2.3 确定圆的条件（题型专练）数学苏科版九年级上册

2.3 确定圆的条件 题型一 概念辨析问题 1．（2024·盐城·期末）下列说法中正确的说法有（　　）个 ①不在同一直线上的三点确定一个圆； ②长度相等的两条弧是等弧； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·大丰区·月考）⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条边上的中线的交点 D．三条边上的高的交点 3．（2024·宿迁·期末）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 4．（2024·海州区·月考）下列命题正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．圆有且只有一个内接三角形 C．三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点 D．三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点 题型二 确定圆的条件 1．（2025·兴化市·期末）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E在直线AB外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（2024·徐州·期末）已知线段AB，且AB＜6，则经过A，B两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2024·大丰区·月考）过A、B、C三点能确定一个圆的条件是（　　） ①AB＝2，BC＝3，AC＝5； ②AB＝3，BC＝3，AC＝2； ③AB＝3，BC＝4，AC＝5． A．①② B．①②③ C．②③ D．①③ 4．（2023·滨海县·月考）平面直角坐标系内的三个点A（4，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），　　确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 题型三 根据能否确定一个圆求参 1．（2024·东阳市·期中）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（　　） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（﹣1，7） D．（1，﹣3） 2．（2025·常州·模拟）若在平面直角坐标系中的点A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（m，3）不能确定一个圆，则m的值是　　． 3．（2024·建邺区·月考）若过平面直角坐标系中的三个点A（1，0）、B（0，2）、C（﹣1，m）能确定一个圆，则m≠　　． 4．（2024·泗阳县·期中）若过平面直角坐标系中的三个点A（1，0）、B（0，2）、C（﹣m，m2﹣6）能确定一个圆，则m≠　　． 题型四 实际应用问题 1．（2024·邗江区·模拟）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 2．（2024·连云区·月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 3．（2024·广陵区·期中）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（　　） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 4．（2024·工业园区·期中）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R． 题型五 确定圆心或三角形的外心 1．（2023·靖江市·期中）在如图所示的方格型网格图中，取3个格点A、B、C并顺次连接得到△ABC，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 2．（2024·宜兴市·期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣2），B（2，0），C（2，2）．则△ABC的外心坐标为（　　） A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，1） D．（﹣2，1） 3．（2024·太仓市·期末）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上（正方形的顶点即格点），若⊙O是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在⊙O上的是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 4．（2024·西湖区·期中）如图，在平面直角坐标系XOY中，点A、B、C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则弧AC所对的圆心角度数为　　． 题型六 求三角形的外接圆的半径 1．（2024·沭阳县·期末）已知直角△ABC的两条直角边长为6和8，则这个三角形的外接圆的半径等于　　． 2．（2024·扬州·期末）Rt△ABC的两直角边长分别为5、12，则该三角形的外接圆半径是　　． 3．（2025·栖霞区·三模）如图，△ABC内接于⊙O，若AB＝AC＝10，BC＝12，则⊙O的半径是　　． 4．（2023·沭阳县·月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆，则⊙O的半径为　　． 题型七 三角形的外接圆有关的其他问题 1．（2024·镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是（　　） A． B． C．4 D． 2．（2025·工业园区·月考）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（　　） A．O是△AEB的外心 B．O是△BEC的外心 C．O是△AEC的外心 D．O是△ADB的外心 3．如图，已知E是△ABC的外心，P、Q分别是AB、AC的中点，连接EP、EQ交BC于点F、D，若BF＝5，DF＝3，CD＝4，则△ABC的面积为（　　） A．18 B．24 C．30 D．36 4．（2023·上城区·月考）如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN．若MN＝1，则BC＝　　． 题型一 以三角形外接圆为背景的综合题 1．（2022·涟水县·月考）定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心． （1）如图①，△ABC是等边三角形，点O是△ABC的外心，求证∠ABO＝30°； （2）如图②，△ABC是等边三角形，分别延长等边三角形ABC的边AB、BC、CA到点D、E、F，使BD＝CE＝AF，连接DE，EF，DF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心． 2．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小． 3．（2023·青秀区·月考）如图，点A和动点P在直线上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆⊙O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DFCD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x． （1）用关于x的代数式表示BQ＝　　，DF＝　　； （2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长． 1．（2022·邗江区·期中）我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC的直角边上，则AP的长为　　． 2．（2025·秦淮区·模拟）已知点A，B，C的位置如图所示，若它们分别是一个圆的内接三角形的三边的中点，用两种不同的方法求作该圆． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 确定圆的条件 题型一 概念辨析问题 1．（2024·盐城·期末）下列说法中正确的说法有（　　）个 ①不在同一直线上的三点确定一个圆； ②长度相等的两条弧是等弧； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法正确； ②能够重合的弧是等弧，原说法不正确； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法不正确； ④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，原说法不正确； 综上，正确的说法有1个． 故选：A． 2．（2024·大丰区·月考）⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条边上的中线的交点 D．三条边上的高的交点 【详解】解：根据三角形外接圆的性质可知：点O是△ABC三条边的垂直平分线的交点． 故选：A． 3．（2024·宿迁·期末）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故A错误； 三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，故B错误； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故C错误； 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，故D正确． 故选：D． 4．（2024·海州区·月考）下列命题正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．圆有且只有一个内接三角形 C．三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点 D．三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点 【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故A错误； 一个圆有无数个内接三角形，故B错误； 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故C错误； 三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点，故D正确． 故选：D． 题型二 确定圆的条件 1．（2025·兴化市·期末）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E在直线AB外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【详解】解：∵点E在直线AB外，点E、A、B，点E、A、C，点E、A、D，点E、B、C，点E、B、D，点E、C、D，不在同一直线上，可以画圆， ∴能画圆的个数是6个． 故选：D． 2．（2024·徐州·期末）已知线段AB，且AB＜6，则经过A，B两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【详解】解：先作线段AB的垂直平分线，再以点A为圆心，3为半径作弧， ∵AB＜6， ∴弧与线段AB的垂直平分线有两个交点， ∴经过A，B两点且半径为3的圆有2个． 故选：C． 3．（2024·大丰区·月考）过A、B、C三点能确定一个圆的条件是（　　） ①AB＝2，BC＝3，AC＝5； ②AB＝3，BC＝3，AC＝2； ③AB＝3，BC＝4，AC＝5． A．①② B．①②③ C．②③ D．①③ 【详解】解：①AB+BC＝AC，即A、B、C三点共线，不能确定一个圆； ②AB＝BC，以A、B、C三点为顶点的等腰三角形，能确定一个圆； ③AB2+BC2＝AC2，以A、B、C三点为顶点的直角三角形，能确定一个圆． 故选：C． 4．（2023·滨海县·月考）平面直角坐标系内的三个点A（4，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），　　确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【详解】解：∵点A（4，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）， ∴点A、B、C三点在同一条直线上， ∴点A、B、C三点不能确定一个圆． 故答案为：不能． 题型三 根据能否确定一个圆求参 1．（2024·东阳市·期中）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（　　） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（﹣1，7） D．（1，﹣3） 【详解】解：设直线MN的解析式为y＝kx+b， 则，解得：， ∴yx， 当x＝3时，y＝﹣3≠5； 当x＝﹣3时，y＝12； 当x＝﹣1时，y＝7； 当x＝1时，y＝2≠﹣3； ∴点C在直线MN上，该三点不能构成圆． 故选：C． 2．（2025·常州·模拟）若在平面直角坐标系中的点A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（m，3）不能确定一个圆，则m的值是　　． 【详解】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 则，解得：， ∴直线AB的解析式为y＝x， 当点C（m，3）在直线AB上时，m＝3， ∴当m＝3时，点A，B，C不能确定一个圆． 故答案为：3． 3．（2024·建邺区·月考）若过平面直角坐标系中的三个点A（1，0）、B（0，2）、C（﹣1，m）能确定一个圆，则m≠　　． 【详解】解：∵A（1，0）、B（0，2）， ∴设直线AB的解析式为：y＝kx+2，把A（1，0）代入，得：k＝﹣2， ∴y＝﹣2x+2， ∴当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）+2＝4， ∴当m≠4时，平面直角坐标系中的三个点A（1，0）、B（0，2）、C（﹣1，m）能确定一个圆． 故答案为：4． 4．（2024·泗阳县·期中）若过平面直角坐标系中的三个点A（1，0）、B（0，2）、C（﹣m，m2﹣6）能确定一个圆，则m≠　　． 【详解】解：直线AB的解析式为y＝kx+b， 则，解得：， ∴y＝﹣2x+2， 把点C的坐标代入得：2m+2＝m2﹣6，解得：m1＝4，m2＝﹣2， ∴当m≠4或m≠﹣2时，A、B、C能确定一个圆． 故答案为：4或﹣2． 题型四 实际应用问题 1．（2024·邗江区·模拟）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 2．（2024·连云区·月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 3．（2024·广陵区·期中）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（　　） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点，即外心． 故选：A． 4．（2024·工业园区·期中）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R． 【详解】解：（1）如图，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心； （2）如图，连接AO，OB，BC，BC交OA于D， ∵BC＝16cm， ∴BD＝8cm， ∵AB＝10cm， ∴AD＝6cm， 设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm， ∴R2＝82+（R﹣6）2，解得：Rcm， ∴圆片的半径R为cm． 题型五 确定圆心或三角形的外心 1．（2023·靖江市·期中）在如图所示的方格型网格图中，取3个格点A、B、C并顺次连接得到△ABC，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【详解】解：如图，连接DC、DA、DB，则DC＝5， 由勾股定理可得：DA＝DB5， ∴DC＝DA＝DB， 点D是△ABC的外心， 故选：A． 2．（2024·宜兴市·期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣2），B（2，0），C（2，2）．则△ABC的外心坐标为（　　） A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，1） D．（﹣2，1） 【详解】解：如图，分别作BC、AB的垂直平分线交于点P， 则点P（﹣1，1）即为所求． 故选：C． 3．（2024·太仓市·期末）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上（正方形的顶点即格点），若⊙O是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在⊙O上的是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【详解】解：如图，△ABC的外心为经过点Q的正方形的对角线与BC的垂直平分线的交点O， 设每个小正方形的边长都是1，连接OC， ∵OC， ∴⊙O的半径长为， 观察P、Q、M、N四点，只有点N到圆心O距离ON， ∴点N在⊙上． 故选：D． 4．（2024·西湖区·期中）如图，在平面直角坐标系XOY中，点A、B、C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则弧AC所对的圆心角度数为　　． 【详解】解：如图，连接BC，作弦AB和BC的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心， ∵OA＝OC，AC， ∴OA2+OC2＝AC2， ∴∠AOC＝90°， ∴弧AC所对的圆心角度数为90°． 故答案为：90°． 题型六 求三角形的外接圆的半径 1．（2024·沭阳县·期末）已知直角△ABC的两条直角边长为6和8，则这个三角形的外接圆的半径等于　　． 【详解】解：如图，作△ABC的外接圆，圆心为点O， ∵Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝6，AB＝8， ∴BC10， ∴OB＝OCBC＝5， ∴△ABC的外接圆的半径等于5． 故答案为：5． 2．（2024·扬州·期末）Rt△ABC的两直角边长分别为5、12，则该三角形的外接圆半径是　　． 【详解】解：∵Rt△ABC的两直角边长分别为5、12， ∴斜边长为：13， ∴三角形的外接圆半径是． 故答案为：． 3．（2025·栖霞区·三模）如图，△ABC内接于⊙O，若AB＝AC＝10，BC＝12，则⊙O的半径是　　． 【详解】解：如图，连接AO并延长，交BC于H，连接OB， ∵AB＝AC， ∴， ∴AH⊥BC， ∴BH＝HCBC＝6， 由勾股定理可得：AH8， 设⊙O的半径为r，则OH＝8﹣r， 在Rt△BOH中，OB2＝BH2+OH2， 即r2＝62+（8﹣r）2，解得：r， ∴⊙O的半径为． 故答案为：． 4．（2023·沭阳县·月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆，则⊙O的半径为　　． 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC， ∵OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上，即O在AD上， ∵BC＝4， ∴BDBC＝2， 在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2， ∴AD6， 设OA＝OB＝r，则OD＝6﹣r． 在Rt△OBD中，OD2+BD2＝OB2， 即（6﹣r）2+22＝r2，解得：r， ∴⊙O的半径为． 故答案为：． 题型七 三角形的外接圆有关的其他问题 1．（2024·镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是（　　） A． B． C．4 D． 【详解】解：如图， ∵O为△ABC的外心， ∴OA＝OB＝OC， ∴BC3． 故选：A． 2．（2025·工业园区·月考）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（　　） A．O是△AEB的外心 B．O是△BEC的外心 C．O是△AEC的外心 D．O是△ADB的外心 【详解】解：如图，连接OB、OD、OA， ∵O为锐角三角形ABC的外心， ∴OA＝OC＝OB， ∵四边形OCDE为正方形， ∴OA＝OC＜OD， ∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD， ∴OA＝OE＝OC，即O是△BCE的外心， OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心， OA＝OC＝OE，即O是△ACE的外心， OB＝OA≠OD，即O不是△ABD的外心． 