第06讲 确定圆的条件 （知识清单+7大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第06讲 确定圆的条件 （知识清单+7大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 判断确定圆的条件 题型二 确定圆心(尺规作图) 题型三 三角形外接圆的概念辨析 题型四 求三角形外心坐标 题型五 求特殊三角形外接圆的半径 题型六 已知外心的位置判断三角形的形状 题型七 判断三角形外接圆的圆心位置 知识清单 知识点1：确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点2：三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 题型方法 【题型一】判断确定圆的条件 【例1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 D．平分弦的直径垂直于弦 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法：①三点确定一个圆，②圆的直径是圆的对称轴，③长度相等的两条弧是等弧，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 3．（九年级上·江苏南京·期中）如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周． （1）点P的运动路径是一个圆； （2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围． 【题型二】确定圆心(尺规作图) 【例2】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【举一反三】 1．（九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在8×8正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ） A．点E B．点F C．点G D．点H 2．（九年级上·江苏无锡·期中）如图，所示的正方形网格中，△ABC三点均在格点上，那么△ABC的外心在 点． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知点、是平面内两点，线段长度一定，在平面内作使得它过点、且半程长为（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的作图说明）． 【题型三】三角形外接圆的概念辨析 【例3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）下列关于三角形的外心的说法中，正确的是（   ）． A．三角形的外心在三角形外 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．三角形的外心到三个顶点的距离相等 D．等腰三角形的外心在三角形内 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）是的外接圆，则点O是（     ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条边上的中线的交点 D．三条边上的高的交点 2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）平面内，，，，五个点如图．过点 所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知，如图，和中，，，，点D是的外心，试判断四边形的形状，并说明理由． 【题型四】求三角形外心坐标 【例4】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，外接圆的圆心坐标是 ． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)利用网格线画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D（保留作图痕迹）；D点的坐标为________； (2)的半径为________，的度数为________； (3)点M是第一象限网格中的一个格点，当时，点M的坐标为________． 【题型五】求特殊三角形外接圆的半径 【例5】（22-23九年级上·江苏连云港·期末）直角三角形的两边长分别为6和8，它的外接圆的半径是（    ） A．2 B．4 C． D．以上都不对 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，，，，点D，E，F分别是，，的中点，则的外接圆半径为 ． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，已知在中，．    (1)作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求的面积以及外接圆半径． 【题型六】已知外心的位置判断三角形的形状 【例6】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．外心和重心重合的三角形是等边三角形 C．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 D．过三点一定可以画一个圆 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列命题中：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③等弧所对的圆心角相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤优弧一定大于劣弧．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（九年级上·江苏无锡·期中）将6×4的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点C在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若P是钝角△ABC的外心，则C的坐标为 ． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 【题型七】判断三角形外接圆的圆心位置 【例7】（20-21九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）在如图所示的方格型网格图中，取3个格点并顺次连接得到，则的外心是（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，．点P沿着折线段运动，若点P在运动的过程中，的外心O在的边上，则符合条件的点P有 个． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知．    (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 好题必刷 一、单选题 1．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 3．直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的外接圆半径是（     ） A．或 B．或 C． D． 