第05讲 二次函数与图象和性质2 （知识清单+16大题型+好题必刷） 【暑假预习】 讲义2025-2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第05讲 二次函数与图象和性质2 （知识清单+13大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 二次函数图象与各项系数符号 题型二 一次函数、二次函数图象综合判断 题型三 根据二次函数的图象判断式子符号 题型四 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型五 根据二次函数的对称性求函数值 题型六 y=ax²+bx+c的最值 题型七 利用二次函数对称性求最短路径 题型八 待定系数法求二次函数解析式 题型九 线段周长问题(二次函数综合) 题型十 面积问题(二次函数综合) 题型十一 特殊三角形问题(二次函数综合) 题型十二 特殊四边形(二次函数综合) 题型十三 其他问题(二次函数综合) 知识清单 知识点1．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点2．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点3．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 知识点4．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点5．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点6．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点7．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型方法 【题型一】二次函数图象与各项系数符号 【例1】（24-25九年级上·重庆渝北·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据抛物线的开口方向，对称轴，分析判断和的取值，由此选出答案． 【详解】解 ：∵抛物线开口向上， ， 对称轴直线， ， 故选： B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查了根据二次函数图象判断系数的大小，平面直角坐标内的点所在的象限， 根据抛物线的开口方向可得，与y轴交点在负半轴可得，再判断点所在的象限． 【详解】解：根据图象可知，， ∴点在第四象限． 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知，二次函数的图象如图所示，则点在第 象限． 【答案】三 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、判断点所在的象限 【分析】本题考查了二次函数图象的图象与性质，解题的关键是熟练掌握开口方向，与y轴的交点与系数的关系． 首先根据二次函数的图象及性质判断a及c的符号，从而得出点所在象限． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ∴， 点在第三象限， 故答案为：三． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数 (1)若函数图象过点，，求的取值范围； (2)若函数图象过点，其中，，都整数，且是偶数． 求证：，，都是偶数． 【答案】(1) (2)详见解析 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、配方法的应用 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，代数式的配方，偶数的性质等知识点， 将已知点代入函数得到方程组，通过方程组表示出和，再根据、、的关系来确定的取值范围； 把点代入函数得到关于、、的表达式，结合是偶数以及、、是整数即可证明所给式子都是偶数； 熟练掌握二次函数的性质，代数式的配方是解决此题的关键． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得， ，解方程组得， ∴， ∵为不等于0任意实数， ∴，则， ∴； （2）证明：∵函数图象过点， ∴， ∴， ∵是偶数，一定是偶数，偶数减偶数还是偶数， ∴是偶数； ∴， ∵是偶数，一定是偶数，偶数减偶数还是偶数， ∴是偶数； ∴， ∵是偶数，一定是偶数，偶数减偶数还是偶数， ∴是偶数； 综上所述：，，都是偶数． 【题型二】一次函数、二次函数图象综合判断 【例2】（24-25九年级上·河南安阳·期末）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，熟练掌握一次函数与二次函数的图象特征是解题关键．先根据一次函数的图象可得，再得出二次函数的图象的开口向下，与轴的交点位于与轴的负半轴上，由此即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象的开口向下，与轴的交点的纵坐标为，即与轴的交点位于与轴的负半轴上， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）在同一平面直角坐标系中，抛物线与直线的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象，解答本题的关键是明确函数图象与、的关系． 根据各个选项中的函数图象可以判断函数与中、的正负，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，，，由二次函数图象可知，，，故A选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，，，由二次函数图象可知，，，故B选项不符合题意； C、由一次函数图象可知，，，由二次函数图象可知，，，故C选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，，由二次函数图象可知，，，故D选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过第 象限． 【答案】二 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断．根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求一次函数和二次函数的交点坐标． 【答案】和 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，理解二次函数和一次函数的交点特征是解题关键．两个解析式联立方程组，解方程组即可求得其交点坐标． 【详解】解：联立方程组得， 解得，， ∴一次函数和二次函数的交点坐标为和． 【题型三】根据二次函数的图象判断式子符号 【例3】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：；④抛物线上有两点和，若，则．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函树图像的性质， 先根据开口方向，对称轴，与y轴交点的位置判断a，b，c，即可说明①；再令时，，判断②；然后根据对称轴说明③；最后根据点P，Q与对称轴的位置关系讨论④即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴是， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴． 则①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当时，， 即， 则②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 即， 则③正确； ∵抛物线的对称轴是，且， ∴函数值y随着x的增大而减小， ∴， 则④正确． 所以正确的有4个． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·上海·期中）如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③； ④当（为实数）时， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，解题的关键是数形结合．由图像开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，根据对称轴方程得到，于是得到，故①错误；根据抛物线与轴有两个交点，可得：，即，故②错误；根据，代入，故可以判断③；当（为实数）时，，故④正确． 【详解】解：由图像开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知， 又对称轴为直线， ， ， ，故①错误； 二次函数的图像与轴交于，两点， ， ，故②错误； 又， ， ，故③错误； 当为实数时， 当（为实数）时，，故④正确， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（）的大致图象如图所示. （）；（）；（）；（）关于的方程有两个不相等的实数根．则下列结论正确的是 ．（填序号） 【答案】（）（）/（4）（1） 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由图象可得，，，即得，即可判断（）；由对称轴位置可判断（）；由抛物线与轴的一个交点坐标为可判断（）；由抛物线与直线有两个不同的交点可判断（），综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于负半轴上， ∴，， ∵抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∴，故（）正确； 由图象可知，对称轴，故（）错误； ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴，故（）错误； 由图象可知，抛物线的顶点的纵坐标为， ∴函数值的最大值为， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线与直线有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故（）正确； 综上，结论正确的是（）（）， 故答案为：（）（）． 3．（九年级上·湖南长沙·期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图像，写出三条关于a，b，c的信息． 【答案】a＜0，b＞0，c=2，a-b+c=0，4a+2b+c=0，a+b+c=2，a+b=0等，答案不唯一 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】利用抛物线图象的开口方向，与y轴交点坐标，对称轴位置进行判定a、b、c的信息． 