3.第7章 平行线的证明-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（北师大版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第七章 平行线的证明 1.定义是对 , 的句子 叫命题,一般地,每个命题都由 和 两部分组成.如同角的补角相等, 其条件是 ,结论是 . 2.命题可分为 命题和 命题,其中正确的命题称为 命题,错 误的命题称为 命题.判断一个假命 题,只需举一个 即可. 3. 的真命题称为公理,除公理 外,其他命题的真假都需要通过演绎推理的 方法进行判断,演绎推理的过程叫 , 经过证明的真命题叫 .每个定理都 只能用 来证明. 4. 相等,两直线平行; 互补,两直线平行.反过来,两直线平行,则 相等,或 互补. 5.三角形的内角和等于 ,直角 三角形两锐角 . 6.△ABC 内角的一条边与 组 成的角,称为△ABC 的外角.三角形的一个 外角等于 的两个内角的和;三角形 的一个外角大于 . 例 如 图,CD ∥AB, ∠DCB=70°,∠CBF=20°, ∠EFB=130°,问直线EF 与 AB 有怎样的位置关系? 为 什么? 解析:同一平面内两直线的位置关系有 两种:平行和相交,根据图形可以猜想两直线 平行,然后根据条件探求平行的判定条件. 答案:平行. 证明:∵CD∥AB, ∴ ∠ABC=∠DCB=70°. 又∵ ∠CBF=20°, ∴ ∠ABF=50°, ∴ ∠ABF + ∠EFB = 50°+ 130° =180°, ∴EF∥AB(同旁内角互补,两直线平 行). 点评:证明两直线平行的方法就是转化 为证明两角相等或互补. 1.下列语句不是命题的是 ( ) A.两点之间,线段最短 B.不平行的两条直线有一个交点 C.x 与y 的和等于0吗 D.对顶角不相等 2.下列命题中,是真命题的是 ( ) A.两个锐角之和为钝角 B.两个锐角之和为锐角 C.钝角大于它的补角 D.锐角小于它的余角 3.命题:①同位角互补;②垂直于同一 条直线的两直线平行;③相等的角是对顶角; ④内错角相等.其中假命题有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 92 第 一 部 分 夯 实 基 础 4.某工程队在修建一条高速公路时,有 时需将弯曲的道路改直,根据什么公理可以 说明这样做能缩短路程 ( ) A.直线的公理 B.直线的公理或线段最短公理 C.线段最短公理 D.平行公理 5.如图,要使 AB∥CD,∠1应等于 ( ) A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5 6.一个角的补角大于这个角,这个命题 的条件是 ,结论是 . 7.下列语句:①画线段 AB;② x 2 是公 式;③任何数都有立方根;④直线a,b 不相 交,那么a 与b 平行吗? ⑤平行四边形是轴 对称图形.是命题的语句有 ,是真命 题的有 . 8.小丽为一个三角形作高时发现三条 高的交点恰好是一个三角形的顶点,那么这 个三角形是 三角形. 9.已知三条不同的直线a,b,c 在同一 平面内,下列四个命题: ①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c; ②如果b∥a,c∥a,那么b∥c; ③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c; ④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c. 其中是真命题的有 .(填写所有 真命题的序号) 10.如 图,点 B 在 DC 上,BE 平 分 ∠ABD,∠DBE=∠A,则BE∥AC,请说明 理由. 1.在△ABC 中,∠A=75°,∠B-∠C =15°,则∠C 的度数为 ( ) A.30° B.45° C.50° D.10° 2.如图,AB∥CD,∠ABE=60°,∠D= 50°,则∠E 的度数为 ( ) A.30° B.20° C.10° D.40° 3.当三角形中一个内角α 是另一个内 角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角 形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三 角形”的“特征角”为100°,那么这个“特征三 角形”的最小内角的度数为 . 