司提供了两 种移动电话收费方式:方式1,收月基本费20 元,再以每分钟0.1元的价格按通话时间计 费;方式2,收月基本费20元,送80分钟通 话时间,超过80分钟的部分,以每分钟0.15 元的价格计费. 下列结论: ①如图描述的是方式1的收费方法; ②若月通话时间少于240分钟,选择方 式2省钱; ③若月通讯费为50元,则方式1比方式 2的通话时间多; ④若方式1比方式2的通讯费多10元, 则方式1比方式2的通话时间多100分钟. 其中正确的是 ( ) A.只有①② B.只有③④ C.只有①②③ D.①②③④ 4.(安顺中考题)函数y= x+2 x 中,自 变量x 的取值范围是 . 5.(三明中考题)为了鼓励居民节约用 水,某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每 户家庭的水费:每月用水量不超过20吨时, 按每吨2元计费;每月用水量超过20吨时, 其中的20吨仍按每吨2元计费,超过部分按 每吨2.8元计费,设每户家庭每月用水量为 x 吨时,应交水费y 元. (1)分别求出0≤x≤20和x>20时,y 与x 之间的函数表达式. (2)小颖家四月份、五月份分别交水费 45.6元、38元,问:小颖家五月份比四月份节 约用水多少吨? 51 ∴点A、B 的坐标分别为:(4,1),(-4,1). (2)∵点B 关于x 轴的对称的点是C, ∴C 点坐标为:(-4,-1), ∴△ABC 的面积为: 1 2×BC×AB= 1 2 ×2×8=8. 中考热身 1.D 2.B 3.C 4.0 5.解:(1)(-3,2) (2)△A1O1B1 如图所示; (3)(-2,3) 第12章 一次函数 要点回顾 1.常量 变量 2与π C 与r 唯一 自变量 函数 函数值 2.(1)自变量 函数值 (2)数学式子 S=πr2 (3)横坐标 纵坐标 函数 3.y=kx+b(k、b 为常数,且k≠0) (0,b) b -1 4.b b>0 b<0 向上平移2个单 位 5.增大 上升 一、三 减小 下降 减小 6.(1)y=kx+b (2)方程组 7.自变量 函数 8.x 横 自变量 9.一次函数 一条直线 10.(1)一条直线 (2)有交点 (3)x=ay=b{ 基础过关 一、1.y=3x+2 2.16 3.-1<k<2 4.x<-2 5.y=2x(答案不唯一) 6.4 二、7.B 8.A 9.D 10.D 11.A 12.B 13.B 三、14.解:(1)当6+3m<0,即m<-2时,y 随x 的增大而减小,所以当m<-2,n 为任何 实数时,y 随x 的增大而减小. (2)当6+3m≠0,n-4<0,函数的图象 与y 轴的交点在x 轴的下方,解不等式得,m ≠-2,n<4,所以当m≠-2,n<4时,函数的 图象与y 轴的交点在x 轴的下方. (3)当6+3m≠0,n-4=0,函数图象经 过原点,解不等式、方程得,m≠-2,n=4,所 以当m≠-2,n=4时,函数图象经过原点. 15.解:(1)2×4=8,则8+4×(10-4)= 32. (2)32÷1+25=57(小时). (3)根据图象,CD 经过(25,32)(57,0), 设函数解析式为y=kx+b, ∴ 25k+b=3257k+b=0{ ,解得 k=-1 b=57{ . ∴y=-x+57(25≤x≤57). (4)(57-20)-(20-8)÷4-4=30(小 时), ∴强沙尘暴持续30小时. 16.(1)设甲车行驶的函数解析式为y甲 =kx+b(k是不为0的常数) y甲=kx+b图象过点(0,400),(5,0),得 b=400 5k+b=0{ ,解得 k=-80 b=400{ , 甲车行驶的函数解析式为y甲=-80x+ 400, 当y=200时,x=2.5,2.5-2=0.5(h), 故答案为0.5. (2)设乙车与甲车相遇后y乙 与x 的函数 解析式为y乙=kx+b, y乙=kx+b 图象过点(2.5,200),(5, 400),得 2.5k+b=200 5k+b=400{ ,解得 k=80, b=0,{ 乙车与甲车 相遇后y乙 与x 的函数解析式为y乙 =80x (2.5≤x≤5). (3)设乙车与甲车相遇前y乙 与x 的函数 解析式y乙=kx,图象过点(2,200), 解得k=100, ∴乙车与甲车相遇前y乙 与x 的函数解 析式y乙=100x, 0≤x≤2.5时,y甲 减y乙 等于40千米,即 400-80x-100x=40,解得x=2; 2.5≤x≤5时,y乙 减y甲 等于40千米, 80x-(-80x+400)=40,解得x= 11 4 , 综上所述:x=2或x= 11 4. 