【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0； ∵抛物线与y轴的交点为（0，2），故c=2； ∵抛物线对称轴x=＞0， 故a、b异号，b＞0； ∵抛物线经过点（-1,0）和（2,0）, ∴有a-b+c=0①， 4a+2b+c=0②， ②-①得3a+3b=0， 即a+b=0； 又∵抛物线经过（0，2）， 故c=2， ∴a+b+c=0+2=2； a＜0，b＞0，c=2, a-b+c=0，4a+2b+c=0，a+b+c=2，a+b=0． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，利用数形结合思想是解决问题的关键． 【题型四】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【例4】（24-25九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图像经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据对称点求出对称轴，再根据对称轴求出点关于对称轴对称的点为，即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点为， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上、两点的高度相同，到墙边的距离分别为，．若该墙的长度为，则最多可以连续绘制这样的抛物线型图案的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了根据对称点求抛物线对称轴．根据B和C到的距离，求出中点到的距离，然后求出一个抛物线的宽度，最后根据墙的长度即可求解． 【详解】解：∵抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边的的距离分别为，， ∴中点到的距离为， ∴每个抛物线宽， ∵， ∴可以连续绘制6个这样的图案， 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）抛物线经过点和，则它的对称轴为 ． 【答案】直线 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】此题考查抛物线的对称性，根据抛物线经过的两点纵坐标相等，得对称轴为该两点横坐标和的一半，由此得到答案． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴它的对称轴为直线， 故答案为：直线． 3．（24-25九年级上·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围． 【答案】(1)此二次函数图象的对称轴是直线 (2) 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2），正确设二次函数的顶点式是解题关键． （1）先求出二次函数经过点和，再根据二次函数的对称性求出对称轴即可得； （2）先根据（1）设二次函数的解析式为，再求出，判断出，，从而可得，据此建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，， ∴这个二次函数的图象经过点， 又∵这个二次函数的图象经过点， ∴此二次函数图象的对称轴是直线． （2）解：由（1）可设二次函数的解析式为， ∵这个二次函数的图象上存在两点，， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【题型五】根据二次函数的对称性求函数值 【例5】（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 2 3 2 … 其中m的值是（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查二次函数的对称性，找到表格中函数值相等的两个自变量的值，求出对称轴，再根据对称性求出的值即可． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相等，均为， ∴二次函数的对称轴为， ∴和的函数值相同， ∴； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，则满足不等式组的整数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数的对称性可知二次函数与x轴的另一个交点坐标为，然后根据图象可知当时，x的取值范围为，然后问题可求解． 【详解】解：设二次函数与x轴的另一个交点坐标为，则由抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，可知： ， ∴，即二次函数与x轴的另一个交点坐标为， 由图象可知：当时，x的取值范围为， ∴满足不等式组的整数只有3一个； 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称性求函数值，因为由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可作答． 【详解】解：由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为， 则， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 3．（24-25九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1) （用含a的式子表示）； (2)已知点，在抛物线上，若，求出a的值； (3)已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3) 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键． （1）根据二次函数的对称轴公式求解即可； （2）首先根据，得出点，关于对称轴直线对称，据此列式求解即可； （3）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； 故答案为：； （2）解：∵点，在抛物线上，且， ∴对称轴为直线， 由题意得，解得； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴， ∵关于的对称点为， ∴， ∴． 【题型六】y=ax²+bx+c的最值 【例6】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ） A．最小值 B．最小值2 C．最大值 D．最大值2 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题关键．将点代入二次函数解析式，得出，再代入代数式得到关于的二次函数，再求最值即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， ， ， ， 代数式有最大值2， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值0，有最大值2 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值，有最大值2 D．有最小值，有最大值3 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查二次函数的最值，正确识别函数图象，理解最值的意义是解题的关键． 依据题意，由函数图象可看出其最大值和最小值，逐个判断可以得解． 【详解】解：由图象可知当时，有最小值 ，当时，有最大值 3 ， ∴函数有最小值，有最大值3， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期末）已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，先利用交点式写出抛物线解析式为，再利用配方法得到，则当时，y有最小值为，再解方程得，，即自变量为或7时，函数值为12，然后利用该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，从而确定的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线解析式为， 即， ∵， ∴当时，y有最小值为， 当时，， 解得，， ∵该函数在的范围内有最小值为，最大值为12， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题． (1)当时，求该二次函数的最值． (2)当取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由． 【答案】(1)最小值为； (2)小滨的想法正确．理由见解析． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，熟练掌握并灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，当时，，从而根据二次函数的性质求解即可； （2）依据题意，由，从而当时，y取最小值为，进而根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，当时， ， ∴当时，y取最小值为； （2）解：小滨的想法正确．理由如下： 由题意，， ∴当时，y取最小值为． ∵， ∴当时，有最大值0， ∴这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0． 故小滨的想法正确． 【题型七】利用二次函数对称性求最短路径 【例7】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次函数对称性求最短路径 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 【举一反三】 1．（九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 【答案】C 【知识点】利用二次函数对称性求最短路径 【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离． 【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为，C(0，﹣2)， ∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)， 过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F， ∴CE=C'E， 则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值； ∵直线yx+3， 设直线C'F的解析式为， 将C'(﹣2，﹣2)代入得：， 解得：， ∴C'F的解析式为yx， 解方程组， 得：， ∴F(，)， ∴C'F． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键． 2．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    【答案】 【知识点】利用二次函数对称性求最短路径 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求点C及顶点M的坐标； (2)求点A、B的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2)；， (3)． 