4．下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③直径是圆中最长的弦；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图： （1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点C； （2）以C为圆心，以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D； （3）连接BD，BC．则下列说法中不正确的是（　　） A．∠ABD＝90° B．sin2A+cos2D＝1 C．DB＝AB D．点C是△ABD的外心 6．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ） A． B． C． D．—1 7．下列命题是真命题的是(    ) A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．长度相等的弧是等弧 D．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 8．如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（     ） A．72 B．96 C．120 D．144 9．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点．当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（    ） A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小 二、填空题 11．如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用 次就可以找到圆形工件的圆心. 12．三角形的外接圆与外心 （1） 的三个点确定一个圆； （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个 的圆； （3）三角形的外心：三角形 的圆心．它是三角形三边 的交点，到三角形三个 的距离相等． 13．Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5 ，AC＝12 则其外接圆半径为 14．如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接圆的圆心坐标为 ． 15．若△ABC的三边长分别为5 cm，12 cm，13 cm，则△ABC的外心到直角顶点的距离是 ． 16．若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 17．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为 ．    18．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 三、解答题 19．估计如图中三段弧的半径的大小关系，再用圆规检验你的结论． 20．如图，已知． （1）用直尺和圆规作出，使经过A，C两点，且圆心O在边上（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中，若，且的半径为1，试求出的长． 21．如图，是的高，为的中点．试说明点在以点为圆心的同一个圆上． 22．如图，在中，，，． 的外接圆半径为______； 用直尺和圆规作出的内切圆保留作图痕迹，不写作法，并求出的内切圆半径． 23．如图所示，已知两点A，B及直线l，求作经过A，B两点，且圆心在直线l的圆． 24．如图，已知AD既是△ABC的中线，又是角平分线，请判断： （1）△ABC的形状； （2）AD是否过△ABC外接圆的圆心O，⊙O是否是△ABC的外接圆，并证明你的结论． 25．如图，在△ABC中，AB＝CB＝15，∠ABC＝90°，点D为直线BC上一点，点E为AB延长线上一点，且BE＝BD，连接AD，EC． (1)求证：△ABD≌△CBE； (2)当∠CAD＝25°时，求∠BEC的度数； (3)点P是△CAD的外心，当点D在线段BC上运动，且点P恰好在△ABC内部或边上时，直接写出点P运动的路径的长． 26．中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题： 原文 释义 甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，．    (1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 确定圆的条件 （知识清单+7大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 判断确定圆的条件 题型二 确定圆心(尺规作图) 题型三 三角形外接圆的概念辨析 题型四 求三角形外心坐标 题型五 求特殊三角形外接圆的半径 题型六 已知外心的位置判断三角形的形状 题型七 判断三角形外接圆的圆心位置 知识清单 知识点1：确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点2：三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 题型方法 【题型一】判断确定圆的条件 【例1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 D．平分弦的直径垂直于弦 【答案】C 【知识点】垂径定理的推论、 三角形外接圆的概念辨析、判断确定圆的条件 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，根据三角形的外接圆及垂径定理可得出答案． 【详解】解：A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，不符合题意； C．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，说法正确，符合题意； D．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法：①三点确定一个圆，②圆的直径是圆的对称轴，③长度相等的两条弧是等弧，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】圆的基本概念辨析、 三角形外接圆的概念辨析、判断确定圆的条件 【分析】本题考查三角形的外心，圆的性质，确定圆的条件；①根据确定一个圆的条件即可判断．②根据对称轴为直线即可判断；③根据等弧的定义即可判断；④根据三角形外心的性质即可判断 【详解】解：①不共线三点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意； ②圆的直径所在直线是圆的对称轴，故该选项不正确，不符合题意； ③同圆或等圆中长度相等的两条弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意； ④三角形的外心到三个顶点的距离相等，故该选项正确，符合题意； 正确的有④，共1个， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ． 【答案】2 【知识点】判断确定圆的条件 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键． 