第03讲 集合的基本运算-2025年初升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第03讲 集合的基本运算 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 求集合的并集 【题型二】 求集合的交集 【题型三】 求集合的补集 【题型四】 根据图求集合的运算 【题型五】根据集合运算的结果求参数 【题型六】集合运算的综合问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解并集、交集、补集、全集的概念与表示； 2.了解并集、交集、补集的一些简单性质，会求两个简单集合的交集和并集，会求给定集合的补集； 3.掌握并集、交集、补集的基本运算与混合运算； 4.通过图描述几何的相关运算，进一步体会数形结合思想的作用. 【题型一】 求集合的并集 相关知识点讲解 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 记号 (读作:并) 符号 图形表示 性质 ，即一个集合与其本身的并集是其本身； ，即一个集合与空集的并集是其本身； ，即集合的并集运算满足交换律； ，即一个集合与其子集的并集是其自身． 【典题1】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得，再由集合的并集运算可得. 【详解】， 故， 故选：D 变式练习 1（24-25高三上·青海·期末）已知集合，则中所有元素之和为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】C 【分析】由题意求得集合的元素，求得并集，可得答案. 【详解】因为，所以，则， 该集合中所有元素之和为． 故选：C. 2（2025高三下·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的并集定义求解. 【详解】集合， 所以 ， 故选：D 3（2024·浙江杭州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意化简集合，结合包含关系求并集. 【详解】因为集合， 集合， 显然，所以. 故选：B. 3（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，则B可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的并集运算，对四个选项逐一检验即可得解. 【详解】由， 当时，或，故A错误； 当时，或，故B错误； 当时，，故C正确； 当时，，故D错误； 故选：C. 【题型二】 求集合的交集 相关知识点讲解 概念 由属于集合且属于集合所有元素所组成的集合，称为集合与的交集. 记号 (读作:交) 符号 图形表示 性质 ，； ； ，； ； 【典题1】（24-25高一上·广东肇庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求绝对值不等式，再根据交集概念计算即可. 【详解】，，． 故选：D． 变式练习 1（24-25高三下·湖南·开学考试）设集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求出，求出集合即可求出. 【详解】由可知， 当时，， 解得或，即． 故. 故选：D． 2（2025·宁夏银川·一模）已知集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用集合的交运算求集合. 【详解】 . 故选：C 3（2025·广西南宁·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用交集的定义求解即可. 【详解】 中的元素都是形如 的整数，其中 是整数. 包含所有大于 且小于 4 的实数. 求交集 ： 需要找到满足 的整数 . 解不等式： 左边： 解得 . 右边： 解得 因此，整数 的取值范围是 和 确定对应的 值： 当 时，. 当 时，. 结果： 中的元素是 . 故选：D. 4（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，则的真子集的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】联立方程组得有一解，即有一个元素，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得，解得， 则，故的真子集的个数为1． 故选：B. 5（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合M和集合N的长度，由此能求出集合的“长度”的最小值． 【详解】根据新定义可知集合M的长度为，集合N的长度为， 当集合的长度最小时，M与N应分别在区间上的左右两端， 故的长度的最小值是 故选：B. 【题型三】 求集合的补集 相关知识点讲解 概念 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:的补集) 符号 图形表示 性质 ；，； ；； 【典题1】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集、补集的运算求解即可. 【详解】因为， 所以，， 故选：A 变式练习 1（2025·河南信阳·一模）已知全集，，，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将全集进行化简，补集及交集运算，即可得出答案. 【详解】因为全集，，， 则，，， 所以. 故选：A. 2（2025·河北·一模）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的交、补运算即可求解； 【详解】因为， 所以， 所以 故选：B 3（2025·福建厦门·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集的概念及交集的运算可得结果. 【详解】∵，∴， ∵，∴. 故选：D. 【题型四】 根据图求集合的运算 【典题1】（24-25高一上·广东清远·阶段练习）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据图示，利用集合运算表示出来，分步进行，结合交并补运算，可得答案. 