复习课第02讲 解二元一次方程组、一元一次不等式组 暑假讲义2024-2025学年七年级下册数学（人教版2024）

第02讲 实际问题与二元一次方程、一元一次不等式 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 数字问题 【题型二】 几何问题 【题型三】 行程问题 【题型四】 销售问题 【题型五】方案问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.会用二元一次方程组解决生活中的实际问题； 2.会用一元一次不等式组解决生活中的实际问题. 实际问题的求解步骤 ① 审：分析号问题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系；找出能够表示实际问题全部含义的相等关系.有时可通过一些“关键句子”得到，有时要利用题中“隐含条件”. ② 设：设未知数，一般求什么就设什么；有时遇到直接设不容易得到方程，则设其他量. ③ 找：找出能够表示题中全部意义的相等关系； ④ 列：根据相等关系列方程； ⑤ 解：求解未知数； ⑥ 答：检验所求解是否符合题意，写成答案，特别要注意其单位. 【题型一】 数字问题 【典题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 变式练习 1 （24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1．若这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（   ） A．86 B．68 C．94 D．73 2（22-23九年级上·重庆大足·期末）一个两位数，若将十位数字2倍的平方与个位数字的平方的差记为数．当时，我们把放在的左边将所构成的新数叫做的“叠加数”．例如：，，∴47的“叠加数”为1547；，，∴26没有“叠加数”． (1)请判断5543是否为某个两位数的“叠加数”，并说明理由； (2)两位数（，且均为整数）有“叠加数”，且能被11整除，求所有满足条件的两位数的“叠加数”． 【题型二】 几何问题 【典题1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； (2)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (3)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 变式练习 1（24-25七年级下·四川内江·期中）在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，如图所示．则每个小长方形的面积是（　　） A．9 B．8 C．18 D．16 2（23-24七年级下·全国·单元测试）用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m 张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（    ） A．200 B．201 C．202 D．203 3（23-24七年级下·河北沧州·期中）某企业用规格是的标准板材作为原材料，按照图①所示的裁法一和裁法二，分别裁剪出甲型与乙型两种板材（单位：）． (1)求出图①中与的值． (2)在试生产阶段，若将张标准板材按裁法一裁剪，张标准板材按裁法二裁剪，裁剪后将得到的甲型与乙型板材做侧面或底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的装饰盒若干个（接缝处的长度忽略不计）． ①一共可裁剪出甲型板材_______________张，乙型板材________________张； ②设做成的竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据题意完成表格： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） 甲型（张） 乙型（张） ③恰好一共可以做出竖式和横式两种无盖装饰盒子________________个．（在横线上直接写出答案） 【题型三】 行程问题 【典题1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）小宇骑自行车从家去西安植物园，已知他家到西安植物园的路程只有一段平路和一段上坡路．他先以8千米/时的速度在平路上骑行，而后又以4千米/时的速度上坡到达西安植物园，共用了时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路、回到家、共用去55分钟，求从小宇家到西安植物园的路程是多少千米？ 变式练习 1（24-25七年级上·山东临沂·期末）小明和小伟分别从两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达地．则两地间的距离为（   ） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 2（24-25七年级上·湖南怀化·期末）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【题型四】 销售问题 【典题1】（23-24七年级下·全国·课后作业）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了顾客的购物效率和满意度．某商场计划分别用27000元和12000元购进A，B两种型号的智能机器人，已知计划购进A型机器人比购进B型机器人多2台，且A型机器人的单价比B型机器人的单价每台高． (1)A，B两种型号机器人的单价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高蜂，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于B型机器人的数量．该商场应如何采购这批机器人？总费用是多少？ 变式练习 1（2025·广东东莞·二模）随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设．据最新资讯，目前该市有甲、乙两种型号的公共充电桩．