3.第5章 二元一次方程组-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（北师大版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第五章 二元一次方程组 1.含有 个未知数,并且所含未 知数的项的次数都是 的方程叫做二 元一次方程,并请任意写出两个二元一次方 程: . 2.含有 个未知数的两个 次方程所组成的一组方程,叫做二元一 次方程组,二元一次方程组中各个方程的 ,叫做这个二元一次方程组的解. 3.解方程组的基本思路是 ,把 二元变为 ,二元一次方程组的主要解 法有 和 . 4.列二元一次方程组解决问题的关键 是 . 5.一元一次方程与一次函数之间的关 系是: ;二元一次方程组与一次函数 之间的关系是: . 6.含有 个未知数,且未知数的项 的次数是 次的方程叫三元一次方程, 共有 个未知数的一次方程组叫三元 一次方程组,解三元一次方程组的基本方法 是 ,将 转化为 ,再 转化为 求解. 例 小林在某商店购买商品A,B 共三 次,只有一次购买时,商品 A,B 同时打折, 其余两次均按标价购买,三次购买商品A,B 的数量和费用如下表: 购 买 商 品 A 的数 量 (个) 购 买 商 品 B 的 数 量 (个) 购 买 总 费 用 (元) 第一次购物 6 5 1140 第二次购物 3 7 1110 第三次购物 9 8 1062 (1)小林以折扣价购买商品A,B 是第 次购物; (2)求出商品A,B 的标价; (3)若商品A,B 的折扣相同,问商店是 打几折出售这两种商品的? 解析:(1)根据图表可得小林以折扣价购 买商品A,B 是第三次购物;(2)设商品A 的 标价为x 元,商品B 的标价为y 元,根据图 表列出方程组求出x 和y 的值;(3)设商店 是打a 折出售这两种商品的,根据打折之后 购买9个A 商品和8个B 商品共花费1062 元,列出方程求解即可. 答案:(1)小林以折扣价购买商品A,B 是第三次购物. 故答案为:三; (2)设商品A 的标价为x 元,商品B 的 标价为y 元, 根据题意,得 6x+5y=1140, 3x+7y=1110,{ 解得: x=90, y=120.{ 答:商品A 的标价为90元,商品B 的标 价为120元; (3)设 商 店 是 打 a 折 出 售 这 两 种 商 品的, 12 第 一 部 分 夯 实 基 础 由 题 意 得,(9×90+8×120)× a 10 =1062, 解得:a=6. 答:商店是打六折出售这两种商品的. 点评:本题考查了二元一次方程组和一 元一次方程的应用,解答本题的关键是读懂 题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列 方程求解.列二元一次方程组解决实际问题 的一般步骤:(1)审题:找出问题中的已知条 件和未知量及它们之间的关系;(2)设元:找 出题中的两个关键的未知量,并用字母表示 出来;(3)列方程组:挖掘题目中的关系,找出 两个等量关系,列出方程组;(4)求解;(5)检 验作答:检验所求解是否符合实际意义,并作 答.设元的方法:直接设元与间接设元.当问 题较复杂时,有时设与要求的未知量相关的 另一些量为未知数,即为间接设元.无论怎样 设元,设几个未知数,就要列几个方程. 1.一次方程组 x+y=2 x-y=0{ 的解是 ( ) A. x=0 y=2{ B. x=2 y=0{ C. x=1 y=1{ D. x=-1 y=-1{ 2.已知x-3y=-3,则5-x+3y 的值 是 ( ) A.0 B.2 C.5 D.8 3.以方程组 y=-x+2, y=x-1{ 的解为坐标的点 (x,y)在平面直角坐标系中的位置是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若 一 个 二 元 一 次 方 程 的 一 个 解 为 x=2, y=-1,{ 则这个方程可以是 .