【详解】或，或， ，； 由题意，阴影部分表示的是或. 故选：A. 变式练习 1（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由题意可知：阴影部分可表示为，结合集合的并集和补集运算求解. 【详解】由题意得，阴影部分可表示为， 因为或，， 则或， 且，所以. 故选：B. 2（22-23高二下·山东烟台·期末）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】阴影部分表示的集合为，故求出后可求交集. 【详解】根据题意，图中阴影部分区域表示为， 因为，，则或， 则， 故选：A. 【题型五】根据集合运算的结果求参数 【典题1】 （24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】已知，这意味着集合与集合在中的补集没有交集，那么集合是集合的子集.接下来通过分析集合的边界与集合边界的关系来确定的取值范围. 【详解】. 因为，所以. 由于，要满足， 当，即，解得. 当，则有.解得：. 综上，m的取值范围为. 故选：A. 变式练习 1（24-25高一上·天津·阶段练习）若集合，非空集合，则能使成立的所有实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，再列出不等式组解之即可得解. 【详解】因为，所以，所以， 所以，解得. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据，得出，是解决本题的关键. 2（22-23高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据集合与集合的交集和并集运算结果，确定集合与集合中元素，再根据元素与集合的关系求解参数即可. 【详解】，， 得，解得. 故. 又因为，所以得. 代入得，解得：， 综上可得：. 故选：C. 3（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【分析】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【详解】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 【题型六】集合运算的综合问题 【典题1】 （24-25高一上·陕西西安·阶段练习）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】设同时参加了3个小组的人数为，然后结合题意用维恩图求解即可； 【详解】如图，设同时参加了3个小组的人数为x，则， 解得，即同时参加了3个小组的人数为8． 故选：D. 【典题2】 （24-25高一上·云南昭通·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意求集合B，再结合集合间的运算求解； （2）由题意可得，分类讨论和，结合包含关系分析求解. 【详解】（1）因为， 若，则，则或， 所以，. （2）若，可知， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 所以的取值范围为. 【典题3】（24-25高一上·浙江温州·期中）对于给定的非空集合M，定义集合，，当时，则称具有“对称性”，而，称为的对称集合． (1)试判断集合，是否具有“对称性”，如果有，求出其对称集合；如果没有，请说明理由 (2)若集合，且集合具有"对称性"，求的最小值． (3)已知，且，记，若集合B具有“对称性”，求m的最小值． 【答案】(1)有，，； (2)； (3)． 【分析】（1）利用集合的“对称性”定义判断集合的对称性，有对称性的，可求得对称集合； （2）先根据集合的“对称性”定义求出中的元素，比较元素大小，即得的范围，继而求得的最小值； （3）先根据集合的“对称性”定义求出中的元素，比较元素大小，即得的范围，继而求得的最小值. 【详解】（1）对于集合，，，， 所以具有“对称”性质，且对称集合为，； 对于集合，，，， 所以不具有对称性． （2）因，故或，于是2、3、4、、、， 0、1、、，因为，所以，，又，． （3）， 因为，所以，解得，又，故． 【点睛】方法点睛：本题考查学生的创新能力，理解新定义并运用是解题关键，本题实质就是根据新定义求出两个集合和，然后由它们的交集是否为空集确定结论． 变式练习 1（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）某校举行中学生田径运动会（田径运动会分田赛和径赛两大类），高一（2）班48名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，总共有30人，而参加比赛的人数为24人，则多出来的人数为田赛和径赛都参加的人数. 【详解】因为参加比赛的总人数为24人，参加田赛的有12人，参加径赛的有18人， 所以田赛和径赛都参加的学生人数为：人. 故选：B 2（2025高三·北京·专题练习）对于数集，，它们的Descartes积，则下列选项错误的是（ ） A． B．若，则 C． D．集合表示轴所在直线 【答案】A 【分析】根据集合的新定义及点坐标的性质，结合集合的交运算、包含关系判断各项的正误. 【详解】由表示数集中的数表示横坐标，数集中的数表示纵坐标，组成的点的全体，故，A错； 若，因为点集中来自集合的横坐标值一定在集合中，且纵坐标值都来自集合，则，B正确； ， ， 则，C正确； 集合表示横坐标为0的点集，即为轴所在直线，D正确. 故选：A 3（24-25高一上·山东·期中）在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】方法一：根据可分比集合，再通过时成立，时不成立得到正整数的最大值为7；方法二：分析出，再证明满意题意. 【详解】解法一：一方面，取满足题意，则； 另一方面，若，不妨设，则，则，此时，且，矛盾！ 综上所述，正整数的最大值为7. 解法二：，则，又，即若，内的数均不属于， 若，则，则，又，矛盾， 所以，当时，符合，所以． 故选：B. 4（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）先计算，再计算； （2）由得，再分类讨论. 【详解】（1）当时，，则或， 则或. （2）若，则, 当时，，即； 当时，，得， 则实数m的取值范围为. 