已知安装3个甲型充电桩和2个乙型充电桩共需成本万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型充电桩共需成本万元． (1)求每个甲型充电桩和乙型充电桩的安装成本分别是多少万元； (2)若该市计划再安装甲、乙两种型号的充电桩共50个，且总成本不超过54万元，求最多能安装多少个甲型充电桩． 【题型五】方案问题 【典题1】（24-25七年级下·福建福州·期中）学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出的演出服价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题： (1)如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元； (2)甲、乙两队各有多少位学生？ (3)现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来． 变式练习 1（24-25八年级下·四川达州·期中）为更好地落实“双减”要求，提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定增设更多运动课程，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．下面是某班班长和售货员的对话信息． 班长：阿姨您好！我要买12个足球和10根跳绳，是不是一共1240元？ 售货员：不对呀，一共应该是1400元． 班长：……我明白了，您是对的，我刚才把足球和跳绳的数量弄反了． (1)根据对话信息，求每个足球和每根跳绳的售价； (2)由于足球和跳绳需求量增大，该班计划再次购进足球和跳绳共10件，合计费用不超过650元，其中足球至少购进3个，则有哪几种购进方案？并求出每种方案所花的费用． 【A组---基础题】 1（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图是7块形状大小相同的长方形墙砖组成的电视墙．若该电视墙的长度为，则该电视墙的周长为（   ） A． B． C． D． 2（2025·湖北咸宁·二模）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为（    ）      A． B． C． D． 3（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（   ）． A． B． C．或 D．或 4（24-25七年级下·北京·期中）为丰富学生的课余生活，某校初中部开展了篮球比赛，共个球队参加．比赛为单循环制，即任意两个球队之间恰好进行一场比赛．计分规则为：每场比赛胜队计3分，负队计0分，平局各计1分．所有比赛结束后，已知平局总场数不超过比赛总场数的一半． (1)若，则平局总场数最多为_______场； (2)若这个球队的得分总和为分，则平局总场数为（   ） A．    B．    C．    D． 5（24-25七年级下·全国·随堂练习）某学校七年级（1）班购买若干支签字笔作为奖品发放给获奖学生，如果每人分5支，那么剩余7支；如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支，则该班级获奖学生的人数至少是多少？ 6（24-25八年级下·山西大同·期中）综合与实践 某商场准备购进一批两种不同型号的衣服．已知购进种型号衣服1件和种型号衣服2件，共需290元；购进种型号衣服2件和种型号衣服3件，共需480元．销售一件种型号衣服可获利20元，销售一件种型号衣服可获利30元． (1)，两种型号衣服的进价各是多少元？ (2)若已知购进种型号衣服是种型号衣服的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且种型号衣服不多于26件，则该商场在这次进货中，共有哪几种方案？ (3)为了进一步落实降本增效的工作目标，请你帮助该商场判断（2）中的进货方案，哪种方案利润率最高？（利润率利润成本） 【B组---提高题】 1（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践：确定不同赛道上起跑线的位置．在米短跑比赛中，所有选手需跑完相同距离．但由于外圈跑道的弯道半径更大，外圈选手的实际跑步距离比内圈长．为保证公平，需调整不同跑道的起跑线位置（如图1）． 素材1：某校操场跑道每一圈由两条直道和两个半圆弯道组成（如图2），设每侧直道长度为m．记每一条跑道内侧跑道线周长为每一圈周长，每条跑道宽米． 素材2：设第1圈弯道半径为r，周长为米，第1圈直道总长度比弯道总长度少米（取3）． 素材3：起跑根据每圈周长自终点向弯道区调整，记第n圈起跑线比第1圈起跑线前移距离为（n为正整数，且）． 问题1：求该校跑道第1圈半径r和直道长度m． 问题2：求第2圈起跑线前移距离．     问题3：若米，求n的值． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 实际问题与二元一次方程、一元一次不等式 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 数字问题 【题型二】 几何问题 【题型三】 行程问题 【题型四】 销售问题 【题型五】方案问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.会用二元一次方程组解决生活中的实际问题； 2.会用一元一次不等式组解决生活中的实际问题. 实际问题的求解步骤 ① 审：分析号问题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系；找出能够表示实际问题全部含义的相等关系.有时可通过一些“关键句子”得到，有时要利用题中“隐含条件”. ② 设：设未知数，一般求什么就设什么；有时遇到直接设不容易得到方程，则设其他量. ③ 找：找出能够表示题中全部意义的相等关系； ④ 列：根据相等关系列方程； ⑤ 解：求解未知数； ⑥ 答：检验所求解是否符合题意，写成答案，特别要注意其单位. 【题型一】 数字问题 【典题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 【答案】填写的数字分别为2，9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y，根据：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y． 