第01讲 集合的概念-2025年初升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第01讲 集合的概念 本讲义亮度： 1 构建知识体系：明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2例题经典：力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】集合的概念 【题型二】元素与集合间的关系 【题型三】集合互异性的应用 【题型四】列举法法表示集合 【题型五】描述法表示集合 【题型六】根据集合中元素性质求元素个数 【题型七】综合性问题 3 课后分层练习：进一步巩固所学内容. 1.通过实例了解集合的定义，体会元素与集合间的属于关系； 2.掌握集合元素的三个特征，并会用互异性求值； 3.了解常用数集的表示符号； 4.能通过自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合的意义和作用. 【题型一】 集合的概念 相关知识点讲解 元素与集合的概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母表示； (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合，常用大写的拉丁字母…表示. 集合的元素特征 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.  ② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换. 【典题1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．与是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 变式练习 1（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2 （24-25高一上·山东临沂·开学考试）若集合，则应满足（   ） A． B． C． D． 3（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 【题型二】 元素与集合间的关系 相关知识点讲解 1 常用数集 自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作. 2 元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.  【典题1】（24-25高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 变式练习 1. （24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 2（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 3（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 【题型三】 集合互异性的应用 相关知识点讲解 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  【典题1】（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 变式练习 1.（21-22高一上·江苏常州·期中）已知集合，若，则实数的值为（    ）． A． B． C．或 D．或 2（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）若，则a2020+b2020的值为（    ） A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1 【题型四】 列举法法表示集合 相关知识点讲解 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法. 【典题1】（24-25高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 变式练习 1（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)方程的实数根组成的集合C； (2)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【题型五】描述法表示集合 相关知识点讲解 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.  【典题1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式练习 1（24-25高一上·上海·阶段练习）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 4（23-24高一上·江西·阶段练习）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【题型六】根据集合中元素性质求元素个数 【典题1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则集合中的元素的个数为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）集合中的元素个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 【题型七】综合性问题 【典题1】（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 变式练习 1（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 2（24-25高一上·广东深圳·期中）已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 3（24-25高一上·湖南·阶段练习）设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． (1)当时，写出集合的积集； (2)若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； (3)若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 【A组---基础题】 1（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 2（21-22高一·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．中最小的元素是0 C．的近似值的全体构成一个集合 D．一个集合中可以有两个相同的元素 3（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4（2024高一上·全国·专题练习）有下列三个说法： ①若，则； ②集合有两个元素； ③集合时有限集． 其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 6（多选）（24-25高一上·浙江温州·期末）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（    ） A．若，则具有性质 B．若，则具有性质 C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质 7（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）定义集合，其中集合，则中元素个数为 ． 8（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 9（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 10（24-25高一上·上海·阶段练习）设，记关于与的二元一次方程组的解集为. (1)求； (2)是否存在的值，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由； (3)若使得中的数对为正整数数对，即与均为正整数，求的值以及对应的. 