复习课第02讲 实际问题与一元二次方程 暑假讲义2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

第02讲 实际问题与一元二次方程 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 增长率问题 【题型二】 传播问题 【题型三】 销售问题 【题型四】 与图形有关的问题 【题型五】 几何问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握列一元二次方程解应用题的解题步骤； 2.会用一元二次方程解决实际问题，包括增长率问题、传播问题、销售问题与几何问题等. 1 列一元二次方程解应用题的解题步骤 ①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答. 2 常见应用题 ① 平均增长率问题 公式，表示基数，表示平均增长率(降低率)，表示变化次数，表示次变化后的量。 ② 利润问题 单利润=售价-成本，总利润=单利润*件数，利润率=利润/成本. ③ 传播问题 ④ 握手、比赛问题 个人之间相互握手的次数是；支球队相互进行主客场比赛，总场数为场. ⑤ 几何问题 【题型一】增长率问题 【典题1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）强德村2022年某农作物平均每公顷产量，2024年平均每公顷产量． (1)求该农作物每公顷产量的年平均增长率； (2)2022年该农作物平均每千克的成本为2元，每千克的售价为3元，2023年该农作物平均每千克的成本增加到2.2元，若2023年平均每公顷的利润与2022年平均每公顷的利润的差值不少于720元，则2023年平均每千克的售价最少应为多少元？ 变式练习 1（24-25八年级下·浙江金华·期中）某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年月份的每平方米元下降到月份的每平方米元，且今年房价每月的下降率保持一致，则每月的下降率为（　　） A． B． C． D． 2（2025·广东江门·一模）由于共享单车的投放使用，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某商城的自行车销售量逐月增加，据统计，该商城5月份销售自行车64辆，7月份销售100辆． (1)若该商城5月至7月的自行车销售的月平均增长率相同，求自行车销售的月平均增长率． (2)考虑到自行车需求不断增加，该商场准备再购进一批两种规格的自行车共100辆．已知A型车的进价为每辆500元，售价为每辆700元；B型车的进价为每辆1000元，售价为每辆1300元．假设所购进的车辆全部售完，为使利润不低于26000元，该商场购进A型车不超过多少辆？ 【题型二】传播问题 【典题1】（24-25九年级上·全国·阶段练习）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 变式练习 1（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）进入秋冬季以来，全国流感呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达324人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25九年级上·云南昭通·期中）电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3（2023·广东阳江·一模）鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 【题型三】 销售问题 【典题1】（2025·山西晋中·三模）某电器商场从厂家购进了A，B两种型号的电烤箱，已知一台型电烤箱的进价比一台B型电烤箱的进价多400元，用7600元购进A型电烤箱和用6000元购进B型电烤箱的台数相同． (1)求一台A型电烤箱和一台B型电烤箱的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，A型电烤箱因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进B型电烤箱，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当B型电烤箱的售价为2400元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售B型电烤箱的利润为5600元，请问该商场应将B型电烤箱的售价定为多少元？ 变式练习 1（24-25八年级下·重庆北碚·阶段练习）一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件、为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（　　） A． B． C． D． 2（2025·江苏泰州·一模）景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 3（24-25八年级下·重庆·期中）在繁华的商业街上，有一家颇受欢迎的数码产品店．一月份，该店新上架了两款电话手表，一款是功能更强大、带有摄像头的升级款，另一款则是基础实用、不带摄像头的普通款．已知普通款的单价是升级款的，一月份升级款电话手表的销售额达到了45000元，普通款的销售额为29750元，两款电话手表总共售出80只． (1)分别求出升级款电话手表和普通款电话手表的单价； (2)随着二月份开学季的临近，数码店为了吸引更多学生和家长购买，开展了降价促销活动．在一月份价格的基础上，升级款电话手表每只降价元，而普通款的单价维持不变．活动开展后，升级款电话手表的销量增加了只，普通款电话手表的销量减少了只，最终二月份两款电话手表总的销售额比一月份增加了元，求的值． 