(只要 写出一个) 5.某果园现有桃树和杏树共500棵,计 划一年后桃树增加3%,杏树增加4%,这样 果园里这两种果树将增加3.6%,如果设该果 园现有桃树和杏树分别为x 棵,y 棵,则可列 方程组为 . 6.解方程组: x 2+ y 3=1 , 3x 4- 4y 5=1. ì î í ï ï ï ï ïï 7. 已 知 关 于 x,y 的 方 程 组 mx+ny=7, 2mx-3ny=4{ 的解为 x=1, y=2,{ 求m,n 的值. 22 第 一 部 分 夯 实 基 础 8.甲、乙两车相距150千米,两车同时出 发,同向而行,甲车4小时可追上乙车;相向 而行,1.5小时后两车相遇,求甲、乙两车的 速度. 1.甲、乙两人同求方程ax-by=7的整 数解,甲求出一组解为 x=3, y=4,{ 而乙把ax- by=7 中 的 7 错 看 成 1,求 得 一 组 解 为 x=1, y=2,{ 试求a,b的值. 2.某镇水库的可用水量为12000万立方 米,假设年降水量不变,能维持该镇16万人 20年的用水量.实施城市化建设,新迁入4万 人后,水库只够维持居民15年的用水量.求: (1)年降水量为多少万立方米? 每人每 年平均用水量为多少立方米? (2)政府号召节约用水,希望将水库的保 用年限提高到25年,则该镇居民人均每年需 节约多少立方米水才能实现目标? 3.一方有难,八方支援.“新冠肺炎”疫情 来袭,不仅医务人员主动请缨走向抗疫前线, 众多企业也伸出援助之手,某公司用甲、乙两 种货车向武汉运送爱心物资,两次满载的运 输情况如表: 甲种货车(辆) 乙种货车(辆)总量(吨) 第一次 4 5 31 第二次 3 6 30 (1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多 少吨? (2)现有45吨物资需要再次运往武汉, 准备同时租用这两种货车,每辆均全部装满 货物,问有哪几种租车方案? 32 第 一 部 分 夯 实 基 础 1.(葫芦岛中考题)我市在落实国家“精 准扶贫”政策的过程中,为某村修建一条长为 400米的公路,由甲、乙两个工程队负责施 工.甲工程队独立施工2天后,乙工程队加 入,两工程队联合施工3天后,还剩50米的 工程.已知甲工程队每天比乙工程队多施工 2米,求甲、乙工程队每天各施工多少米? 设 甲工程队每天施工x 米,乙工程队每天施工 y 米.根据题意,所列方程组正确的是 ( ) A. x=y-2 2x+3y=400{ B. x=y-2 2x+3(x+y)=400-50{ C. x=y+2 2x+3y=400-50{ D. x=y+2 2x+3(x+y)=400-50{ 2.(安顺中考题)已知等腰三角形的两 边长分别为a,b,且a,b满足 2a-3b+5+ (2a+3b-13)2=0,则此等腰三角形的周长为 ( ) A.7或8 B.6或10 C.6或7 D.7或10 3.(襄阳中考题)若方程mx+ny=6的两 个解是 x=1, y=1,{ x=2, y=-1,{ 则m,n的值为 ( ) A.4,2 B.2,4 C.-4,-2 D.-2,-4 4.(滨州中考题)某公园“6·1”期间举 行特优读书游园活动,成人票和儿童票均有 较大的折扣,张凯、李利都随他们的家人参加 了本次活动,王斌也想去,就打听张凯、李利 买门票花了多少钱.张凯说他家去了3个大 人和4个小孩,共花了38元钱;李利说他家 去了4个大人和2个小孩,共花了44元钱. 王斌家计划去3个大人和2个小孩,请你帮 他算一下,需准备 元钱买门票. 5.(宁夏中考题)若2a-b=5,a-2b= 4,则a-b的值为 . 6.