经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可． 【详解】解：根据题意得：经过线段最小的圆即为以为直径的圆，则此时半径为． 故答案为：2． 3．（九年级上·江苏南京·期中）如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周． （1）点P的运动路径是一个圆； （2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）≤PC≤ 【知识点】等边三角形的性质、与三角形中位线有关的求解问题、判断确定圆的条件 【分析】（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，则HP是△ABO的中位线，得出HP＝OB＝1，即P点到H点的距离固定为1，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC的最小值和最大值即可． 【详解】（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，如图1所示： 则HP是△ABO的中位线， ∴HP＝OB＝1， ∴P点到H点的距离固定为1， ∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆； （2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示： ∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点， ∴PC⊥AB，PA＝PB＝AB＝BC， ∴PC＝PA＝AB， 当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短， ∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3， ∴AP'＝AM＝， ∴PC＝； 当点B运动到点N位置时，点P运动到点P''位置，PC最长， ∵AN＝OA+ON＝5+2＝7， ∴AP''＝AN＝， ∴PC＝； ∴PC长的取值范围是≤PC≤． 【点睛】本题考查确定圆的条件、三角形中位线定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的性质是解题的关键． 【题型二】确定圆心(尺规作图) 【例2】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析、确定圆心(尺规作图) 【分析】此题考查了尺规确定圆的圆心，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握尺规确定圆的圆心的方法． 首先利用尺规做出和所在圆的圆心，进而求解即可． 【详解】如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心， ∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离 ∴所在圆的圆心到线段的距离更小． 故选：B． 【举一反三】 1．（九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在8×8正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ） A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】D 【知识点】确定圆心(尺规作图) 【详解】如图，连接AB，BC，分别作弦AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点H即为圆心． 故选D. 2．（九年级上·江苏无锡·期中）如图，所示的正方形网格中，△ABC三点均在格点上，那么△ABC的外心在 点． 【答案】G 【知识点】确定圆心(尺规作图) 【分析】根据三角形的外接圆圆心的性质即可得到结论． 【详解】解：如图： 作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G， 则△ABC的外接圆圆心是点G， 故答案为：G． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形外心的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知点、是平面内两点，线段长度一定，在平面内作使得它过点、且半程长为（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的作图说明）． 【答案】见详解 【知识点】作已知线段的垂直平分线、确定圆心(尺规作图) 【分析】本题主要考查了作图，画圆，作线段垂直平分线，连接，作的垂直平分线，以点A为圆心线段a为半径画弧交于点O，再以点O为圆心线段为半径作圆即为所求． 【详解】解：如下图：即为所求： 【题型三】三角形外接圆的概念辨析 【例3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）下列关于三角形的外心的说法中，正确的是（   ）． A．三角形的外心在三角形外 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．三角形的外心到三个顶点的距离相等 D．等腰三角形的外心在三角形内 【答案】C 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心的性质逐项分析即可得解，熟练掌握三角形的外心的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、三角形的外心可能在三角形内部，也可能在三角形外部，还可能在斜边上，故原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，到三边的距离不一定相等，故原说法错误，不符合题意； C、三角形的外心到三个顶点的距离相等，故原说法正确，符合题意； D、等腰钝角三角形的外心在三角形外部，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）是的外接圆，则点O是（     ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条边上的中线的交点 D．三条边上的高的交点 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，正确把握外心的定义是解题关键．根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案． 【详解】解：是的外接圆，则点O是三条边的垂直平分线的交点， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）平面内，，，，五个点如图．过点 所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 【答案】A、E、C 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题主要考查了圆的认识、三角形的外接圆等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线，再结合图形即可得解． 【详解】解：要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线； 因为当三个点接近共线时，它们所确定的圆的半径会趋向于无穷大， 由图可知点A、E、C三点接近共线，符合题意， 故答案为：A、E、C． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知，如图，和中，，，，点D是的外心，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】菱形；理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是菱形、 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形的外心的性质以及菱形的判定，掌握四条边都相等的四边形是菱形是解题的关键．根据，得到，根据全等三角形的判定定理得到，得到，根据三角形外心的性质得到，根据菱形的判定定理得到答案． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是的外心， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【题型四】求三角形外心坐标 【例4】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求三角形外心坐标 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求． 【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求， 的外心坐标为， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求三角形外心坐标 【分析】本题考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形的外心的定义．根据三角心的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，分别作、的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，点即为所求， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【知识点】求三角形外心坐标 【分析】本题考查三角形的外接圆，根据三角形的外接圆的圆心是三角形三边中垂线的交点，结合网格的特点，画出圆心，即可． 【详解】解：如图， 点即为外接圆的圆心； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)利用网格线画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D（保留作图痕迹）；D点的坐标为________； (2)的半径为________，的度数为________； (3)点M是第一象限网格中的一个格点，当时，点M的坐标为________． 【答案】(1)画图见解析， (2)， (3)（答案不唯一） 【知识点】一次函数与几何综合、判断三边能否构成直角三角形、圆的基本概念辨析、求三角形外心坐标 【分析】（1）如图，连接，，，作，的垂直平分线，交于点，再进一步可得答案； （2）利用勾股定理分别求解圆的半径，再判断为直角三角形即可； （3）分别求解直线，的解析式，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，，作，的垂直平分线，交于点，    ∴即为所求，； （2）解：∵，，， ∴；，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵， ∴设直线为， ∵， ∴， ∴， ∴直线为， 当时，， 当时，， ∴当点M是第一象限网格中的一个格点时，或（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是作三角形的外接圆的圆心，线段的垂直平分线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，一次函数的应用，坐标与图形，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【题型五】求特殊三角形外接圆的半径 【例5】（22-23九年级上·江苏连云港·期末）直角三角形的两边长分别为6和8，它的外接圆的半径是（    ） A．2 B．4 C． D．以上都不对 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形外接圆的特点，分当边长为8的边为直角边和斜边两种情况，根据直角三角形的斜边为其外接圆的圆心进行求解即可． 【详解】解：当边长为8的边为直角边时，则斜边长为， ∵直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，即直角三角形的斜边为其外接圆的圆心， ∴此时该直角三角形外接圆的半径为5； 当边长为8的边为斜边时，则该直角三角形外接圆的半径为4； 故该直角三角形外接圆的半径为4或5， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理，熟记直角三角形的斜边就是外接圆直径是解题关键．先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边即可求解． 【详解】解：在中，，，， 斜边， 这个三角形的外接圆的直径是10， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在中，，，，点D，E，F分别是，，的中点，则的外接圆半径为 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、求特殊三角形外接圆的半径 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，在中，利用勾股定理可得，然后利用三角形的中位线定理可得：，，，从而利用平行线的性质可得，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】如图： ∵，，， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点D，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴外接圆半径， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，已知在中，．    (1)作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求的面积以及外接圆半径． 【答案】(1)见解析 (2)，外接圆的半径是 【知识点】用勾股定理解三角形、画圆(尺规作图)、求特殊三角形外接圆的半径 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，尺规作图作三角形外接圆；作等腰三角形的底边上高，运用三线合一的性质是解题的关键． （1）作和的中垂线的交点就是圆心，则圆即可作出； （2）连接并延长交于点D，连接，在直角中，利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径． 【详解】（1）解：即为所作；    （2）连接并延长交于点D，连接，    ∵，， ∴， ∴， ∴， 设圆的半径是r，则，， 在直角中，，即， 解得：，则外接圆的半径是． 【题型六】已知外心的位置判断三角形的形状 【例6】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．外心和重心重合的三角形是等边三角形 C．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 D．过三点一定可以画一个圆 【答案】B 【知识点】垂径定理的推论、利用弧、弦、圆心角的关系求证、已知外心的位置判断三角形的形状、判断确定圆的条件 【分析】本题考查垂径定理的推论，三角形的外接圆，弧，弦，角之间的关系，圆的确定，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心为三角形三边的中垂线的交点，重心为三条中线的交点，当外心和重心重合时，三条中线也是三边的中垂线，则该三角形为等边三角形，原说法正确，符合题意； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，原说法错误，不符合题意； D、过不在同一直线上的三个点可以画一个圆，原说法错误，不符合题意； 故选B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列命题中：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③等弧所对的圆心角相等；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤优弧一定大于劣弧．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解、已知外心的位置判断三角形的形状、判断命题真假 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．利用确定圆的条件、垂径定理、三角形的外心的性质及圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意； ③等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意； ④三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，故原命题错误，不符合题意； ⑤优弧不一定大于劣弧，故原命题错误，不符合题意． 正确的有1个， 故选：A． 2．（九年级上·江苏无锡·期中）将6×4的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点C在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若P是钝角△ABC的外心，则C的坐标为 ． 【答案】（1,2）或（4,3） 【知识点】求三角形外心坐标、已知外心的位置判断三角形的形状 【分析】由图可知P到AB的距离为 ，在第一象限上找到P的距离为的点即可. 【详解】解：由图可知P到AB的距离为 在第一象限找到P的距离为的点组成等腰三角形如图所示： 由于是钝角三角形，故舍去（5,2）. 即C点坐标为（1,2）或（4,3） 【点睛】本题考查了三角形的外心，即到三角形三顶点距离相等的点，解题的关键在于画图找到C点. 3．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、已知外心的位置判断三角形的形状、无刻度直尺作图 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）如图1中，分别作及的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求． （2）如图2中，过点A作的垂线，垂足即为点F，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一亲，可得． 【详解】（1）如图1，点D即为的外心； （2）如图2，点F即为所作； 【题型七】判断三角形外接圆的圆心位置 【例7】（20-21九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边中垂线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【详解】解：根据图形可知，直线是的边上的中垂线，点D在的边上的中垂线上， ∴点D是外心． 故选：A． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）在如图所示的方格型网格图中，取3个格点并顺次连接得到，则的外心是（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题考查勾股定理的应用，三角形的外心，熟练掌握三角形的外心到各个顶点的距离相等是解题关键． 【详解】解：如图，， ∴三角形的外心为点， 故选A． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，．点P沿着折线段运动，若点P在运动的过程中，的外心O在的边上，则符合条件的点P有 个． 【答案】4 【知识点】含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义，直角三角形的性质，作线段的垂直平分线，分别交、于点F、E，根据的外心一定在直线上，得出当的外心O在的边上时，直线与、的交点F、E就是外心，点P在以点F为圆心，为半径的圆上，或以点E为圆心，为半径的圆上，画图得出答案即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，分别交、于点F、E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的外心一定在直线上， ∴当的外心O在的边上时，直线与、的交点F、E就是外心， ∴点P在以点F为圆心，为半径的圆上，或以点E为圆心，为半径的圆上， ∴如图，，与、、的交点即为点P的位置， ∵， ∴点在上， ∴符合条件的点P有4个， 故答案为：4． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知．    (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识， （1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心； （2）作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可． 【详解】（1）解：如图，作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心；    （2）解：作于． 在中，，， ， ， ， ． 好题必刷 一、单选题 1．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①没有边相等的信息不能判定其是正多边形；②符合正三角形的定义；③仅有各角相等没有边相等的信息不能判定其是圆内正多边形；④符合圆内接多边形的定义． 【详解】①错误，如矩形，满足条件，却不是正多边形；②正确；③错误，如圆内接矩形，满足条件，却不是正多边形；④正确．共有2个正确． 故选B 【点睛】本题考查正多边形的定义、性质、圆与正多边形的关系，掌握正多边形的性质、圆的内接正多边形的性质是解题关键. 2．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 3．直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的外接圆半径是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况：①为斜边长；②和为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径． 【详解】解：由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为时，这个三角形的外接圆半径为； ②当两条直角边长分别为和，则直角三角形的斜边长 因此这个三角形的外接圆半径为． 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于或． 故选：B 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键 4．下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③直径是圆中最长的弦；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆的相关知识求解即可． 【详解】解：同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故①错误； 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故②错误； 直径是圆中最长的弦，故③正确； 经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆，故④正确， 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】此题考查了圆心角，圆弧，弦等圆的相关知识，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识． 5．如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图： （1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点C； （2）以C为圆心，以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D； （3）连接BD，BC．则下列说法中不正确的是（　　） A．∠ABD＝90° B．sin2A+cos2D＝1 C．DB＝AB D．点C是△ABD的外心 【答案】B 【分析】根据直角三角形的判定方法，三角形的外接圆的性质，特殊角三角函数值，解直角三角形一一判断即可． 【详解】由作图可知：CA＝CB＝CD， ∴∠ABD＝90°，点C是△ABC外接圆的圆心，故A，D正确， ∵AC＝BC＝AB， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°，∠D＝30°， ∴BD＝AB，故C正确， ∴sin2A+cos2D＝，故B错误， 故选B． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆与外心，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ） A． B． C． D．—1 【答案】B 【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长． 【详解】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2， ∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2， ∴它的内切圆半径为：R=（2+2-4）=2-2． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r=（a+b-c）；（a、b为直角边，c为斜边）直角三角形的外接圆半径：R=c． 7．下列命题是真命题的是(    ) A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．长度相等的弧是等弧 D．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 【答案】D 【分析】不在同一直线上的三点确定一个圆；平分弦（不是直径的弦）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；根据能够完全重合的弧是等弧和旋转角的定义可得答案． 【详解】解：A.任意三点确定一个圆，是假命题； B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，是假命题； C.长度相等的弧是等弧，是假命题； D.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，是真命题； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了命题与定理以及圆的相关知识．熟练掌握相关定理与判定方法是解题关键． 8．如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（     ） A．72 B．96 C．120 D．144 【答案】B 【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE，根据三角形外心的定义，可得PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，进而求得AF，DF，AD的长度，可知△ADF是直角三角形，即可求出△ABC的面积． 【详解】如图，连接AF，AD，AE，BE，CE， ∵点E是△ABC的外心， ∴AE=BE=CE， ∴△ABE，△ACE是等腰三角形， ∵点P、Q分别是AB、AC的中点， ∴PE⊥AB，QE⊥AC， ∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC， ∴AF=BF=10， AD=CD=8， 在△ADF中，∵， ∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°， ∴S△ABC= ， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到△ADF是直角三角形． 9．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置． 连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可． 【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示： 在的垂直平分线上找到一点， ， 点是过、、三点的圆的圆心， 即的坐标为， 故选：D． 10．如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点．当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（    ） A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小 【答案】D 【分析】由等腰三角形的性质可求ON = 1，FO=OB= GO= OH = 2，则点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，由勾股定理可求GH， 即可求解． 