【题型四】 与图形有关的问题 【典题1】（2025·湖北恩施·二模）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积； (2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 变式练习 1（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）在宽为，长为的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小矩形田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为，设道路的宽为米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图是一个用28米长的篱笆围成的矩形菜园，一边靠墙（墙长米），并在边上开一道米宽的门（门不使用篱笆），若设为x米． (1)的长为 米（用含x的代数式表示） (2)当菜园的面积为时，求的长 (3)菜园的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 3（24-25八年级下·浙江杭州·期中）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【题型五】 几何问题 【典题1】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求： (1)当t为多少时，的面积等于？ (2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 变式练习 1（22-23九年级上·四川资阳·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，几秒钟时的面积是（　　） A． B． C．或 D． 2（2025·天津河东·二模）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 4（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度向点移动，点以相同的速度向点移动，当点到达点时，点、均停止运动，设运动时间为秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点和点的距离可能是吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 【A组---基础题】 1（2025·云南临沧·二模）某新兴科技产业园区在2025年第一季度的营业收入为2亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，预计到2025年第三季度的营业收入为亿元．设该产业园区营业收入的季度平均增长率为x．根据题意，可列出方程（   ） A． B． C． D． 2（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价足25元时，每天的销售置为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．要使每天所得的销售利润为2000元，则销售单价为（   ） A．30元 B．40元 C．30元或40元 D．10元或20元 4（24-25八年级下·山东烟台·期中）《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”．其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图所示，所求竿长为（   ） A．10尺 B．12尺 C．2尺或10尺 D．12尺或10尺 5（2025·河北·模拟预测）张伟计划用家里现有的篱笆围建一个矩形羊圈．他计算了一下，如果把10米长的墙作为所围的矩形的一边，则这个矩形的面积是单纯利用篱笆围成的最大矩形面积的2倍．张伟家里现有的篱笆总共长度是（    ） A．20米 B．24米 C．28米 D．32米 6（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 7（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 8（2025·广东深圳·二模）如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过 后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为． 9（24-25八年级下·山东烟台·期中）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 10（2025·湖南长沙·一模）某社区计划将一个长12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区．扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米． (1)求这条小道的宽度； (2)如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要多少米篱笆？ 【B组---提高题】 1（2023·江苏苏州·一模）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为，则这块地砖的面积为（    ） A．50 B．40 C．30 D．20 2（2025·山东潍坊·一模）在数学综合与实践课上，李老师让同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【具体操作】如图1，在正方形中，将沿过点的直线翻折，点落在正方形内部的点处，得到，折痕为；再将沿过点的直线翻折，使与重合，得到，折痕为．由以上操作，不难发现，，三点在同一条直线上． 【问题解决】 （1）请直接写出 ； （2）若，，求正方形的边长； 【深入探究】 （3）如图2，再将沿所在直线折叠，点恰好落在线段的点处，得到，线段与相交于点，请写出，，三条线段的数量关系，并说明理由． 3（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图：为平行四边形，的长分别为方程的两根，，． (1)如图1，求点D的坐标． (2)如图2，动点P从O出发沿线段方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动，点P运动时间为t，连接，请你用含t的式子表示的面积S，并直接写出t的取值范围． (3)在（2）条件下连接，是否存在t值，使为以为腰的等腰三角形？如果存在请求出t的值；如果不存在请说明理由． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 实际问题与一元二次方程 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 增长率问题 【题型二】 传播问题 【题型三】 销售问题 【题型四】 与图形有关的问题 【题型五】 几何问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握列一元二次方程解应用题的解题步骤； 2.会用一元二次方程解决实际问题，包括增长率问题、传播问题、销售问题与几何问题等. 