(重庆中考题)某生态农业园种植的 青椒除了运往市区销售外,还可以让市民亲 自去生态农业园购买,已知今年5月份青椒 在市区、园区的销售价格分别为6元/千克、 4元/千克,今年5月份一共销售了3000千 克,总销售额为16000元. (1)今年5月份该青椒在市区、园区各销 售了多少千克? (2)6月份是青椒产出旺季,为了促销, 生态农业园决定6月份将该青椒在市区、园 区的销售价格均在今年5月份的基础上降低 a%,预计这种青椒在市区、园区的销量将在 今年5月份的基础上分别增长30%、20%.要 使6月份该青椒的总销售额不低于18360 元,则a 的最大值是多少? 42 ∴y=-22x+62000(240≤x≤250). (2)∵k=-22<0,∴y 随x 的增大而 减小, ∴ 当x=250时,总费用y 最小,此时y =56500. 【中考热身】 1.C 2.D 3.D 4.< 5.解:(1)A 比B 后出发1小时. ∵60÷3=20(km/h), ∴B 的速度是20km/h. (2)设OC 的解析式为y=k1x,OC 经过 点C(3,60),根据题意得:60=3k1,解得k1 =20, ∴OC 的解析式为y=20x. 设DE 的解析式为y=k2x+b,DE 经 过点D(1,0),E(3,90),根据题意得: k2+b=0, 3k2+b=90,{ 解得 k2=45, b=-45,{ ∴DE 的解析式为y=45x-45. 由 y=20x, y=45x-45,{ 解得 x= 9 5 , y=36.{ ∴ 在B 出发后 9 5 小时,两人相遇. 第五章 二元一次方程组 【要点回顾】 1.两 一次 如x+y=2,3a-s=2 2.两 一 公共解 3.消元 一元 代入 法 加减法 4.找出两个与未知数有关的 相等关系 5.一元一次方程的解是一次函 数与x 轴交点的横坐标 二元一次方程组 的解是对应一次函 数 图 象 的 交 点 坐 标 6.三 一 三 消元 三元 二元 一元 【基础过关】 1.C 2.D 3.A 4.答案不唯一,如: 2x-y=5 5.x+y=500 , 3%x+4%y=500×3.6%{ 6. x= 68 39 , y= 5 13 ì î í ï ï ï ï 7.解:把 x=1 , y=2{ 代 入 原 方 程 组 得 m+2n=7①, 2m-6n=4②,{ ①×2-②,得10n=10,解 得n=1,将n=1代入①,得m+2=7,解得 m=5. 8.解:设甲车的速度为x 千米/时,乙车 的速度为y 千米/时. 则 4(x-y)=150, 1.5(x+y)=150,{ 解得 x=68 3 4 , y=31 1 4. ì î í ï ï ï ï 答:甲车的速度是68 3 4 千米/时,乙车的 速度是31 1 4 千米/时. 【综合提升】 1.解:把x=3,y=4代入ax-by=7 中, 得3a-4b=7①, 把x=1,y=2代入ax-by=1中,得a -2b=1②, 解由①②组成的方程组 3a-4b=7 , a-2b=1,{ 解得 a=5, b=2.{ 2.解:(1)设年降水量为x 万立方米,每 人每年平均用水量为y 立方米,则: 12000+20x=16×20y, 12000+15x=20×15y,{ 解得:x=200, y=50.{ 答:年降水量为200万立方米,每人每年 平均用水量为50立方米. (2)设该镇居民每人每年平均用水量为 z立方米才能实现目标,则: 12000+25×200=20×25z, 解得:z=34. ∴50-34=16. 答:该镇居民人均每年需要节约16立方 米水才能实现目标. 3.解:(1)设甲种货车每辆能装货x 吨, 乙种货车每辆能装货y 吨, 依题意得:4x+5y=31, 3x+6y=30,{ 解得: x=4, y=3.{ 答:甲种货车每辆能装货4吨,乙种货车 每辆能装货3吨. (2)设租用甲种货车 m 辆,乙种货车n 辆, 依题意得:4m+3n=45,∴n=15- 4 3m. 又∵m,n 均 为 正 整 数,∴ m=3 , n=11{ 或 m=6, n=7{ 或 m=9, n=3.