【知识点】利用二次函数对称性求最短路径、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题以及二次函数顶点坐标，函数图像与y轴的交点可得点C坐标；顶点坐标通过对函数解析式配成顶点式即可得到． （2）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题，函数图像与轴的交点，转化为解一元二次方程即可求解． （3）本题主要考查了最短距离问题，点B是点A关于抛物线的对称轴对称的点，根据两点之间线段最短，线段即为所求最短距离． 【详解】（1）解：二次函数， 令，得到：． ∴； ， ∴． （2）∵二次函数与x轴相交于A、B两点， 令， 得到：，， ∴；． （3）假设存在点，使得的值最小 ∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 又∵，， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴ 又∵， ∴, 即，的最小值为． 【题型八】待定系数法求二次函数解析式 【例8】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）已知函数，当时，y的值为，那么当时，y的值为（   ） A． B． C． D．12 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】将时，代入中即可求出m的值，再将代入求出的函数中进行计算即可． 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是首先利用待定系数法求出函数解析式． 【详解】解：当时，y的值为，代入函数解析式，得： ， 解得， 所以， 将代入中得 故选：C 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口越小，值越大，分和两种情况 建立平面直角坐标系，利用待定系数法，求出a值即可． 【详解】解：二次函数的开口越小，值越大，分以下两种情况： 当，如图，建立平面直角坐标系， ∴二次函数的图象经过其中的3个格点，则只能过，，或，，，或，，， 当时，过，，三点的抛物线的开口最小， 设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：； 当时，如图，建立平面直角坐标系， 二次函数的图象经过、、三点， 设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：； 综上，的最大值为． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）二次函数中的和满足下表，则的值为 ． x … 0 1 2 3 … y … m … 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式的步骤． 通过表格中的数据可以求出二次函数的表达式，再将代入函数解析式，求得的值． 【详解】解：将代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 当时，， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，根据图象可知二次函数的对称轴为，设这个二次函数的解析式为，把代入计算，即可作答． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴为， 设这个二次函数的解析式为， 函数图象经过， ， 解得， 这个二次函数的解析式． 【题型九】线段周长问题(二次函数综合) 【例9】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，是抛物线在第三象限部分上的一点，过点向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【知识点】线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数性质；由题意构建二次函数是解题的关键．设，，则，，于是四边形的周长，根据二次函数性质求解． 【详解】解：令，则， 解得，， 抛物线与轴的交点为，， 设，则，， 令四边形的周长为，则， ， 时，取最大值，为6． 故选：D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】A 【知识点】线段周长问题(二次函数综合) 【分析】先由对称轴和点坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可； 【详解】解：如图，∵抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值，所以只需最小． 如图1，过点作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P．    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴ 此时三角形的周长； 同理，如图2，过点作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点，    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴， 此时三角形的周长； ∵，， ∴ ∴点P在y轴上时，三角形的周长最小，即点P的坐标是． 故选： A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找轴和轴上符合条件的点P，不要漏解． 2．（2023·江苏扬州·二模）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 【答案】4 【知识点】线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，先由二次函数的解析式求出点A，点B的坐标，然后求出直线的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可． 【详解】解：∵ ∴当时，，解得：或， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点M在第一象限， ∴线段， 当时，有最大值为4． 故答案为：4． 3．（24-25九年级上·山东日照·期末）如图1，将放置在平面直角坐标系中，使边与轴重合，点在轴上，已知，过三点画抛物线． (1)求的值及点的坐标； (2)如图2，将此拋物线沿水平方向向左平移个单位长度，得到的新抛物线记为L，L与轴交于点D，E（点在点的左侧），与轴交于点，设的长为d． ①求关于的函数解析式； ②在抛物线平移过程中，是否存在？若存在，求出的所有可能值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①②存在， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，熟练掌握平移规则，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，进而求出的坐标即可； （2）①求出平移后的解析式，进而求出点的坐标，利用两点间的距离列出函数关系式即可；②先求出点坐标，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∴当时，解得：，当时，， ∴，； （2）①∵， ∴平移后的解析式为：， ∴当时，， ∴， ∵， ∴，即：； ②存在，由题意，点为点向左平移个单位得到， ∴， ∴， 当时，则：， 解得：或（舍去）． 故． 【题型十】面积问题(二次函数综合) 【例10】（23-24九年级上·河南周口·期末），分别为抛物线与轴的两个交点，且为顶点．当的面积最大时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】A 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用；根据解析式得出抛物线的顶点为，当最大时，的面积最大，进而根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：抛物线 该抛物线的顶点为 当最大时，的面积最大， 当时，最大为，即为时的面积最大 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与x轴交于 A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上位于x轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点P从点A运动到点B的过程中，与的面积之和（　　） A．先增大后减小，最大面积为8 B．先减小后增大，最小面积为6 C．始终不变，面积为6 D．始终不变，面积为8 【答案】D 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点，涉及到三角形全等、面积的计算等，证明，得到，同理可得：，即可求解． 【详解】解：令，则或3， 即点A、B的坐标分别为：、， 设点P的横坐标为：m， 分别过点P、G作x轴的垂线，垂足分别为点N、H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， 则与的面积之和， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A、B，与轴交于点．若点是二次函数图像上位于第一象限内的一点，且四边形的面积为4，则点坐标为 ． 【答案】 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，先求出A、B、C的坐标，再根据求出点D的纵坐标，进而求出点D的坐标即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 已知抛物线与直线交于，两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式． (2)若为抛物线顶点，则线段的长为_____． (3)如图1，点是直线上方抛物线的一动点，过点作轴，交于点．连接，求的面积的最大值． (4)如图2，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)8 (4)存在，点的坐标为， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先将二次函数配方成顶点式，求出点N的坐标，再求出的长； （3）先求出直线的解析式为，设，，根据列出关于的二次函数关系式，化为顶点式即可求出最大值； （4）设点的坐标为，根据勾股定理表示出，，，当时，，当时，，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：， ， ， 故答案为：； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为； 由（1）知抛物线的解析式为，直线的解析式为， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为8； （4）解：存在，点的坐标为，，理由如下： 设点的坐标为， ，， ，，， 当中，当时，， ， 化简得， 解得或， 当时，点与点重合，不合题意，舍去， 当时，， 点的坐标为； 同理，当时，， ， 化简得， 解得或， 当时，点与点重合，不合题意，舍去， 当时，， 点的坐标为； 综上可知，点的坐标为，． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，利用二次函数求最值，勾股定理，直角三角形的存在性问题，解题的关键是熟练运用数形结合及分类讨论思想． 【题型十一】特殊三角形问题(二次函数综合) 【例11】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】求出，的坐标，画出图形即可解决问题． 【详解】解：， 所以，抛物线经过点，， ， 点坐标为，，    观察图象可知，满足条件的点有4个， 所以，能使为等腰三角形的抛物线共有4条． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点问题、等腰三角形的定义，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，过点作于点，得到点坐标为，将点代入解析式进行求解即可．解题的关键是求得点的坐标． 【详解】解：∵，当时，， ∴， ∴， 过点作于点， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．（24-25九年级上·广西梧州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为，如果点P在轴上，且是等腰三角形，则P的坐标为 ． 【答案】、、、． 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的关系，等腰三角形的性质与分类讨论思想，正确运用等腰三角形两腰相等的性质列出方程是关键步骤； 令，即可得到点A的坐标，然后根据点的坐标，得，；若是等腰三角形，且点在轴上，故点的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为， ∴， ∴，， 在中，， 因为是等腰三角形， 所以：①如图1，当时，，点的坐标为， ②如图2，当时，点的坐标为或， ③如图，3，当时，设点的坐标为，根据题意， , , ∴， 解得． 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为，或，． 3．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． (1)求抛物线解析式； (2)当线段的长度最大时，求点P的坐标； (3)若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点E的坐标为 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3），由时，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ， ， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴点， ∵抛物线经过点A，B， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：轴， ， ， 点， 点，则点， 则， 当时，最大．， ； （3）解：根据题意得，， 由（2）得，， ， ， 解得：（舍去）或， ∴点E的坐标为． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【题型十二】特殊四边形(二次函数综合) 【例12】（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图， 正方形的顶点 ， 在抛物线 上， 点在轴上，若，两点的横坐标分别为， （），下列结论正确的是 （  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形为正方形时，线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质以及正方形的性质是解题的关键．代入求得抛物线解析式为，设E点坐标为，进而表示出F、C点坐标，利用列出方程求解即可． 【详解】解：代入到抛物线，得， 解得：， 抛物线解析式为：， 设E点坐标为，由抛物线的对称性得F点坐标为， 轴， 点坐标为， 四边形为正方形， ， 即， 解得：（舍去）， ， ． 故选：D． 2．（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点A、B，则点C的坐标为 ． 【答案】 【知识点】特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，根据抛物线经过点A、B，求出A、B点坐标，长，由勾股定理得出长，得点D的坐标，从而可以求得点C的坐标． 【详解】解：对于 ，令，得， 解得，， ∴, ∴ ∵四边形是菱形， ∴;; ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交，其中一个交点为A，点A的横坐标为8．点P为抛物线上动点，其横坐标为m． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标； (2)这条抛物线在点P右侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为，求m的值； (3)过点P作y轴的平行线交直线于点Q，以PQ为边作矩形，使与y轴垂直． ①当，点N的横坐标为时，求矩形面积的最大值； ②当点N的横坐标为，抛物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2)m的值为或； (3)①8；②m的取值范围为：或． 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先求出点A坐标，再把代入抛物线即可得b的值，从而可得抛物线表达式，再求顶点即可； （2）分时和时两类情况分别求解即可； （3）①根据，，可得，再根据列式配方求最值即可； ②当时，即时，即P点在N点左边，根据，可得M的坐标为，又当时，矩形内部无抛物线经过，当抛物线过点M时，满足物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小，可得，故，即；当时，即时，抛物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小，当时，无法构成矩形；当时，在矩形内部包含了y随x的增大而增大的图象，故不符合题意，则，综上可得m的取值范围． 【详解】（1）解：把代入中，得， 故点， 再把代入抛物线中， 得， ∴抛物线表达式为， 对称轴为直线， 当时，， 故顶点坐标为； （2）解：当时， P点右侧部分最低点为顶点，即，则； 当时， P点右侧部分最低点为点P， 设， 即， 解得：（负值舍去）， 故， 综上，m的值为或； （3）解：①∵，， ∴， ∴， 则当时，，即矩形面积的最大值为8； ②Ⅰ：当时，即时，即P点在N点左边， 又当时，矩形内部无抛物线经过， 则当时， ∵，， 点N的横坐标为， 故点M的坐标为， 如图1所示，当抛物线过点M时，满足物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小， 则， 整理可得：， 从而可得：（正根舍去）， 故，即； Ⅱ：当时，即时，即P点在N点右边， 抛物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小，如图2所示， 当时，无法构成矩形； 当时，在矩形内部包含了y随x的增大而增大的图象，故不符合题意， ∴， 综上所述，m的取值范围为：或． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，矩形的性质，熟练掌握以上内容并能利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． 【题型十三】其他问题(二次函数综合) 【例13】（24-25九年级上·福建福州·期中）点，在抛物线上，且满足，，，则m的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是通过得到；由，可得，再解不等式组即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 或， 解得：或， 故选：． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，若抛物线的图象在第三象限存在两个横、纵坐标相同的点，则抛物线的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查的是二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的图象与性质，先根据题意可得：抛物线的图象与直线在第三象限有两个交点，再结合图象与两个函数的对称轴可得答案. 【详解】解：∵抛物线的图象在第三象限存在两个横、纵坐标相同的点， ∴抛物线的图象与直线在第三象限有两个交点， 如图， ∴， ∵的对称轴为直线，的对称轴为直线， ∴与关于直线对称， ∴的图象不经过第二象限； 故选：B 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在第一象限内作与轴的夹角为的射线，在射线上取一点，过点作轴于点．在抛物线上取一点，在轴上取一点，使得以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点A的坐标是 ． 【答案】或或或 【知识点】其他问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】此题应分四种情况考虑：（1）当，时；（2）当，时；（3）当，时；（4）当，时，利用特殊三角形三边关系，根据三角形全等即可求解．本题主要考查的是全等三角形的判定和性质以及二次函数图象和性质，由于全等三角形的对应顶点不明确，因此要注意分类讨论思想的运用． 【详解】解：∵在第一象限内作与轴的夹角为的射线，在射线上取一点，过点作轴于点． ∴， （1）当，时，    ∴在直角三角形中，设， ∵，， ∴ ∴， 依题意，把代入， 解得：（舍去），， ，， 又， ，， ； （2）当，时，    过点作轴，垂足为， 由（1）得，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 又， ， ； （3）当，时，      设，代入，解得：（舍去），， ，， ， ， ， ； （4）当，时，    过点作轴，垂足为点， 由（3）得，， 在中，由勾股定理得：， 在中，，，则， 又， ，， ， 综上所述，点A的坐标是或或或 故答案为：或或或 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． (1)若抛物线经过点； ①点的坐标为______； ②如图，连接，作的角平分线，交抛物线于点，交于点，求点的坐标； (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围； (3)已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)或． 