1 列一元二次方程解应用题的解题步骤 ①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答. 2 常见应用题 ① 平均增长率问题 公式，表示基数，表示平均增长率(降低率)，表示变化次数，表示次变化后的量。 ② 利润问题 单利润=售价-成本，总利润=单利润*件数，利润率=利润/成本. ③ 传播问题 ④ 握手、比赛问题 个人之间相互握手的次数是；支球队相互进行主客场比赛，总场数为场. ⑤ 几何问题 【题型一】增长率问题 【典题1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）强德村2022年某农作物平均每公顷产量，2024年平均每公顷产量． (1)求该农作物每公顷产量的年平均增长率； (2)2022年该农作物平均每千克的成本为2元，每千克的售价为3元，2023年该农作物平均每千克的成本增加到2.2元，若2023年平均每公顷的利润与2022年平均每公顷的利润的差值不少于720元，则2023年平均每千克的售价最少应为多少元？ 【答案】(1) (2)2023年平均每千克该农作物的售价最少应该为3.2元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题关键是：①根据增长率找准等量关系，正确列出一元二次方程；②根据各数量之间的关系，正确列出不等式． （1）设某农作物每公顷产量的年平均增长率为，2022年平均每公顷产，2024年平均每公顷产，列出一元二次方程，求出两个根，取正值即可得出答案； （2）设2023年平均每千克该农作物的售价为 元，利用平均每公顷该农作物的利润=每千克的利润×平均每公顷的产量，结合2023年平均每公顷该农作物的利润比2022年平均每公顷的利润的差值不少于720元，即可列出关于的不等式，解出取其最小值即可得出答案． 【详解】（1）解：设某农作物每公顷产量的年平均增长率为 ， 根据题意可列方程： 解得： （不合题意，舍去）， 答：该农作物每公顷产量的年平均增长率为； （2）解：设2023年平均每千克该农作物的售价为元， 根据题意可列不等式：， 解得： ， 答：2023年平均每千克该农作物的售价至少为应为元． 变式练习 1（24-25八年级下·浙江金华·期中）某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年月份的每平方米元下降到月份的每平方米元，且今年房价每月的下降率保持一致，则每月的下降率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每月的下降率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每月的下降率为， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴每月的下降率为， 故选：． 2（2025·广东江门·一模）由于共享单车的投放使用，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某商城的自行车销售量逐月增加，据统计，该商城5月份销售自行车64辆，7月份销售100辆． (1)若该商城5月至7月的自行车销售的月平均增长率相同，求自行车销售的月平均增长率． (2)考虑到自行车需求不断增加，该商场准备再购进一批两种规格的自行车共100辆．已知A型车的进价为每辆500元，售价为每辆700元；B型车的进价为每辆1000元，售价为每辆1300元．假设所购进的车辆全部售完，为使利润不低于26000元，该商场购进A型车不超过多少辆？ 【答案】(1) (2)40辆 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设自行车销售的月平均增长率为x，根据该商城5月份销售自行车64辆，7月份销售100辆建立方程求解即可； （2）设该商场购进A型车m辆，则购进B型车辆，分别求出A型车和B型车的利润，再根据总利润不低于26000元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设自行车销售的月平均增长率为x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：自行车销售的月平均增长率为； （2）解：设该商场购进A型车m辆，则购进B型车辆， 依题意得：， 解得：， 答：该商场购进A型车不超过40辆． 【题型二】传播问题 【典题1】（24-25九年级上·全国·阶段练习）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人 (2)第三轮将又有448人被传染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有64人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）第三轮被传染人数就是用第二轮感染的64人乘以每人每轮的传染人数7即可． 【详解】（1）解∶设每轮传染中平均每人传染了x人，根据题意得 ， 解得或(舍)． 答∶每轮传染中平均一个人传染了7个人． （2）由（1）可知每轮传染中平均一个人传染7个人，经过两轮传染后有64人感染． 那么第三轮被传染的人数为人． 答：第三轮将又有448人被传染． 变式练习 1（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）进入秋冬季以来，全国流感呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达324人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际问题——传播问题；理清每一轮感染后的人数是解题的关键． 一轮传播，1个人会平均感染x个人，此时共有人；二轮传播，每人会平均感染x个人即，此时共有人，即．再根据经过两轮感染后患病人数竟高达324人，列出方程即可求解． 【详解】解：设每轮感染中，1个人会平均感染x个人， 则两轮感染后的总人数为：． 故选：B． 2（24-25九年级上·云南昭通·期中）电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解决此题的关键． 首先设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，则经过一轮感染，台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．利用等量关系：经过两轮感染后就会有台电脑被感染得出即可． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 根据题意，得， 故选：C． 