复习课第01讲 解一元二次方程、韦达定理 暑假讲义2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

第01讲 解一元二次方程、韦达定理 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 解一元二次方程 【题型二】 配方法的应用 【题型三】 一元二次方程根的判别式 【题型四】 一元二次方程的根与系数的关系 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握一元二次方程的解法—配方法、公式法、因式分解法； 2.掌握一元二次方程的判别式的意义； 3.掌握一元二次方程的根与系数的关系. 1 一元二次方程 (1)概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程. 一般形式：，其中、、分别叫做二次项、一次项、常数项，、、分别称为二次项系数、一次项系数、常数项. (2)一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是这个一元二次的解，也称为根. 2 一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 形如的方程，可直接开平方求解. (2)配方法 利用完全平方公式进行配方；当一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为偶数时，使用配方法较容易. (3)公式法 一元二次方程的求根公式为. (4)因式分解法 把一元二次方程化为的形式，可用因式分解法.常见因式分解的方法是提取公因式、公式法、十字相乘法等. 3一元二次方程根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即. (1)当时，原方程有两个不相等的实数根； (2)当时，原方程有两个相等的实数根； (3)当时，原方程没有实数根. 4 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程有实数根，，则，. 【题型一】 解一元二次方程 【典题1】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）解方程： (1)；(2)． 变式练习 1（24-25八年级下·北京·期中）解方程： (1)；(2)． 2（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【题型二】 配方法的应用 【典题1】（2025·安徽六安·一模）已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025·浙江·模拟预测）在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 2（2025八年级下·全国·专题练习）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3（2025·山东聊城·二模）已知实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4（2025·山东淄博·一模）已知为实数，设，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．6 【题型三】 一元二次方程根的判别式 【典题1】（2025·广东广州·一模）对于任意4个实数，，，，定义一种新的运算，例如：，则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 变式练习 1（2025·辽宁抚顺·三模）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2（2025·云南文山·三模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3（24-25八年级下·安徽宣城·期中）若实数满足，则方程根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．以上都不对 【题型四】 一元二次方程的根与系数的关系 【典题1】 （2025·河北沧州·二模）甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原方程根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根分别是2和5 D．两根分别是和 【典题2】（24-25八年级下·福建泉州·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程 (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值： (3)若关于x的方程是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 变式练习 1（2025·黑龙江绥化·三模）已知和是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A．6 B．2 C． D．3 2（2025·甘肃定西·三模）对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 3（24-25八年级下·山东淄博·期中）若关于x的方程的两根互为倒数，则（   ） A．2 B．2或 C． D． 4（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根． (2)当的斜边，且两直角边恰好是这个方程的两个根，求的值． 5（24-25八年级下·辽宁大连·期中）阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值. 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴ ，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_____，_____； (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足，，且，求的最大值． 6（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：如果关于x的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【A组---基础题】 1（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）下列方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25八年级下·山东烟台·期中）当时，关于x的方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3（2025·河南平顶山·三模）已知a和b是方程的两个解，则的值为（   ） A．2025 B． C．2028 D．2030 4（2025·河北石家庄·二模）关于的一元二次方程中，，则该方程根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为 D．两根之和为1 5（2025·河北廊坊·二模）已知，是关于x的方程的两个根，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）解下列方程 (1)； (2)． 7（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (3)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 8（2025·广西梧州·二模）若一元二次方程（，，是常数，且）的两根分别是，，根据求根公式可以推出，． (1)运用：若一元二次方程的两根分别是，，则 ． (2)类比探究：小芳同学发现． 请你试证明：． (3)若，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【B组---提高题】 1（24-25八年级下·重庆·阶段练习）阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题： (1)当方程的一个根时，求方程的另一个根； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 解一元二次方程、韦达定理 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 解一元二次方程 【题型二】 配方法的应用 【题型三】 一元二次方程根的判别式 【题型四】 一元二次方程的根与系数的关系 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握一元二次方程的解法—配方法、公式法、因式分解法； 2.掌握一元二次方程的判别式的意义； 3.掌握一元二次方程的根与系数的关系. 1 一元二次方程 (1)概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程. 