【B组---提高题】 1（24-25高一上·上海·阶段练习）若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 2（24-25高一上·北京·阶段练习）设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ） ①        ② ③        ④ A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 3（24-25高一上·上海·期中）已知集合具有性质：对任意与至少有一个属于集合； (1)判断集合与是否具有性质，并说明理由； (2)已知具有性质，当时，求集合； (3)已知具有性质，求的值； 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合的概念 本讲义亮度： 1 构建知识体系：明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2例题经典：力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】集合的概念 【题型二】元素与集合间的关系 【题型三】集合互异性的应用 【题型四】列举法法表示集合 【题型五】描述法表示集合 【题型六】根据集合中元素性质求元素个数 【题型七】综合性问题 3 课后分层练习：进一步巩固所学内容. 1.通过实例了解集合的定义，体会元素与集合间的属于关系； 2.掌握集合元素的三个特征，并会用互异性求值； 3.了解常用数集的表示符号； 4.能通过自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合的意义和作用. 【题型一】 集合的概念 相关知识点讲解 元素与集合的概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母表示； (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合，常用大写的拉丁字母…表示. 集合的元素特征 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.  ② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换. 【典题1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．与是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 【答案】A 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合元素的确定性、互异性和无序性判断即可. 【详解】对于A，联合国所有常任理事国共5个，即：中国，美国，俄国，英国，法国，可以组成集合，故A正确； 对于B，“年龄较小”的标准不明确，无法确定集合的元素，故B错误； 对于C，集合的元素满足无序性，与是相同集合，故C错误； 对于D，集合的元素满足互异性，由1，0，5，1，2，5可组成的集合，且有4个元素，故D错误. 故选：A 变式练习 1（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的定义判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 2 （24-25高一上·山东临沂·开学考试）若集合，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断元素能否构成集合、集合元素互异性的应用 【分析】利用元素的互异性即可求得应满足的范围. 【详解】由元素的互异性可知，所以. 故选：A 3（25-26高一上·全国·课前预习）下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 【答案】C 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合中的元素的互异性、确定性等性质对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，与定点等距离的点是线段的垂直平分线上的所有点，满足集合中元素的性质，能构成集合，即A错误； 对于B，因为集合中的元素具有互异性，因此由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为4，可知B错误； 对于C，由集合中的元素具有互异性可知，各不相同，所以不可能是等腰三角形，即C正确； 对于D，高中学生中的游泳能手不具有确定性，不能组成集合，即D错误. 故选：C 【题型二】 元素与集合间的关系 相关知识点讲解 1 常用数集 自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作. 2 元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.  【典题1】（24-25高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 变式练习 1. （24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用 【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 2（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 3（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 【答案】A 【知识点】集合新定义、判断元素与集合的关系 【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【详解】由题意，若，， ， ， ， 综上，集合. 所以集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 【题型三】 集合互异性的应用 相关知识点讲解 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  【典题1】（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【详解】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A 变式练习 1. （21-22高一上·江苏常州·期中）已知集合，若，则实数的值为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【详解】，且，或 ⑴、当即或， ①、当时，，，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去； ②、当时，，，此时，符合题意； ⑵、当即时，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去； 综上所述：实数的值为1. 故选：B 2（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）若，则a2020+b2020的值为（    ） A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1 【答案】C 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据即可求出a，b的值，然后即可求出a2020+b2020的值. 【详解】∵，根据集合中元素的性质可得： ∴，解得a=﹣1，b=0， ∴a2020+b2020=（﹣1）2020+0=1. 故选：C. 【题型四】 列举法法表示集合 相关知识点讲解 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法. 【典题1】（24-25高一上·全国·课后作业）用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】列举法表示集合 【分析】（1）根据一元二次方程的根，由列举法即可求解； （2）分析“Welcome”中包含的字母，即可由列举法求解； （3）求解函数与坐标轴的交点坐标，即可由列举法求解. 【详解】（1）方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素， 因此可以用列举法表示为． （3）函数y的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因 此可以用列举法表示为． 