1.1集合的概念导学案（一）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

姓名: · 数学学习必做于细，也必成于实 组编： 审核： 使用日期： 1.1集合的概念 新高一预习导学案（一） 一、学习目标 1.通过实例理解集合的含义，掌握元素与集合的“属于”关系及常用数集符号。 2.熟练运用集合中元素的三大特性（确定性、互异性、无序性）解决问题。 3.能选择列举法或描述法准确表示集合，并区分有限集与无限集。 二、知识梳理 知识点1：集合与元素的概念 （1）元素 一般地，我们把研究对象统称为元素，用小写字母（如a,b,c）表示。 （2）集合 把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），用大写字母（如A,B,C）表示。 例如：“小于5的自然数”组成的集合可记为A={0,1,2,3,4}。 （3）集合元素的特性： 确定性：对象必须有明确的判定标准 如“高个子同学”不能构成集合，因标准模糊）。 互异性：集合中元素不重复 如{1,2,1}应写成{1,2}。 无序性：元素顺序不影响集合本身 如{1,2,3}与{3,2,1}是同一集合。 （4） 集合相等 只要构成集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 知识点2：元素与集合的关系 如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作 如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作 注意： ①符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有与这两种结果． ②和具有方向性,左边是元素,右边是集合R是错误的． 知识点3：常用数集及其记法 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 知识点4：集合方法 （1） 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起。 适用：有限集或元素有明显规律的无限集。 例：地球上的四大洋组成的集合可以表示为：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}方程的所有实数根组成的集合可以表示为{1,2} 注意：元素间用逗号分隔，且不考虑顺序。 （2） 描述法 定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为{|}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意： ①写清楚集合中元素的符号．如数或点等． ②说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． ③不能出现未被说明的字母． 三、典例精析 例1 判断下列对象能否构成集合： (1)某班身高超过1.8米的学生； (2)所有漂亮的花朵； (3)方程的解。 例2 用符号“”或“”填空. （1） ； （2） ； （3）的根 ； （4） ； （5） ； (6) -3 ； （7）对于自然数集N,若,则 N , N. （8）0与空集有何关系？ 例3 若集合A={}，则实数的取值可以是（） A．2 B．3 C． 4 D． 5 四、课堂小练 1．下列说法正确的有() ①1∈N；②∈N*；③∈Q；④2＋∈Q；⑤∉Z． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列给出的对象能构成集合并且为无限集(含有无限个元素的集合)的是() A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式＜2的所有整数解组成的集合 C．所有大于－4的偶数组成的集合 D．所有到x，y轴距离均为1的点组成的集合 3．若集合A由元素a2－a，2a构成，则下列说法中正确的是() A．a可取全体实数 B．a可取除去0以外的所有实数 C．a可取除去3以外的所有实数 D．a可取除去0和3以外的所有实数 二、多项选择题 6．给出下列说法，其中正确的有() A．中国的所有直辖市可以构成一个集合 B．高一(1)班较高的同学可以构成一个集合 C．正偶数的全体可以构成一个集合 D．大于2 011且小于2 023的所有整数不能构成集合 7．x，y为非零实数，代数式＋的值所组成的集合为M，则下列判断错误的是() A．0∉M B．1∈M C．－2∈M D．2∈M 三、填空题 8．下列说法：①集合N与集合N＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________．(填序号) 9.若不等式的解集为集合A，且5∉A，则实数a的取值范围_____________ 10.设A是实数集，满足：若a∈A，则∈A，a≠1，且1∉A．若2∈A，写出集合A的另一个元素为______ 五巩固练习 1.课本习题：练习1、2题。 2.拓广探索:集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的。当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念。关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识. 总结： 集合的核心是“确定性”，表示方法的选择需结合元素特征。列举法直观，描述法精准，二者可灵活转换。通过练习强化对元素特性的理解，避免因忽视互异性或确定性导致错误。 数学学习，你只管全力爱以赴，剩下的交给时间 学科网（北京）股份有限公司 $$姓名: · 数学学习必做于细，也必成于实 组编： 审核： 使用日期： 1.1集合的概念 新高一预习导学案（一） 一、学习目标 1.通过实例理解集合的含义，掌握元素与集合的“属于”关系及常用数集符号。 2.熟练运用集合中元素的三大特性（确定性、互异性、无序性）解决问题。 3.能选择列举法或描述法准确表示集合，并区分有限集与无限集。 二、知识梳理 知识点1：集合与元素的概念 （1）元素 一般地，我们把研究对象统称为元素，用小写字母（如a,b,c）表示。 （2）集合 把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），用大写字母（如A,B,C）表示。 例如：“小于5的自然数”组成的集合可记为A={0,1,2,3,4}。 （3）集合元素的特性： 确定性：对象必须有明确的判定标准 如“高个子同学”不能构成集合，因标准模糊）。 互异性：集合中元素不重复 如{1,2,1}应写成{1,2}。 无序性：元素顺序不影响集合本身 如{1,2,3}与{3,2,1}是同一集合。 （4） 集合相等 只要构成集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 知识点2：元素与集合的关系 如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作 如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作 注意： ①符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有与这两种结果． ②和具有方向性,左边是元素,右边是集合R是错误的． 知识点3：常用数集及其记法 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 知识点4：集合方法 （1） 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起。 适用：有限集或元素有明显规律的无限集。 例：地球上的四大洋组成的集合可以表示为：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}方程的所有实数根组成的集合可以表示为{1,2} 注意：元素间用逗号分隔，且不考虑顺序。 （2） 描述法 定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为{|}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意： ①写清楚集合中元素的符号．如数或点等． ②说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． ③不能出现未被说明的字母． 三、典例精析 例1 判断下列对象能否构成集合： (1)某班身高超过1.8米的学生； (2)所有漂亮的花朵； (3)方程的解。 解析： (1)能构成集合（确定性）； (2)不能构成集合（“漂亮”标准不明确）； (3)能构成集合，解集为{-1,1})（列举法）。 例2 用符号“”或“”填空. （1） ； （2） ； （3）的根 ； （4） ； （5） ； (6) -3 ； （7）对于自然数集N,若,则 N , N. （8）0与空集有何关系？ 解析： , 0 例3 若集合A={}，则实数的取值可以是（） A．2 B．3 C． 4 D． 5 解析： 集合A={}， 则，解得， 知BD符合. 故选：BD. 四、课堂小练 1．下列说法正确的有() ①1∈N；②∈N*；③∈Q；④2＋∈Q；⑤∉Z． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案B 解析：1是自然数，故①正确；不是正整数，故②错误；是有理数，故③正确；2＋不是有理数，故④错误；＝2是整数，故⑤错误．故正确的有2个． 2．下列给出的对象能构成集合并且为无限集(含有无限个元素的集合)的是() A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式＜2的所有整数解组成的集合 C．所有大于－4的偶数组成的集合 D．所有到x，y轴距离均为1的点组成的集合 答案C 解析：“很大的实数”的标准不确定，故不能组成集合，A错误；满足不等式＜2的所有整数解为－1，0，1，2，B错误；所有大于－4的偶数组成的集合为无限集，C正确；所有到x，y轴距离均为1的点组成的集合中只有4个元素，D错误． 3．若集合A由元素a2－a，2a构成，则下列说法中正确的是() A．a可取全体实数 B．a可取除去0以外的所有实数 C．a可取除去3以外的所有实数 D．a可取除去0和3以外的所有实数 答案D 解析：由集合中元素的互异性可知2a≠a2－a，即3a≠a2，故a≠0，a≠3，因此a可取除去0和3以外的所有实数． 二、多项选择题 6．给出下列说法，其中正确的有() A．中国的所有直辖市可以构成一个集合 B．高一(1)班较高的同学可以构成一个集合 C．正偶数的全体可以构成一个集合 D．大于2 011且小于2 023的所有整数不能构成集合 答案AC 解析：中国的所有直辖市可以构成一个集合，A正确；高一(1)班较高的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误；正偶数的全体可以构成一个集合，C正确；大于2 011且小于2 023的所有整数能构成集合，D错误． 7．x，y为非零实数，代数式＋的值所组成的集合为M，则下列判断错误的是() A．0∉M B．1∈M C．－2∈M D．2∈M 答案AB 解析：当x，y都大于零时，＋＝1＋1＝2；当x，y中一个大于零，另一个小于零时，＋＝0；当x，y都小于零时，＋＝－1－1＝－2．根据元素与集合的关系，可知0∈M，1∉M，－2∈M，2∈M． 三、填空题 8．下列说法：①集合N与集合N＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________．(填序号) 答案②④ 解析：因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确． 9.若不等式的解集为集合A，且5∉A，则实数a的取值范围_____________ 答案a＜－20. 解析：∵5∉A， ∴－5＋a＜0， ∴a＜－20. 10.设A是实数集，满足：若a∈A，则∈A，a≠1，且1∉A．若2∈A，写出集合A的另一个元素为______ 答案－1． 解析：∵2∈A，∴＝＝－1∈A，＝＝∈A，＝＝2∈A，因此A中至少还有两个元素－1和．(答案不唯一，写出一个即可) 五巩固练习 1.课本习题：练习1、2题。 2.拓广探索:集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的。当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念。关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识. 总结： 集合的核心是“确定性”，表示方法的选择需结合元素特征。列举法直观，描述法精准，二者可灵活转换。通过练习强化对元素特性的理解，避免因忽视互异性或确定性导致错误。 数学学习，你只管全力爱以赴，剩下的交给时间 学科网（北京）股份有限公司 $$