3.第4章 一次函数-【暑假大串联】2024-2025学年八年级数学暑假作业教材衔接（北师大版）

第 一 部 分 夯 实 基 础 第四章 一次函数 1.函数定义:在一个变化过程中,如果 有两个变量x 与y,并且对于x 的每一个确 定的值,y 都有 确定的值与其对应, 那么我们就说x 是自变量,y 是x 的函数. 2.一次函数的概念:函数y= (k,b 为常数,k )叫做一次函数,当 b 时,函数y= (k ) 叫做正比例函数. 3.正比例函数y=kx(k≠0)的图象是 过 的一条直线;一次函数y=kx+ b(k≠0)的图象是过点(0, ),( ,0)的一条直线. 4.当k>0时,一次函数y=kx+b的函 数值y 随x 的增大而 ;当k<0时, 一次函数y=kx+b的函数值y 随x 的增大 而 . 5.确定一次函数表达式一般用待定系数 法,其步骤为:①设表达式为 ;②把已 知点的坐标代入,若是正比例函数,则需要 个点;若是一次函数,则需要 个点,组成关于 的一个或两个方程; ③从方程中求出 的值;④把 的值代回到表达式中. 例 某天,小明来到体育馆看球赛,进场 时,发现门票还在家里,此时离比赛开始还有 25分钟,于是立即步行回家取票.同时,他父 亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他 送票,两人在途中相遇,相遇后小明立即坐父 亲的自行车赶回体育馆.下图中线段AB,OB 分别表示父、子俩送票、取票过程中离体育馆 的路程s(米)与所用时间t(分钟)之间的函 数关系. 结合图象解答下列问题(假设骑自行车 和步行的速度始终保持不变): (1)求点B 的坐标和AB 所在直线的函 数关系式; (2)小明能否在比赛开始前到达体育馆? 解析:(1)从图象可以看出,父子俩从出 发到相遇花费了15分钟,路程是3600米,可 以求出父子俩的速度,B 点的纵坐标便可以 求出,利用两点法便可以求出AB 的解析式; (2)从第(1)问中已经知道路程和速度求出父 子俩赶回体育馆的时间就知道能否在比赛开 始前到达体育馆了. 答案:(1)从图象可以看出:父子俩从出 发到相遇花费了15分钟. 设小明步行的速度为x 米/分,则小明 父亲骑车的速度为3x 米/分. 依题意得:15x+45x=3600, 解得:x=60. 所以两人相遇处离体育馆的距离为60 ×15=900米. 所以点B 的坐标为(15,900). 71 第 一 部 分 夯 实 基 础 设直线 AB 的函数关系式为s=kt+b (k≠0), 由题意,直线 AB 经过点A(0,3600), B(15,900),得: b=3600, 15k+b=900,{ 解得 k=-180, b=3600,{ ∴ 直 线 AB 的 函 数 关 系 式 为:s= -180t+3600; (2)在s=-180t+3600中,令s=0, 得:0=-180t+3600, 解得:t=20, 即小明的父亲从出发到体育馆花费的时 间为20分钟,因而小明取票的时间也为20 分钟. ∵20<25, ∴ 小明能在比赛开始前到达体育馆. 点评:“两人(车)相遇”反映在函数图象 上就是“两图象的公共点”.结合图象信息,读 懂题目意思,从复杂的信息中分离出数学问 题即相遇问题是解决本题的关键.另外本题 也包含了生活实际与一次函数的联系问题. 1.下列说法正确的是 ( ) A.若y<2x,则y 是x 的函数 B.正方形面积是周长的函数 C.变量x,y满足y2=2x,y是x的函数 D.温度是变量 2.下列函数关系式中,y 是x 的正比例 函数的是 ( ) A.y=2x-1 B.y=-x C.y=2(x-1) D.y= 2 x 3.若y=kx 的函数值y 随x 的增大而 增大,则k的值可能是下列的 ( ) A.-4 B.- 1 2 C.0 D.3 4.如图,过点Q(0,3.5)的一次函数的图 象与正比例函数y=2x 的图象相交于点P, 能表示这个一次函数图象的方程是 ( ) A.3x-2y+3.5=0 B.3x-2y-3.5=0 C.3x-2y+7=0 D.3x+2y-7=0 5.若函数y=(m-2)x+5-m 是一次 函数,则 m ;若此函数是正比例函 数,则m= . 6.若点(3,b)在直线y= 2 3x-3 上,则b = . 7.在一次函数y=(2-k)x+1中,函数 值y 随x 的增大而增大,则k 的取值范围 为 . 8.如图,一次函数y=kx+b 的图象与 x 轴的交点坐标为(2,0). 则下列说法:①y 随x 的增大而减小;②b >0;③关于x的方程kx+b=0的解为x=2. 