【详解】如图，连接BO， EO， FO， GO， HO，过点O作ON⊥EF于N， OP⊥GH于P， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60° ∴∠EOF= 120， ∵OE= OF， ON⊥EF， ∠OEF=∠OFE= 30° EN= FN=， OF= 2ON， FN =ON， ON= 1，FO= 2， OB=GO=OH=2， ∴点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动， ∴ OG = OH， OP⊥GH， ∴GH = 2PH， ∵PH= ∵动点E从点D向点A运动时，OP的长是先变小再变大， ∴ GH的长度是先变大再变小， 故选： D． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，确定点O的运动轨迹是解题的关键． 二、填空题 11．如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用 次就可以找到圆形工件的圆心. 【答案】两 【详解】分析：根据垂径定理的推论可得，MN所在直线是直径的位置，而两个直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心． 详解：如图所示， 根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心． 故利用这样的工具最少使用2.次． 故答案为2. 点睛：此题主要考查垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧． 12．三角形的外接圆与外心 （1） 的三个点确定一个圆； （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个 的圆； （3）三角形的外心：三角形 的圆心．它是三角形三边 的交点，到三角形三个 的距离相等． 【答案】 不在同一直线上 顶点 外接圆 垂直平分线 顶点 【分析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆；经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．外心到三角形任意一顶点的距离即为外接圆的半径．据此填空即可． 【详解】解：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆； （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆； （3）三角形的外心：三角形外接圆的圆心．它是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等． 故答案为：不在同一直线上；顶点；外接圆；垂直平分线；顶点． 【点睛】本题考查三角形的外接圆和内心的确定等，熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点是解题的关键． 13．Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5 ，AC＝12 则其外接圆半径为 【答案】6.5 【分析】由Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，可求得AB的长，由圆周角定理，可得AB是其外接圆的直径，继而求得答案． 【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12， ∴ ， ∵Rt△ABC中，∠C=90°， ∴AB是其外接圆的直径， ∴其外接圆半径为： 故答案为6.5. 【点睛】考查了三角形外接圆的性质以及圆周角定理，难度不大，注意直角三角形 的斜边是其外接圆的直径是解题的关键. 14．如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】先根据点的坐标可得是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点即可得． 【详解】解：， ， 是直角三角形， 则外接圆的圆心坐标为，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆的圆心，熟练掌握直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点是解题关键． 15．若△ABC的三边长分别为5 cm，12 cm，13 cm，则△ABC的外心到直角顶点的距离是 ． 【答案】6.5 【详解】∵5²+12²=25+144=169=13²， ∴△ABC是直角三角形， ∴△ABC的外心即为斜边的中点， ∴△ABC的外心到直角顶点的距离是×13=6.5cm. 16．若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形讨论：①当圆心O在内部时．②当点O在外时．分别求解即可． 【详解】解：①当圆心O在内部时，作于E． ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． ②当点O在外时，连接交于E． ， 故答案为：或． 17．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为 ．    【答案】4． 【分析】连接BO并延长交AC于E，交于D，根据垂径定理得到点D到AC的距离最大，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】连接BO并延长交AC于E，交于D，连接AD、CD，    ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC， ∴， ∴OE⊥AC，点D为的中点， 此时点D到AC的距离最大， ∴△ADC的面积最大，即以A、B、C、D为顶点的四边形的面积最大， 在Rt△BAD中，∠ABD＝30°， ∴AD＝BD＝2， 由勾股定理得，AB＝＝2， ∴以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积＝×2×2×2＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质，掌握垂径定理、等边三角形的性质是解题的关键． 18．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆，勾股定理．根据题意可得能够完全覆盖这个三角形的最小圆为外接圆，圆心位于和的垂直平分线的交点处，求出，即可求解． 【详解】解：如图，均为网格的对角线长，，故点为外接圆的圆心，则为半径，    故能完全覆盖该三角形的最小圆面的半径是． 故答案为：． 三、解答题 19．估计如图中三段弧的半径的大小关系，再用圆规检验你的结论． 【答案】见解析 【分析】由已知弧连接出两条弦，根据垂径定理的推论，作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心，从而确定各段弧所在圆的半径的大小． 【详解】解：最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小． ①在较大的弧上取点A、B，连接AB，使线段AB同时过三条弧，再作AB的垂直平分线CD； ②连接DE，作DE的垂直平分线交CD与点O″，则此点即为 所在圆的圆心； ③连接GF，作GF的垂直平分线交CD与点O′，则O′即为中间的弧所在圆的圆心； ④连接BC，作BC的垂直平分线交CD与点O，则O即为较大的弧所在圆的圆心． 根据图形可知：最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小． 【点睛】本题考查的是作图，垂径定理的应用，只要熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧即可轻松作答． 