一般形式：，其中、、分别叫做二次项、一次项、常数项，、、分别称为二次项系数、一次项系数、常数项. (2)一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是这个一元二次的解，也称为根. 2 一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 形如的方程，可直接开平方求解. (2)配方法 利用完全平方公式进行配方；当一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为偶数时，使用配方法较容易. (3)公式法 一元二次方程的求根公式为. (4)因式分解法 把一元二次方程化为的形式，可用因式分解法.常见因式分解的方法是提取公因式、公式法、十字相乘法等. 3一元二次方程根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即. (1)当时，原方程有两个不相等的实数根； (2)当时，原方程有两个相等的实数根； (3)当时，原方程没有实数根. 4 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程有实数根，，则，. 【题型一】 解一元二次方程 【典题1】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程—因式分解法以及一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握提公因式法分解因式以及配方法． （1）提公因式法因式分解解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ． 变式练习 1（24-25八年级下·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，正确的计算，是解题的关键： （1）利用直接开方法解方程即可； （2）先化为一般形式，再利用提公因式法进行因式分解，求解即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴； （2）解： ∴ ∴ ∴ ∴或 ∴． 2（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 或 解得：，； （2）解：， ∴， ∴或， ∴，． 【题型二】 配方法的应用 【典题1】（2025·安徽六安·一模）已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用．先根据已知等式求出，，再利用完全平方公式判断出，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， 解得，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：A． 变式练习 1（2025·浙江·模拟预测）在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法得，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴选项D不可能， 故选：D． 2（2025八年级下·全国·专题练习）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握配方法在三角形的三边关系中的应用． 先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为，，， ， ， 又这个三角形的最大边为， ． 故选：． 3（2025·山东聊城·二模）已知实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的是不等式的性质，配方法的应用，先由条件可得，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ； ∴， 故选：A 4（2025·山东淄博·一模）已知为实数，设，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、两点之间的距离，掌握在平面直角坐标系中求出两点间的距离的公式是解题的关键，先理解题意，运用配方法把被开方数变形，再根据三角形的三边关系进行分析，以及两点间的距离公式列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 上式表示与之间的距离， ， 上式表示与之间的距离， 由勾股定理得， 结合三角形三边关系得的最大值是点B和点C的距离，即的最大值， 故选：B． 【题型三】 一元二次方程根的判别式 【典题1】（2025·广东广州·一模）对于任意4个实数，，，，定义一种新的运算，例如：，则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查的是根的判别式，实数的运算，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据题意得出关于的一元二次方程，再利用根的判别式解答即可． 【详解】解： ， 关于的方程可化为，即， ，，， ， 有两个不相等的实数根． 故选：B． 变式练习 1（2025·辽宁抚顺·三模）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 2（2025·云南文山·三模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况．计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 3（24-25八年级下·安徽宣城·期中）若实数满足，则方程根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【题型四】 一元二次方程的根与系数的关系 【典题1】 （2025·河北沧州·二模）甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原方程根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根分别是2和5 D．两根分别是和 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．设原方程为，由根与系数的关系得，，得出，，再代入到原方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：设原方程为， 由题意得，，， ，， 原方程为，即， 解得：，， 原方程根的情况是两根分别是2和5． 故选：C． 【典题2】（24-25八年级下·福建泉州·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程 (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值： (3)若关于x的方程是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)是；计算见解析 (2)或 (3)221 【分析】（1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值； 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：，， ∵，符合邻根方程的定义， ∴是邻根方程； （2）解：∵关于x的方程是邻根方程， ∴解方程可得：， ∴， ∴， 故或； （3）解：∵关于x的方程是邻根方程，设两个根分别为、， ∴， 由韦达定理：， ∴， ∴， ∴ ∴当时，， 答：t的最大值为221． 【点睛】本题主要考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． 变式练习 1（2025·黑龙江绥化·三模）已知和是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A．6 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：． 2（2025·甘肃定西·三模）对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由得：，由根与系数的关系得；再把所求代数式通分，整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵m，n是方程的两个实数根， 即m，n是方程的两个实数根， ∴； ∴； 故选：A． 3（24-25八年级下·山东淄博·期中）若关于x的方程的两根互为倒数，则（   ） A．2 B．2或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，是关于的一元二次方程，为常数)的两个实数根，则 ． 根据已知和根与系数的关系得出，求出的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的的值． 【详解】解：设是方程的两根， ， ∵两根互为倒数， ∴， 解得或2； ∵方程有两个实数根，， ∴当时，，舍去， 故的值为． 故选：C． 