3（2023·广东阳江·一模）鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 【答案】(1)12只 (2)2197只 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式． （1）平均每只病鸡传染了x只健康鸡，则第一天有x只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可； （2）根据经过三轮传染后患病的鸡＝经过两轮传染后患病的鸡数+经过两轮传染后患病的鸡数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每只病鸡传染了x只健康鸡，由题意得： ， 解，得，，(不符合题意舍去)， 答：每只病鸡传染健康鸡12只； （2）解：， 答：三轮传染后，患病的鸡共有2197只． 【题型三】 销售问题 【典题1】（2025·山西晋中·三模）某电器商场从厂家购进了A，B两种型号的电烤箱，已知一台型电烤箱的进价比一台B型电烤箱的进价多400元，用7600元购进A型电烤箱和用6000元购进B型电烤箱的台数相同． (1)求一台A型电烤箱和一台B型电烤箱的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，A型电烤箱因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进B型电烤箱，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当B型电烤箱的售价为2400元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售B型电烤箱的利润为5600元，请问该商场应将B型电烤箱的售价定为多少元？ 【答案】(1)一台A型电烤箱的进价为1900元，一台B型电烤箱的进价为1500元 (2)该商场应将型电烤箱的售价定为1900元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确得到等量关系是解题的关键． （1）设一台型电烤箱的进价为元，则一台型电烤箱的进价为元，根据题意列分式方程即可解答； （2）设该商场应将型电烤箱在2400元的基础上降价元，根据每天该商场销售B型电烤箱的利润为5600元，列放出即可解答． 【详解】（1）解：设一台型电烤箱的进价为元，则一台型电烤箱的进价为元． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解． ． 答：一台A型电烤箱的进价为1900元，一台B型电烤箱的进价为1500元； （2）解：设该商场应将型电烤箱在2400元的基础上降价元． 根据题意，得． 解得，． 因为力求尽快清空库存，所以应降价500元． （元）． 答：该商场应将型电烤箱的售价定为1900元． 变式练习 1（24-25八年级下·重庆北碚·阶段练习）一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件、为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：降价后每件商品获得的利润降价后的销售量元，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 2（2025·江苏泰州·一模）景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 【答案】(1) (2)70或80元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）令（1）中，然后解方程即可． 【详解】（1）解：设，代入，， 则． 解得 ． （2）解：． 解得，， 答：当获利12000元时，该纪念品的销售单价是70或80元． 3（24-25八年级下·重庆·期中）在繁华的商业街上，有一家颇受欢迎的数码产品店．一月份，该店新上架了两款电话手表，一款是功能更强大、带有摄像头的升级款，另一款则是基础实用、不带摄像头的普通款．已知普通款的单价是升级款的，一月份升级款电话手表的销售额达到了45000元，普通款的销售额为29750元，两款电话手表总共售出80只． (1)分别求出升级款电话手表和普通款电话手表的单价； (2)随着二月份开学季的临近，数码店为了吸引更多学生和家长购买，开展了降价促销活动．在一月份价格的基础上，升级款电话手表每只降价元，而普通款的单价维持不变．活动开展后，升级款电话手表的销量增加了只，普通款电话手表的销量减少了只，最终二月份两款电话手表总的销售额比一月份增加了元，求的值． 【答案】(1)升级款电话手表的单价为1000元，普通款电话手表的单价为850元； (2)a的值为50 【分析】本题考查分式方程的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设升级款电话手表的单价为x元，则普通款电话手表的单价为元，根据题意列分式方程，进而解方程即可； （2）先求出一月份的升级款电话手表和普通款电话手表的销量，再根据题意列关于a的方程求解即可． 【详解】（1）解：设升级款电话手表的单价为x元，则普通款电话手表的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， ， 答：升级款电话手表的单价为1000元，普通款电话手表的单价为850元； （2）解：一月份升级款电话手表的销量为（只），普通款电话手表的销量为（只）， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：a的值为50． 【题型四】 与图形有关的问题 【典题1】（2025·湖北恩施·二模）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积； (2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的实际应用，长方体的体积公式，正确理解题意是解题的关键． （1）设小正方形的边长为，则礼盒底面的长是，宽为，根据礼盒底面的长是宽的4倍，建立一元一次方程求解，即可求解长、宽、高，即可求解体积； （2）设剪去的小正方形的边长为，由题意得：，再解一二次方程即可． 【详解】（1）解：设小正方形的边长为，则礼盒底面的长是，宽为， 由题意得：， 解得：， ∴长为，宽为6，高为， ∴体积为：； （2）解：设剪去的小正方形的边长为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴剪去的小正方形的边长为． 