20．如图，已知． （1）用直尺和圆规作出，使经过A，C两点，且圆心O在边上（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中，若，且的半径为1，试求出的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）根据A、C在圆上且圆心O在边上，故作出AC的中垂线，与AB的交点即为圆心O，再以OA为半径作圆即可； （2）连接CO，根据三角形的内角和定理即可求出∠ACB，根据等边对等角即可求出∠OCA，从而求出∠OCB，再根据等角对等边证出OB=OC，从而求出AB. 【详解】解：（1）∵A、C在圆上且圆心O在边上 ∴圆心O是AC的中垂线与AB的交点 故作出AC的中垂线，与AB的交点即为圆心O，再以OA为半径作圆即可. 如图所示：即为所求. （2）连接CO ∵， ∴∠ACB=180°－∠CAB－∠B=90° ∵的半径为1 ∴OA=OC=1 ∴∠OCA=∠OAC=30° ∴∠OCB=∠ACB－∠OCA =60° ∴OB=OC=1 ∴AB=OA＋OB=2 【点睛】此题考查的是尺规作图、等腰三角形的性质及判定，掌握用尺规作图作线段的中垂线、等边对等角和等角对等边是解决此题的关键. 21．如图，是的高，为的中点．试说明点在以点为圆心的同一个圆上． 【答案】见解析 【分析】先连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，即可证结论． 【详解】证明：连接，． 分别是的高，为的中点， ， ∴点在以点为圆心的同一圆上． 【点睛】本题主要考查了直角三角形和圆的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是关键． 22．如图，在中，，，． 的外接圆半径为______； 用直尺和圆规作出的内切圆保留作图痕迹，不写作法，并求出的内切圆半径． 【答案】（1）2.5；（2）该三角形内切圆的半径长是1． 【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的外心是斜边的中点，即可求出答案． （2）作两角的平分线，交点为圆心，以交点到边的距离为半径作出圆即可．根据三角形面积公式求出内切圆半径即可． 【详解】解：在中，，，，由勾股定理得：， 即三角形的外接圆的半径长是， 故答案为． 如图所示：即为所求 连接OA、OB、OC、OD、OE、OF， 设内切圆的半径长为r，则， 由 得： 解得：， 即该三角形内切圆的半径长是1． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆和三角形的外接圆的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力 23．如图所示，已知两点A，B及直线l，求作经过A，B两点，且圆心在直线l的圆． 【答案】详见解析. 【详解】试题分析：连接AB，作出AB的垂直平分线交直线于O点，以O为圆心，OA为半径作圆 试题解析： 如图所示，即为所求. 24．如图，已知AD既是△ABC的中线，又是角平分线，请判断： （1）△ABC的形状； （2）AD是否过△ABC外接圆的圆心O，⊙O是否是△ABC的外接圆，并证明你的结论． 【答案】证明见解析. 【详解】试题分析：（1）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据HL定理可得出△BDE≌△CDF，进而得出结论； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，再由BD=CD，可知AD过圆心O，故可得出结论． 试题解析：（1）答：△ABC是等腰三角形． 证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． ∵AD是角平分线， ∴DE=DF． 又∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， 在Rt△BDE与Rt△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（HL）． ∴∠B=∠C， ∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形； （2）答：AD过△ABC的外接圆圆心O，⊙O是△ABC的外接圆． 证明：∵AB=AC，AD是角平分线， ∴AD⊥BC， 又∵BD=CD， ∴AD过圆心O． 作边AB的中垂线交AD于点O，交AB于点M，则点O就是△ABC的外接圆圆心， ∴⊙O是△ABC的外接圆． 考点：1.三角形的外接圆与外心；2.全等三角形的判定与性质． 25．如图，在△ABC中，AB＝CB＝15，∠ABC＝90°，点D为直线BC上一点，点E为AB延长线上一点，且BE＝BD，连接AD，EC． (1)求证：△ABD≌△CBE； (2)当∠CAD＝25°时，求∠BEC的度数； (3)点P是△CAD的外心，当点D在线段BC上运动，且点P恰好在△ABC内部或边上时，直接写出点P运动的路径的长． 【答案】(1)见解析； (2)∠E的度数为70°或20°； (3)P的运动路径为 【分析】（1）根据边角边即可证明△ABD≌△CBE； （2）分两种情况点D在线段BC上时，点D在BC延长线上时，根据∠CAD＝25°，即可求∠BEC的度数； （3）根据点P是△CAD的外心，可得点P在线段AC的垂直平分线上随点D的运动而运动，如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据点P恰好在△ABC的内部，可得BF即为所求的点P的运动路径，且BF＝AC，根据勾股定理即可求出AC的长，据此即可求得． 【详解】（1）证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝∠CBE＝90°， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）； （2）解：若点D在线段BC上时， ∵AB＝CB，∠ABC＝90°， ∴∠CAB＝45°， ∵∠CAD＝25°， ∴∠ADB＝∠DAC+∠ACB＝25°+45°＝70°， ∵△ABD≌△CBE， ∴∠ADB＝∠BEC＝70°， 若点D在BC延长线上时，如图2， ∵△ABD≌△CBE， ∴∠BEC＝∠ADB＝∠ACB﹣∠CAD＝45°﹣25°＝20°， 综上所述：∠BEC的度数为70°或20°； （3）解：∵点P是△CAD的外心， ∴点P在线段AC的垂直平分线上随点D的运动而运动， 如图2，过点B作BF⊥AC于点F， ∵点P恰好在△ABC的内部或边上，且△ABC是等腰三角形， ∴BF即为所求的点P的运动路径，且BF＝AC， ∵， ∴． 即点P的运动路径为． 【点睛】本题考查圆的综合题，三角形的外心与外角的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 26．中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题： 原文 释义 甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，．    (1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）连接DF，EG，可得 和均为等边三角形，，进而可得． 【详解】（1）解：（1）如图：    （2）． 理由：连接DF，EG如图所示    则BD=BF=DF，BE=BG=EG 即和均为等边三角形 ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$