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，角平分线的性质，抛物线与直线的交点，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键. （1）把点代入解析式即可求出抛物线为，由轴即可求出点； 过点D作，垂足为H，由角平分线性质得，求出点。进而求得直线解析式为，联立抛物线和直线解析式即可求出点的坐标； （2）由点，求得，进而求出； （3）分两种情况：当抛物线顶点落在线段上时，当抛物线顶点落在上方时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点； ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴抛物线与轴交于点坐标为， 当时，即，解得：，； ∴点 过点D作，垂足为H， ∵轴， ∴轴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，即直线解析式为， 联立抛物线和直线解析式得： ， 解得：，（不合题意舍去）， ∴点 （2）∵点，在抛物线上， ∴，， 当时，即， 即：，解得：； （3）∵抛物线 ， ∴抛物线对称轴为，顶点为 ∵点，，若抛物线与线段有且只有一个交点， I.当抛物线的顶点在线段上时， 即：，解得：， II. 当抛物线顶点落在上方时， 当时，， 当时，， ∵，对称轴为， ∴， ∵抛物线与线段有且只有一个交点， ∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ∴ 解得：， 综上，的取值范围是或． 好题必刷 一、单选题 1．将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到二次函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到的二次函数表达式为， 即二次函数的表达式为． 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数图象的平移，掌握其平移规律是关键． 2．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤，（m为一切实数）其中说法正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④⑤ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，根据开口方向确定a的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据对称轴确定b的符号，判断①②；时，，判断③；根据函数增减性，判断④；根据当时，函数值最小，判断⑤． 【详解】解：①抛物线开口向上，，物线与y轴交于负半轴，，，， ∴，故①正确； ②，，故②正确； ③根据对称性可知，当时，，，故③不正确； ④∵对称轴是直线，所以和时，y值相等， ∴若，是抛物线上两点，则，故④正确； ⑤∵对称轴是直线， ∴当时，函数值最小，故，故⑤正确； 故选：B 3．关于二次函数，自变量与函数的对应值如表，下列说法正确的是（   ） x … ﹣3 ﹣2 0 1 … y … 7 ﹣2 ﹣2 7 … A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴是直线 C．的最小值为 D．图像与轴有且只有一个交点 【答案】C 【分析】将表格中坐标代入二次函数，得到解析式，再化为顶点式，即可判断． 【详解】解：将、代入二次函数， ， 解得， ， 图像与轴交点坐标，A选项错误； 图像对称轴是直线，B选项错误； 的最小值为，C选项正确； ，图像与轴有两个交点，D选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法求解析式是解题关键． 4．已知函数的对称轴为直线．若是方程的两个根，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数图象分别得出抛物线与x轴交点的横坐标的关系，进而判断四个结论得出答案． 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根， ∴x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标， ∵抛物线的对称轴为直线x=-4，x1＜x2，1＜x2＜2， ∴-10＜x1＜-9，故选项B正确； x1x2＜0，故选项A错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0，故选项C错误； ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x=-4， ∴， ∴b=8a＞0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0，故选项D错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与x轴交点的横坐标间的数量关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 5．如图所示，在抛物线y =－x2上有A，B两点，其横坐标分别为 1 ，2；在y轴上有一动点C，则AC + BC 最短距离为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在抛物线y =－x2上A，B两点，其横坐标分别为 1 ，2； 所以纵坐标是-1，-4， 所以A（1，-1）B（2，-4）， 取点A关于y轴的对称点为，则点的坐标是（-1，-1）， 则AC + BC 最短距离=B ． 故选：B． 考点：1．二次函数；2．轴对称；3．勾股定理． 6．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 … 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（    ） A．﹣11 B．﹣5 C．2 D．﹣2 【答案】B 【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质可知x=0、x=1、x=-1对应的函数值是正确的，从而可以求得二次函数的解析式，再将x=2和x=-2代入解析式，即可判断哪个y值是错误的，本题得以解决． 【详解】解：由表格可得， 该二次函数的对称轴是直线x=0，经过点（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）， ∴， 解得，， ∴y=﹣3x2+1， 当x=﹣2时，y=﹣11， 当x=2时，y=﹣11， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象，解题关键是明确题意，求出函数的解析式，利用二次函数的性质解答． 7．已知二次函数(m为常数，且)，当时，函数有最小值2，则m的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】D 【解析】略 8．如图所示，抛物线与轴交于点、，对称轴与此抛物线交于点，与轴交于点，在对称轴上取点，使，连接、、、，某同学根据图象写出下列结论：①；②当时，；③四边形是菱形；④．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】由抛物线与轴的两交点坐标即可得出抛物线的对称轴为，由此即可得出，正确；根据抛物线的开口向下以及抛物线与轴的两交点坐标，即可得出当时，，正确；由关于对称，即可得出，再结合以及，即可得出四边形是菱形，正确；根据当时，，即可得出，错误．综上即可得出结论． 【详解】解：抛物线与轴交于点、， 该抛物线的对称轴为， ，，正确； 抛物线开口向下，且抛物线与轴交于点、， 当时，，正确； 点、关于对称， ， 又，且， 四边形是菱形，正确； 当时，， 即，错误． 综上可知：正确的结论为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质以及菱形的判定，解题的关键是逐条分析四条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定的函数图象结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键． 9．已知点，均在抛物线上，若，，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】可以运用“作差法”比较y1与y2的大小，y1与y2是自变量取x1、x2时，对应的函数值，代值后对式子因式分解，根据a取值范围判断结论的符号即可求解． 【详解】解：将x1代入抛物线，得y1=ax12-2ax1+4，将x2代入抛物线，得y2=ax22-2ax2+4， y1-y2=a（x12-x22）-2a（x1-x2） =a（x1-x2）（x1+x2）-2a（x1-x2） =a（x1-x2）（x1+x2-2） ∵x1+x2=1+a， ∴y1-y2=a（x1-x2）（a-1）， ∵， ∴x1-x2<0， 当a<0时，则a-1<0， ∴y1-y2<0；即y1<y2； 当0<a<1时，a-1<0， ∴y1-y2>0；即y1>y2； 当a>1时，则a-1>0， ∴y1-y2<0，即y1<y2． ∴当a<0时，y1<y2；当0<a<1时，y1>y2；当a>1时，y1<y2． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，在比较大小时用作差法是常用的比较方法． 10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论 ①2a﹣b＝0； ②a+b+c＝0； ③当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm； ④当△ABC是等腰直角三角形时，a＝； ⑤若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x＝﹣1上的动点P与B、D两点围成的△PBD周长最小值为3，其中，正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】把A、B两点坐标代入抛物线的解析式并整理即可判断①②； 根据抛物线的顶点和最值即可判断③； 求出当△ABC是等腰直角三角形时点C的坐标，进而可求得此时a的值，于是可判断④； 根据利用对称性求线段和的最小值的方法（将军饮马问题）求解即可判断⑤. 【详解】解：把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+c得到，消去c得到2a﹣b＝0，故①②正确； ∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，∴x＝﹣1时，y有最大值，最大值＝a﹣b+c， ∵m≠﹣1，∴a﹣b+c＞am2+bm+c，∴a﹣b＞am2+bm，故③正确； 当△ABC是等腰直角三角形时，C（﹣1，2）， 可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2，把（1，0）代入解得a＝﹣，故④正确， 如图，连接AD交抛物线的对称轴于P，连接PB，则此时△BDP的周长最小，最小值＝PD+PB+BD＝PD+PA+BD＝AD+BD， ∵AD＝＝3，BD＝＝， ∴△PBD周长最小值为3，故⑤正确． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的图象与其系数的关系、待定系数法求二次函数的解析式和求三角形周长最小值的问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键. 二、填空题 11．请写出一个开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式： ． 【答案】y＝x2﹣2 (答案不唯一) 【分析】根据二次函数的性质，开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴，要求a＞0，c＜0即可． 【详解】抛物线y＝x2﹣2开口向上，且与y轴的交点为（0，﹣2），（0，﹣2）在y轴负半轴． 故答案为答案不唯一：如y＝x2﹣2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a＞0，c＜0． 12．要确定一次函数，需求出k、b的值，用 法，由两点（两点连线不与坐标轴平行）的坐标，列出关于k、b的二元一次方程组求出k、b的值． 【答案】待定系数 【解析】略 13．已知抛物线y＝－2x2，如果抛物线不动，把坐标轴向上平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的函数表达式是 ，顶点坐标是 ． 【答案】 y＝－2x2－2 (0，－2) 【分析】根据二次函数的平移特点即可求解． 【详解】由于坐标轴从原来的位置向上平移了2个单位，对于原坐标平面内的每个确定的点，它的横坐标不变，纵坐标减小2个单位，所以抛物线可以看作在原平面坐标系中向下平移了2个单位． ∴新坐标系下抛物线的函数表达式是y＝－2x2－2，顶点坐标是(0，－2)． 故答案为：y＝－2x2－2；(0，－2) ． 【点睛】此题主要考查二次函数的平移，解题的关键是根据题意转化为函数平移． 14．把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ． 【答案】或（答出这两种形式中任意一种均得分） 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2． 故答案为y=2（x+1）2﹣2． 考点：二次函数图象与几何变换． 15．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第 象限． 【答案】四 【详解】解：根据图象，由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向下得到a小于0，故b大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，即a＜0，b＞0，c＞0． 因此，由于函数y=bx+c的，，故它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故答案为：四 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系：对于，函数，①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 16．已知点、和在二次函数的图像上．若，则p，q，m的大小关系是 （用“＜”连接）． 【答案】 【分析】根据题意，判断出抛物线的位置，画出图形，可得结论． 【详解】解：∵A（2，m）、B（2，p）和C（4，q）在二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象上．且pq＜0， ∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，且对称轴直线x=a（1＜a＜2），如图所示， 观察图象可知：m＜q＜p． 故答案为：m＜q＜p． 【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． 17．已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于，则代数式的最小值是 . 【答案】 【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥，把x=代入代数式即可求得． 【详解】∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点， ∴，顶点为（-2,1） ∴由题意可知a>0, ∵线段AB的长不大于4， ∴4a+1≥3 ∴a≥ ∴a2+a+1的最小值为：（）2++1=； 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键． 18．如图，已知二次函数的图象过，两点，则化简代数式 ．    【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据图象经过的象限和对称轴的位置，得到，进而得到，，再根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：把，两点代入中，得， ∴， 由图象可知，抛物线对称轴，且， ∴， ∴， ∴，， ∴原式 ； 故答案为：． 三、解答题 19．已知抛物线经过点(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】根据题意可设抛物线的解析式为：，再将点(0，-2)代入，求出a的值，最后改为一般式即可． 【详解】∵抛物线经过点(3，0)，(-1，0)， 故可设该抛物线的解析式为：， ∵该抛物线又经过点(0，-2)， ∴ 解得： ∴该抛物线的解析式为： 整理，得：． 【点睛】本题考查求抛物线解析式．掌握交点式和利用待定系数法求解析式是解题关键． 20．以直线为对称轴的抛物线过点（3，0)，(0，3)，求此抛物线的解析式 【答案】 【分析】由对称轴可设抛物线的解析式为，把(3，0）,(0，3)代入即可求出a，b的值，即可求得解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 抛物线过点（3，0），(0，3)， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握和运用待定系数法求函数解析式是解决本题的关键． 21．已知抛物线经过点，，．求此抛物线的解析式． 【答案】 【详解】试题分析：用待定系数法求抛物线的解析式即可. 试题解析： ∵抛物线经过，，， ∴设为， ∵过点， ∴， ∴， ∴， ． 22．在平面直角坐标系内，二次函数的图象经过点和． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求出二次函数的顶点坐标； (3)将该二次函数的图象向右平移几个单位，可使平移后所得的图象经过坐标原点，请在图中直接画出平移后的二次函数的大致图象，并写出平移后的图象与轴的另一个交点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)图见解析， 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把抛物线解析式化为顶点式，即可求解； （3）先求出原抛物线与x轴的交点，再根据平移的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点和的坐标代入， 得 解这个方程组，得 ∴二次函数表达式为． （2）解∶． ∴二次函数的顶点坐标是． （3）解：当时， ∴如图，抛物线与轴的交点坐标为， ∴将二次函数图象向右平移一个单位，可以使图象经过原点，平移后的图象如图．此时的坐标是． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，抛物线的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C的坐标为． (1)求经过A，B，C三点的抛物线的表达式； (2)如果M为抛物线的顶点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识． （1）先求出点A、B的坐标分别为，再利用待定系数法即可求解； （2）先求出顶点M的坐标为，过点M作轴于点D，交AB于点E，再求出，利用割补法即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，得， ∴点A、B的坐标分别为． 设经过A，B，C三点的抛物线解析式为， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴过A，B，C三点的抛物线解析式为； （2）解：， ∴顶点M的坐标为． 如图，过点M作轴于点D，交AB于点E， 则， 把代入直线得， ∴点E坐标为， ∴， ∴． 24．已知抛物线（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … -2 -1 0 1 2 … … 0 -3 -3 … （1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ； （2）求抛物线的表达式及的值； 【答案】（1）上，；（2）， 【分析】（1）观察表格中的数据，得到x＝0和x＝2时，y值相等都为−3，且其他y的值比−3大，可得出抛物线开口方向及对称轴； （2）把三点坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值确定出解析式，进而求出m与n的值即可； 【详解】（1）由表可知：x=﹣1，y=0； x=0，y=﹣3；x=2，y=﹣3可知抛物线开口方向向上； 由表可知：x=0，y=﹣3；x=2，y=﹣3可知抛物线的对称轴为：， 故答案为：上； （2）由表可知：代入点，，得： ， 解得： ∴抛物线的表达式为：， 当时，； 当时，； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 25．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与直线y=x+1相交于点A（-1，m）和点B（n，5）． （1）求该二次函数的关系式； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这两个函数的大致图象； （3）结合图象直接写出x2+bx+c＞x+2时x的取值范围. 【答案】（1）y=x2-2x-3（2）x＜-1或x＞4 【详解】试题分析：(1)、首先根据一次函数的解析式分别求出点A和点B的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；(2)、根据描点法在坐标系中画出函数图像，需要注意两个函数的交点坐标；(3)、根据函数的交点将x轴分别三部分，然后根据每部分图像的位置关系得出函数值的大小关系. 试题解析：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与与直线y=x+1相交于点A（-1，m）和点B（n，5），∴m=-1+1=0，n+1=5，即n=4，∴点A（-1，0）和点B（4，5），∴，解得，即二次函数的解析式为y=x2-2x-3； （2）这两个函数图象的草图如图所示： ，x的取值范围为x＜-1或x＞4 26．