4.在△ABC 中,∠C=90°,如果∠A 比 ∠B 小24°,则∠A= °. 03 第 一 部 分 夯 实 基 础 5.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC, CD⊥AD 于D.求证:∠ACD>∠B. 1.(河北中考题)如图,平面上直线a,b 分别过线段OK 两端点(数据如图),则a,b 相交所成的锐角是 ( ) A.20° B.30° C.70° D.80° 2.(邵 阳 中 考 题)如图,在△ABC 中, ∠B=46°,∠C=54°,AD 平分∠BAC,交 BC 于D,DE∥AB 交AC 于E,则∠ADE 的大小是 ( ) A.45° B.54° C.40° D.50° 3.(镇 江 中 考 题)如 图,直 线 m ∥n, Rt△ABC的顶点A 在直线n 上,∠C=90°, 若∠1=25°,∠2=70°,则∠B= °. 4.(佛山中考题)如图是一副三角板叠 放的示意图,则∠α= . 5.(武汉中考题)如图,直线EF 分别与 直线AB,CD 交于点E,F.EM 平分∠BEF, FN 平 分∠CFE,且 EM ∥FN.求 证:AB ∥CD. 13 方案3:租用9辆甲种货车,3辆乙种货 车. 【中考热身】 1.D 2.A 3.A 4.34 5.3 6.解:(1)设5月份在市区销售了x 千 克,园区销售了y 千克,由题意得: x+y=3000, 6x+4y=16000,{ 解得: x=2000, y=1000,{ 答:5月份在市区销售了2000千克,园 区销售了1000千克. (2)由题意得:6(1-a%)×2000(1+ 30%)+4(1-a%)×1000(1+20%)≥ 18360,解得:a≤10. 则a 的最大值为10. 第六章 数据的分析 【要点回顾】 1. 1 n (x1+x2+…+xn) 2.最中间位 置的数(或最中间两个数据的平均数) 3 3.次数最多 3 4.极差、方差或标准差 最大数据与最小数据的差 各数据与平均数 差的平方的平均数 s2= 1 n [(x1-x - )2+ (x2-x - )2+…+(xn-x - )2] 方差的算术平 方根 5.极差、方差或标准差 稳定 【基础过关】 1.B 2.B 3.A 4.C 5.92 6.-0.5 7.解:(1)甲、乙、丙的民主评议得分分 别为:200×25%=50(分),200×40%=80 (分),200×35%=70(分). (2)甲的平均成绩为 75+93+50 3 = 218 3 ≈72.67(分), 乙的平均 成 绩 为80+70+80 3 = 230 3 ≈ 76.67(分), 丙的平均 成 绩 为90+68+70 3 = 228 3 = 76.00(分), 由于76.67>76>72.67, ∴候选人乙将被录用. (3)如果将笔试、面试、民主评议三项测 试得分按4∶3∶3的比例确定个人成绩,那 么甲的个人成绩为:4×75+3×93+3×50 4+3+3 =72.9(分), 乙 的 个 人 成 绩 为: 4×80+3×70+3×80 4+3+3 =77 (分), 丙 的 个 人 成 绩 为: 4×90+3×68+3×70 4+3+3 =77.4 (分), 由于丙的个人成绩最高,∴候选人丙将 被录用. 【综合提升】 1.A 2.C 3.a2s2 4.解:(1)甲、乙射击成绩统计表 平均数 中位数 方差 命中10环的次数 甲 7 7 4 0 乙 7 7.5 5.4 1 补全甲、乙射击成绩折线图略 (2)由甲的方差小于乙的方差,得到甲胜 出; (3)若希望乙胜出,可以将规则定为命中 10环次数多的胜出,∵乙命中10环为1次, 而甲没有,∴乙胜出. 【中考热身】 1.B 2.B 3. 14 3 4.15.6 5.9 6.解:(1)∵甲班共有10名学生,处于 中间位置的是第5、第6个数的平均数, ∴测得的甲班这10名学生所做“仰卧起 坐”个数的中位数落在C 组; (2)乙班这10名学生所做“仰卧起坐”个 数的平均数是:1 10× (22+30×3+35×4+ 37+41)=33(个); (3)甲班的平均数是: 1 10× (27×1+32 ×3+37×4+42×2)=35.5(个), ∵35.5>33,∴甲班的学生做“仰卧起 坐”的整体情况更好一些. 第七章 平行线的证明 【要点回顾】 1.