其中说法正确的有 .(把你认为 说法正确的序号都填上) 81 第 一 部 分 夯 实 基 础 9.如图,在直角坐标系中,直线y=kx +b经过(0,4),(10,-4)两点,与x 轴交于 点A,与y 轴交于点B. (1)求这条直线的解析式; (2)求出三角形AOB 的面积; (3)观察图象直接写出:当x 取何值时, y 大于0? 当x 取何值时,y 小于0? (4)如 果 P 点 是x 轴 上 的 一 点,且 △PAB 为等腰三角形,请你直接写出符合条 件的P 点的坐标. 1.当kb<0时,一次函数y=kx+b 的 图象一定经过 ( ) A.第一、三象限 B.第一、四象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 2.如图所示,直线y1=x+b与y2=kx -1相交于点P,点P 的横坐标为-1,则关于 x的不等式x+b>kx-1的解集在数轴上表 示正确的是 ( ) 3.在平面直角坐标系中,将直线y= -2x+1向下平移4个单位长度后,所得直 线的解析式为 . 4.按照下列计算程序求解: 当x0=500时,输出的y的值是 . 5.已知某工厂计划用库存的302m2木 料为某学校生产500套桌椅,供该校1250名 学生使用.该厂生产的桌椅分为A,B 两种型 号,有关数据如下: 桌椅 型号 一套桌椅所 坐学生人数 (人) 生 产 一 套 桌 椅 所 需 木 料(m2) 一 套 桌 椅 的 生 产 成 本 (元) 一 套 桌 椅 的 运 费(元) A 2 0.5 100 2 B 3 0.7 120 4 设生产A 型桌椅x(套),生产全部桌椅 并运往该校的总费用(总费用=生产成本+ 运费)为y(元). 91 第 一 部 分 夯 实 基 础 (1)求y 与x 之间的关系式,并指出x 的取值范围; (2)当总费用y 最小时,求相应的x 值 及此时y 的值. 1.(资阳中考题)一次函数y=-2x+1 的图象不经过下列哪个象限 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(深圳中考题)已知一次函数y=ax +b(a,b 为常数且a≠0)经过(1,3)和(0, -2),则a-b等于 ( ) A.-1 B.-3 C.3 D.7 3.(济南中考题)若 m<-2,则一次函 数y=(m+1)x+1-m 的图象可能是 ( ) A B C D 4.(成都中考题)在平面直角坐标系中, 已 知 一 次 函 数 y=2x+1 的 图 象 经 过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若x1<x2,则 y1 y2.(填“>”“<”或“=”) 5.(绍 兴 中 考 题)已知甲、乙两地相距 90km,A,B 两人沿同一公路从甲地出发到 乙地,A 骑摩托车,B 骑电动车.图中 DE, OC 分别表示A,B 离开甲地的路程s(km) 与时间t(h)的函数关系的图象,根据图象解 答下列问题. (1)A 比B 后出发几小时? B 的速度是 多少? (2)在B 出发后几小时,两人相遇? 02 ∴OD= 1 2OA= 1 2×10=5. 过点P 作PE⊥x 轴于E,则PE=OC =4. ∵P(3,4), ∴OP= 32+42=5, ∴ 此时,OP=OD. 当PD=OD 时,由勾股定理得,DE= 3, 若点E 在点D 的左边,OE=5-3=2, 此时,点P 的坐标为(2,4), 若点E 在点D 的右边,则OE=5+3= 8, 此时,点P 的坐标为(8,4), 综上所述,其余的点P 的坐标为(2,4)或 (8,4). 第四章 一次函数 【要点回顾】 1.唯一 2.kx+b ≠0 =0 kx ≠0 3.原点 b - b k 4. 增大 减小 5.①y=kx+b 或y=kx ②一 两 k,b ③k,b ④k,b 【基础过关】 1.B 2.B 3.D 4.D 5.≠2 5 6.-1 7.k<2 8.①②③ 9.解:(1)把(0,4)(10,-4)代入y=kx +b,得: b=4, 10k+b=-4,{ 解得 k=- 4 5 , b=4,{ ∴这条直线的解析式是y=- 4 5x+4 ; (2)当x=0时,y=4, 当y=0时,0=- 4 5x+4 ,解得x=5, ∴A(5,0),B(0,4), ∴S△AOB= 1 2×4×5=10 ; (3)由图象可知:当x<5时,y>0;当x >5时,y<0; (4)①如图1,当PA=PB 时, 设P(x,0),则AP=5-x, 在Rt△PBO 中,OP2+OB2=PB2, ∴x2+42=(5-x)2,解得x= 9 10 ,∴P 点的坐标是 9 10 ,0 æ è ç ö ø ÷. 