若抛物线经过点，，抛物线在E，F之间的部分为图象G（包括E，F两点）图像G上点的纵坐标的最大值与最小值的差t为1时，m的值为__________． 步骤1   确定二次函数图象的对称轴、开口方向 ①已知抛物线，则抛物线的开口__________； ②抛物线的对称轴为__________，顶点坐标为__________； 步骤2   分类讨论 抛物线经过点，，，． ①当点F在y轴（抛物线对称轴）左侧时，此时，y的值随x值的增大而减小，，即，解得； ②当点F在y轴上或y轴右侧，点E在y轴左侧，且点F到y轴的距离小于点E到y轴的距离时，此时，，即，解得（舍去）； 请补全后面两种情况的过程并计算出结果： ③________________________________________________________________________________； ④________________________________________________________________________________． 步骤3   得出结论  则m的值为__________． 【答案】或7；步骤1：①向上；②y轴，；步骤2：③见解析；④见解析；步骤3：或7 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键 步骤1：根据二次函数的基本性质求解即可； 步骤2：根据题意，分情况分析求解即可； 步骤3：根据题意得出结论即可． 【详解】解：步骤1：①抛物线， ∵， ∴抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为y轴 顶点坐标为； 故答案为：①向上；②y轴（或直线），； 步骤2：分类讨论 ③当点F在y轴右侧，点E在y轴左侧或y轴上，且点F到y轴的距离大于等于点E到y轴的距离时， 此时， ， 即， 解得（舍去） ④当点E在y轴右侧时，此时， ，即， 解得 步骤3 ：得出结论 m的值为或7， 故答案为：或7. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次函数与图象和性质2 （知识清单+13大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 二次函数图象与各项系数符号 题型二 一次函数、二次函数图象综合判断 题型三 根据二次函数的图象判断式子符号 题型四 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型五 根据二次函数的对称性求函数值 题型六 y=ax²+bx+c的最值 题型七 利用二次函数对称性求最短路径 题型八 待定系数法求二次函数解析式 题型九 线段周长问题(二次函数综合) 题型十 面积问题(二次函数综合) 题型十一 特殊三角形问题(二次函数综合) 题型十二 特殊四边形(二次函数综合) 题型十三 其他问题(二次函数综合) 知识清单 知识点1．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点2．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点3．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 知识点4．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点5．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点6．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点7．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型方法 【题型一】二次函数图象与各项系数符号 【例1】（24-25九年级上·重庆渝北·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知，二次函数的图象如图所示，则点在第 象限． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数 (1)若函数图象过点，，求的取值范围； (2)若函数图象过点，其中，，都整数，且是偶数． 求证：，，都是偶数． 【题型二】一次函数、二次函数图象综合判断 【例2】（24-25九年级上·河南安阳·期末）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）在同一平面直角坐标系中，抛物线与直线的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过第 象限． 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求一次函数和二次函数的交点坐标． 【题型三】根据二次函数的图象判断式子符号 【例3】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：；④抛物线上有两点和，若，则．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三】 1．（24-25九年级上·上海·期中）如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③； ④当（为实数）时， A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（）的大致图象如图所示. （）；（）；（）；（）关于的方程有两个不相等的实数根．则下列结论正确的是 ．（填序号） 3．（九年级上·湖南长沙·期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图像，写出三条关于a，b，c的信息． 【题型四】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【例4】（24-25九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图像经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上、两点的高度相同，到墙边的距离分别为，．若该墙的长度为，则最多可以连续绘制这样的抛物线型图案的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）抛物线经过点和，则它的对称轴为 ． 3．（24-25九年级上·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围． 【题型五】根据二次函数的对称性求函数值 【例5】（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 2 3 2 … 其中m的值是（   ） A．3 B． C．2 D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，则满足不等式组的整数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 3．（24-25九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1) （用含a的式子表示）； (2)已知点，在抛物线上，若，求出a的值； (3)已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． 【题型六】y=ax²+bx+c的最值 【例6】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ） A．最小值 B．最小值2 C．最大值 D．最大值2 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值0，有最大值2 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值，有最大值2 D．有最小值，有最大值3 2．（24-25九年级上·江苏常州·期末）已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题． (1)当时，求该二次函数的最值． (2)当取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由． 【题型七】利用二次函数对称性求最短路径 【例7】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 2．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    3．（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求点C及顶点M的坐标； (2)求点A、B的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【题型八】待定系数法求二次函数解析式 【例8】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）已知函数，当时，y的值为，那么当时，y的值为（   ） A． B． C． D．12 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 2．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）二次函数中的和满足下表，则的值为 ． x … 0 1 2 3 … y … m … 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式． 【题型九】线段周长问题(二次函数综合) 【例9】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，是抛物线在第三象限部分上的一点，过点向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D．以上都不正确 2．（2023·江苏扬州·二模）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 3．（24-25九年级上·山东日照·期末）如图1，将放置在平面直角坐标系中，使边与轴重合，点在轴上，已知，过三点画抛物线． (1)求的值及点的坐标； (2)如图2，将此拋物线沿水平方向向左平移个单位长度，得到的新抛物线记为L，L与轴交于点D，E（点在点的左侧），与轴交于点，设的长为d． ①求关于的函数解析式； ②在抛物线平移过程中，是否存在？若存在，求出的所有可能值；若不存在，请说明理由． 【题型十】面积问题(二次函数综合) 【例10】（23-24九年级上·河南周口·期末），分别为抛物线与轴的两个交点，且为顶点．当的面积最大时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与x轴交于 A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上位于x轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点P从点A运动到点B的过程中，与的面积之和（　　） A．