4（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根． (2)当的斜边，且两直角边恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据即可证明无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于的方程，解出即可得出答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程， ， ， ， 无论为何值，， 无论为何值，该方程总有两个不等实根； （2）解： 和恰好是方程的两个根， ，， 是直角三角形，斜边为， ， ， ， 化简得， 解得或， 又 时，，不合题意舍去， ． 5（24-25八年级下·辽宁大连·期中）阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值. 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴ ，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_____，_____； (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足，，且，求的最大值． 【答案】(1)，； (2)； (3)的最大值为． 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根则；当方程有两个相等的实数根则；当方程没有实数根则，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）根据根与系数的关系进行求解即可； （）根据根与系数的关系可得，，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； （）由 ，，将看作是方程的两实数根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴ ，， ∵， ∴原式； （3）解：∵ ，， ∴将看作是方程的两实数根， ∴， ∵， ∴， 则， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 6（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：如果关于x的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“邻根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系即可得到，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得：， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程式“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”， 设方程的两个根为、，则，，，， 得， ， ， ． 【A组---基础题】 1（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）下列方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根判别式的意义，要判定所给方程根的情况，只要分别求出它们的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．没有实数根的一元二次方程就是判别式的值小于0的方程． 【详解】解：A. ，，有实数根，故该选项不符合题意； B. ，，有实数根，故该选项不符合题意； C. ，，有实数根，故该选项不符合题意； D. ，，没有实数根故该选项符合题意； 故选：D． 2（24-25八年级下·山东烟台·期中）当时，关于x的方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．由可得出，根据方程的系数结合根的判别式可得出，由偶次方的非负性可得出，即，由此即可得出关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3（2025·河南平顶山·三模）已知a和b是方程的两个解，则的值为（   ） A．2025 B． C．2028 D．2030 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程根的定义得①，由根与系数的关系得②，然后由整理可得答案． 【详解】∵a和b是方程的两个解， ∴①， ②， 得，， ∴， ∴． 故选：D． 4（2025·河北石家庄·二模）关于的一元二次方程中，，则该方程根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为 D．两根之和为1 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意可得，则原方程有两个不相等的实数根，再由根与系数的关系得到两根之积为，两根之和为，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴两根之积为，两根之和为， ∴方程的两个实数根为一正一负， ∵， ∴， ∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意； 故选：C． 5（2025·河北廊坊·二模）已知，是关于x的方程的两个根，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，根据判别式判断根的情况，根据根与系数的关系，判断两根的符号，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∵，是关于x的方程的两个根， ∴；故A正确，B错误； ∴， ∴异号或其中一个的值为0，的值不一定大于0；故C，D错误； 故选A． 6（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法计算即可． （2）利用因式分解法计算即可． 本题考查了因式分解法求方程根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵, ∴ ∴ 解得，． （2）解：∵， ∴ 解得，． 7（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (3)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)的取值范围是； (3)的值为． 【分析】此题考查了一元二次方程的解， 一元二次方程，一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用及正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程得，然后解一元二次方程即可； （）由题意得，然后解不等式即可； （）由题意可得，，则，解得，， 再通过即可求出的值． 【详解】（1）解：∵该方程有一个根是， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵该方程有两个实数根， ∴， 解得． 即的取值范围是； （3）解：∵该方程的两个实数根，， ∴，， ∴， 化简得， 解得，， 由（）可知，， 所以的值为． 8（2025·广西梧州·二模）若一元二次方程（，，是常数，且）的两根分别是，，根据求根公式可以推出，． (1)运用：若一元二次方程的两根分别是，，则 ． (2)类比探究：小芳同学发现． 请你试证明：． (3)若，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式变形，解一元二次方程； （1）利用根与系数的关系可求出的值； （2）根据，代入求值即可； （3）先利用根与系数的关系可求出，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根分别是，，则， 故答案为：； （2）证明：由题意可得，， ∴； （3）解：∵，是关于的方程的两个实数根， ∴，，， ∴，， 整理得， 解得， ∴． 【B组---提高题】 1（24-25八年级下·重庆·阶段练习）阅读下面材料：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的一元二次方程有两个实数根分别为，，那么由求根公式可推出，．已知关于的方程有两个实根，，请根据上述结论，解决下面问题： (1)当方程的一个根时，求方程的另一个根； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数之间的关系是解题的关键： （1）把代入方程求出的值，再解方程求出的值即可； （2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，列出方程进行求解即可； （3）根据一元二次方程根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程，得：， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上：或； （2）∵方程有两个实根，， ∴， ∴， 解得：或， 当，方程化为：， ∴，满足条件； 当，方程化为：，此时，舍去； 故； （3）∵方程有两个实根，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或（舍去）， 当时，原方程化为：， 此时，满足题意， ∴． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$