名称和术语的含义加以描述,作出明 确的规定 判断一件事情 条件 结论 两 个角是同一个角的补角 这两个角相等 2.真 假 真 假 反例 3.公认 证明 定理 公理、定义和已经证明为真的命题 4.同位角或内错角 同旁内角 同位角 或内错角 同旁内角 5.180° 互余 6.另 一条边的反向延长线 和它不相邻 任何一 个和它不相邻的内角 【基础过关】 1.C 2.C 3.D 4.C 5.A 6.一个 角是已知角的补角 这个角大于已知角 7.②③⑤ ③ 8.直角 9.①②④ 10.证明:∵BE 平分∠ABD(已知), ∴ ∠EBA = ∠EBD (角 平 分 线 的 定 义). ·6· ∵ ∠DBE=∠A, ∴ ∠EBA=∠A(等量代换), ∴BE∥AC(内错角相 等,两 直 线 平 行). 【综合提升】 1.B 2.C 3.30° 4.33 5.证明:延长CD 交AB 于点E, ∵AD 平分∠BAC, ∴ ∠EAD=∠CAD. ∵CD⊥AD 于D, ∴ ∠ADE=∠ADC=90°. 在△ADE 和△ADC 中, ∠EAD=∠CAD, AD=AD, ∠ADE=∠ADC,{ ∴ △ADE≌△ADC(ASA), ∴ ∠AED=∠ACD. ∵ ∠AED>∠B, ∴ ∠ACD>∠B. 【中考热身】 1.B 2.C 3.45 4.75° 5.证 明:∵EM ∥FN,∴ ∠FEM = ∠EFN. 又∵EM 平分∠BEF,FN 平分∠CFE, ∴∠BEF=2∠FEM,∠EFC=2∠EFN, ∴∠FEB=∠EFC,∴AB∥CD. 4.八年级上册过关检测卷 一、1.C 2.D 3.A 4.B 5.C 6.D 7.C 8.B 9.A 10.A 二、11.x≥3 12.8 8 13.四 14.30 15.30 16.y=15+9x 17.y=-x+2 18.(3,0) 三、19.(1)原式=42+ 3 2 2- 2= 9 2 2 (2)x=2 , y=3{ 20.D 的坐标为(-2,0),(-4,0)或 (-4,2). 21.解:∵DE 是AB 边上的高, ∴∠AED=∠BED=90°. 在Rt△ADE 中,由勾股定理得:AE= AD2-DE2= (25)2-42=2, 同理:在 Rt△BDE 中,由勾股定理得: BE=8, ∴AB=2+8=10, 在△ABC 中,由 AB=10,AC=8,BC =6,得AB2=AC2+BC2, ∴△ABC 是直角三角形, ∴△ABC 的面积是 1 2×AC×BC= 1 2 ×8×6=24. 22.证明:∵∠2+∠ADG=180°,∠2+ ∠1=180°, ∴∠1=∠ADG, ∴AD∥EF. 又∵∠AED=∠C, ∴DE∥BC, ∴∠ADE=∠B. 又∵AD∥EF, ∴∠ADE=∠DEF, ∴∠B=∠DEF. 23.解:(1)∵5个出现了11次,出现的 次数最多,∴众数为5个, 把这些数从小到大排列,中位数是第 20、21个数的平均数,则中位数为 5+5 2 =5 (个).故答案为:5,5; (2)用中位数或众数5个作为合格标准 次数较为合适,因为大部分同学都能达到. (3)根据题意得:8000× 24 40=4800 (人). 24.解:(1)设三人间住x 间,双人间住 y 间,150x+140y=3020 , 3x+2y=50,{ 解得 x=8, y=13.{ 答:三人间住8间,双人间住13间. (2)由题意得 m=50n+70(50-n)= -20n+3500. (3)∵k=-20<0, ∴y 随x 增大而减小, ∴n=48时,mmin=2540元. ∴安排48人住三人间,2人住双人间花 费住宿费最少. 5.八年级下册分章复习 第一章 三角形的证明 【要点回顾】 1.SAS,ASA,AAS,SSS HL 相等 相等 2.相等 相等 重合 三线合一 两角 3.相等 相等 60° 三个角都相等 等于60° 4.两直角边的平方和等于斜边 的平方 三角形的两边的平方和等于第三边 的平方 5.相等 相等 6.相等 内部 【基础过关】 1.D 2.D 3.C 4.C 5.80° 6.10 7.4 8.22 9.(1)解:∵ △ABD 为等腰直角三角 形, ∴ ∠DBA=45°. 又∵AB=AC,∠BAC=40°, ∴ ∠ABC=70°, ∴ ∠DBC=115°. (2)证明:∵ △ABD 和△ACE 均为等 腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=90°, ·7·