{ ∴共有3种租车方案, 方案1:租用3辆甲种货车,11辆乙种货 车; 方案2:租用6辆甲种货车,7辆乙种货 车; ·5· 方案3:租用9辆甲种货车,3辆乙种货 车. 【中考热身】 1.D 2.A 3.A 4.34 5.3 6.解:(1)设5月份在市区销售了x 千 克,园区销售了y 千克,由题意得: x+y=3000, 6x+4y=16000,{ 解得: x=2000, y=1000,{ 答:5月份在市区销售了2000千克,园 区销售了1000千克. (2)由题意得:6(1-a%)×2000(1+ 30%)+4(1-a%)×1000(1+20%)≥ 18360,解得:a≤10. 则a 的最大值为10. 第六章 数据的分析 【要点回顾】 1. 1 n (x1+x2+…+xn) 2.最中间位 置的数(或最中间两个数据的平均数) 3 3.次数最多 3 4.极差、方差或标准差 最大数据与最小数据的差 各数据与平均数 差的平方的平均数 s2= 1 n [(x1-x - )2+ (x2-x - )2+…+(xn-x - )2] 方差的算术平 方根 5.极差、方差或标准差 稳定 【基础过关】 1.B 2.B 3.A 4.C 5.92 6.-0.5 7.解:(1)甲、乙、丙的民主评议得分分 别为:200×25%=50(分),200×40%=80 (分),200×35%=70(分). (2)甲的平均成绩为 75+93+50 3 = 218 3 ≈72.67(分), 乙的平均 成 绩 为80+70+80 3 = 230 3 ≈ 76.67(分), 丙的平均 成 绩 为90+68+70 3 = 228 3 = 76.00(分), 由于76.67>76>72.67, ∴候选人乙将被录用. (3)如果将笔试、面试、民主评议三项测 试得分按4∶3∶3的比例确定个人成绩,那 么甲的个人成绩为:4×75+3×93+3×50 4+3+3 =72.9(分), 乙 的 个 人 成 绩 为: 4×80+3×70+3×80 4+3+3 =77 (分), 丙 的 个 人 成 绩 为: 4×90+3×68+3×70 4+3+3 =77.4 (分), 由于丙的个人成绩最高,∴候选人丙将 被录用. 【综合提升】 1.A 2.C 3.a2s2 4.解:(1)甲、乙射击成绩统计表 平均数 中位数 方差 命中10环的次数 甲 7 7 4 0 乙 7 7.5 5.4 1 补全甲、乙射击成绩折线图略 (2)由甲的方差小于乙的方差,得到甲胜 出; (3)若希望乙胜出,可以将规则定为命中 10环次数多的胜出,∵乙命中10环为1次, 而甲没有,∴乙胜出. 【中考热身】 1.B 2.B 3. 14 3 4.15.6 5.9 6.解:(1)∵甲班共有10名学生,处于 中间位置的是第5、第6个数的平均数, ∴测得的甲班这10名学生所做“仰卧起 坐”个数的中位数落在C 组; (2)乙班这10名学生所做“仰卧起坐”个 数的平均数是:1 10× (22+30×3+35×4+ 37+41)=33(个); (3)甲班的平均数是: 1 10× (27×1+32 ×3+37×4+42×2)=35.5(个), ∵35.5>33,∴甲班的学生做“仰卧起 坐”的整体情况更好一些. 第七章 平行线的证明 【要点回顾】 1.名称和术语的含义加以描述,作出明 确的规定 判断一件事情 条件 结论 两 个角是同一个角的补角 这两个角相等 2.真 假 真 假 反例 3.公认 证明 定理 公理、定义和已经证明为真的命题 4.同位角或内错角 同旁内角 同位角 或内错角 同旁内角 5.180° 互余 6.另 一条边的反向延长线 和它不相邻 任何一 个和它不相邻的内角 【基础过关】 1.C 2.C 3.D 4.C 5.A 6.一个 角是已知角的补角 这个角大于已知角 7.②③⑤ ③ 8.直角 9.①②④ 10.证明:∵BE 平分∠ABD(已知), ∴ ∠EBA = ∠EBD (角 平 分 线 的 定 义). ·6·