5（24-25高一上·北京大兴·期中）若含有4个元素的数集能满足，则称数集具有性质．给定集合. (1)写出一个具有性质的集合，并说明理由； (2)若，证明：集合和不可能都具有性质； (3)若集合有4个元素，，且， ，证明：这个集合不可能同时都具有性质． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）需要根据性质的定义，在给定集合中找出满足条件的四个元素组成集合，并验证. （2）需要假设它们都具有性质，然后推出矛盾.这里要用到性质的定义以及集合的相关性质. （3）可以采用反证法，假设这个集合都具有性质，然后根据集合的并集、交集性质以及性质的定义推出矛盾. 【详解】（1）取，满足， 所以是具有性质的集合. （2）因为， 所以和中一个为奇数，一个为偶数. 所以中至多有2个偶数. 若和都具有性质J，由中有4个奇数和4个偶数知，中必有两个偶数. 若两个集合分别为和， 则或，不存在使得符合要求. 若两个集合分别为和， 则或，不存在使得符合要求. 若两个集合分别为和， 则或，不存在使得符合要求. 故若和不可能都具有性质J. （3）假设集合同时都具有性质J，则每个集合中至多有两个偶数. 因为中恰有2n个偶数，所以这n个集合中都只含2个偶数. 设,其中为偶数，为奇数. 所以, 且. 由题意知，，即. 因为. 所以 矛盾，故假设不成立. 所以集合不可能同时都具有性质J. 【A组---基础题】 1（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集定义求解可得. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2（24-25高三下·天津滨海新·阶段练习）若集合 ，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合B，即可求出，根据补集定义即可求得答案. 【详解】由题意得，则， 故， 故选：C 3（24-25高三下·湖南永州·开学考试）设集合，，则下列结论正确的是（    ） A．集合中一定有4个元素 B．集合中可能只有2个元素 C．集合为空集 D．集合可能有1个元素 【答案】D 【分析】根据题意逐项分类讨论，即可得出结论. 【详解】集合， 当时，，集合中只有3个元素，故A错误； 集合中必有元素3，集合中必有元素1和4，故中不可能只有2个元素，故B错误； 当时，，集合，不为空集，故C错误； 当时，，集合，只有1个元素，故D正确. 故选：D. 4（24-25高一上·福建福州·期中）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断阴影部分表示，然后求解，再根据并集的概念求解即可. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 因为， 所以或， 所以， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：. 5（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知集合，若，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合计算，利用求参数的取值范围. 【详解】由得，. 由得，， ∴或， ∴，解得. 故选：A. 6（多选）（2025·河南开封·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合交并补的运算一一分析即可/ 【详解】， 对A，若，则，则根据有，显然矛盾，故A错误； 对B，假设，则，根据有，显然矛盾，则，故B正确； 对C，由A知，，则，故C正确； 对D，显然，必有，故D错误； 故选：BC. 7（24-25高一上·上海·期末）已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】求出集合，分析可得，然后分、、、，可得出关于的等式与不等式，综合可得出实数的取值集合. 【详解】因为，， 且，则， 对于方程，， 当时，有，解得， 当时，有，解得； 当时，有，方程组无解； 当时，有，方程组无解. 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 8（广东省衡水联考2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题）在检测文本相似度时常以杰卡德距离作为衡量工具．称为集合内元素的个数，定义 为集合之间的杰卡德距离．现有两个文本集合，若，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【分析】分析题干可知当最大且最小时，取得最小值，由此可算得答案. 【详解】由题意可知当最大且最小时，最小， 因为，所以最大为，此时， 且此时最小为，此时， 若，则且，此时， 故的最小值为. 故答案为：. 9（24-25高一上·广西河池·期末）已知集合. (1)求； (2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在，或3或5. 【分析】（1）求出，再求； （2）分类讨论求出集合，根据得，可得答案. 【详解】（1）， ， ， （2）存在. ， ①当时，，满足，所以； ②当时，，要满足，则， 因为，所以或5； 综上所述，或3或5. 10（24-25高一上·山东·阶段练习）已知集合，，其中，中至少有两个元素，若集合，满足：①对于任意两个不同元素，都有；②对于任意两个不同元素且，都有；则称集合是的“友好集”． (1)已知，与，，分别判断是否为的“友好集”，是否为的“友好集”，并说明理由； (2)若集合，其中，若存在集合是的“友好集”，证明：； (3)若集合中有四个元素，且集合是的“友好集”，求集合中元素的个数． 【答案】(1)不是的“友好集”，是的“友好集”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据“友好集”的定义分别判断各集合的元素是否满足要求即可； （2）先根据定义确定出集合中的元素，然后根据范围分析出的取值，由此可完成证明； （3）先确定出集合中的元素，然后分类讨论的情况，根据范围确定出 的取值，然后可求得集合，由此可计算出中元素的个数． 