精品解析：湖北省十堰市普通高中教学联合体2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

十堰市普通高中教学联合体2024-2025学年下学期5月月考 数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（ ） A. 面积为的矩形 B. 面积为的矩形 C. 面积为的菱形 D. 面积为的菱形 5. “今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈=10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（ ） A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行 B. 平面内有不共线的三个点A，B，C到平面的距离相等，则 C. ，，则 D. ，，，则 7. 棱长为的正四面体，下列说法错误的是（    ） A. 正四面体的体积是 B. 正四面体外接球半径是 C. 正四面体内切球的半径是 D. 正四面体表面积是 8. 已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若复数z满足，则（ ） A. B. z的虚部为 C. D. 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，设圆柱、圆锥、球的表面积分别为，体积分别为，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. D. 11. 如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足平面ABC的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数满足，则__________． 13. 若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的比是__________． 14. 如图，底面是平行四边形的四棱锥中，，，且，若平面，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足，求的值． 16. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值 （2）求的值； （3）若向量与平行，求实数的值． 17. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 18. 如图，在三棱台中，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积. 19. 如图，已知P是平行四边形所在平面外一点，M、N分别是的三等分点（M靠近B，N靠近C）； （1）求证：平面． （2）在上确定一点Q，使平面平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十堰市普通高中教学联合体2024-2025学年下学期5月月考 数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】， 复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限． 故选：D 2. 若向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量垂直的坐标表示可得解. 【详解】因为向量，，且，所以， 即，C正确，D错误， 取，可得，，此时， 但，，A，B错误， 故选：C 3. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 4. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（ ） A. 面积为的矩形 B. 面积为的矩形 C. 面积为的菱形 D. 面积为的菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用斜二测画法判断原图形的形状，即可求出其面积. 【详解】，所以， 故在原图中，， ， 所以四边形为菱形(如图所示)，， 则原图形面积为. 故选：C. 5. “今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈=10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（ ） A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺 【答案】A 【解析】 【分析】求出棱柱底边梯形的面积，利用棱柱的体积公式即可求解. 【详解】（立方尺）， 故选：A 【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，需熟记柱体的体积公式，属于基础题. 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行 B. 平面内有不共线的三个点A，B，C到平面的距离相等，则 C. ，，则 D. ，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的判断和性质理解辨析. 【详解】对于A：若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内的无数条直线平行，但不是任意一条，A错误； 对于B：由题意可得：或与相交，B错误； 对于C：根据题意可得：或，C错误； 对于D：∵，则，使得，则，∴ 因为，∴，D正确； 故选：D. 7. 棱长为的正四面体，下列说法错误的是（    ） A. 正四面体的体积是 B. 正四面体外接球半径是 C. 正四面体内切球的半径是 D. 正四面体表面积是 【答案】A 【解析】 【分析】C选项，由体积法求内切球半径；D选项，正四面体的表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形，利用正三角形的面积公式求解即可；A选项，由底面积和高求四面体的体积；B选项、将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，根据正四面体外接球求出外接球的半径的即可． 【详解】正四面体的各棱长为，表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形， 所以正四面体的表面积．故D选项正确； 如图，为中点，设在底面的投影为，为的中心，    正四面体各棱长为，则，，， 四面体的体积为，故A选项错误； 正四面体的表面积为，体积为，设正四面体的内切球半径为r， 则有，即，解可得，C选项正确； 将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线， ∵正四面体的棱长为，正方体的棱长为， 正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长， 所以正方体的对角线为，，．故B选项正确． 故选：A． 8. 已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据球的表面积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离. 