变式练习 1（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）在宽为，长为的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小矩形田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为，设道路的宽为米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，属于简单题，平移道路形成新的矩形是解题关键． 将阴影部分推至左上角，计算空白部分面积即可． 【详解】如下图， 将道路推至左上角，形成新矩形田地， ∵道路的宽为米， ∴新矩形田地长为，宽为， ∵每小块试验田的面积为，即新矩形面积为， ， 整理得， 故选：C． 2（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图是一个用28米长的篱笆围成的矩形菜园，一边靠墙（墙长米），并在边上开一道米宽的门（门不使用篱笆），若设为x米． (1)的长为 米（用含x的代数式表示） (2)当菜园的面积为时，求的长 (3)菜园的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)8米 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程： 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，正确的理解题意是解题的关键． （1）因为设的长为米，则米，即可解答． （2）根据题意得到，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到函数关系，根据判别式的情况，即可得到结论． 【详解】（1）解：设的长为米， ∵要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为28米长的木板(全部使用完）， ∴米， 故答案为：； （2）解：根据题意得，， 解得：，， 当时，（不合题意舍去）， 当时，， ∴米； （3）解：根据题意得，， ∴ ∴ 则 该方程无实数解 ∴仓库的面积不能为． 3（24-25八年级下·浙江杭州·期中）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； （2）解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 【题型五】 几何问题 【典题1】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向移动，点从点开始以的速度沿边向点移动．如果、分别从、同时出发，设移动的时间为t． 求： (1)当t为多少时，的面积等于？ (2)当t为多少时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)不存在某一时刻使得的面积等于 (2)当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式列出方程可得出答案． （2）用含的代数式分别表示图中各线段，在中，利用勾股定理可求出，同理，在中利用勾股定理也可以求出，联合起来，得到关于的一元二次方程，解即可，然后根据实际意义确定的值． 【详解】（1）解：不存在． 设出发秒时的面积等于． ， ， ， ， 原方程无实数根， 即不存在某一时刻使得的面积等于． （2）解：， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ，即， 整理得， 解之得，， 即当为秒或6秒时，是以为斜边的直角三角形． 变式练习 1（22-23九年级上·四川资阳·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，几秒钟时的面积是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形，得出数量关系，列出方程求解．设当运动时间为时，，，，根据，解方程即可求解； 【详解】，． 当运动时间为时，，，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 不符合题意，舍去， 秒时的面积是． 故选：B． 2（2025·天津河东·二模）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意可得，，据此求出时，的长，再利用勾股定理求出此时的长即可判断①；根据三角形面积计算公式得到，则可建立方程，解方程即可判断②；求出时和时，的面积即可判断③． 【详解】解：由题意得，， ∴， 当时，则， ∵， ∴，故①说法正确； ， 当的面积为时，则， 整理得，解得或， ∵， ∴的面积可以为，故②符合题意； 当时，， 当时，， ∴当时和当时，的面积相等， 又∵四边形的面积， ∴当时和当时，四边形的面积相等，故③错误； 故选：C． 3（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 【答案】(1)t， (2) (3)经过5秒或9秒，的长为 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键 （1）根据路程=速度乘以时间列式即可； （2）四边形为矩形，根据，列方程求解即可； （3）根据勾股定理，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意，得线段， 故答案为：t，； （2）解：∵四边形为矩形， 则，即， 解得：； （3）解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程， 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得； 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为． 4（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度向点移动，点以相同的速度向点移动，当点到达点时，点、均停止运动，设运动时间为秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点和点的距离可能是吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)能， (3)能，或 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了动点在几何图形的运动，勾股定理矩形和菱形的性质，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据当时，四边形为矩形，列出方程，求出解即可； （2）根据当时，四边形为菱形，在中，根据勾股定理列出方程，求出解即可； （3）先作出辅助线，表示，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形， 故答案为：4； （2）解：运动过程中，四边形可以为菱形， 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形． （3）点和点的距离可以是， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是． 