根据题意，得：， 整理，得， 解得：， 故题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为2，9． 变式练习 1 （24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1．若这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（   ） A．86 B．68 C．94 D．73 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设十位数字是，个位数字是，由题意列方程组求解即可得到答案，读懂题意，准确列出二元一次方程组是解决问题的关键． 【详解】解：设十位数字是，个位数字是， 则， 解得， 原来的两位数是， 故选：D． 2（22-23九年级上·重庆大足·期末）一个两位数，若将十位数字2倍的平方与个位数字的平方的差记为数．当时，我们把放在的左边将所构成的新数叫做的“叠加数”．例如：，，∴47的“叠加数”为1547；，，∴26没有“叠加数”． (1)请判断5543是否为某个两位数的“叠加数”，并说明理由； (2)两位数（，且均为整数）有“叠加数”，且能被11整除，求所有满足条件的两位数的“叠加数”． 【答案】(1)5543是43的“叠加数”，理由见解析 (2)14361或18773或4844或9652． 【分析】（1）根据“叠加数”的定义判断即可； （2）根据“叠加数”的定义及能被11整除两个条件可得出关于a和b的方程，依次可得出a，b的值，进而得出M的“叠加数”． 【详解】（1）5543是43的“叠加数”，理由如下： 对于5543，其中， ∵， ∴43的“叠加数”为5543； （2）∵两位数（，且均为整数）有“叠加数”， ∴， ∴， ∵能被11整除， ∴能被11整除， ∴和至少有一个能被11整除， ∵， ∴， 当时，或； 当时，或， 当时， ，则M的叠加数为14361； 当时，，则M的叠加数为18773； 当时，，则M的叠加数为4844； 当时，，则M的叠加数为9652． 综上，满足条件的两位数M的“叠加数”为14361或18773或4844或9652． 【点睛】本题考查数的整除类，涉及二元一次方程的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键． 【题型二】 几何问题 【典题1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； (2)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (3)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)3，1 (2)可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器 (3)共有2种方案可供选择，详见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，熟练掌握1个竖式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数， 1个横式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数，总价与单价和数量的关系，正确列出二元次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）根据“制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片”，即可得出结论； （2）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，根据加工两种容器共用了170张长方形铁片和80张正方形铁片，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设采购m个竖式容器，n个横式容器，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案． 【详解】（1）解：制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片， ． 故答案为：3，1； （2）解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器， 根据题意得：， 解得： 答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器； （3）解：设采购m个竖式容器，n个横式容器， 根据题意得：， ， 又m，n均为正整数， 或， ∴共有2种方案可供选择， 方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器． 变式练习 1（24-25七年级下·四川内江·期中）在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，如图所示．则每个小长方形的面积是（　　） A．9 B．8 C．18 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，可得， 解得， 所以，每个小长方形的面积为． 故选：D． 2（23-24七年级下·全国·单元测试）用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m 张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则的值可能是（    ） A．200 B．201 C．202 D．203 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设可以做成x个竖式的无盖纸盒，y个横式的无盖纸盒，根据恰好将纸板用完，即可得出关于x，y的二元一次方程组，两方程相加后可得出，结合x，y均为整数可得出为5的倍数，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个． 根据题意，得 两式相加，得． ∵x，y 都是正整数， ∴是5的倍数． ∵200，201，202，203四个数中只有200是5的倍数， ∴ 的值可能是200． 故选 A． 3（23-24七年级下·河北沧州·期中）某企业用规格是的标准板材作为原材料，按照图①所示的裁法一和裁法二，分别裁剪出甲型与乙型两种板材（单位：）． (1)求出图①中与的值． (2)在试生产阶段，若将张标准板材按裁法一裁剪，张标准板材按裁法二裁剪，裁剪后将得到的甲型与乙型板材做侧面或底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的装饰盒若干个（接缝处的长度忽略不计）． ①一共可裁剪出甲型板材_______________张，乙型板材________________张； ②设做成的竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据题意完成表格： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） 甲型（张） 乙型（张） ③恰好一共可以做出竖式和横式两种无盖装饰盒子________________个．（在横线上直接写出答案） 【答案】(1)， (2)①，；②甲型：，；乙型：，；③． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量 关系，列出二元一次方程组． （1）根据裁法一和裁法二裁出甲、乙的张数及剩余，可得出关于、的二元一次方程组，即可求解； （2）①由裁法一裁出2张甲和一张乙，裁法二裁出一张甲和2张乙，结合标准板材即可求解；②根据制作一个竖式无盖需要甲和张乙，制作一个横式无盖需要甲和张乙，即可求解；③根据甲、乙裁出的张数列二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ，； （2）①一共可裁剪出甲型板材；（张）， 乙型版：（张）， 故答案为：，； ②甲型：，；乙型：，； ③根据题意得：， 解得：， ， 故答案为． 【题型三】 行程问题 【典题1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）小宇骑自行车从家去西安植物园，已知他家到西安植物园的路程只有一段平路和一段上坡路．他先以8千米/时的速度在平路上骑行，而后又以4千米/时的速度上坡到达西安植物园，共用了时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路、回到家、共用去55分钟，求从小宇家到西安植物园的路程是多少千米？ 【答案】9千米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设平路为千米，坡路为千米，根据上山用了时，下山用了55分钟建立方程组求解即可． 【详解】解：设平路为千米，坡路为千米， 根据题意，得 解这个方程组，得 则（千米）． 答：从小宇家到西安植物园的路程是9千米． 变式练习 1（24-25七年级上·山东临沂·期末）小明和小伟分别从两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达地．则两地间的距离为（   ） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，设小明骑自行车的速度为千米/分，小伟步行的速度为千米/分，由等量关系列方程组求解即可得到答案，读懂题意，找准等量关系列方程组求解是解决问题的关键． 【详解】解：设小明骑自行车的速度为千米/分，小伟步行的速度为千米/分， 则，解得， 两地间的距离为（千米）， 故选：A． 2（24-25七年级上·湖南怀化·期末）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 【分析】设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米，再根据去与返回的时间建立方程组求解即可． 【详解】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时． 设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∴． 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 【题型四】 销售问题 【典题1】（23-24七年级下·全国·课后作业）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了顾客的购物效率和满意度．某商场计划分别用27000元和12000元购进A，B两种型号的智能机器人，已知计划购进A型机器人比购进B型机器人多2台，且A型机器人的单价比B型机器人的单价每台高． (1)A，B两种型号机器人的单价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高蜂，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于B型机器人的数量．该商场应如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】(1)A型机器人的单价为4500元；B型机器人的单价为3000元 (2)商场应购买A型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程组即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设型机器人进价为元，购进型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即型机器人进价为 3000 元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人 3 台，型机器人 2 台，总费用为 19500 元． 变式练习 1（2025·广东东莞·二模）随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设．据最新资讯，目前该市有甲、乙两种型号的公共充电桩．已知安装3个甲型充电桩和2个乙型充电桩共需成本万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型充电桩共需成本万元． (1)求每个甲型充电桩和乙型充电桩的安装成本分别是多少万元； (2)若该市计划再安装甲、乙两种型号的充电桩共50个，且总成本不超过54万元，求最多能安装多少个甲型充电桩． 