变式练习 1（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)方程的实数根组成的集合C； (2)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【答案】(1) (2) 【知识点】列举法表示集合 【分析】通过求解方程和方程组，用列举法表示集合即可. 【详解】（1）解方程得：或，所以集合； （2）解方程组得：，所以集合. 【题型五】描述法表示集合 相关知识点讲解 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.  【典题1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【详解】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 变式练习 1（24-25高一上·上海·阶段练习）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合 【分析】能被8整除的所有正整数组成的集合中的元素为8的整倍数，结合选项判断即可. 【详解】能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，因此C，D排除， 利用描述法表示能被8整除的所有正整数组成的集合， 由于选项A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A排除， 而选项B，符合能被8整除的所有正整数组成的集合，因此B正确， 故选：B. 2（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可. 【详解】因为集合， 根据集合中5个元素的特点知，. 所以， 故选：C. 3（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 【答案】D 【知识点】描述法表示集合 【分析】由已知可得或，集合元素是点集，再结合点的坐标的特点即可判断． 【详解】因为，所以或， 所以集合表示第二象限和第四象限内的所有点，以及在轴上的点， 即不在第一、第三象限内的所有点. 故选：D. 4（23-24高一上·江西·阶段练习）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过对描述法表示的集合的理解，将集合中元素设为，根据题意解出关系即可. 【详解】由已知， 令，解得， 又，则，化简得. 故选：B. 【题型六】根据集合中元素性质求元素个数 【典题1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则集合中的元素的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】由集合中的元素的特征，确定集合的元素即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，． 所以，共有个元素． 故选：C. 变式练习 1（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数 【分析】根据集合描述法用列举法求出集合中元素得解. 【详解】因为集合，， 所以, 故选：D 2（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 3（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）集合中的元素个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】根据，取值验证即可得集合中所有元素. 【详解】因为，即，所以的可能取值为， 分别代入可得，所以集合中共有8个元素. 故选：D 4（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】利用集合元素个数，结合方程的解求出. 【详解】当时，方程只有一个解，集合只有一个元素，因此， 当时，由集合只有一个元素，得有相等的两个实根， ，解得， 所以或. 故选：C 【题型七】综合性问题 【典题1】（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 【答案】(1)8个； (2)证明见解析． 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、判断元素与集合的关系 【分析】（1）需要对的取值进行分类讨论，然后计算出，再根据元素的互异性求解； （2）设，计算出，即可证明． 【详解】（1）时，； ，； ，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； 所以，它有8个元素； （2）因为， 所以设，． ，所以得证． 变式练习 1（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 【答案】 【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合、集合新定义 【分析】由题意，理解新定义，求得，通过定义，进而求得所有元素之和. 【详解】集合，则由定义可得，所以， 则可知所有元素的和为. 2（24-25高一上·广东深圳·期中）已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)存在1个，，理由见解析 【知识点】集合新定义、集合元素互异性的应用 【分析】(1)令得到答案； (2)法一：利用反证法进行证明；法二：构造一元二次方程利用判别式法证明； (3)设满足要求，则，不妨设，则，从而求出，，求出答案. 【详解】（1）不妨令，此时，满足要求； （2）法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2，因为 ，， 故可设，，两边同时除以得，，因为， 所以，与矛盾，不合要求，故假设不成立， 元素，中至少有一个大于2； 法二；集合是“二元和谐集”，设， 则，可以看成一元二次方程的两正根，则， 解得：(舍)或，即，所以至少有一个大于2； （3）设正整数集为“三元和谐集”，则， 不妨设，则，解得， 因为，故只有，满足要求， 综上，满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即. 3（24-25高一上·湖南·阶段练习）设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． (1)当时，写出集合的积集； (2)若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； (3)若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 【答案】(1) (2)5 (3) 【知识点】判断元素与集合的关系、利用集合中元素的性质求集合元素个数、列举法求集合中元素的个数、集合新定义 【分析】（1）根据题意，得到； （2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5； （3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，. 【详解】（1），故， ， 故； （2）是由4个正实数构成的集合， 不妨设， 因为，故中的元素个数大于等于5， 当时，此时， 故中元素个数最小值为5； （3）由条件可知，对于一个4元集合， 中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数， 同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数， 由此知，的绝对值互不相等，不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别为与， 最大与次大的两个数分别为与， 从而必有， 于是， 所以， 当时，，解得， 又为有理数，不合要求，舍去， 当，解得，满足要求， 易得或， 经检验，均满足要求，故， 集合中的所有元素之和为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 【A组---基础题】 1（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可. 