【详解】（1）在中：，所以不是的“友好集”； 在中：，满足要求， 在中：，满足要求， 所以是的“友好集”. （2）由题意可知，， 所以， 因为，所以，解得， 因为，所以，所以， 所以，即成立. （3）设，其中且， 则， 所以， 若，则， 因为，所以，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 此时有，此式显然不成立，所以不符合条件，所以； 当时，因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， 所以集合中元素的个数为个. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是理解“友好集”的定义，通过定义完成判断证明；另一方面在解答第三问题时，注意对和分类讨论，通过推出矛盾判断出，再结合不等式性质进行分析. 【B组---提高题】 1（2025·广东·模拟预测）已知.设集合或，且，集合.若集合中的元素满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中的元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”. (1)当时，直接写出的“相邻元”； (2)当时，求证：是“好数”； (3)当时，若整数满足，且，求证：是“好数”. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题干的定义即可求得结果. （2）利用定义证明集合中至少有8个“相邻元”，即可证明结论. （3）先求出当时，共有： 其次证明对于，有在每一个中，至多有一个“相邻元”. 最后证明不能在中均有“相邻元”，.即可证明结论. 【详解】（1）的“相邻元”为：. （2）因为，所以. 设，显然中每一个元素恰有9个“相邻元”. 设，构造， 则集合中的元素个数为. 对集合中的任意元素，在集合中至多存在一个， 满足， 从而在集合中至少有8个“相邻元”，所以是“好数”. （3）设，且，且. ①当时， 集合中的每一个元素均有2025个“相邻元”. 设，则中含有个元素. 设. 则中含有个元素，.并且两两交集为空集， 设，则共有： ②对于，有在每一个中，至多有一个“相邻元”. 下面证明该结论：设，且均是的“相邻元”. 由于，则与不同元素在前位，且后位相同，即，后位相同. 设与不同位置为，即；与不同位置为，即. 当相同时，又中与差为1的只有一个数，则. 当时，， 所以在每一个中，至多有一个“相邻元”. ③不能在中均有“相邻元”，.下面证明该结论： 元素中第都是中元素. 中第都是中元素. 故中至少有3个元素属于不同的和. 所以不存在，均是的“相邻元”. 由①②③知在中至少有2024个“相邻元”，故： 是“好数”. 【点睛】集合新定义问题常见的求解方法： （1）理解定义： 仔细阅读题目中给出的新定义，明确其内涵和外延。特别注意定义的 关键条件、限制和运算规则等，确保准确理解新定义的含义。 （2）列举法： 对于一些有限集合或元素个数较少的集合，可以通过列举出集合中的所有 元素，然后根据新定义进行分析和计算。 （3）性质分析法： 分析新定义所具有的性质，如对称性、传递性、封闭性等。利用这些 性质来简化问题的求解过程，或者通过判断集合元素是否满足这些性质来确定集合的特征。 （4）转化法： 将新定义问题转化为熟悉的集合问题或其他数学问题。例如，将新定义的 运算转化为常规的集合运算，或者将集合元素的条件转化为方程、不等式等进行求解。 （5）特殊值法：对于一些抽象的集合新定义问题，可以通过选取特殊值来进行分析和验 证。选取一些满足条件的特殊元素代入新定义中，观察其规律和结果，从而推测出一般情 况下的结论。 （6）反证法：当直接证明某个结论比较困难时，可以考虑使用反证法。假设结论不成立， 然后根据新定义和已知条件推出矛盾，从而证明原结论成立。 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 集合的基本运算 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 求集合的并集 【题型二】 求集合的交集 【题型三】 求集合的补集 【题型四】 根据图求集合的运算 【题型五】根据集合运算的结果求参数 【题型六】集合运算的综合问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解并集、交集、补集、全集的概念与表示； 2.了解并集、交集、补集的一些简单性质，会求两个简单集合的交集和并集，会求给定集合的补集； 3.掌握并集、交集、补集的基本运算与混合运算； 4.通过图描述几何的相关运算，进一步体会数形结合思想的作用. 【题型一】 求集合的并集 相关知识点讲解 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 记号 (读作:并) 符号 图形表示 性质 ，即一个集合与其本身的并集是其本身； ，即一个集合与空集的并集是其本身； ，即集合的并集运算满足交换律； ，即一个集合与其子集的并集是其自身． 【典题1】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高三上·青海·期末）已知集合，则中所有元素之和为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 2（2025高三下·全国·专题练习）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 3（2024·浙江杭州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，则B可能为（   ） A． B． C． D． 【题型二】 求集合的交集 相关知识点讲解 概念 由属于集合且属于集合所有元素所组成的集合，称为集合与的交集. 记号 (读作:交) 符号 图形表示 性质 ，； ； ，； ； 【典题1】（24-25高一上·广东肇庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高三下·湖南·开学考试）设集合，若，则（ ） A． B． C． D． 