【答案】(1)每个甲型充电桩的安装成本万元，每个乙型充电桩安装成本1万元 (2)最多能安装20个甲型充电桩 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程组和不等式求解即可． （1）设每个甲型充电桩的安装成本x万元，每个乙型充电桩安装成本y万元，根据“安装3个甲型充电桩和2个乙型充电桩共需成本万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型充电桩共需成本万元”列出方程组求解即可； （2）设安装甲型充电桩m个，则安装乙型充电桩个，根据“总成本不超过54万元”列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个甲型充电桩的安装成本x万元，每个乙型充电桩安装成本y万元， ， 解得：， 答：每个甲型充电桩的安装成本万元，每个乙型充电桩安装成本1万元． （2）解：设安装甲型充电桩m个，则安装乙型充电桩个， ， 解得：， 答：最多能安装20个甲型充电桩． 【题型五】方案问题 【典题1】（24-25七年级下·福建福州·期中）学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出的演出服价格表： 购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题： (1)如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元； (2)甲、乙两队各有多少位学生？ (3)现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来． 【答案】(1) (2)甲队有40人，乙队有35人 (3)一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组求解是解题的关键． （1）计算出甲、乙两队联合起来购买演出服的费用即可得到答案； （2）设甲队有x人，则乙队有人，先根据甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队列出不等式组求出x的取值范围，再讨论x的取值范围并根据价格表建立方程讨论求解即可； （3）设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人，由题意得，，求出此方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，甲、乙两队联合起来购买演出服的费用为元， ∵元， ∴如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省元； （2）解：设甲队有x人，则乙队有人， ∵甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队， ∴， ∴且x为正整数， 当时，则， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时，则 ∴， 解得， ∴， 综上所述，甲队有40人，则乙队有35人， 答：甲队有40人，乙队有35人； （3）解：设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人， 由题意得，， ∴， ∵m、n为正整数， ∴是正整数，即是正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人． 变式练习 1（24-25八年级下·四川达州·期中）为更好地落实“双减”要求，提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定增设更多运动课程，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．下面是某班班长和售货员的对话信息． 班长：阿姨您好！我要买12个足球和10根跳绳，是不是一共1240元？ 售货员：不对呀，一共应该是1400元． 班长：……我明白了，您是对的，我刚才把足球和跳绳的数量弄反了． (1)根据对话信息，求每个足球和每根跳绳的售价； (2)由于足球和跳绳需求量增大，该班计划再次购进足球和跳绳共10件，合计费用不超过650元，其中足球至少购进3个，则有哪几种购进方案？并求出每种方案所花的费用． 【答案】(1)每个足球售价为100元，每个跳绳售价为20元 (2)有三种方案：①购进足球3个，跳绳7根，费用为元，②购进足球4个，跳绳6根，费用为元，③购进足球5个，跳绳5根，费用为元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）设每个足球的售价为x元，每个跳绳售价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设再次购进足球个，则购进跳绳根，根据费用不超过650元，其中足球至少购进3个，再列不等式组即可． 【详解】（1）解：设每个足球的售价为x元，每个跳绳售价为y元，根据题意得∶ ， 解得：， 答：每个足球售价为100元，每个跳绳售价为20元； （2）解：设再次购进足球个，则购进跳绳根，则 ， 解得：， ∵为整数， ∴或或； ∴有三种方案： ①购进足球3个，跳绳7根，费用为（元）， ②购进足球4个，跳绳6根，费用为（元）， ③购进足球5个，跳绳5根，费用为（元）． 【A组---基础题】 1（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图是7块形状大小相同的长方形墙砖组成的电视墙．若该电视墙的长度为，则该电视墙的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设一块小长方形的长为，宽为，根据题意，得，解方程组后解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设一块小长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解方程组，得． 故该电视墙的周长为． 故选：C． 2（2025·湖北咸宁·二模）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据九宫格中任意一列及两条对角线上的数之和都相等，列出方程组，解方程组求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，设右上角方格中的数字是， 根据题意可得：， 由可知， 把代入， 可得：， 解得：． 故选：A． 3（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是分情况讨论． 设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y 根据题意得，或 解得或 ∴甲从A地到B地需要或． 故选：C． 4（24-25七年级下·北京·期中）为丰富学生的课余生活，某校初中部开展了篮球比赛，共个球队参加．比赛为单循环制，即任意两个球队之间恰好进行一场比赛．计分规则为：每场比赛胜队计3分，负队计0分，平局各计1分．所有比赛结束后，已知平局总场数不超过比赛总场数的一半． (1)若，则平局总场数最多为_______场； (2)若这个球队的得分总和为分，则平局总场数为（   ） A．    B．    C．    D． 【答案】(1)7 (2)B 【分析】本题考查涉及单循环赛的场次计算及得分分析，解题的关键是结合组合数公式与代数方程求解． （1）若，直接计算总场数，根据题目条件，平局场数不超过总场数的一半，取其一半的整数部分即可； （2）设总场数为，平局场数为，根据计分规则，分胜负的场次每场产生3分，平局场次每场产生2分，通过总得分为分建立方程，得，由平局总场数大于零场且不超过比赛总场数的一半，得，利用总场数为，确定球队数的值，即可求解． 【详解】（1）解：若，则单循环赛总场数为：， 平局总场数不超过比赛总场数的一半，， 平局总场数最多为场， 故答案为：7； （2）设总场数为，平局场数为， 每场比赛胜队计3分，负队计0分，平局各计1分， 分胜负的场次每场产生3分，平局场次每场产生2分， 若这个球队的得分总和为分， ， ， 由题意得：， ， ， 总场数为， 当时，；当时，；当时，； ，满足， 此时平局总场数， 故选：B． 5（24-25七年级下·全国·随堂练习）某学校七年级（1）班购买若干支签字笔作为奖品发放给获奖学生，如果每人分5支，那么剩余7支；如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支，则该班级获奖学生的人数至少是多少？ 【答案】10人 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用；根据题意列出不等式组是解题的关键；设获奖学生有x人，则共有支签字笔，根据“如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支”，列出不等式组并求解即可． 【详解】解：设获奖学生有x人，则共有支签字笔． 依题意，得 解得． x为整数， x的最小值为10，即获奖学生至少有10人． 6（24-25八年级下·山西大同·期中）综合与实践 某商场准备购进一批两种不同型号的衣服．已知购进种型号衣服1件和种型号衣服2件，共需290元；购进种型号衣服2件和种型号衣服3件，共需480元．销售一件种型号衣服可获利20元，销售一件种型号衣服可获利30元． (1)，两种型号衣服的进价各是多少元？ (2)若已知购进种型号衣服是种型号衣服的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且种型号衣服不多于26件，则该商场在这次进货中，共有哪几种方案？ (3)为了进一步落实降本增效的工作目标，请你帮助该商场判断（2）中的进货方案，哪种方案利润率最高？（利润率利润成本） 【答案】(1)型号衣服每件90元，型号衣服每件100元； (2)有两种进货方案：①型号衣服购买10件，型号衣服购进24件；②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件． (3)方案②的利润率高一些，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立不等式组和方程组是解题的关键； （1）设型号衣服每件元，型号衣服每件元，根据种型号衣服1件和种型号衣服2件，共需290元；购进种型号衣服2件和种型号衣服3件，共需480元，再建立方程组求解即可； （2）设型号衣服购进件，则型号衣服购进件，根据获利不少于780元，且A型号衣服不多于26件．关系式为：型件数型件数，A型号衣服件数，据此建立不等式组求解即可； （3）根据利润率利润成本分别计算两种方案的利用率，再比较即可． 【详解】（1）解：设型号衣服每件元，型号衣服每件元， 由题意得， 解得， 答：型号衣服每件90元，型号衣服每件100元； （2）解：设型号衣服购进件，则型号衣服购进件， 由题意得 解得， 为正整数， 或， 当时，， 当时，． ∴有两种进货方案：①型号衣服购买10件，型号衣服购进24件；②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件． （3）解：①型号衣服购买10件，型号衣服购进24件； 利润率， ②型号衣服购买11件，型号衣服购进26件． 利润率， ∴方案②的利润率高一些． 【B组---提高题】 1（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践：确定不同赛道上起跑线的位置．在米短跑比赛中，所有选手需跑完相同距离．但由于外圈跑道的弯道半径更大，外圈选手的实际跑步距离比内圈长．为保证公平，需调整不同跑道的起跑线位置（如图1）． 素材1：某校操场跑道每一圈由两条直道和两个半圆弯道组成（如图2），设每侧直道长度为m．记每一条跑道内侧跑道线周长为每一圈周长，每条跑道宽米． 素材2：设第1圈弯道半径为r，周长为米，第1圈直道总长度比弯道总长度少米（取3）． 素材3：起跑根据每圈周长自终点向弯道区调整，记第n圈起跑线比第1圈起跑线前移距离为（n为正整数，且）． 问题1：求该校跑道第1圈半径r和直道长度m． 问题2：求第2圈起跑线前移距离．     问题3：若米，求n的值． 【答案】问题1：r为米，m为米；问题2：为米；问题3： 【分析】本题主要考查列代数式的实际应用，解题的关键是根据题干中的素材，理解题意，列出正确的代数式．问题1，根据素材中“设第1圈弯道半径为r，周长为米，第1圈直道总长度比弯道总长度少米（取3）”即可解答；问题2，根据图示，列出第2圈周长为，第1圈周长为，即可解答；问题3：根据前面分析，得出第圈周长为， ，当米，即可求出的值． 【详解】解：问题1： 根据题意得，，其中取3， 解得：， 答：该校跑道第1圈半径r为米，直道长度m为米． 问题2： 第2圈周长为，第1圈周长为， （米）， 答：第2圈起跑线前移距离为米． 问题3： 第圈周长为，第1圈周长为， ， 若米，， 解得， 则此时的值为． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$