图1 ②如图2,当AP=AB= 41时, ∵A 点的坐标是(5,0), ∴P 点的坐标是(5- 41,0)或(5+ 41,0). 图2 ③如图3,当BP=BA= 41时, ∵A 点的坐标是(5,0), ∴P 点的坐标是(-5,0). 图3 综上,当△PAB 为等腰三角形时,P 点 的坐标是 9 10 ,0 æ è ç ö ø ÷ 或(5- 41,0)或(5+ 41, 0)或(-5,0). 【综合提升】 1.B 2.A 3.y=-2x-3 4.-991 5.解:(1)由题意得:生产B 型桌椅(500 -x)套; 则y=(100+2)x+(120+4)(500-x) =-22x+62000. 又 2x+3(500-x)≥1250, 0.5x+0.7(500-x)≤302;{ 解得:240≤x≤250, ·4· ∴y=-22x+62000(240≤x≤250). (2)∵k=-22<0,∴y 随x 的增大而 减小, ∴ 当x=250时,总费用y 最小,此时y =56500. 【中考热身】 1.C 2.D 3.D 4.< 5.解:(1)A 比B 后出发1小时. ∵60÷3=20(km/h), ∴B 的速度是20km/h. (2)设OC 的解析式为y=k1x,OC 经过 点C(3,60),根据题意得:60=3k1,解得k1 =20, ∴OC 的解析式为y=20x. 设DE 的解析式为y=k2x+b,DE 经 过点D(1,0),E(3,90),根据题意得: k2+b=0, 3k2+b=90,{ 解得 k2=45, b=-45,{ ∴DE 的解析式为y=45x-45. 由 y=20x, y=45x-45,{ 解得 x= 9 5 , y=36.{ ∴ 在B 出发后 9 5 小时,两人相遇. 第五章 二元一次方程组 【要点回顾】 1.两 一次 如x+y=2,3a-s=2 2.两 一 公共解 3.消元 一元 代入 法 加减法 4.找出两个与未知数有关的 相等关系 5.一元一次方程的解是一次函 数与x 轴交点的横坐标 二元一次方程组 的解是对应一次函 数 图 象 的 交 点 坐 标 6.三 一 三 消元 三元 二元 一元 【基础过关】 1.C 2.D 3.A 4.答案不唯一,如: 2x-y=5 5.x+y=500 , 3%x+4%y=500×3.6%{ 6. x= 68 39 , y= 5 13 ì î í ï ï ï ï 7.解:把 x=1 , y=2{ 代 入 原 方 程 组 得 m+2n=7①, 2m-6n=4②,{ ①×2-②,得10n=10,解 得n=1,将n=1代入①,得m+2=7,解得 m=5. 8.解:设甲车的速度为x 千米/时,乙车 的速度为y 千米/时. 则 4(x-y)=150, 1.5(x+y)=150,{ 解得 x=68 3 4 , y=31 1 4. ì î í ï ï ï ï 答:甲车的速度是68 3 4 千米/时,乙车的 速度是31 1 4 千米/时. 【综合提升】 1.解:把x=3,y=4代入ax-by=7 中, 得3a-4b=7①, 把x=1,y=2代入ax-by=1中,得a -2b=1②, 解由①②组成的方程组 3a-4b=7 , a-2b=1,{ 解得 a=5, b=2.{ 2.解:(1)设年降水量为x 万立方米,每 人每年平均用水量为y 立方米,则: 12000+20x=16×20y, 12000+15x=20×15y,{ 解得:x=200, y=50.{ 答:年降水量为200万立方米,每人每年 平均用水量为50立方米. (2)设该镇居民每人每年平均用水量为 z立方米才能实现目标,则: 12000+25×200=20×25z, 解得:z=34. ∴50-34=16. 答:该镇居民人均每年需要节约16立方 米水才能实现目标. 3.解:(1)设甲种货车每辆能装货x 吨, 乙种货车每辆能装货y 吨, 依题意得:4x+5y=31, 3x+6y=30,{ 解得: x=4, y=3.{ 答:甲种货车每辆能装货4吨,乙种货车 每辆能装货3吨. (2)设租用甲种货车 m 辆,乙种货车n 辆, 依题意得:4m+3n=45,∴n=15- 4 3m. 又∵m,n 均 为 正 整 数,∴ m=3 , n=11{ 或 m=6, n=7{ 或 m=9, n=3.{ ∴共有3种租车方案, 方案1:租用3辆甲种货车,11辆乙种货 车; 方案2:租用6辆甲种货车,7辆乙种货 车; ·5·