【A组---基础题】 1（2025·云南临沧·二模）某新兴科技产业园区在2025年第一季度的营业收入为2亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，预计到2025年第三季度的营业收入为亿元．设该产业园区营业收入的季度平均增长率为x．根据题意，可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．根据第一季度的营业收入为2亿元，预计到2025年第三季度的营业收入为亿元，列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选A． 2（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡，与全组共送贺卡90张，据此列出关于x的一元二次方程即可解答． 【详解】解：设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡， 依题意得：． 故选A． 3（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价足25元时，每天的销售置为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．要使每天所得的销售利润为2000元，则销售单价为（   ） A．30元 B．40元 C．30元或40元 D．10元或20元 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是找到等量关系列出方程．设该文具销售单价为x元，根据销售利润为2000元列一元二次方程求解． 【详解】解：设该文具销售单价为x元， 根据题意得：， 解得，或， 故选C． 4（24-25八年级下·山东烟台·期中）《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”．其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图所示，所求竿长为（   ） A．10尺 B．12尺 C．2尺或10尺 D．12尺或10尺 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设竿长为尺，则为尺，为尺，利用勾股定理，可得出关于的一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设竿长为尺，则为尺，为尺， 根据题意得：． 解得：（舍去）或 故选：A． 5（2025·河北·模拟预测）张伟计划用家里现有的篱笆围建一个矩形羊圈．他计算了一下，如果把10米长的墙作为所围的矩形的一边，则这个矩形的面积是单纯利用篱笆围成的最大矩形面积的2倍．张伟家里现有的篱笆总共长度是（    ） A．20米 B．24米 C．28米 D．32米 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程与几何综合，设现有的篱笆总共长度是米，分别表示出两个矩形的面积，然后列方程求解即可． 【详解】解：设现有的篱笆总共长度是米， ∴把10米长的墙作为所围的矩形的一边，这个矩形的另一边长为，面积为； 设单纯利用篱笆围成的矩形一边长为米，则矩形的另一边长为，面积为， ∴当时，单纯利用篱笆围成的最大矩形面积为， ∴， 解得， 故选：A． 6（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型． 根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：设运动时间为t秒，则有，， ， ， ， 解得或5， 或时，的面积为． 故选：D． 7（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 【答案】C 【点评】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 作，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是, 作，垂足为H，    则，，. ， 可得：， 解得，． 答：P，Q两点从出发经过或秒时，点P，Q间的距离是. 故答案为：C. 8（2025·广东深圳·二模）如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过 后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为． 【答案】10或15或30 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，培养了学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物，解题的关键是分两种情况进行讨论． 分两种情况进行讨论： （1）当第一只蚂蚁在上运动时，列方程进行求解即可； （2）当蚂蚁在上运动，根据三角形的面积公式即可列方程求解． 【详解】解： 设后两只蚂蚁与点组成的三角形面积为 有两种情况： （1）如图 1，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得 ， 整理得， 解得，． （2）如图 2，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得 ， 整理得， 解得，（舍去）． 综上所述，在后，两只蚂蚁与点组成的三角形的面积均为． 9（24-25八年级下·山东烟台·期中）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为； (2)当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据2月份到4月份销售量从256变成400建立方程求解即可； （2）设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，根据总利润为8400元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，得， 整理得， 解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元． 