2（2025·宁夏银川·一模）已知集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 3（2025·广西南宁·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，则的真子集的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型三】 求集合的补集 相关知识点讲解 概念 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:的补集) 符号 图形表示 性质 ；，； ；； 【典题1】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025·河南信阳·一模）已知全集，，，则是（   ） A． B． C． D． 2（2025·河北·一模）设集合，则（    ） A． B． C． D． 3（2025·福建厦门·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【题型四】 根据图求集合的运算 【典题1】（24-25高一上·广东清远·阶段练习）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 变式练习 1（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 2（22-23高二下·山东烟台·期末）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【题型五】根据集合运算的结果求参数 【典题1】 （24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 变式练习 1（24-25高一上·天津·阶段练习）若集合，非空集合，则能使成立的所有实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（22-23高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，且，，则（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【题型六】集合运算的综合问题 【典题1】 （24-25高一上·陕西西安·阶段练习）学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【典题2】 （24-25高一上·云南昭通·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求的取值范围. 【典题3】（24-25高一上·浙江温州·期中）对于给定的非空集合M，定义集合，，当时，则称具有“对称性”，而，称为的对称集合． (1)试判断集合，是否具有“对称性”，如果有，求出其对称集合；如果没有，请说明理由 (2)若集合，且集合具有"对称性"，求的最小值． (3)已知，且，记，若集合B具有“对称性”，求m的最小值． 变式练习 1（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）某校举行中学生田径运动会（田径运动会分田赛和径赛两大类），高一（2）班48名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2（2025高三·北京·专题练习）对于数集，，它们的Descartes积，则下列选项错误的是（ ） A． B．若，则 C． D．集合表示轴所在直线 3（24-25高一上·山东·期中）在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 5（24-25高一上·北京大兴·期中）若含有4个元素的数集能满足，则称数集具有性质．给定集合. (1)写出一个具有性质的集合，并说明理由； (2)若，证明：集合和不可能都具有性质； (3)若集合有4个元素，，且， ，证明：这个集合不可能同时都具有性质． 【A组---基础题】 1（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2（24-25高三下·天津滨海新·阶段练习）若集合 ，则 （     ） A． B． C． D． 3（24-25高三下·湖南永州·开学考试）设集合，，则下列结论正确的是（    ） A．集合中一定有4个元素 B．集合中可能只有2个元素 C．集合为空集 D．集合可能有1个元素 4（24-25高一上·福建福州·期中）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 5（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知集合，若，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 6（多选）（2025·河南开封·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7（24-25高一上·上海·期末）已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 . 8（广东省衡水联考2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题）在检测文本相似度时常以杰卡德距离作为衡量工具．称为集合内元素的个数，定义 为集合之间的杰卡德距离．现有两个文本集合，若，则的最小值为 ． 9（24-25高一上·广西河池·期末）已知集合. (1)求； (2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由. 10（24-25高一上·山东·阶段练习）已知集合，，其中，中至少有两个元素，若集合，满足：①对于任意两个不同元素，都有；②对于任意两个不同元素且，都有；则称集合是的“友好集”． (1)已知，与，，分别判断是否为的“友好集”，是否为的“友好集”，并说明理由； (2)若集合，其中，若存在集合是的“友好集”，证明：； (3)若集合中有四个元素，且集合是的“友好集”，求集合中元素的个数． 【B组---提高题】 1（2025·广东·模拟预测）已知.设集合或，且，集合.若集合中的元素满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中的元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”. (1)当时，直接写出的“相邻元”； (2)当时，求证：是“好数”； (3)当时，若整数满足，且，求证：是“好数”. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$