先增大后减小，最大面积为8 B．先减小后增大，最小面积为6 C．始终不变，面积为6 D．始终不变，面积为8 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A、B，与轴交于点．若点是二次函数图像上位于第一象限内的一点，且四边形的面积为4，则点坐标为 ． 3．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 已知抛物线与直线交于，两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式． (2)若为抛物线顶点，则线段的长为_____． (3)如图1，点是直线上方抛物线的一动点，过点作轴，交于点．连接，求的面积的最大值． (4)如图2，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型十一】特殊三角形问题(二次函数综合) 【例11】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三】 1．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线经过等腰直角三角形的两个顶点A，B，点A在y轴上，则的值为(   ) A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西梧州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为，如果点P在轴上，且是等腰三角形，则P的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． (1)求抛物线解析式； (2)当线段的长度最大时，求点P的坐标； (3)若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标． 【题型十二】特殊四边形(二次函数综合) 【例12】（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图， 正方形的顶点 ， 在抛物线 上， 点在轴上，若，两点的横坐标分别为， （），下列结论正确的是 （  ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形为正方形时，线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点A、B，则点C的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交，其中一个交点为A，点A的横坐标为8．点P为抛物线上动点，其横坐标为m． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标； (2)这条抛物线在点P右侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为，求m的值； (3)过点P作y轴的平行线交直线于点Q，以PQ为边作矩形，使与y轴垂直． ①当，点N的横坐标为时，求矩形面积的最大值； ②当点N的横坐标为，抛物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【题型十三】其他问题(二次函数综合) 【例13】（24-25九年级上·福建福州·期中）点，在抛物线上，且满足，，，则m的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【举一反三】 1．（24-25九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，若抛物线的图象在第三象限存在两个横、纵坐标相同的点，则抛物线的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在第一象限内作与轴的夹角为的射线，在射线上取一点，过点作轴于点．在抛物线上取一点，在轴上取一点，使得以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点A的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． (1)若抛物线经过点； ①点的坐标为______； ②如图，连接，作的角平分线，交抛物线于点，交于点，求点的坐标； (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围； (3)已知，点，，若抛物线与线段有且只有一个交点，请直接写出的取值范围． 好题必刷 一、单选题 1．将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到二次函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤，（m为一切实数）其中说法正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④⑤ C．①②④ D．①②③④ 3．关于二次函数，自变量与函数的对应值如表，下列说法正确的是（   ） x … ﹣3 ﹣2 0 1 … y … 7 ﹣2 ﹣2 7 … A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴是直线 C．的最小值为 D．图像与轴有且只有一个交点 4．已知函数的对称轴为直线．若是方程的两个根，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，在抛物线y =－x2上有A，B两点，其横坐标分别为 1 ，2；在y轴上有一动点C，则AC + BC 最短距离为（ ） A．5 B． C． D． 6．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 … 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（    ） A．﹣11 B．﹣5 C．2 D．﹣2 7．已知二次函数(m为常数，且)，当时，函数有最小值2，则m的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 8．如图所示，抛物线与轴交于点、，对称轴与此抛物线交于点，与轴交于点，在对称轴上取点，使，连接、、、，某同学根据图象写出下列结论：①；②当时，；③四边形是菱形；④．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．已知点，均在抛物线上，若，，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论 ①2a﹣b＝0； ②a+b+c＝0； ③当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm； ④当△ABC是等腰直角三角形时，a＝； ⑤若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x＝﹣1上的动点P与B、D两点围成的△PBD周长最小值为3，其中，正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．请写出一个开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式： ． 12．要确定一次函数，需求出k、b的值，用 法，由两点（两点连线不与坐标轴平行）的坐标，列出关于k、b的二元一次方程组求出k、b的值． 13．已知抛物线y＝－2x2，如果抛物线不动，把坐标轴向上平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的函数表达式是 ，顶点坐标是 ． 14．把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ． 15．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第 象限． 16．已知点、和在二次函数的图像上．若，则p，q，m的大小关系是 （用“＜”连接）． 17．已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于，则代数式的最小值是 . 18．如图，已知二次函数的图象过，两点，则化简代数式 ．    三、解答题 19．已知抛物线经过点(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求抛物线的解析式． 20．以直线为对称轴的抛物线过点（3，0)，(0，3)，求此抛物线的解析式 21．已知抛物线经过点，，．求此抛物线的解析式． 22．在平面直角坐标系内，二次函数的图象经过点和． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求出二次函数的顶点坐标； (3)将该二次函数的图象向右平移几个单位，可使平移后所得的图象经过坐标原点，请在图中直接画出平移后的二次函数的大致图象，并写出平移后的图象与轴的另一个交点的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C的坐标为． (1)求经过A，B，C三点的抛物线的表达式； (2)如果M为抛物线的顶点，连接，求的面积． 24．已知抛物线（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … -2 -1 0 1 2 … … 0 -3 -3 … （1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ； （2）求抛物线的表达式及的值； 25．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与直线y=x+1相交于点A（-1，m）和点B（n，5）． （1）求该二次函数的关系式； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这两个函数的大致图象； （3）结合图象直接写出x2+bx+c＞x+2时x的取值范围. 26．若抛物线经过点，，抛物线在E，F之间的部分为图象G（包括E，F两点）图像G上点的纵坐标的最大值与最小值的差t为1时，m的值为__________． 步骤1   确定二次函数图象的对称轴、开口方向 ①已知抛物线，则抛物线的开口__________； ②抛物线的对称轴为__________，顶点坐标为__________； 步骤2   分类讨论 抛物线经过点，，，． ①当点F在y轴（抛物线对称轴）左侧时，此时，y的值随x值的增大而减小，，即，解得； ②当点F在y轴上或y轴右侧，点E在y轴左侧，且点F到y轴的距离小于点E到y轴的距离时，此时，，即，解得（舍去）； 请补全后面两种情况的过程并计算出结果： ③________________________________________________________________________________； ④________________________________________________________________________________． 步骤3   得出结论  则m的值为__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$