10（2025·湖南长沙·一模）某社区计划将一个长12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区．扩建方案是在花坛四面修建一条宽度相同的小道，使扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米． (1)求这条小道的宽度； (2)如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要多少米篱笆？ 【答案】(1)这条小道的宽度为2米 (2)需要56米篱笆 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设这条小道的宽度为米，根据扩建后的长方形公共休息区的总面积为192平方米建立方程，解方程即可得； （2）根据（1）的结果求出扩建后的长方形公共休息区的长与宽，再利用长方形的周长公式计算即可得． 【详解】（1）解：设这条小道的宽度为米， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：这条小道的宽度为2米． （2）解：由（1）可知，扩建后的长方形公共休息区的长为（米），宽为（米）， 则（米）， 答：如果用篱笆围住扩建后的休息区，需要56米篱笆． 【B组---提高题】 1（2023·江苏苏州·一模）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为，则这块地砖的面积为（    ） A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【分析】如图，根据题意易知，点O为正方形的中心，利用图中的面积关系最终可推出，设正方形ABCD的边长为,则,以此可得方程，解此方程，再将a的值代入即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意易知，点O为正方形的中心， ∴，即，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设正方形ABCD的边长为,则, ∴，解得：， ∵， ∴或， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等图形、正方形的性质、二次根式的应用、一元二次方程的应用等知识点，利用已知条件，得到各部分图形之间的面积关系并列出方程是解题关键． 2（2025·山东潍坊·一模）在数学综合与实践课上，李老师让同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【具体操作】如图1，在正方形中，将沿过点的直线翻折，点落在正方形内部的点处，得到，折痕为；再将沿过点的直线翻折，使与重合，得到，折痕为．由以上操作，不难发现，，三点在同一条直线上． 【问题解决】 （1）请直接写出 ； （2）若，，求正方形的边长； 【深入探究】 （3）如图2，再将沿所在直线折叠，点恰好落在线段的点处，得到，线段与相交于点，请写出，，三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）正方形的边长为6；（3），见解析 【分析】（1）由正方形的性质可得，由折叠的性质可得，，再由计算即可得解； （2）由折叠可知，，，设正方形边长为，则，，再由勾股定理计算即可得解； （3）由正方形的性质可得，由折叠的性质可知，，，，证明，得出，从而得出，再求出，由直角三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）∵四边形为正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴； （2）由折叠可知，， 所以， 设正方形边长为，则，， 因为在中，， 所以， 整理得，， 解得，或（舍去）， 所以正方形的边长为6； （3）， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可知，，，， ∴， 又∵， ∴， 由（1）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵点，，共线， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 3（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图：为平行四边形，的长分别为方程的两根，，． (1)如图1，求点D的坐标． (2)如图2，动点P从O出发沿线段方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动，点P运动时间为t，连接，请你用含t的式子表示的面积S，并直接写出t的取值范围． (3)在（2）条件下连接，是否存在t值，使为以为腰的等腰三角形？如果存在请求出t的值；如果不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，t的值为或 【分析】（1）解一元二次方程求出，进而求出，再求出，进而求出，再根据平行四边形的性质即求出点坐标； （2）过点D作轴于点H，过点P作轴于点G，则，，由（1）知，得到，求出，根据题意得，根据，推出，由平行四边形的性质结合三角形外角的性质可得，求出，根据，即可解答； （3）由（2）知，，求出，，；分，，两种情况，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：解方程， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为平行四边形， ∴，， ∴， （2）解：过点D作轴于点H，过点P作轴于点G，则，， ∵， ∴， ∴， 根据题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：存在，t的值为或时，为以为腰的等腰三角形， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，延长交于点Q， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 如图，当时， 则，即， 解得：或（舍去）； 综上，t的值为或． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，解一元二次方程及应用，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$