【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 2（21-22高一·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．中最小的元素是0 C．的近似值的全体构成一个集合 D．一个集合中可以有两个相同的元素 【答案】A 【知识点】常用数集或数集关系应用、集合元素互异性的应用、判断元素与集合的关系、判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的概念及集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性即可判断四个选项的正误. 【详解】若，则－a也是整数，即，故A正确； 因为实数集中没有最小的元素，所以B错误； 因为“的近似值”不具有确定性，所以不能构成集合，故C错误； 同一集合中的元素是互不相同的，故D错. 故选：A. 3（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】通过列举法表示集合，逐项判断即可 【详解】，所以， 故A，C，D错误，B正确 故选：B. 4（2024高一上·全国·专题练习）有下列三个说法： ①若，则； ②集合有两个元素； ③集合时有限集． 其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】集合的分类、列举法求集合中元素的个数、利用集合中元素的性质求集合元素个数、判断元素与集合的关系 【分析】①特殊值判断；②由方程根判断；③列举出集合中元素，结合有限集定义判断. 【详解】①当时不成立，不正确； ②有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确； ③集合是有限集，正确． 故选：B 5（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】描述法表示集合、判断元素与集合的关系 【分析】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】因为，所以，因为，所以 所以，故A错误，B正确； 所以，故C错误； 所以，故D错误； 故选：B． 6（多选）（24-25高一上·浙江温州·期末）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（    ） A．若，则具有性质 B．若，则具有性质 C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质 【答案】BCD 【知识点】集合新定义 【分析】根据已知条件新定义逐个分析即可． 【详解】对A选项，若，则 , 因为，故不可能存在满足题意，A错误； 对B选项，若 ，则， 则当 时， A 具有性质, B正确； 对C选项，将整数分成这五类， 依次记为集合 C、D 、 E 、 F 、 G , 当 时，肯定是这5类中的一类， 如果四个属于的集合各不相同， 比如 ，那么肯定是5的倍数，且，满足 的定义， 如果四个中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是5的倍数，故C正确； 对 D 选项， 将整数分成这10类， 依次记为集合，当时，分别是这10类中的一类， 分两类情况，如果七个属于的集合各不相同， 比如， 那么肯定是10的倍数，且，满足的定义， 如果七个属于的集合中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是10的倍数，且，满足的定义， 故D正确． 故选：BCD. 7（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）定义集合，其中集合，则中元素个数为 ． 【答案】4 【知识点】集合新定义、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】通过列举可得中元素个数. 【详解】， 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 所以中元素个数为. 故答案为：4. 8（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合 【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可； （4）利用描述法表示集合即可. 【详解】（1）利用列举法表示集合; （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用描述法表示集合. 9（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 10（24-25高一上·上海·阶段练习）设，记关于与的二元一次方程组的解集为. (1)求； (2)是否存在的值，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由； (3)若使得中的数对为正整数数对，即与均为正整数，求的值以及对应的. 【答案】(1) (2)存在，； (3)答案见解析 【知识点】集合新定义、方程与不等式、列举法表示集合 【分析】（1）令，解方程组，即可求出； （2）将代入，得到，求使方程无解即； （3）由（2）知，，得，求出使得为正整数的，再求出对应的即可. 【详解】（1）当时，方程组为，解得，所以. （2）将代入，得，整理得， 当时，方程无解，即. （3）由，则， 由（2）知，，得， 因为为正整数，所以为正整数，解得或或， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以. 【B组---提高题】 1（24-25高一上·上海·阶段练习）若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】描述法表示集合、判断元素与集合的关系 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断. 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，，所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，，所以，③正确； 对于④，若且，不正确， 例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，， 若， 则，故，⑤正确. 综上，①②③⑤正确. 故选：C. 2（24-25高一上·北京·阶段练习）设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ） ①        ② ③        ④ A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【知识点】集合新定义 【分析】根据聚点的含义，一一判断各集合是否满足聚点定义，即可判断答案. 【详解】对于①，对任意，都存在， 使得，故0是集合的聚点； 对于②，取，此时对于任意， 都有，即不可能成立，故0不是集合的聚点； 对于③，对任意，都存在，即， 使得，故0是集合的聚点； 对于④，，即随n的增大而增大， 故的最小值为，故当时，不存在x，使得， 故0不是集合的聚点； 故选：B 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解聚点的含义，判断所给集合是否满足聚点定义. 3（24-25高一上·上海·期中）已知集合具有性质：对任意与至少有一个属于集合； (1)判断集合与是否具有性质，并说明理由； (2)已知具有性质，当时，求集合； (3)已知具有性质，求的值； 【答案】(1)M具有性质，不具有性质 (2) (3) 【分析】（1）由新定义判断即可； （2）由定义知,，可得，再由，， 可分析出，即得解. （3）由得，再由，可得，， 即可得到，用累加法即可得到 一般结论，进而得到答案. 【详解】（1）集合中，因为,，所以集合具有性质. 集合中，因为，所以集合不具有性质. （2）因为，且具有性质，所以,， 则，又因为，所以，则， 由集合的互异性知，而， 所以，故. （3）先证明一般结论： 具有性质，则. 因为具有性质， 所以 ,则，则. 又因为，所以 又因为，所以，则， 所以. 所以， 即， 所以具有性质，则， 所以. 【点睛】关键点点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$