综合提升 1.(12, 1 2 ) 2.下 4 3.-2≤x≤3 4.D 5.A 6.D 7.解:(1)根据题意,得 2m-1<0m2-3=1{ ,解得 ·3· m=-2. (2)根据题意,得 2m-1>0 m2-3=1 m>0{ ,解得 m=2. (3)当m=2时,y=(2m-1)xm2-3+ m 变为y=3x+2.令x=0,则y=2,即B 点 坐标为(0,2).所以OB=2.令y=0,则x= - 2 3 ,即 A 点坐标为 - 2 3 ,0 æ è ç ö ø ÷.所以 OA= - 2 3 = 2 3. 所以S△OAB= 1 2 ·OA·OB= 1 2× 2 3×2= 2 3. 8.解:(1)若购买120张票时, 方案一购票总价:y=8000+50x=14000 (元), 方案二购票总价:y=13200元. (2)当0<x≤100时,设y=kx,代入 (100,12000)得 12000=100k,解得k=120, ∴y=120x. 当x>100时,设y=kx+b,代入(100, 12000)、(120,13200)得 100k+b=12000 120k+b=13200{ ,解得 k=60 b=6000{ , ∴y=60x+6000. ∴y= 120x (0<x≤100) 60x+6000(x>100){ . (3)由(1)可知,要选择方案一比较合算, 必须超过120张,由此得 8000+50x<60x+6000,解得x>200, 所以至少买201张票时选择方案一比较 合算. 中考热身 1.B 2.B 3.C 4.x≥-2且x≠0 5.解:(1)当0≤x≤20时,y 与x 的函数 表达式是y=2x; 当x>20时,y 与x 的函数表达式是y= 2×20+2.8(x-20)=2.8x-16. (2)因为小颖家五月份的水费不超过40 元,四月份的水费超过40元, 所以把y=38代入y=2x 中,得x=19; 把y=45.6代入y=2.8x-16中,得x= 22. 所以22-19=3(吨). 答:小 颖 家 五 月 份 比 四 月 份 节 约 用 水 3吨. 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 要点回顾 1.不在同一直线 边 公共点 任意两 边 2.互不相等 两 三 腰 底边 两腰 腰 底边 不等边 等腰 3.大于 小于 4.直角 斜 锐角 钝角 5.180° 6.对边 线段 中点 垂线段 中线 7.推理 命题 真命题 假命题 题设 结论 已知 结论 8.互逆命题 逆命题 9.反例 10.真命题 公理 推理 定理 演绎 推理 证明 11.已知 求证 证明 辅助线 12.互余 直角三角形 推论 13.延长线 外角 等于 大于 基础过关 一、1.如果a,b互为相反数,那么a+b=0 2.8 等腰 3.8 16 12 4.C>12cm 5.75° 6.相等的角是对顶角 假 7.45°或 135° 8.35 二、9.B 10.B 11.C 12.B 13.D 三、14.解:∵∠ABC 和∠ACB 的 平 分 线 BD,CE 相交于点O,∠ABC=40°,∠ACB= 80°, ∴∠DBC= 1 2∠ABC=20° ,∠ECB= 1 2∠ACB=40° , ∴∠BOC=180°-∠DBC-∠ECB= 180°-20°-40°=120°. 综合提升 1.16cm<l<26cm 2.4 3.B 4.B 5.M 的位置在AC,BD 的交点处. 理由:假设在 M'点,则BM' +DM'>BD=BM+DM. 同理,假设在 M″ 点,AM″+M″C>AC=AM+MC.要使 MA +MB+MC+MD 最小,点 M 必是AC,BD 的交点. 中考热身 1.C 2.B 3.A 4.75 5.解:∵EF∥BC, ∴∠BAF=180°-∠B=100°, ∵AC 平分∠BAF, ∴∠CAF= 1 2∠BAF=50° , ∵EF∥BC, ∴∠C=∠CAF=50°. 第14章 全等三角形 要点回顾 1.全等形 2.相互重合 相等 相互重合 相等 相互重合 3.边角边 SAS 角边角 ASA 边边 ·4·