第02讲 集合间的基本关系-2025年初升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第02讲 集合间的基本关系 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 判断两个集合的包含关系 【题型二】 求已知集合的子集或真子集个数 【题型三】 根据两个集合的包含关系求参数 【题型四】证明两个集合相等 【题型五】 综合应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概念，并掌握其记法和读法； 2.在具体情境中了解空集的含义并理解空集是任何集合的子集这一规定； 3.初步认识图，会用图表示两个集合的关系. 【题型一】判断两个集合的包含关系 相关知识点讲解 子集 ① 概念 对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().  记作：(或)，读作：包含于，或包含.  当集合不包含于集合时，记作(或). ② 图  真子集 概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作：(或)  (有些地方用或表示) 读作：真包含于(或真包含)  集合相等 如果是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合与集合相等． 即且. 【典题1】（24-25高一上·甘肃定西·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论集合中的和两种情况，即可求得和之间的关系. 【详解】， ①当集合中的，时， ，即，此时； ②当集合中的，时， ， 即，此时. 综上所述，. 故选：A. 变式练习 1（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据子集的定义判断；②根据集合中的元素的特征判断；③根据集合中有一个元素0判断；④根据元素与集合的关系判断；⑤根据集合与集合的关系判断；⑥根据空集是任意集合的子集判断. 【详解】依据子集定义，任何集合都是自身的子集，①正确； 集合中的元素具有无序性，②正确； 集合中有一个元素0，不是空集，③正确； 0是集合中的元素，所以，④正确； 空集和集合两个集合的关系为包含关系不是属于关系，⑤错误； 由于空集是任意集合的子集，则，⑥正确； 故选：C 2（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【详解】， 是以空集为元素的集合，不是集合的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 3（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将集合中元素化为统一形式，然后进行判断即可. 【详解】， , ， 故 故选：B. 4（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 【题型二】 求已知集合的子集或真子集个数 相关知识点讲解 几个结论 1 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； ⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为. 【典题1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 【答案】A 【分析】先求出集合，再根据子集的定义即可求解. 【详解】依题意，所以集合B的真子集的个数为. 故选：A. 变式练习 1（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）满足⫋的集合A的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】列举出满足要求的集合，得到答案. 【详解】满足⫋的集合可以为， 故集合A的个数为3. 故选：B 2（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知集合,，则集合的真子集个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 【答案】C 【分析】由知道为奇数，从而求出集合，然后由集合的真子集公式求得结果. 【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故选：C 3（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【答案】B 【分析】由题定义先得，进而可得真子集的个数为. 【详解】集合，， 定义， 则，元素个数为5， 故集合的所有真子集的个数为， 故选：B 【题型三】 根据两个集合的包含关系求参数 【典题1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用子集思想来确定端点值的取值范围，注意考虑空集也是任意非空集合的真子集. 【详解】由，可知：或， 解得：或，所以的取值范围是， 故选：C. 变式练习 1（23-24高一下·广东阳江·期中）已知集合，，若A，B关系如图所示，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解出集合，再根据求出的取值范围. 【详解】由题意可知，根据图示可知，所以的取值范围是. 故选：D 2（24-25高三上·湖北·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，通过数轴即可求解. 【详解】因为， 所以由数轴可得， 故实数的取值范围为. 故选：B. 3（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）设集合，集合，若，，则等于（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据，，对进行分类讨论，由此求得的值. 【详解】当时，有两相等的实根， 则，解得； 当时，有两相等的实根1， 则 解得； 当时，有两个不相等的实根，1， 则无解， 综上：. 故选：D 【题型四】证明两个集合相等 【典题1】（22-23高一·全国·课堂例题）集合，，试证明． 【答案】证明见解析 【分析】设，利用集合的的含义和奇偶数的性质即可得，再设，再次利用集合的的含义和奇偶数的性质即可得，综合即可证明. 【详解】（1）设，则，且． ①若是偶数，可设，，则，，∴； ②若是奇数，可设，，则，，∴． ∴不论是奇数还是偶数，都有．∴． （2）设，则，或，． ∵，或，，，， ∴，则． 由（1）（2），得． 变式练习 1（24-25高三上·湖北荆门·阶段练习）如果集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得答案. 【详解】集合，， ． 故选：C． 2（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设 (1)证明： (2)证明 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据集合B，C中元素的性质，利用真子集的概念证明； （2）由集合A，B都表示被3除余2的整数构成的集合得证. 【详解】（1）令，则， 即B为被3整除余2的整数构成的集合， 而，即C中元素都可以表示为的形式，其中， 所以C中任意元素都属于集合B, 又B中存在不属于C的元素，例如, 所以. （2）由（1）知， 又， 所以. 【题型五】 综合应用 【典题1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；正确的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由集合的新定义结合，可得,由此即可求解. 【详解】因为集合且, 若，则中也包含四个元素,即 剩下的，， 对于①:由得,故①错误; 对于②：由得,故②错误; 对于③：由得,故③正确; 故选：B 【典题2】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）①根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；②通过（1）归纳出集合的所有非空子集的交替和的总和. 【详解】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 集合所有非空子集为：，，，，，，，，，， ，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为， 因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类， 每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个， 所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 所以集合所有非空子集的交替和的总和. 变式练习 1（24-25高一下·河北张家口·开学考试）非空集合，并且中的元素满足条件：如果，则，适合上述条件的集合的个数是（    ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】依题意可得集合中的元素需从三个实数对中选取若干个即可，通过列举可得的个数. 【详解】由，则可知集合中的元素需从三个实数对中选取若干个即可； 因此若中含有一组实数对，则或或； 若中含有两组实数对，则或或； 若中含有三组实数对，则； 综上可知，适合上述条件的集合的个数是7个. 故选：C 2（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）若且则称集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由“和谐集”定义对集合中的元素逐一讨论可得只有可以作为“和谐集”中的一组元素，可得结果. 【详解】根据题意可知，当时，，所以不是“和谐集”中的元素； 当时，；当时，；当时，； 所以是“和谐集”中的一组元素； 当时，，当时，无意义，所以不是“和谐集”中的元素； 综上可知，集合的子集中“和谐集”的个数只有1个，即. 故选：B 3（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论与两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解； （2）先解二次方程化简集合，再由分类讨论集合的各种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 4（24-25高一上·上海·期中）已知集合具有性质：对任意与至少有一个属于集合； (1)判断集合与是否具有性质，并说明理由； (2)已知具有性质，当时，求集合； (3)已知具有性质，求的值； 【答案】(1)M具有性质，不具有性质 (2) (3) 【分析】（1）由新定义判断即可； （2）由定义知,，可得，再由，， 可分析出，即得解. （3）由得，再由，可得，， 即可得到，用累加法即可得到 一般结论，进而得到答案. 【详解】（1）集合中，因为,，所以集合具有性质. 集合中，因为，所以集合不具有性质. （2）因为，且具有性质，所以,， 则，又因为，所以，则， 由集合的互异性知，而， 所以，故. （3）先证明一般结论： 具有性质，则. 因为具有性质， 所以 ,则，则. 又因为，所以 又因为，所以，则， 所以. 所以， 即， 所以具有性质，则， 所以. 【点睛】关键点点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 【A组---基础题】 1. （2025高三下·全国·专题练习）若集合，，则下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定集合及元素的特征，结合元素、集合的关系判断得解. 【详解】由，得是无理数，由，得集合是不超过45的自然数形成的集合， 因此，集合不包含于集合，D正确，A错误，由元素、集合间关系知BC错误. 故选：D 2（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合间的包含关系直接判断即可. 【详解】由，， 则. 故选：B 3（24-25高二上·云南保山·阶段练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合中表达式化为，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定的包含关系． 【详解】根据已知得，，所以， 故选:． 4（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据条件，先化简集合A，再利用子集个数的计算公式，即可求解. 【详解】由， 则集合A的子集个数为. 故选：B. 5（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合，，若，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】先求出，再根据，分，，求解. 【详解】因为， 当时，即； 当，所以，即； 当，所以，即， 所以的可能取值为，，0，不可能为. 故选：C. 6（多选）（24-25高一上·辽宁·阶段练习）我们将数集的任意一个非空子集中的各元素之和称为的一个子集和（若的子集只有一个元素，则该元素为的一个子集和）.若有限数集中的元素均为正整数，且的任何两个子集和均不相等，则称为异和型集，下列结论正确的是（   ） A．集合的一个子集和可能为5 B．存在含有4个元素的异和型集，其元素均小于9 C．集合为异和型集 D．任意一个含有个元素的异和型集，其元素之和不小于 【答案】ABD 【分析】根据本题集合的新定义，逐个判断即可. 【详解】A选项：，且，故A选项正确； B选项：的子集和为, 满足任何两个子集和均不相等且元素均小于9，故B选项正确； C选项：的子集与的子集和相等，故不满足异和型集，故C选项不正确； D选项：当集合含有n个元素的异和型集时，设 设为数列的前项和，则，∴ 要想最小，则，，此时，故D选项正确； 故选：ABD 7（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知集合，则的非空子集的个数是 . 【答案】15 【分析】利用列举法表示集合，进而求出其非空子集个数. 【详解】依题意，，所以的非空子集的个数是. 故答案为：15 8（24-25高一上·河南焦作·期末）设集合． (1)当时，求集合的非空真子集的个数； (2)若，求整数的所有可能取值． 【答案】(1)14 (2)1和2． 【分析】（1）根据得到中得元素，然后计算真子集个数即可； （2）解不等式得到，然后根据集合的包含关系列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 故，其中含有4个元素， 故其非空真子集的个数为． （2）由题意可得， 由， 可得 解得， 故整数的所有可能取值为1和2． 9（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 10（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知（），（）是的子集，定义集合，若，则称集合是的恰当子集.用表示有限集合X的元素个数. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知（）是的恰当子集，求的值并说明理由. 【答案】(1)，集合是的恰当子集 (2)，或，；理由见解析 【分析】（1）由集合新定义即可求解； （2）由定义求得，进而得到关于的等式，求解并验证即可. 【详解】（1）若，有，由，则， 满足，集合是的恰当子集； （2）（）是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. 【B组---提高题】 1（24-25高一上·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】不妨设，则中其他元素包含2个1和2个，最多共有6个元素，又，，三组元素不正交，所以6个元素中最多只有3个元素在中，即可得到答案. 【详解】不妨设， 由，则中最多包含6个元素， 又，，三组元素不正交， 所以6个元素中最多只有3个元素在集合中，如， 若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是. 故选：C. 2（23-24高二下·北京昌平·期末）已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（    ） A．10 B．11 C．1023 D．1024 【答案】B 【分析】分析可得当和同时为时，，当和至少有一个为时，，要使，则的所有元素的位置至多有个，讨论即可得到集合的元素个数的最值． 【详解】依题意，对于中元素和， 当和同时为时，， 当和至少有一个为时，， 要使得的一个子集中任两个不同元素、，均满足， 设集合中的元素记为， 则的所有元素的位置至多有个， 若位置为，其它位置为的元素有个， 若全为的有个， 综上中元素最多有个． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出的所有元素的位置至多有个，从而确定中元素个数的最大值. 3（24-25高一上·江西赣州·期中）对非空数集及实数，定义，，已知． (1)当时，若集合为单元素集，求； (2)当时，若集合，求的所有取值构成的集合； (3)若中有3个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）代入，根据列出方程求解出的值，则结果可知； （2）代入，根据列出方程组，化简方程组结合韦达定理求解出结果； （3）根据进行分类讨论，结合方程组解的情况进行分类讨论，由此求解出结果. 【详解】（1）时，设，由，得， 所以，即， 得或1，故或. （2）时，，由，得， 得或，即或， 当时，是方程的两根，故， 当时，两式相减得， 由集合中元素的互异性得，所以， 故，即，同理， 故是方程的两根，所以， 故ab的所有取值构成的集合为. （3）设，由，得， ①若，故是方程的三个不等的实数根， 而此方程最多有两个实数根，不可能有三个实数根，故不成立； ②若，当时，，令，得， 对，，两式相减得，因为，所以， 代入，得，同理， 故为方程的两个不相等的实根，令，得， 当时，与均有两个不相等的实根，且这两个方程的根不完全相同，故符合题意； ③若，则， 由得， 则，， ， 得，因为， 所以，令, 则由上式得, ， ， 所以，即此种情况下， 综上，实数k的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题属于集合中的新定义问题，解答问题的关键在于对定义的理解；前两问通过将新定义的集合中元素关系转化为方程问题进行直接求解；第三问需要对可能成立的方程组进行是否有解的分析与判断，注意元素的不同对应关系. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 集合间的基本关系 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 判断两个集合的包含关系 【题型二】 求已知集合的子集或真子集个数 【题型三】 根据两个集合的包含关系求参数 【题型四】证明两个集合相等 【题型五】 综合应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概念，并掌握其记法和读法； 2.在具体情境中了解空集的含义并理解空集是任何集合的子集这一规定； 3.初步认识图，会用图表示两个集合的关系. 【题型一】判断两个集合的包含关系 相关知识点讲解 子集 ① 概念 对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().  记作：(或)，读作：包含于，或包含.  当集合不包含于集合时，记作(或). ② 图  真子集 概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作：(或)  (有些地方用或表示) 读作：真包含于(或真包含)  集合相等 如果是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合与集合相等． 即且. 【典题1】（24-25高一上·甘肃定西·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 4（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【题型二】 求已知集合的子集或真子集个数 相关知识点讲解 几个结论 1 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； ⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为. 【典题1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 变式练习 1（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）满足⫋的集合A的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知集合,，则集合的真子集个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 3（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【题型三】 根据两个集合的包含关系求参数 【典题1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（23-24高一下·广东阳江·期中）已知集合，，若A，B关系如图所示，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·湖北·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）设集合，集合，若，，则等于（    ） A． B．0 C．1 D． 【题型四】证明两个集合相等 【典题1】（22-23高一·全国·课堂例题）集合，，试证明． 变式练习 1（24-25高三上·湖北荆门·阶段练习）如果集合，，则（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设 (1)证明： (2)证明 【题型五】 综合应用 【典题1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；正确的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【典题2】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 变式练习 1（24-25高一下·河北张家口·开学考试）非空集合，并且中的元素满足条件：如果，则，适合上述条件的集合的个数是（    ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 2（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）若且则称集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 4（24-25高一上·上海·期中）已知集合具有性质：对任意与至少有一个属于集合； (1)判断集合与是否具有性质，并说明理由； (2)已知具有性质，当时，求集合； (3)已知具有性质，求的值； 【A组---基础题】 1. （2025高三下·全国·专题练习）若集合，，则下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·云南保山·阶段练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 5（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合，，若，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D．0 6（多选）（24-25高一上·辽宁·阶段练习）我们将数集的任意一个非空子集中的各元素之和称为的一个子集和（若的子集只有一个元素，则该元素为的一个子集和）.若有限数集中的元素均为正整数，且的任何两个子集和均不相等，则称为异和型集，下列结论正确的是（   ） A．集合的一个子集和可能为5 B．存在含有4个元素的异和型集，其元素均小于9 C．集合为异和型集 D．任意一个含有个元素的异和型集，其元素之和不小于 7（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知集合，则的非空子集的个数是 . 8（24-25高一上·河南焦作·期末）设集合． (1)当时，求集合的非空真子集的个数； (2)若，求整数的所有可能取值． 9（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 10（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知（），（）是的子集，定义集合，若，则称集合是的恰当子集.用表示有限集合X的元素个数. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知（）是的恰当子集，求的值并说明理由. 【B组---提高题】 1（24-25高一上·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2（23-24高二下·北京昌平·期末）已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（    ） A．10 B．11 C．1023 D．1024 3（24-25高一上·江西赣州·期中）对非空数集及实数，定义，，已知． (1)当时，若集合为单元素集，求； (2)当时，若集合，求的所有取值构成的集合； (3)若中有3个元素，求实数的取值范围． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$