【详解】 设球的半径为，则，解得：. 设外接圆半径为，边长为， 是面积为的等边三角形， ，解得：，， 球心到平面的距离. 故选：C. 【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若复数z满足，则（ ） A. B. z的虚部为 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用已知条件进行化简求出复数即可. 【详解】得， 则z的虚部为，，， 故AD正确，BC错误. 故选：AD. 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，设圆柱、圆锥、球的表面积分别为，体积分别为，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据球，圆柱，圆锥的表面积及体积公式计算判断各个选项. 【详解】依题意球的表面积为， 圆柱的侧面积为，所以A选项正确. 圆锥的侧面积为，所以B选项正确. 圆锥的表面积为， 圆柱的表面积为，所以，D选项不正确. 圆柱体积，圆锥体积，球的体积，所以C正确. 故选：ABC 11. 如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足平面ABC的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理或面面平行的性质定理，即可得解． 【详解】解：对于A，如图所示，点，为正方体的两个顶点，则， 所以、、、四点共面， 同理可证，即、、、四点共面， 平面，故A错误； 对于B，如图所示，为正方体的一个顶点，则，， 平面，平面，所以平面，同理可证平面 又，、平面， 平面平面， 又平面， 平面，故B正确； 选项C，如图所示，为正方体的一个顶点，则平面平面， 平面， 平面，故C正确； 对于D，连接，则， ，，，四点共面， 平面，与平面相矛盾，故D错误． 故选：BC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的运算化简复数，利用复数的模长公式可得结果. 【详解】因为，故. 故答案为：. 13. 若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的比是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形弧长公式，即可求出底面圆半径，再分别算出圆锥表面积与侧面积即可得到比值. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆锥的侧面展开图扇形的半径为， 由题意可得，， 圆锥的侧面积为，圆锥的表面积， 故 故答案为： 14. 如图，底面是平行四边形的四棱锥中，，，且，若平面，则______. 【答案】 【解析】 【分析】取棱PC上的点F，使，取棱PD上的点M使，连接BD．设BD∩AC＝O．结合平行四边形的性质及三角形中位线定理及面面平行的判定定理可得平面BMF∥平面AEC，进而由面面平行的性质得到BF∥平面AEC． 【详解】存在点F满足使BF∥平面AEC 理由如下： 取棱PC上的点F，使，取棱PD上的点M使，则E为MD中点， 连接BD．设BD∩AC＝O． 连接BM，OE． ∵=,F为PC的中点，E是MD的中点， ∴MF∥EC，BM∥OE． ∵MF⊄平面AEC，CE⊂平面AEC，BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC， ∴MF∥平面AEC，BM∥平面AEC． ∵MF∩BM＝M， ∴平面BMF∥平面AEC． 又BF⊂平面BMF， ∴BF∥平面AEC． 故答案为： 【点睛】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，关键是证得平面BMF∥平面AEC． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用复数除法运算和乘方运算，结合的幂运算的周期性可求得结果； （2）设且，根据共轭复数，复数乘法运算，复数相等的知识求出，进而求得结果. 【详解】（1） . （2）令且，则， 所以，则，可得， 所以，则. 16. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值 （2）求的值； （3）若向量与平行，求实数的值． 【答案】（1）60 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的运算法则及向量模的计算式求值即可； （2）根据平面向量数量积的定义，运算法则及向量模的计算式求值即可； （3）由平面向量共线定理及平面向量基本定理列出方程组求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 因为，，且与的夹角为60°， 所以， 所以， 所以. 【小问3详解】 因为向量与平行，所以， 由平面向量基本定理可得， 解得或， 所以的值为. 17. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理边角转化，可求得，即可求出角； （2）结合（1）的结论和三角形面积公式可求得，由余弦定理有 ，据此可求出，从而可得到的周长. 【详解】由，利用正弦定理得， 因为，所以. 又因为为锐角，所以. （2）由，所以， 又，即， 则，即. 又，所以. 所以的周长为. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 18. 如图，在三棱台中，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积. 【答案】（1） 连接交于点，连接，， 因为为三棱台，，所以， 又为的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，，证明四边形为平行四边形，得出，即可得证． （2）根据棱台的体积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的面积为，则由题意知的面积为，的面积为， 设三棱台的高为，则， 所以． 19. 如图，已知P是平行四边形所在平面外一点，M、N分别是的三等分点（M靠近B，N靠近C）； （1）求证：平面． （2）在上确定一点Q，使平面平面． 【答案】（1）证明：过点作，交于点，连接， 因为为的三等分点，可得， 又因为为的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面. （2）证明：取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由（1）知平面，且，平面， 所以平面平面， 即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面． 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，连接，证得证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）取取一点，使得，证得，得到平面，结合（1）中平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $