第21章 二次函数与反比例函数 章节（21知识点回顾+40题型练习） 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数 章节（21知识点回顾+40题型练习） 题型梳理 题型一 二次函数的识别 题型二 根据二次函数的定义求参数 题型三 待定系数法求二次函数解析式 题型四 y=ax²的图象和性质 题型五 y=ax²+k的图象和性质 题型六 y=a（x-h）²的图象和性质 题型七 y=a（x-h）²+k的图象和性质 题型八 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型九 画y=ax²+bx+c的图象 题型十 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 题型十二 一次函数、二次函数图象综合判断 题型十三 反比例函数、二次函数图象综合判断 题型十四 根据二次函数的图象判断式子符号 题型十五 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型十六 求抛物线与x轴的交点坐标 题型十七 求抛物线与y轴的交点坐标 题型十八 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型十九 图象法确定一元二次方程的近似根 题型二十 根据交点确定不等式的解集 题型二十一 图形问题(实际问题与二次函数) 题型二十二 图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型二十三 拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型二十四 销售问题(实际问题与二次函数) 题型二十五 投球问题(实际问题与二次函数) 题型二十六 喷水问题(实际问题与二次函数) 题型二十七 增长率问题(实际问题与二次函数) 题型二十八 其他问题(实际问题与二次函数) 题型二十九 面积问题(二次函数综合) 题型三十 角度问题(二次函数综合) 题型三十一 根据定义判断是否是反比例函数 题型三十二 根据反比例函数的定义求参数 题型三十三 求反比例函数值 题型三十四 由反比例函数值求自变量 题型三十五 判断（画）反比例函数图象 题型三十六 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型三十七 判断反比例函数的增减性 题型三十八 已知反比例函数的增减性求参数 题型三十九 判断反比例函数图象所在象限 题型四十 比较反比例函数值或自变量的大小 知识清单 知识点1．二次函数的定义 1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点3．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点4．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点5．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点6．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点7．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点8．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点9．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点10．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 知识点11．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 知识点12．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 知识点13．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 知识点14．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 知识点15．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点16．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 知识点17．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 知识点18．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 知识点19．根据实际问题列反比例函数关系式 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 知识点20．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 知识点21．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 题型练习 题型一 二次函数的识别 1．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的一般形式是常数），并据此对各选项进行分析判断． 分别对每个选项中的函数进行化简，然后根据二次函数的定义判断其是否为二次函数． 【详解】A、函数符合二次函数的一般形式），故它是二次函数，不符合题意； B、函数也符合二次函数的一般形式，它是二次函数，不符合题意； C、函数同样符合二次函数的一般形式，故是二次函数，不符合题意； D、对进行化简，，化简后函数最高次项是一次，不符合二次函数的定义，故它不是二次函数，符合题意；． 故选：D． 题型二 根据二次函数的定义求参数 2．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）若关于的函数的图象是抛物线，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如（为常数，且）的函数叫做二次函数，其图象为抛物线是解题关键．根据据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵关于的函数的图象是抛物线， ∴，， ∴． 故选A． 题型三 待定系数法求二次函数解析式 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为．求此二次函数的表达式； 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据顶点坐标设出抛物线的顶点形式，将代入计算即可确定出抛物线解析式． 【详解】解：∵顶点坐标为，设二次函数解析式为， 把点代入得， 解得：， ∴这个二次函数解析式为． 题型四 y=ax²的图象和性质 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）二次函数的图象的对称轴是（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴是轴， 故选：A． 题型五 y=ax²+k的图象和性质 5．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知抛物线的图象开口向下，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是熟练掌握二次函数，当时，函数图象开口向上，当时函数图象开口向下． 根据抛物线的图象开口向下，得到，求解即可． 【详解】解：∵抛物线的图象开口向下， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型六 y=a（x-h）²的图象和性质 6．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）抛物线与抛物线的相同点是（   ） A．对称轴相同 B．顶点相同 C．顶点都在轴上 D．形状相同 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质、y=ax²的图象和性质 【分析】此题考查了 抛物线的性质，根据抛物线的解析式确定抛物线的对称轴，开口方向，顶点坐标，两抛物线的形状，即可得到答案 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 抛物线与抛物线的a值不相等，故形状不同， ∴两个抛物线的顶点都在x轴上， 故选：C 题型七 y=a（x-h）²+k的图象和性质 7．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．求得抛物线对称轴为直线，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大， ∵点离对称轴最远，点离对称轴最近， ∴． 故选：D． 题型八 把y=ax²+bx+c化成顶点式 8．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）抛物线，最高点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了求抛物线顶点坐标，把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 题型九 画y=ax²+bx+c的图象 9．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）已知：二次函数． (1)请用列表、描点、连线的方法，在如图所示的平面直角坐标系中作出该函数的图象； (2)若是此抛物线上的两点，且，试结合函数图象确定实数a的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据列表，描点，连线即可作图； （2）根据函数图象，可以写出实数的取值范围． 【详解】（1）解：列表， x …… 0 1 2 3 4 …… y …… 0 3 4 3 0 …… 描点，连线如图： （2）解：如图，，若， 则点在直线下方抛物线上， ∴或． 题型十 y=ax²+bx+c的图象与性质 10．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）点，，都在二次函数图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了函数图像上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数解析式，求出对称轴，根据函数对称性进行判断即可． 【详解】解：， 对称轴，开口向下， ，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ， ， 根据二次函数图像的对称性可知，与关于对称轴对称， 故， 故选：D． 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 11．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，则下列选项判断正确的是（   ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， 故选：． 题型十二 一次函数、二次函数图象综合判断 12．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解∶A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不合题意． 故选∶A． 题型十三 反比例函数、二次函数图象综合判断 13．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质．根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】解：A、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； B、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； C、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； D、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，本选项符合题意； 故选：D． 题型十四 根据二次函数的图象判断式子符号 14．（九年级上·安徽淮北·开学考试）如图，二次函数图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为，3，与y轴负半轴交于点C．下面三个结论：①；②；③；其中正确的结论是 ．（请写出所有正确的序号）    【答案】① 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据函数图象与x轴的交点A，B的横坐标得出对称轴，进而得到a，b之间的关系，然后可得①正确；根据时，，可得，②错误；根据，时，求出，再根据，可得，③错误． 【详解】解：①∵函数图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为，3， ∴对称轴为，即， ∴， ∴，①正确； ②∵函数图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为，3，开口向上， ∴当时，， 把代入得，②错误； ③∵函数图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为，3， ∴当，时，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴， ∴，③错误； 故答案为：①． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键． 题型十五 已知抛物线上对称的两点求对称轴 15．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴相交于点A、B，与轴相交于点．过点作轴，交该图象于点．若、．    (1)求该抛物线的对称轴； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)的面积 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】（1）先求解C的坐标，再结合D的坐标求解对称轴方程即可； （2）利用抛物线的对称性求解，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵轴， ∴，两点关于抛物线对称轴对称， ∴， ∴此抛物线的对称轴为直线：，即 （2）解：连接， ∵，关于对称轴对称，， 抛物线的对称轴为直线：， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查的是抛物线的性质，由对称的两点求解抛物线的对称轴，再根据对称轴求解抛物线上点的坐标，理解对称轴的含义是解本题的关键． 题型十六 求抛物线与x轴的交点坐标 16．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）设二次函数，是常数的图像与轴交于，两点． (1)若，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图像的对称轴． (2)若函数的表达式可以写成(h是常数)的形式，求的最大值． (3)设一次函数(是常数)，若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3)或 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数解析式，二次函数与轴的交点问题； （1）根据题意可得抛物线解析式为，化为一般形式，即可求解； （2）根据题意得出，根据二次函数的性质得出，进而求得关于的表达式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）依题意，，，则，根据函数的图像经过点时，得出或，即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴的交点、的坐标分别为，， 抛物线解析式为，即， 抛物线的对称轴为直线； （2）， ，， ， 当时，＋有最大值； （3）   ，， ， 当时，或， 函数的图象经过点， 时，，即或， 或． 题型十七 求抛物线与y轴的交点坐标 17．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）抛物线与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】把代入抛物线，即得抛物线与轴的交点坐标． 此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求抛物线与轴的交点的坐标的方法，比较简单． 【详解】解：把代入抛物线，得， 所以抛物线与轴的交点坐标为． 故选：C． 题型十八 已知二次函数的函数值求自变量的值 18．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． （1）当时，二次函数的最小值为 ． （2）当时，二次函数 的最小值为，则m的值为 ． 【答案】 或 【知识点】已知二次函数的函数值求自变量的值、y=ax²+bx+c的最值、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）把代入可得，，即可求解； （2）根据，分两种情况：当时，，y取最小值，当时，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，结合二次函数图象与性质进行求解即可． 【详解】解：（1）当时，， ∵， ∴最小值为， 故答案为：； （2） ， ∵当时，二次函数 的最小值为， 当时，，y取最小值， 即， 解得， 当时，抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∴，y取最小值， 即， 解得， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的最值、二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 题型十九 图象法确定一元二次方程的近似根 19．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系． (1)在坐标系中画出抛物线与直线． (2)根据（1）中所作图象，直接写出方程的根． 【答案】(1)图见详解 (2) 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根、画y=ax²+bx+c的图象、画一次函数图象 【分析】本题考查二次函数和一次函数图象即性质， （1）根据二次函数和一次函数的解析式画图即可； （2）找出两个图象的交点即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴二次函数的对称轴为：，顶点为， 当时，，， ∴二次函数过点，，， 一次函数过点，， ∴二次函数和一次函数的图象如下图所示， （2）解：的解为两个图像的交点，即，， ∴． 题型二十 根据交点确定不等式的解集 20．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】根据交点确定不等式的解集、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式的关系． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线与x轴交点坐标可得抛物线在x轴上和上方时x的取值范围即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴当时，， ∴不等式的解集为． 题型二十一 图形问题(实际问题与二次函数) 21．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，学校在教学楼自行车停放处计划搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若设车棚宽度为xm，则车棚长度为___________m； (2)求学校计划搭建的自行车车棚面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】列代数式、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，即可列代数式； （2）由题意得，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴当时，面积取得最大值为． 题型二十二 图形运动问题(实际问题与二次函数) 22．（2024·安徽宣城·三模）如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（     ） A．B．C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查了动点函数图象，分别求出和时的函数解析式，进行判断即可. 【详解】解：当时，如图， ∵三个动点同速， ∴三个动点路程相同， ∴， ∵ ∴， ∴ 当时，如图， 此时 ∴， ∴， ∴ ∴结合两个函数判断B符合题意， 故选：B 题型二十三 拱桥问题(实际问题与二次函数) 23．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图1为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为6米，宽为12米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．    (1)求出该抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽2米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高3.5米的消防车辆？请通过计算说明； (3)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点，在地物线上，点，在上，求出所需的三根“光带”，，的长度之和的最大 【答案】(1) (2)能，计算见解析 (3)15米 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出或时，求出函数值，进行判断即可； （3）设点的坐标为，求出的解析式，根据二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴设这条抛物线的函数解析式为， ∵抛物线过， ∴，解得， ∴这条抛物线的函数解析式为， 即； （2）当（或）时，． 故能行驶宽2.5米、高3.5米的消防车辆． （3）设点的坐标为， 则，， 根据抛物线的轴对称，可得：， ∴，即， 令， ， ∴当，即米时，三根木杆长度之和的最大值为15米． 题型二十四 销售问题(实际问题与二次函数) 24．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）2024年10月26日我省第一届少儿科技体育比赛在黄山举行，为了迎接这场比赛，某商店购入一批进价为10元/个的大赛徽章进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元时，日销售量为76个．当销售单价为16元时，日销售量为68个． (1)求与的函数表达式； (2)徽章销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)徽章销售单价定为30元时，所获日销售利润最大，最大利润是800元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设一次函数表达式为（），根据题意列出二元一次方程组，即可得到答案； （2）设最大利润为元，根据题意得到，根据二次函数的性质计算即可． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为（）， 当销售单价为12元时，日销售量为76个；当销售单价为16元时，日销售量为68个， ， 解得， 与的函数表达式为； （2）解：销售单价为元，进价为10元/个， 每个徽章的利润为元， 设最大利润为元， ， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为800元， 徽章销售单价定为30元时，所获日销售利润最大，最大利润是800元． 题型二十五 投球问题(实际问题与二次函数) 25．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）足球训练中球员从球门正前方9米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行至与球门水平距离3米处时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】(1) (2)球能射进球门 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键． （1）根据题意可知抛物线的顶点坐标为，故可设抛物线的函数表达式为，把代入函数表达式即可解答； （2）把代入函数表达式即可求出y的值，然后做出判断即可． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）当时，， 球能射进球门． 题型二十六 喷水问题(实际问题与二次函数) 26．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知该装置最大功率的情况下，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，A处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为点，求喷到处的水柱距出水口的水平距离． (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【答案】(1)； (2)喷到处的水柱距出水口的水平距离为； (3)水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米． 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，代入求解即可； （2）联立抛物线与直线，解出点C坐标即可解答； （3）设安装的支架高度为米，即抛物线向上平移个单位长度，设平移后的抛物线表达式为，又由直线得出，并代入平移后的抛物线求解的值即可． 【详解】（1）解：由题意，可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， 水柱所在抛物线的函数表达式为． （2）联立， 解得：或， ， 喷到处的水柱距出水口的水平距离为． （3）设安装的支架高度为米，即抛物线向上平移个单位长度， 平移后的抛物线表达式为， 对于，当时，， 解得：， ， 将代入， 得， 解得：． 水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米． 题型二十七 增长率问题(实际问题与二次函数) 27．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 【答案】 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得今年第二季度的专项教育投入为亿元，则今年第二季度的专项教育投入为亿元，然后化简即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：今年第二季度的专项教育投入为亿元， ∴今年第二季度的专项教育投入为亿元， 故答案为：． 题型二十八 其他问题(实际问题与二次函数) 28．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在精彩的羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分（水平地面为x轴，垂直水平地面为y轴，单位：）． (1)求出球点A离点O的距离（的长）． (2)求羽毛球横向飞出的最远距离（的长），并直接写出羽毛球运动路线最高点到水平地面的距离． 【答案】(1) (2)， 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）当时，即可求解； （2）当时，解一元二次方程，即可求解，将二次函数化为，由二次函数的性质即可求解； 理解横纵坐标的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 的长为； （2）解：当时， ， 整理，得， 解得（舍去），， 的长为． 羽毛球运动路线最高点到水平地面的距离为． ， ， 当时，y的值最大，且最大值为． 题型二十九 面积问题(二次函数综合) 29．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b是常数且）与x轴的一个交点，且抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知点B与点C是x轴上的两个动点，且点C的横坐标比点B的横坐标小2，分别过点B和点C作轴交抛物线于点D，作轴交抛物线于点E．设点B的坐标为． ①若点D和点E的纵坐标分别为m和n，求的最小值； ②当时，若以点B，D，C，E为顶点的四边形面积为12，求t的值． 【答案】(1) (2)①的最小值为；②t的值为或7 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）①设点，点，则，即可求解； ②当点、均在点的左侧时，则，即，解得：；当点、在点的两侧和点、均在点的右侧时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：①设点，点， 则， 即的最小值为； ②当点、均在点的左侧时，即， 则，即， 解得：或； 当点、在点的两侧时，即， 同理可得：， 解得：； 当点、均在点的右侧时， 则， 解得：或（均舍去）； 综上，或或． 题型三十 角度问题(二次函数综合) 30．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图． ①求的面积； ②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，求抛物线与坐标轴的交点，角度问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①分别令求得的坐标，根据三角形的面积公式，即可求解； ②先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和． ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：①在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：， ∴，则 ∴ ②∵点在抛物线上 ∴ ∴点坐标 设所在直线解析式为，其过点、 有， 解得 ∴所在直线的解析式为： 当点在线段上时，设 而 ∴ ∴ ，， ∴ 解得：， 所以点的坐标为: 题型三十一 根据定义判断是否是反比例函数 31．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的判断，根据形如或或，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，，，能表示是的反比例函数，共3个； 故选B． 题型三十二 根据反比例函数的定义求参数 32．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）已知点、是反比例函数图象上的一点，则b的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，依此列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵点、是反比例函数图象上的一点， ∴， 解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．掌握所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积都等于比例系数是解题的关键． 题型三十三 求反比例函数值 33．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图所示，函数，的图象交于点． (1)求出点的坐标； (2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数值、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，掌握利用解方程求交点坐标是解题的关键． （1）联立，解交点坐标即可； （2）当时求出，的值即可解题． 【详解】（1）解方程组， 解得或， ， ； （2）当时，，， ． 题型三十四 由反比例函数值求自变量 34．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）与气体的体积（立方米）成反比例关系，其图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） (2)当气球内的气压是千帕时，求此时气体的体积是多少立方米． 【答案】(1)； (2)立方米． 【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用．关键是根据图象建立函数关系式，并会运用函数式解答题目的问题． （1）将已知点的坐标代入到反比例函数的一般形式中即可求得其解析式； （2）当时，代入求解即可； 【详解】（1）解：设表达式为， ∵图象经过点， ∴， ∴表达式为； （2）解：当时，． 解得立方米． 题型三十五 判断（画）反比例函数图象 35．（2024·安徽滁州·二模）已知点在反比例函数 的图象上，点在正比例函数的图象上，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断（画）反比例函数图象、正比例函数的图象 【分析】本题考查了反比例函数、正比例图象上点的坐标特征，将点A，点B坐标代入相对应的解析式即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数 的图象上， ∴，即，且， ∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴． ∴． 故选：A． 题型三十六 已知反比例函数的图象，判断其解析式 36．（22-23九年级上·安徽·开学考试）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）．反比例函数的图象为曲线．    (1)若过点，求反比例函数的解析式； (2)若过点，则它必定还过另一点，求的坐标； (3)若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数． 【答案】(1) (2) (3)，，，，，，． 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式、求反比例函数解析式、坐标与图形 【分析】（1）由题意可求这些点的坐标，将点的坐标代入解析式可求解； （2）将点的坐标代入解析式可求的值，将点代入可求解； （3）由曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得，，，与，，，在曲线的两侧，即可求解． 【详解】（1）解：每个台阶的高和宽分别是1和2， ，，，，，，，， 过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）过点， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 在反比例函数图象上， 的坐标为； （3）若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ， 所有满足条件的整数，，，，，，． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是解决问题的关键． 题型三十七 判断反比例函数的增减性 37．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知反比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．其图象经过点 B．其图象分别位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数图象所在象限、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键. 根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、当时，， 此函数图象过点，故本选项正确，不符合题意； B、∵， 此函数图象分别位于第一、三象限，故本选项正确，不符合题意； C、∵， 当时，y随着x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意； D、当时，， 当时，，故本选项错误，符合题意， 故选：D． 题型三十八 已知反比例函数的增减性求参数 38．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（为常数，）的图象为双曲线，当>，图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当，图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质解题关键．根据反比例函数的性质得到，然后解不等式即可． 【详解】反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降， ， ， 故选：． 题型三十九 判断反比例函数图象所在象限 39．（2024·安徽宿州·三模）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、二次函数图象与各项系数符号、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了一次函数的图象、反比例函数的图象、二次函数的图象等知识点，根据函数图象确定相关参数的正负是解题的关键．根据一次函数与反比例函数图象确定的正负，再结合二次函数图象的对称轴即可解答． 【详解】解：由图可知二次函数开口向上、对称轴在轴右侧、与轴的交点在负半轴， 则，，， ∴， ∴一次函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一、三象限， ∴选项的图象符合题意， 故选：． 题型四十 比较反比例函数值或自变量的大小 40．（24-25九年级下·安徽宣城·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点A作轴于点B，且的面积为． (1)求k和m的值； (2)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入，可求出k的值； 求出时，y的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：， ，， ∴， ， 点A的坐标为， 把代入，得； （2）解：∵当时，， 又反比例函数在时，y随x的增大而减小， 当时，y的取值范围为 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式，解决此题的关键是要熟练掌握反比例函数的图象性质. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次函数与反比例函数 章节（21知识点回顾+40题型练习） 题型梳理 题型一 二次函数的识别 题型二 根据二次函数的定义求参数 题型三 待定系数法求二次函数解析式 题型四 y=ax²的图象和性质 题型五 y=ax²+k的图象和性质 题型六 y=a（x-h）²的图象和性质 题型七 y=a（x-h）²+k的图象和性质 题型八 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型九 画y=ax²+bx+c的图象 题型十 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 题型十二 一次函数、二次函数图象综合判断 题型十三 反比例函数、二次函数图象综合判断 题型十四 根据二次函数的图象判断式子符号 题型十五 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型十六 求抛物线与x轴的交点坐标 题型十七 求抛物线与y轴的交点坐标 题型十八 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型十九 图象法确定一元二次方程的近似根 题型二十 根据交点确定不等式的解集 题型二十一 图形问题(实际问题与二次函数) 题型二十二 图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型二十三 拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型二十四 销售问题(实际问题与二次函数) 题型二十五 投球问题(实际问题与二次函数) 题型二十六 喷水问题(实际问题与二次函数) 题型二十七 增长率问题(实际问题与二次函数) 题型二十八 其他问题(实际问题与二次函数) 题型二十九 面积问题(二次函数综合) 题型三十 角度问题(二次函数综合) 题型三十一 根据定义判断是否是反比例函数 题型三十二 根据反比例函数的定义求参数 题型三十三 求反比例函数值 题型三十四 由反比例函数值求自变量 题型三十五 判断（画）反比例函数图象 题型三十六 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型三十七 判断反比例函数的增减性 题型三十八 已知反比例函数的增减性求参数 题型三十九 判断反比例函数图象所在象限 题型四十 比较反比例函数值或自变量的大小 知识清单 知识点1．二次函数的定义 1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点3．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点4．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点5．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点6．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点7．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点8．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点9．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点10．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 知识点11．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 知识点12．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 知识点13．反比例函数图象的对称性 反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点． 知识点14．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 知识点15．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 知识点16．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 知识点17．待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 知识点18．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 知识点19．根据实际问题列反比例函数关系式 根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式． 根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的． 注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围． 知识点20．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 知识点21．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 题型练习 题型一 二次函数的识别 1．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D．． 题型二 根据二次函数的定义求参数 2．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）若关于的函数的图象是抛物线，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 题型三 待定系数法求二次函数解析式 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为．求此二次函数的表达式； 题型四 y=ax²的图象和性质 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）二次函数的图象的对称轴是（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 题型五 y=ax²+k的图象和性质 5．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知抛物线的图象开口向下，则a的取值范围是 ． 题型六 y=a（x-h）²的图象和性质 6．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）抛物线与抛物线的相同点是（   ） A．对称轴相同 B．顶点相同 C．顶点都在轴上 D．形状相同 题型七 y=a（x-h）²+k的图象和性质 7．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型八 把y=ax²+bx+c化成顶点式 8．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）抛物线，最高点的坐标是 ． 题型九 画y=ax²+bx+c的图象 9．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）已知：二次函数． (1)请用列表、描点、连线的方法，在如图所示的平面直角坐标系中作出该函数的图象； (2)若是此抛物线上的两点，且，试结合函数图象确定实数a的取值范围． 题型十 y=ax²+bx+c的图象与性质 10．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）点，，都在二次函数图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 11．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，则下列选项判断正确的是（   ）    A．， B．， C．， D．， 题型十二 一次函数、二次函数图象综合判断 12．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 题型十三 反比例函数、二次函数图象综合判断 13．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 题型十四 根据二次函数的图象判断式子符号 14．（九年级上·安徽淮北·开学考试）如图，二次函数图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为，3，与y轴负半轴交于点C．下面三个结论：①；②；③；其中正确的结论是 ．（请写出所有正确的序号）    题型十五 已知抛物线上对称的两点求对称轴 15．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴相交于点A、B，与轴相交于点．过点作轴，交该图象于点．若、．    (1)求该抛物线的对称轴； (2)求的面积． 题型十六 求抛物线与x轴的交点坐标 16．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）设二次函数，是常数的图像与轴交于，两点． (1)若，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图像的对称轴． (2)若函数的表达式可以写成(h是常数)的形式，求的最大值． (3)设一次函数(是常数)，若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值． 题型十七 求抛物线与y轴的交点坐标 17．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）抛物线与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型十八 已知二次函数的函数值求自变量的值 18．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． （1）当时，二次函数的最小值为 ． （2）当时，二次函数 的最小值为，则m的值为 ． 题型十九 图象法确定一元二次方程的近似根 19．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系． (1)在坐标系中画出抛物线与直线． (2)根据（1）中所作图象，直接写出方程的根． 题型二十 根据交点确定不等式的解集 20．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直接写出关于x的不等式的解集． 题型二十一 图形问题(实际问题与二次函数) 21．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，学校在教学楼自行车停放处计划搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若设车棚宽度为xm，则车棚长度为___________m； (2)求学校计划搭建的自行车车棚面积的最大值． 题型二十二 图形运动问题(实际问题与二次函数) 22．（2024·安徽宣城·三模）如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（     ） A．B．C． D． 题型二十三 拱桥问题(实际问题与二次函数) 23．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图1为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为6米，宽为12米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．    (1)求出该抛物线的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽2米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高3.5米的消防车辆？请通过计算说明； (3)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点，在地物线上，点，在上，求出所需的三根“光带”，，的长度之和的最大 题型二十四 销售问题(实际问题与二次函数) 24．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）2024年10月26日我省第一届少儿科技体育比赛在黄山举行，为了迎接这场比赛，某商店购入一批进价为10元/个的大赛徽章进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为12元时，日销售量为76个．当销售单价为16元时，日销售量为68个． (1)求与的函数表达式； (2)徽章销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 题型二十五 投球问题(实际问题与二次函数) 25．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）足球训练中球员从球门正前方9米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行至与球门水平距离3米处时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 题型二十六 喷水问题(实际问题与二次函数) 26．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知该装置最大功率的情况下，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，A处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为点，求喷到处的水柱距出水口的水平距离． (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 题型二十七 增长率问题(实际问题与二次函数) 27．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 题型二十八 其他问题(实际问题与二次函数) 28．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在精彩的羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分（水平地面为x轴，垂直水平地面为y轴，单位：）． (1)求出球点A离点O的距离（的长）． (2)求羽毛球横向飞出的最远距离（的长），并直接写出羽毛球运动路线最高点到水平地面的距离． 题型二十九 面积问题(二次函数综合) 29．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b是常数且）与x轴的一个交点，且抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)已知点B与点C是x轴上的两个动点，且点C的横坐标比点B的横坐标小2，分别过点B和点C作轴交抛物线于点D，作轴交抛物线于点E．设点B的坐标为． ①若点D和点E的纵坐标分别为m和n，求的最小值； ②当时，若以点B，D，C，E为顶点的四边形面积为12，求t的值． 题型三十 角度问题(二次函数综合) 30．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图． ①求的面积； ②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标． 题型三十一 根据定义判断是否是反比例函数 31．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型三十二 根据反比例函数的定义求参数 32．（22-23九年级上·安徽宣城·期末）已知点、是反比例函数图象上的一点，则b的值为（    ） A． B．2 C． D． 题型三十三 求反比例函数值 33．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图所示，函数，的图象交于点． (1)求出点的坐标； (2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度． 题型三十四 由反比例函数值求自变量 34．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（千帕）与气体的体积（立方米）成反比例关系，其图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） (2)当气球内的气压是千帕时，求此时气体的体积是多少立方米． 题型三十五 判断（画）反比例函数图象 35．（2024·安徽滁州·二模）已知点在反比例函数 的图象上，点在正比例函数的图象上，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 题型三十六 已知反比例函数的图象，判断其解析式 36．（22-23九年级上·安徽·开学考试）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）．反比例函数的图象为曲线．    (1)若过点，求反比例函数的解析式； (2)若过点，则它必定还过另一点，求的坐标； (3)若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数． 题型三十七 判断反比例函数的增减性 37．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知反比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．其图象经过点 B．其图象分别位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 题型三十八 已知反比例函数的增减性求参数 38．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降，则的范围为（    ） A． B． C． D． 题型三十九 判断反比例函数图象所在象限 39．（2024·安徽宿州·三模）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 题型四十 比较反比例函数值或自变量的大小 40．（24-25九年级下·安徽宣城·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点A作轴于点B，且的面积为． (1)求k和m的值； (2)当时，求函数值y的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$