故选：D． 3．如图，已知E是△ABC的外心，P、Q分别是AB、AC的中点，连接EP、EQ交BC于点F、D，若BF＝5，DF＝3，CD＝4，则△ABC的面积为（　　） A．18 B．24 C．30 D．36 【详解】解：如图，连接AF，AD， ∵E是△ABC的外心，P、Q分别是AB、AC的中点， ∴EP⊥AB，EQ⊥AC， ∴AF＝BF，AD＝DC， ∵BF＝5，CD＝4， ∴AF＝5，AD＝4， ∵DF＝3， ∴DF2+AD2＝AF2， ∴∠ADF＝90°， ∵BC＝BF+DF+DC＝5+3+4＝12， ∴S△ABCBC×AD12×4＝24． 故选：B． 4．（2023·上城区·月考）如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN．若MN＝1，则BC＝　　． 【详解】解：如图，连接DE， ∵M、N分别是OD、OE的中点， ∴MNDE， ∴DE＝2MN， ∵MN＝1， ∴DE＝2， ∵O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴DEBC， ∴BC＝2DE＝4． 故答案为：4． 题型一 以三角形外接圆为背景的综合题 1．（2022·涟水县·月考）定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心． （1）如图①，△ABC是等边三角形，点O是△ABC的外心，求证∠ABO＝30°； （2）如图②，△ABC是等边三角形，分别延长等边三角形ABC的边AB、BC、CA到点D、E、F，使BD＝CE＝AF，连接DE，EF，DF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心． 【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC， ∵点O是△ABC的外心， ∴OA＝OB＝OC， 在△AOB与△COB中， ， ∴△AOB≌△COB（SSS）， ∴∠ABO＝∠OBC， ∵∠ABO+∠OBC＝∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝30°； （2）如图②，连接OF，OD，OE， 由（1）可得：∠ABO＝30°， ∵点O为△ABC的外心， ∴OA＝OB， ∴∠OAB＝∠ABO＝30°， ∴∠OAC＝60°﹣30°＝30°， ∴180°﹣∠OAC＝180°﹣∠ABO， ∴∠FAO＝∠DBO， 在△FAD与△DBO中， ， ∴△FAD≌△DBO（SAS）， ∴OF＝OD， 同理可得：OF＝OE， ∴OF＝OE＝OD， ∴点O也是△DEF的外心． 2．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小． 【详解】解（1）如图，连接OA并延长AO交BC于E， ∵AB＝AC， ∴弧AB＝弧AC， ∵AE过圆心O， ∴AE垂直平分BC（平分弧的直径垂直平分弧所对的弦）， ∴AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAE， ∵OA＝OB， ∴∠ABD＝∠BAE， ∴∠BAC＝2∠ABD； （2）设∠ABD＝x， 由（1）可知：∠BAC＝2∠ABD＝2x， ∴∠BDC＝3x， ∵△BCD是等腰三角形， ∴①若BD＝BC，则∠C＝∠BDC＝3x， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝3x， 在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， ∴3x+3x+2x＝180°，解得：x＝22.5°， ∴∠BCD＝3x＝67.5°， ②若BC＝CD，则∠BDC＝∠CBD＝3x， ∴∠ABC＝∠ACB＝4x， 在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， ∴4x+4x+2x＝180°，解得：x＝18°， ∴∠BCD＝4x＝72°， 综上，△BCD是等腰三角形，∠BCD为67.5°或72°． 3．（2023·青秀区·月考）如图，点A和动点P在直线上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆⊙O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DFCD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x． （1）用关于x的代数式表示BQ＝　　，DF＝　　； （2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长． 【详解】解：（1）在Rt△ABQ中， ∵AQ：AB＝3：4，AQ＝3x， ∴AB＝4x， ∴BQ＝5x， ∵OD⊥m，m⊥l， ∴OD∥l， ∵OB＝OQ， ∴AH＝BHAB＝2x， ∴CD＝2x， ∴FDCD＝3x， 故答案为：5x，3x； （2）∵AP＝AQ＝3x，PC＝4， ∴CQ＝6x+4， 如图1，作OM⊥AQ于点M， ∴OM∥AB， ∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ＝90°， ∴点O是BQ的中点， ∴QM＝AMx， ∴OD＝MCx+4， ∴OEBQx， ∴ED＝2x+4， ∴S矩形DEGF＝DF•DE＝3x（2x+4）＝90， 解得：x1＝﹣5（舍去），x2＝3， ∴AP＝3x＝9． 1．（2022·邗江区·期中）我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC的直角边上，则AP的长为　　． 【详解】解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3， ∴AC4， 当P点在AB上，PA＝PB，则APAB； 当P点在AC上，PA＝PC，则APAC＝2； 如图，当P点在AC上，PB＝PC， 设AP＝t，则PC＝PB＝4﹣x， 在Rt△ABP中，32+t2＝（4﹣t）2，解得：t， ∴AP； 综上，AP的长为或2或． 故答案为：或2或． 2．（2025·秦淮区·模拟）已知点A，B，C的位置如图所示，若它们分别是一个圆的内接三角形的三边的中点，用两种不同的方法求作该圆． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【详解】解：如图，⊙O即为所求， 方法一：①连接AB，BC，AC； ②分别过A，B，C作BC，AC，AB的平行线交于点D，E，F； ③作线段DE，DF的垂直平分线检验点O，连接OD； ④以O为圆心，OD为半径作⊙O即可； 方法二：①②步骤同上； ③过点A作AN⊥BC于点N；过点B作BM⊥AC于点M，AN，BM交于点O，连接OD； ④以O为圆心，OD为半径作⊙O即可． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$