5.第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（北师大版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 1.不等式的定义 一般地,用符号 连接的式子叫 做不等式. 2.不等式的基本性质 (1)不等式的两边都加上(或减去) ,不等号的方向 . (2)不等式的两边都乘(或除以) , 不等号的方向 . (3)不等式的两边都乘(或除以)同一个 负数,不等号的方向 . 3.一元一次不等式 不等式的左右两边都是 ,只含 有 个未知数,并且未知数的最高次数是 ,像这样的不等式,叫做一元一次不 等式. 4.列不等式解决问题的基本步骤与列 方程解决问题的步骤相类似.即 (1)审:认真 ,分清 、 及其关系; (2)找:找出题中 ,要抓住题中 的关键词,如大于、小于、不大于、至少、不超 过、超过等含义; (3)设:设出适当的 ; (4)列:根据题中的不等关系,列出 ; (5)解:解出所列不等式的 ; (6)答:写出 ,并检验是否符合 题意. 例 某企业新增了一个化工项目,为了 节约资源,保护环境,该企业决定购买A,B 两种型号的污水处理设备共8台,具体情况 如下表: A 型号 B 型号 价格(万元/台) 12 10 月污水处理能力(吨/月) 200 160 经预算,企业最多支出89万元购买设 备,且要求月处理污水能力不低于1380吨. (1)该企业有几种购买方案? (2)哪种方案更省钱,说明理由. 解析:(1)设购买 A 型号污水处理设备 x 台,则购买B 型号(8-x)台,根据企业最 多支出89万元购买设备,要求月处理污水能 力不低于1380吨,列出不等式组,然后找出 最合适的方案即可;(2)计算出每一方案的花 费,通过比较即可得到答案. 答案:(1)设购买A 型号污水处理设备 x 台,则购买B 型号(8-x)台, 根据题意,得 12x+10(8-x)≤89, 200x+160(8-x)≥1380.{ 解这个不等式组,得:2.5≤x≤4.5. ∵x 是整数,∴x=3或x=4. 当x=3时,8-x=5; 当x=4时,8-x=4. 答:有2种购买方案:第一种是购买3台 A 型号污水处理设备,5台B 型号污水处理 设备;第二种是购买4台A 型号污水处理设 04 第 一 部 分 夯 实 基 础 备,4台B 型号污水处理设备; (2)当x=3时,购买资金为12×3+10 ×5=86(万元), 当x=4时,购买资金为12×4+10×4 =88(万元). 因为88>86, 所以为了节约资金,应购A 型号污水处 理设备3台,B 型号5台. 答:购买3台A 型号污水处理设备,5台 B 型号污水处理设备更省钱. 点评:“方案设计”问题,一般可把它转化 为求不等式组的整数解问题,通过表格获取 相关信息,解题时要注意认真审题,理解题中 各数量之间的关系,同时注意分类讨论思想 的运用. 1.“数x 不小于2”是指 ( ) A.x≤2 B.x≥2 C.x<2 D.x>2 2. 若 关 于 x 的 不 等 式 组 x-2<0, 3x+4>a-x{ 恰好只有2个整数解,则所有 满足条件的整数a的值之和是 ( ) A.3 B.4 C.6 D.1 3.若a>b,则下列不等式成立的是 ( ) A.a-3<b-3 B.-2a>-2b C. a 4< b 4 D.a>b-1 4.一种牛奶包装盒标明“净重300g,蛋 白质含量≥2.9%”.那么其蛋白质含量为 ( ) A.2.9% B.8.7g C.8.7g及以上 D.不足8.7g 5.不等式x<2在数轴上表示正确的是 ( ) 6.不等式组 2x-6<0, x+5>-3{ 的解集是 ( ) A.2<x<3 B.-8<x<-3 C.-8<x<3 D.x<-8或x>3 7.写 一 个 解 集 是 x >2 的 不 等 式: . 8.如图,数轴所表示的不等式的解集是 . 9.当x 时,代数式2x-5的值 不大于0. 10.解不等式(组). (1) 2x+4 3 - 3x-1 2 >1 ,并将解集在数轴 上表示出来; (2)解不等式组 5+2x≥3, x+1 3 > x 2 , ì î í ï ï ï ï 并写出不等 式组的整数解. 14 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.实数a,b 在数轴上的对应点如图所 示,则下列不等式中错误的是 ( ) A.ab>0 B.a+b<0 C. a b<1 D.a-b<0 2.如果不等式组 2x-3≤0, x≥m{ 有解,则m 的取值范围是 ( ) A.m< 3 2 B.m> 3 2 C.m≤ 3 2 D.m≥ 3 2 3.对于实数x,我们规定[x]表示不大 于x 的最大整数,例如[1.2]=1,[3]=3, [-2.5]=-3.若 x+410 é ë ê ê ù û ú ú=5,则x 的取值可 以是 ( ) A.40 B.45 C.51 D.56 4.不等式组 x-3≥0, x 2<3 ì î í ï ï ï ï 的所有整数解之 和是 . 5.如图,直线y=kx+b 经过A(2,1), B(-1,-2)两点,则不等式 1 2x>kx+b> -2的解集为 . 6.如图所示程序,要使输出值y 大于 100,则输入的最小正整数x 是 . 7.在实数范围内定义一种新运算“⊕”, 其运算规则为:a⊕b=-2a+3b.如:1⊕5= -2×1+3×5=13.求不等式x⊕4<0的 解集. 8.波波家具城是家专门卖家具的商场, 坐落在城市的中心.5月份,波波家具城为了 提高销售业绩,将单价为300元一张的桌子 和60元一把的椅子推行了两种优惠方案. 方案一:买一张桌子赠送两把椅子; 方案二:按总价的87.5%付款. 某公司准备装修,正准备购买5张桌子 和若干把椅子,其中椅子不会少于10把,问: 这个公司选择家具城所推行的哪种优惠方案 会比较划算? 24 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.(无锡中考题)函数y= 2-x中自变 量x 的取值范围是 ( ) A.x>2 B.x≥2 C.x≤2 D.x≠2 2.(锦州中考题)已知a>b>0,下列结 论错误的是 ( ) A.a+m>b+m B.a> b C.-2a>-2b D. a 2> b 2 3.(玉林中考题)在数轴上表示不等式x +5≥1的解集,正确的是 ( ) 4.(甘孜州中考题)不等式3x-2>4的 解集为 . 5.(铜仁中考题)不等式2m-1≤6的正 整数解是 . 6.(西 宁 中 考 题 )解 不 等 式 组 2x-2≤x, x+2>- 1 2x-1 , ì î í ï ï ï ï 并把解集在数轴上表示 出来. 7.(嘉兴中考题)某汽车专卖店销售A, B 两种型号的新能源汽车,上周售出1辆A 型车和3辆B 型车,销售额为96万元;本周 已售2辆A 型车和1辆B 型车,销售额为 62万元. (1)求每辆A 型车和B 型车的售价各多 少万元. (2)甲公司拟向该店购买A,B 两种型 号的新能源汽车共6辆,购车费不少于130 万元,且不超过140万元,则有哪几种购车 方案? 34 ∴AB=AD,AC=AE. 又∵AB=AC, ∴AB=AD=AC=AE, ∴ △ABD≌△ACE, ∴BD=CE. 【综合提升】 1.B 2.A 3.7 4.36 5.115 19 6.(1)证明:∵PC=OC, ∴∠AOP=∠CPO. ∵OP 平分∠AOB, ∴∠AOP=∠BOP, ∴∠BOP=∠CPO, ∴PC∥OB. (2)解:∵OP 平分∠AOB,PA⊥OA, PB⊥OB, ∴AP=BP. ∵BP= 1 2PC , ∴AP= 1 2PC. ∵PA⊥OA, ∴∠OAP=90°, ∴∠ACP=30°. ∵PC∥OB, ∴∠AOB=∠ACP=30°. ∵∠AOP=∠BOP=∠CPO, ∴∠CPO= 1 2×30°=15°. 【中考热身】 1.C 2.B 3.B 4.C 5.C 6.解:(1)∠DAC 的度数不会改变. ∵EA=EC, ∴∠EAC=∠C ①. ∵BA=BD, ∴∠BAD=∠BDA. ∵∠BAE=90°, ∴∠B=90°-∠AED=90°-2∠C, ∴∠BAD= 1 2 (180°-∠B)= 1 2 [180° -(90°-2∠C)]=45°+∠C, ∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45° +∠C)=45°-∠C ②, 由①②得,∠DAC=∠DAE+∠CAE =45°-∠C+∠C=45°. (2)设∠ABC=m°,则∠BAD= 1 2 (180° -m°)=90°- 1 2m° ,∠AEB=180°-n°-m°, ∴∠DAE=n°-∠BAD=n°-90°+ 1 2m°. ∵EA=EC, ∴∠CAE= 1 2 ∠AEB=90°- 1 2n°- 1 2m° , ∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°-90° + 1 2m°+90°- 1 2n°- 1 2m°= 1 2n°. 第二章 一元一次不等式与 一元一次不等式组 【要点回顾】 1.“<”(或“≤”),“>”(或“≥”) 2.(1)同一个整式 不变 (2)同一个正数 不变 (3)改变 3.整式 一 1 4.(1) 审题 已知量 未知量 (2)不等关系 (3)未知数 (4)不等式 (5)解集 (6)答案 【基础过关】 1.B 2.C 3.D 4.C 5.A 6.C 7.2x>4(答案不唯一) 8.x≤3 9.≤ 5 2 10.解:(1)2(2x+4)-3(3x-1)>6, 4x+8-9x+3>6, -5x+11>6, -5x>-5, x<1. 这个不等式的解集在数轴上表示如图所 示: (2) 5+2x≥3 ①, x+1 3 > x 2 ② ,{ 由①得:x≥-1, 由②得:x<2, 在同一条数轴上表示两个不等式的解集 如图所示: ∴ 不等式组的解集为:-1≤x<2, ∴ 不等式组的整数解是:-1,0,1. 【综合提升】 1.C 2.C 3.C 4.12 5.-1<x< 2 6.18 7.解:∵a⊕b=-2a+3b, ∴x⊕4=-2x+3×4=-2x+12, ∵x⊕4<0, ∴ -2x+12<0, 解得x>6. ·8· 8.解:设该公司准备购买x 把椅子(x≥ 10). 当选择方案一划算时,300×5+60(x- 10)<(300×5+60x)×87.5%,解得:x< 55; 当选择两种方案费用相等时,300×5+ 60(x-10)=(300×5+60x)×87.5%,解 得:x=55; 当选择方案二划算时,300×5+60(x- 10)>(300×5+60x)×87.5%,解得:x>55. 即:当该公司准备购买的椅子不少于10 把且少于55把时,选择优惠方案一划算;当 该公司准备购买的椅子等于55把时,选择两 种优惠方案费用相同;当该公司准备购买的 椅子多于55把时,选择优惠方案二划算. 【中考热身】 1.C 2.C 3.B 4.x>2 5.1,2,3 6.解: 2x-2≤x ①, x+2>- 1 2x-1 ② ,{ 解不等式①,得x≤2, 解不等式②,得x>-2, ∴不等式组的解集是-2<x≤2. 把不等式组的解集在数轴上表示出来 为: 7.解:(1)设每辆A 型车的售价为x 万 元,每辆B 型车的售价为y 万元.根据题意, 得: x+3y=96, 2x+y=62,{ 解得 x=18, y=26.{ 答:每辆A 型车的售价为18万元,每辆 B 型车的售价为26万元. (2)设购买A 型车a 辆,则购买B 型车 (6-a)辆.根据题意,得: 18a+26(6-a)≥130, 18a+26(6-a)≤140,{ 解得2≤a≤3 1 4. ∵a 是正整数, ∴a=2,或a=3. ∴ 共有两种方案. 方案一:购买2辆A 型车和4辆B 型车. 方案二:购买3辆A 型车和3辆B 型车. 第三章 图形的平移与旋转 【要点回顾】 1.(1)方向 (2)位置 形状 大小 (3)平行(或在一条直线上)且相等 平行(或 在一条直线上)且相等 相等 2.(1)角度 旋转中心 旋转角 (2)大小 形状 旋 转角 对应点 3.(1)180° (2)180° (3)对称中心 对称中心 【基础过关】 1.D 2.C 3.B 4.150° 5.24 6.解:如图所示. 7.解:(1)如图所示: (2)12. 【综合提升】 1.B 2.B 3.B 4.6 5.解:(1)平移后的小船如图所示. (2)如图,点A'与A 关于直线l成轴对称, 连接A'B 交直线l于点P,则点P 为所求. 6.解:(1)AB=42- 2=32,点C 到 AB 的距离为3-(-1)=4, ∴S△ABC= 1 2×32×4=62 ; (2)让各点的纵坐标不变,横坐标减去 2,各点的坐标为:A'(0,-1),B'(3 2, -1),C'(3- 2,3); (3)∵ 将△A'B'C'沿着y 轴翻折得到 △A″B″C″, ∴ 各顶点的坐标分别为:A″(0,-1), B″(-32,-1),C″(-3+ 2,3). 【中考热身】 1.D 2.C 3.C 4.55° ·9·